2027届高考数学一轮复习讲义-第七章课时9 向量法求空间角与距离

该高中数学讲义聚焦向量法求空间角与距离，覆盖线线角、线面角、二面角及点线距、点面距等高考核心考点，按知识梳理（公式整合）、基础回顾（概念辨析）、考点扫描（分四类题型）的逻辑架构展开，通过例题精讲、规律总结、对点训练等环节，帮助学生构建空间向量应用的系统解题思路。 资料以数学眼光抽象空间关系，数学思维推导向量运算逻辑，如在求二面角时引导建立坐标系求法向量，通过2025年高考真题演练培养推理能力。设置基础判断、选择及综合解答题分层练习，配合即时反馈，助力学生高效突破难点，为教师精准把控复习节奏提供实用指导，提升学生空间想象与运算求解的应考能力。

课时9 向量法求空间角与距离 一、课标要求 1. 解决坐标法求空间角（线线角、线面角、二面角）及距离（点线距、点面距等）； 2. 体会向量方法在研究空间角和距离中的应用． 二、知识梳理 1．异面直线所成的角 若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cos θ＝ ＝ ． 2．直线与平面所成的角 如图，直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝ ＝ ＝ ． 3．平面与平面的夹角 如图，平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角． 若平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角．设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝ ＝ ． 4．点到直线的距离 如图，已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设＝a，则在直线l上的投影向量＝(a·u)u，在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝＝ ． 5．点到平面的距离 如图，已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点．过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度，因此PQ＝ ＝ ＝ ． 三、基础回顾 1．判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”） (1)两异面直线夹角的范围是，直线与平面所成角的范围是.(　　) (2)二面角的平面角为θ，则两个面的法向量的夹角也是θ.(　　) (3)点到直线的距离也就是该点与直线上任一点连线的长度．(　　) (4)直线l上两点到平面α的距离相等，则l平行于平面α.(　　) 2．设直线与平面相交,且的方向向量为a,的法向量为n,若,则与所成的角为(    ) A． B． C． D． 3．已知两平面的法向量分别为(0，－1,3)，(2,2,4)，则这两个平面夹角的余弦值为______． 4．已知直线l经过点A(2,3,1)，且向量n＝为l的一个单位方向向量，则点P(4,3,2)到l的距离为________． 四、考点扫描 考点一 异面直线所成的角 例1 如图，已知圆锥CO的截面三角形ABC是正三角形，AB是底面圆O的直径，点D在上，且∠AOD＝2∠BOD，则异面直线AD与BC所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 规律方法： 对点训练 (2025·江西五市九校联考)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PA＝BC，E为棱CD的中点，F为棱PC的中点，则异面直线BF与PE所成角的余弦值为(　　) A．－ B. C．－ D. 考点二 直线与平面所成的角 例2 （2025·北京高考）如图，四棱锥中，与为等腰直角三角形，，E为棱BC的中点． (1)设F为的中点，G为PE的中点，证明：面PAB； (2)若面ABCD，，求AB与面PCD所成角的正弦值． 规律方法： 对点训练(2025·湖北联考)如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，AB＝AA1＝2，∠A1AB＝，侧面CDD1C1⊥底面ABCD． (1) 求证：平面A1BC⊥平面CDD1C1； (2) 求直线AB1和平面A1BC1所成角的正弦值． 考点三 平面与平面的夹角 例3 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为AA1，AC的中点，且AB＝BC＝1，AA1＝AC＝． (1) 求证：BE⊥AC1； (2) 求二面角B－CD－A1的正弦值． 规律方法： 对点训练 如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD和侧面BCC1B1都是矩形，E是CD的中点，且D1E⊥CD，AB＝2BC＝2，且平面BCC1B1与平面D1EB的夹角的余弦值为，求线段D1E的长．    考点四 空间距离 例4 （1）如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD.已知AB＝3，AD＝4，PA＝1，则点P到直线BD的距离为________． （2）（2025·江苏盐城中学模拟）如图，边长为4的两个正三角形ABC，BCD所在平面互相垂直，E，F分别为BC，CD的中点，点G在线段AD上，AG＝2GD，直线AB与平面EFG相交于点H. 求直线BD与平面EFG的距离． 规律方法： 对点训练 (2025·河北沧州市二模)已知四面体ABCD满足∠BAC＝，cos∠CAD＝，cos∠DAB＝，AB＝2，AC＝3，AD＝2，则点A到平面BCD的距离为__ __． 课时9 向量法求空间角与距离参考答案 二、知识梳理 1．|cos〈u，v〉| 2．|cos〈u，n〉| 3．|cos〈n1，n2〉| 4． 5． 三、基础回顾 1．(1) √ (2) × (3) × (4) × 2. C【解析】因为,所以与的法向量所在直线所成锐角为,所以与所成的角为.故选C. 3．【解析】＝. 4．【解析】因为＝(－2,0，－1)，n＝为l的一个单位方向向量，所以点P到l的距离d＝＝. 四、考点扫描 例1 A 【解析】因为∠AOD＝2∠BOD，且∠AOD＋∠BOD＝π，所以∠BOD＝. 连接CO，则CO⊥平面ABD，以点O为坐标原点，OB，OC所在直线分别为y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设圆O的半径为2，则A(0，－2,0)，B(0,2,0)，C(0,0，2)，D(，1,0)，＝(，3,0)，＝(0，－2,2).设异面直线AD与BC所成的角为θ，则cos θ＝|cos〈，〉|＝＝＝，因此，异面直线AD与BC所成角的余弦值为.故选A. 对点训练 B【解析】如图，以点A为坐标原点，以AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，设AB＝2，异面直线BF与PE所成的角为θ，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，P(0,0,2)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，则E(1,2,0)，F(1,1,1)， 所以＝(－1,1,1)，＝(1,2，－2)，所以cos θ＝|cos〈，〉|＝＝＝，所以异面直线BF与PE所成角的余弦值为.故选B. 例2 （1）【证明】取PA的中点N，PB的中点M，连接FN，MN.与为等腰直角三角形，不妨设，.因为E，F分别为BC，PD的中点，，.，，，所以四边形FGMN为平行四边形，.面PAB，面PAB，面PAB. （2） 【解】面ABCD，以A为原点，AC，AB，AP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则， .设面PCD的一个法向量为，取.设AB与面PCD成的角为，则，即AB与平面PCD成角的正弦值为. 对点训练 （1）【证明】因为底面ABCD为正方形，所以BC⊥CD．又侧面CDD1C1⊥底面ABCD，侧面CDD1C1∩底面ABCD＝CD，且BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面CDD1C1．又因为BC⊂平面A1BC，所以平面A1BC⊥平面CDD1C1． （2）【解】因为AB＝AA1＝2，∠A1AB＝，所以DD1＝DC＝2，∠D1DC＝，连接CD1，则△CDD1为等边三角形．取CD中点O，连接D1O，则D1O⊥CD．由BC⊥平面CDD1C1，D1O⊂平面CDD1C1，得D1O⊥BC．又CD∩BC＝C，CD，BC⊂平面ABCD，所以D1O⊥底面ABCD．过点O作OM∥BC交AB于点M，连接OM，则OM，OC，OD1两两垂直．以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2，－1,0)，A1(2,0，)，B(2,1,0)，B1(2,2，)，C1(0,2，)，所以＝(0,1，－)，＝(－2,2,0)，1＝(0,3，)．设平面A1BC1的法向量为n＝(x，y，z)，则令z＝1，则n＝(，，1)，所以|cos〈，n〉|＝＝＝，故直线AB1和平面A1BC1所成角的正弦值为． 例3（1）【证明】在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥平面ABC．因为BE⊂平面ABC，所以CC1⊥BE．因为E为AC的中点，且AB＝BC，所以BE⊥AC．又因为CC1⊂平面ACC1，AC⊂平面ACC1，AC∩CC1＝C，所以BE⊥平面ACC1．因为AC1⊂平面ACC1，所以BE⊥AC1． （2）【解】设E1为A1C1的中点，则EE1∥CC1，所以EE1⊥平面ABC．以EB为x轴，EC为y轴，EE1为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B，C，D，所以＝，＝．设平面BCD的法向量为m＝(x，y，z)，则令y＝1，得m＝(，1,2)．又平面CDA1的一个法向量为n＝(1,0,0)，所以cos〈m，n〉＝＝＝，所以二面角B－CD－A1的正弦值为＝． 对点训练【解】 因为底面ABCD和侧面BCC1B1是矩形，所以BC⊥CD，BC⊥CC1．又因为CD∩CC1＝C，CC1⊂平面DCC1D1，CD⊂平面DCC1D1，所以BC⊥平面DCC1D1．又D1E⊂平面DCC1D1，所以BC⊥D1E．因为D1E⊥CD，且BC∩CD＝C，CD⊂平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以D1E⊥平面ABCD．以E为坐标原点，过E作EF∥CB交AB于点F，以，，分别为x，y，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则E(0,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，F(1,0,0)．设D1E＝a(a＞0)，则D1(0，0，a)，C1(0，2，a)．设平面D1EB的法向量为n＝(x，y，z)，又＝(1,1,0)，＝(0,0，a)，则令x＝1，得n＝(1，－1,0)．设平面BCC1B1的法向量为m＝(x1，y1，z1)，又＝(1,0,0)，＝(－1,1，a)，则令z1＝1，得m＝(0，－a,1)．由平面BCC1B1与平面D1EB的夹角的余弦值为，得|cos〈m，n〉|＝＝，解得a＝(负值舍去)，所以D1E＝． 例4 （1）【解析】如图，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则P(0,0,1)，B(3,0,0)，D(0,4,0)，则＝(－3,0,1)，＝(－3,4,0)，故点P到直线BD的距离 d＝，所以点P到直线BD的距离为. （2）【解】由E，F分别为BC，CD的中点，则EF∥BD．又BD⊄平面EFG，EF⊂平面EFG，于是BD∥平面EFG，因此点B到平面EFG的距离即为BD与平面EFG的距离．连接EA，ED，由△ABC，△BCD均为等边三角形，E为BC的中点，得EA⊥BC，ED⊥BC．又平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，AE⊂平面ABC，于是EA⊥平面BCD，又ED⊂平面BCD，则EA⊥ED．以E为原点，直线EB，ED，EA分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则E(0，0,0)，B(2,0,0)，F(－1，，0)，D(0,2，0)，A(0,0,2)．由AG＝2GD，得＝，可得G，＝(2,0,0)，＝(－1，，0)，＝．设平面EFG的法向量为n＝(x，y，z)，则令y＝1，得n＝(，1，－2)．设点B到平面EFG的距离为d，则d＝＝＝，所以直线BD与平面EFG的距离为． 对点训练【解析】 由题可得·＝3，·＝2，·＝1.设平面BCD的一个法向量n＝x＋y＋z，则令z＝1，解得x＝1，y＝0，所以n＝＋，所以|n|＝＝，·n＝4＋1＝5．设点A到平面BCD的距离为h，则h＝＝＝． . 学科网（北京）股份有限公司 $