期末高频考点重难点强化训练（一）2025-2026学年北师大版七年级数学下册

**基本信息** 聚焦北师大版七年级数学下册期末高频考点，以科技展、大运会等真实情境创设问题，通过折叠探究、动点运动等综合题设计，分层考查抽象能力、推理意识与模型观念。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|10|轴对称图形识别、科学记数法、概率计算|第4题以诗句判断不可能事件，融合文化与数据意识| |填空题|6|角平分线性质、完全平方公式应用|第16题结合尺规作图考查最短路径，体现空间观念| |解答题|9|几何证明、函数图象分析、方案设计|25题折叠探究综合考查空间观念与推理能力，24题阅读材料题培养创新意识|

2025-2026学年北师大版七年级数学下册期末高频考点重难点强化训练（一） 一、选择题 1．以下是四款常用软件的图标，图标图案是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．生物学家发现了一种病毒，其长度约为，用科学记数法表示正确的是（   ） A． B． C． D． 3．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．下列诗句所描述的事件中，是不可能事件的是（    ） A．大漠孤烟直 B．黄河入海流 C．明月松间照 D．白发三千丈 5．等腰三角形的周长为15cm，其中一边长为3cm．则该等腰三角形的腰长为    （　  ） A．3cm B．6cm C．3cm或6cm D．3cm或9cm 6．在“爱成都•迎大运”手抄小报的活动中，小华立即开始办小报，抄了一段时间后因事暂停，过了一小会儿，小华继续抄写并加快了抄写速度，直至抄写完成，设从抄写文字开始所经过的时间为x，抄写字数为y，下面能反映y与x之间的关系的大致图象是（    ） A．B．C． D． 7．如图，在和中，点E、F在上，，，添加下列一个条件后能用“”判定的是（ ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，点在直线上，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9．一个不透明的袋子中有红球、白球共30个，这些球除颜色外都相同．将袋子中的球搅拌均匀，从中随意摸出1个球，记下它的颜色后放回袋中．不断重复这个过程，共摸了100次球，其中有40次摸到红球，由此可以估计袋子中红球的个数约为（    ） A．8 B．12 C．15 D．18 10．如图，在中，，，点、在边、上，沿向内折叠得到，则图中等于（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．若，，则的值是________． 12．年夏季某科技展设置了3个题展区：①绿色能源；②量子通信；③智能机器人．若小宇随机选择一个展区参观，则她恰好选中“智能机器人”展区的概率是______． 13．中，O是两内角平分线的交点，，O到的距离是______． 14．已知a+b＝3，a2+b2＝6，则ab＝_____． 15．如图，把一个长方形沿折叠后，点，分别落在，的位置．若，则________． 16．已知在中，，分别以A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于E、D．作直线，点F为中点，点P为直线上任意一点，连接，．若，的面积为6，则的最小值为_____． 三、解答题 17．（1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中，． 18．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点． 的三个顶点都是格点，其中．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． (1)在图1中，画的中线； (2)在图1中，画的角平分线； (3)在图2中，画的高线； (4)在图2中，M在格线上且是边上一点，画点M关于直线的对称点N． 19．一个袋中装有6个红球，18个白球，这些球除颜色外都相同，混合均匀后； (1)从袋中任意取出一个球，取出红球的概率为多少？ (2)如果往袋中放入若干个红球（形状大小与袋中球完全一样），再取出相同数量的白球，从中任意摸出一个球，使摸出红球的概率是摸出白球的两倍，求放入了多少个红球？ 20．学校组织郊外活动，两个课外兴趣小组匀速步行向目的地前进，第一组比第二组早出发一段时间，两组之间的距离单位：和第一组出发后的时间单位：之间的关系如图所示． (1)请解释A点和B点的实际含义； (2)请求出第一小组和第二小组的步行速度； (3)请求出第一小组出发多久后第二小组到达目的地． 21．如图，，，，其中，点以每秒2个单位长度的速度，沿着路径运动．同时，点以每秒个单位长度的速度，沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为秒． (1)若、两点同时到达点时，则点的速度 ． (2)若与全等，求x的值． 22．如图所示，在中，D为上一点，E为中点，连接并延长至点F，使得，连接． (1)求证：； (2)若，，，求． 23．如图，在长方形中，动点P从点B出发，以的速度沿方向运动至点D，再以的速度从点D运动到点A处停止，设P点运动的时间为，的面积为，y关于x的图象如图2所示． (1)观察图象可知：______；______；______；______． (2)当时，直接写出y关于x的关系式； (3)当时，求x的值． 24．阅读：若满足，求的值． 解：设，， 则，， ． 请仿照上述例子解决下列问题： (1)若满足，求的值； (2)若满足，求的值； (3)如图，正方形的边长为，，长方形的面积是600，四边形和都是正方形，四边形是长方形，求图中阴影部分的面积（用具体的数值表示）． 25．某班数学兴趣小组的同学在学习了轴对称知识后，利用一张长方形纸片进行折纸探究活动． (1)如图1，将长方形纸片沿对角线进行折叠，点的对应点是，与交于点．求证：； (2)如图2，分别在、上取点、，将长方形纸片沿直线翻折，点的对应点是，点的对应点是，连接、，探究和的位置关系，并说明你的理由； (3)如图3，长方形纸片中，，，点为边上一点，，，将长方形纸片沿直线翻折后，点的对应点是恰好落在射线上，点的对应点是，连接，求的最小值，并说明你的理由． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C D D B D A C B C 11． 12． 13． 14．． 15． 16．4 17．【详解】解：（1） ； （2） ， 当，时，原式． 18．【详解】（1）解：如图，线段（与格线的交点即为D）即为所求； （2）解：如图取格点T，连接并延长与的交点为E，即为所求； （3）解：如图，线段（取格点P，与的交点即为F）即为所求； （4）解：作关于的对称点，连接，与格线的交点N即为所求． 19．【详解】（1）解：∵一只袋里放着6个红球、18个白球， ∴从袋中随机摸出一个球共有种等可能结果，其中取出红球包含6种情况， ∴取出红球的概率为； （2）解：设放入红球x个， 根据题意，得， 解得， 答：放入了10个红球． 20．【详解】（1）解：点的实际含义是第一组出发后第二组出发，此时两组相距； B点的实际含义是第一小组出发后到达目的地，此时两组相距． （2）解：第一小组的步行速度为， 第二小组的步行速度为， （3）解：， 答：第一小组出发后第二小组到达目的地． 21．【详解】（1）解：， 点从点出发到达点时所用的时间为：（秒）， 点从点出发到达点时所用的时间为3秒， ，， ， 点运动的速度为：， 故答案为：6； （2）解：依题意得：，， ，， ， 当与全等时，有以下两种情况： ①当且时，， 由，得：， 解得：， 由，得：， ， ， 解得：； ②当且时，， 由，得：， 解得：， 由，得：， ， ， 解得：， 综上所述：当与全等，的值为或． 22．【详解】（1）证明：∵E为中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解；∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 23．【详解】（1）解：根据题意，得点P从点B出发，以的速度向点D运动，则，根据图象，当时，的面积为， 根据题意，得，解得，根据图象，得点P在上运动了，，故，解得， 故从点D到点A的运动时间为：， 故； 故答案为：10，16，23，80． （2）解：当时，． （3）解：根据题意，得点P在上时，， 故时，， 当时，，解得； 点P在上时，是定值，不可能为20，此时无解； 点P在上时，， 当时，，解得； 综上所述，当时，x的值为或． 24．【详解】（1）解：设，， ∴，， ∴ ； （2）解：设，， ∴，， ∵， ∴， 解得：，即； （3）解：正方形的边长为x，，， ∴，， ∵和都是正方形，是长方形，长方形的面积是600， ∴，， ∴， ， ， ， 设，，则，， ∴阴影部分的面积 ∵，即， 解得：， ∴，即阴影部分的面积为2625． 25．【详解】（1）证明：∵四边形是长方形， ∴，， ∵将长方形纸片沿对角线进行折叠，点的对应点是， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， （2）解：，理由如下， ∵将长方形纸片沿直线翻折，点的对应点是，点的对应点是， ∴， ∴， （3）解：的最小值为，理由如下，如图，设交于点， 由（2）可得 当时，，此时取得最小值， ∵四边形是长方形， ∴，， ∵， ∴ ∴ 又∵ 又∵ ∴ ∴，， ∴ 学科网（北京）股份有限公司 $