北京市第一零一中学2025～2026学年下学期八年级数学6月第二次学情自测试题

**基本信息** 北京一零一中学初二数学下学期练习卷，以真实情境（如电车销售、公益活动）和创新问题（如“等腰点”定义）为载体，覆盖函数、几何、统计等核心知识，梯度设计合理，注重数学眼光、思维与语言的综合考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|多边形内角和、抛物线平移、方差应用|第5题结合电车销售增长率考查模型意识，第7题通过方差与平均数分析数据观念| |填空题|6/18|韦达定理、函数图像交点、矩形折叠|第16题新定义“等腰点”，第15题折叠问题考查空间观念与几何直观| |解答题|8/52|统计分析、二次函数综合、几何证明|第22题“玩转圆周率”主题统计培养数据意识，第25题正方形综合题考查推理能力与创新意识|

北京一零一中学年第二学期练习 初二数学 一、选择题（本题共30分，每小题3分） 第1 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个 1. 下列计算正确的是（     ） A. B. C. D. 2. 下面的多边形中，内角和等于外角和的是（     ） 3. 把抛物线 向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为（     ） A. B. C. D. 4. 若是关于x的一元二次方程 的一个根，则的值为（     ） A.2028 B.2027 C.2025 D.2024 5. 某厂家2026年月份销售的电车数量如图所示。若从3月份到5月份，该厂家电车销售的平均月增长率为x，根据题意可得方程（     ） A. B. C. D. 6. 函数 与 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） 7.如图是八年级一班甲、乙、丙、丁四名同学抛实心球10次训练成绩（单位：米）的方差与平均数.若要从中选出一名成绩好且发挥稳定的同学参加年级体测项目友谊赛，最合适的是（     ）同学. A. 甲    B. 乙      C. 丙      D. 丁 8.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点P为AB边上一动点(不与点A、B重合)，于点E，于点 F.若°，，则EF的最小值为（     ） A.3    B.    C.6      D. 9.如图，直线与直线交于点A，两条直线分别交x轴于点B，点C，则的面积为（     ） A.    B.5      C.      D.7 10.如图1，四边形ABCD是平行四边形，连接BD，动点P从点A出发沿折线AB→BD→DA匀速运动，回到点A后停止. 设点P运动的路程为x，线段AP的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，下列结论中正确的是（     ） A. °            B. C. 平行四边形ABCD的面积是96            D. 函数图象与x轴交点坐标为（0，0）和（30，0） 二、填空题：（本题共18分，每小题3分） 11. 已知、是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的值为            . 12. 已知点，，且在直线上，则            （填“>”“<”或“=”） 13.如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为            . 14.如图，在正方形的外侧，作等边三角形，若则            . 15.如图，已知四边形是矩形，点的坐标为，点为边上一点，连接，现将沿折叠，点落在轴上的点处，直线交轴于点，则点的坐标为            . 16.定义：如果一个点能与另外两个点构成等腰三角形，那么称这个点为另外两个点的等腰点．当这个点是等腰顶角的顶点时，这个点又称为强等腰点． 如图①，在中，，是、两点的等腰点，也是强等腰点，是、两点的等腰点，是、两点的等腰点． （1）如图②，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，、两点均在格点上，线段上的8个格点中，是、两点的等腰点的有            个． （2）如图③，在中，，，，是的中点，是射线上一个动点，点恰好成为、或、的强等腰点时，的长为                         三、解答题：（共52分，17、25、26题6分，18、22、23题5分，19、20、21题4分，24题7分） 17.（1）计算： （2）解方程： 18. 如图，在中，，、分别是、的中点，延长至点，使得，连接，，，. （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，求的长． 19.某班级计划组织爱心公益活动，为福利院捐献100件手工作品，手工作品有甲乙两种，其中甲种作品不少于30件，乙种作品不少于50件；甲种作品每一件的成本与其数量之间满足函数关系为，乙种作品每件成本为35元．如何分配两种作品的数量，使甲乙两种作品总成本为3100元？ 20.在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． （1）求这个一次函数的解析式； （2）设直线，轴及直线围成的区域为（含边界），若直线与区域有交点，直接写出的取值范围． 21.已知关于的一元二次方程 （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的两个根均为整数，求的值． 22.每年3月14日为国际圆周率日（节），为感受数学文化魅力，激发学生数学探究兴趣，2026年我校于当日举办 “玩转圆周率” 主题知识问答活动.为了解活动成效，从七、八年级参与活动学生的问答成绩（单位：分）中，各随机抽取12名学生的成绩进行统计整理，下面给出了部分信息： 七年级：，，，，，，，，，，，； 八年级：，，，，，，，，，，，. a.抽取的七、八年级学生成绩（单位：分）不完整的统计表如下： 年级 平均数 众数 方差 最小值 四分位数 最大值 七年级 86 ② 157.5 60 75 ③ 96 100 八年级 ① 93 61 70 80 90 93 96 b. 抽取的七、八年级学生成绩绘制成的不完整箱线图如下： 根据以上信息，回答下列问题： （1）统计表中，①处应填            ，②处应填            ； （2）请补全箱线图； （3）请你从两个不同的角度对两个年级的成绩进行评价。 23.快递站点使用甲、乙两台自动分拣机分拣包裹，统计开机后1至6小时不同工作时长 （单位：小时）对应的累计分拣总量 （单位：万件），数据如下： 工作时长 1 2 3 4 5 6 甲分拣机 2 6 8 10 12 乙分拣机 3.8 6.6 8.7 10.3 11.0 11.8 （1）观察甲分拣机的数据变化规律，直接写出 的值            ； （2）在平面直角坐标系中，大致画出 ， 在 范围内的图象； （3）结合表格数据分析，两台机器累计分拣包裹总量相等时，对应的工作时长为            小时（结果保留一位小数）； （4）如果有20.1万件的包裹需要分拣，在甲乙两台机器同时工作3小时后乙分拣机出现了故障，甲分拣机还需要再单独工作            小时后才能完成剩下包裹的分拣工作。 24.在平面直角坐标系 中，二次函数 的对称轴为直线 ，且经过点 。 （1）当 ， 时 ①直接写出这个二次函数的解析式为            ； ②在平面直角坐标系 中画出抛物线； ③当 时，直接写出 的取值范围。 （2）点 ， 是抛物线上两点，当 时，对于 ，总有 求 的取值范围。 25.已知，如图，正方形中，点、分别在、的延长线上，且。 （1）证明：。 （2）在延长线上取点，使得，连接，点为中点，连接。 补全图形，用等式表示与的数量关系，并证明。 26. 在平面直角坐标系中，记点关于轴的对称点为（时与重合），若线段上存在两点，，满足，且，则称为线段的“衡角点” （1）已知点 ①在点，，中，线段的“衡角点”是            ； ②若点是线段的“衡角点”，则的取值范围是            ； （2）已知点，点，点，，若线段上至少存在一个点是的“衡角点”，则的取值范围是            。 答案 一、选择题（每题3分，共30分） 1. B 解析： 1　 A选项：，错误； 2　 B选项：，正确； 3　 C选项：与不是同类二次根式，不能合并，错误； 4　 D选项：，错误。 2. B（四边形） 解析：多边形外角和恒为，内角和等于外角和时，，解得，即四边形。 3. C 解析：抛物线平移遵循“左加右减，上加下减”，向左平移3个单位得，再向下平移1个单位得。 4. A 解析：将代入方程得，即，则。 5. D 解析：3月销量为368，平均月增长率为，则4月销量为，5月销量为。 6. A 解析：两个函数均过定点，排除B、D；若，一次函数斜率为正，递增，二次函数开口向上，A符合；若，一次函数递减，二次函数开口向下，无对应选项。 7. D 解析：成绩好坏看平均数，平均数越高成绩越好；发挥稳定性看方差，方差越小越稳定。丁的平均数最高且方差最小，为最佳人选。 8. B 解析：菱形中，，则为等边三角形，，，。，，四边形为矩形，故，当时最小，此时，即最小值为。 9. A 解析：联立，解得交点；与x轴交点，与x轴交点，，则。 10. C 解析：由图象可知：第一段对应段，故；第二段对应段，故；第三段对应段，故。 1　 A选项：，，，满足，故，正确； 2　 B选项：，正确； 3　 C选项：平行四边形面积为，错误； 4　 D选项：总路程为，函数图象与x轴交点为和，错误。 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 解析：由韦达定理，一元二次方程中，两根之和。 12. 解析：直线中，随增大而减小，若，则，故。 13. 解析：交点左侧，的图象在下方，故不等式解集为。 14. 解析：正方形中，，；等边中，，故，，，因此。 15. 解析：矩形中，故，。折叠后，在中，，故。设直线解析式为，代入和得，解得，，即，与y轴交点。 16. (1) ；(2) 解析： (1) 到A、B距离相等的点在AB的垂直平分线上，线段CD上共有4个格点在该垂直平分线上，即A、B的等腰点共4个。 (2) 中是中点，，故，。 强等腰点为等腰三角形顶角顶点，分情况讨论： ① P是B、C的强等腰点：，P在BC的垂直平分线上，此时； ② P是A、B的强等腰点： 1　 若，P在AB的垂直平分线上，解得； 2　 若，，解得。 三、解答题 17. （共6分） (1) 计算： (2) 解方程： 因式分解得，解得。 18. （共5分） (1) 证明： 分别是的中点，是的中位线， 且， 又，且， 四边形是平行四边形。 (2) 解： 中，是中点，，， 由勾股定理得， 是中点，， 四边形是平行四边形，，即。 19. （共5分） 解：设甲种作品数量为件，则乙种作品数量为件， 由题意得约束条件：，即。 总成本为3100元，列方程： 化简得，解得（不符合，舍去），， 此时，满足乙种作品不少于50件的要求。 答：甲种作品40件，乙种作品60件时，总成本为3100元。 20. （共6分） (1) 解：一次函数由平移得到，故， 将代入得，解得， 一次函数解析式为。 (2) 解析：区域W由、x轴（）、围成，顶点为、、。直线恒过定点，分别代入区域顶点计算得a的取值范围为且。 21. （共6分） (1) 证明：方程为一元二次方程，故即， 判别式， 方程总有两个实数根。 (2) 解：由求根公式得 计算得，， 两根均为整数，为整数， ，解得或。 22. （共5分） (1) ①；② 解析：八年级12个数据的平均数为；七年级的Q3（上四分位数）是第9和第10个数据的平均数，即。 (2) 补全箱线图：七年级箱线图的Q3位置对应94.5，八年级箱线图的中位数位置对应90即可。 (3) 评价示例： ① 平均数角度：八年级平均成绩89分，高于七年级的86分，整体成绩更好； ② 稳定性角度：八年级成绩的方差更小，分数分布更集中，成绩更稳定； ③ 高分段角度：七年级最高分为100分，高于八年级的96分，七年级高分段学生表现更突出。 23. （共7分） (1) 甲分拣机每小时分拣2.1万件，3小时累计分拣量。 (2) 图象： 是过、、的正比例直线，斜率为2.1； 是过、、的一次函数直线，斜率为2.1，截距为2.4。 (3) 解析：，，两个函数斜率相同，无交点，因此累计分拣总量永远不可能相等。（若题目数据存在差异，可按实际斜率计算，例如若甲增速为2.4万件/小时，则可联立方程得到对应时间） (4) 两台机器同时工作3小时，总分拣量为万件，剩余万件，甲每小时分拣2.1万件，故还需小时。 24. （共6分） (1) ① 当，对称轴，故，解得；过点，故，二次函数解析式为； ② 画图：顶点为，过、，开口向上即可； ③ 当时，时取最小值，时，时，故的取值范围为。 (2) 二次函数开口向上，对称轴为，，点关于对称轴的对称点为。 要使时总有，则区间需在点B及其对称点的外侧，即，解得，结合，故的取值范围为。 25. （共6分） (1) 证明： 正方形中，，， ，，即， 在和中： ，， ，， ，即。 (2) （或），证明： 延长到点，使，连接， 是中点，， 又，， ，，， ，，是等腰直角三角形，， ，，， ，，， ，， ，，即， 是等腰直角三角形，，。 26. （共7分） (1) ① 解析：“90°衡角点”的对称点Q需满足：存在OA上的M、N，使为等腰直角三角形，且Q为直角顶点，因此Q到OA（x轴）的距离满足，且斜边MN的中点横坐标在内。 的对称点，到x轴距离为4，，中点横坐标为2，符合； 的对称点，到x轴距离为3，符合； 的对称点，到x轴距离为2，符合。 若题目隐含，则答案为。 ② 解析：的对称点，Q到x轴距离为，且斜边中点横坐标为，解得t的范围为或。 (2) 解析：“60°衡角点”的对称点Q需满足为等边三角形，Q到MN的距离为，线段DE的解析式为，计算得m的取值范围为。 学科网（北京）股份有限公司 $