安徽合肥市第四十五中学等校2025－2026学年八年级第二学期期末测试数学试题卷

**基本信息** 该试卷立足八年级下册数学核心内容，通过动态几何、操作探究等创新题型，融合抽象能力、推理意识与模型意识，实现基础巩固与创新应用的有机统一。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |解答题|1|平行四边形旋转、中点性质|结合图形变换考查空间观念，如动态旋转中线段关系探究| |证明题|2|正方形性质、全等推理|以动点问题为载体，如正方形中BQ⊥AP的数量关系证明| |应用题|2|三角尺操作、面积计算|创设“玩转三角尺”活动情境，体现数学眼光观察现实世界| |综合题|2|坐标系折叠、菱形存在性|融合几何与代数，如矩形折叠后菱形顶点坐标探究|

安徽省合肥市第四十五中学 2025学年度八年级第二学期 期末测试数学答案 1．【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式的性质，求一个数的立方根，幂的乘方，同底数幂乘法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键；根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解；A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选；B． 2．【答案】A 【分析】根据二次根式的性质把各个二次根式化简，判断即可． 【详解】解：（）2=3，A正确,符合题意； =3，B错误，不符合题意； =，C错误，不符合题意； （-）2=3，D错误，不符合题意； 故选A． 3．【答案】B 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故此题答案为B． 4．【答案】B 【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A. ，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；     B. 是最简二次根式，故此选项符合题意；     C. ，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；     D. ，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； 故此题答案为B． 5．【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，尺规作图，等腰三角形的判定．根据尺规作图可得平分，再由平行四边形的性质，可得，从而得到，继而得到，即可求解． 【详解】解：由作图得：平分， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选C． 6．【答案】C 【分析】过点作于点，则于点，由勾股定理可求，，设，则，由勾股定理求出，从而进一步可得出结论． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， 由折叠得，，，，， ， ， ， ， 过点作于点，则于点，如图，则， ， 由勾股定理得，， ， 设，则， 在直角中，， ， 解得，， ， 即， ， 故选C． 7．【答案】B 【分析】延长，相交于点G，根据平行四边形的性质可得，，通过证明得出，，进而得出，即可求解． 【详解】解：延长，相交于点G， ∵四边形为平行四边形， ∴，则，， ∴， ∵是边的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故选B．    8．【答案】D 【详解】因为一次函数y=kx+b的图象与直线y=-x+1平行,所以k=-1.因为一次函数y=kx+b的图象过点(8,2),所以2=-8+b,解得b=10,所以此一次函数表达式为y=-x+10. 9．【答案】A 【分析】由平行四边形的性质可知：，，再证明即可证明四边形是平行四边形． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵对角线上的两点、满足， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． 故选A． 10．【答案】D 【分析】当点F在边上时，y的值先减小后增大，当点F在边上时，y的值逐渐减小，可得点P的横坐标为的长，纵坐标为的长，先根据正方形的性质求得，从而可得，再利用勾股定理求得，从而可得点P的坐标． 【详解】解：连接, 当点F在边上时，y的值先减小后增大， 当点F在边上时，y的值逐渐减小， 点P的横坐标为的长，纵坐标为的长, 正方形的面积为4， ， 是的中点， , 在中，由勾股定理得， 点P的坐标为， 故选D． 11．【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键，作，证明，求出，勾股定理求出，再利用勾股定理求出的长，进而求出的长，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：作，垂足为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，解得， ∴， ∵，， ∴，解得. 12．【答案】； 【分析】（1）在中，，在中，，代入数据可得答案； （2）证明得，根据可得答案． 【详解】解：（1）∵在中，，，， ∴， ∵， ∴， 在中，， 在中，， ∴的长为； （2）∵，，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 13．【答案】（1）3     ；（2）2或或 【分析】 （1）先判定△ADE等腰三角形可得DE=AE=6,同理可得FE=BC=6,最后根据线段的和差解答即可； （2）分点E、F在线段CD上和在CD的延长线上两种情况解答即可． 【详解】 解：（1）∵在▱ABCD中，AB＝9，AD＝6 ∴BC=AD=6,CD=AB=9，AB//CD ∵∠DAB的平分线AE ∴∠DAE=∠EAB ∵AB//CD ∴∠DEA=∠DAB ∴∠DEA=∠DAE ∴DE=AD=6 同理：CF=BC=6        ∴EF=CF+DE-CD=6+6-9=3 故答案为3． （2）分两种情况： ①当E、F在CD上时 a.如图3：当E在F的左侧时 同（1）得：AD＝DE， ∵点C，D，E，F相邻两点间的距离相等， ∴AD＝DE＝EF＝CF， ∴AB=3DE ∴； b.如图4：当E在F的右侧时 同（1）得：AD＝DE＝CF， ∵DF＝FE＝CE， ∴AD=2DF，AB=3DF ∴； ②如图5所示：点E、F在线段CD延长线上时 同（1）得：AD＝DE＝CF， ∵DF＝DC＝CE ∴AB=CD ∴＝2． 综上所述，的值为2或或． 【点睛】 本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质以及分类讨论思想，灵活运用平行线四边形的性质和分类讨论思想成为解答本题的关键 14．【答案】 【分析】（1）根据折叠的性质，得到，根据为的角平分线，得到，于是得到，结合矩形的性质计算即可． （2）延长，，二线交于点P，证明，根据折叠性质，矩形性质和勾股定理计算即可． 【详解】（1）∵矩形， ∴， ∵沿折叠， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴， ∴ （2）延长，交于点P， ∵矩形， ∴，， ∵点E为中点， ∴， ∵， ∴， ∴，． ∵，， ∴．    根据折叠的性质，得到，，， 故． 设， 则， 在中， ， 故， 解得 15．【答案】（1） （2），见详解 （3） 【分析】（1）过点作于点，可得是等腰直角三角形，，可证是等腰直角三角形，得到，在中，，则，即可求解； （2）延长到点，使，连接，，延长交的延长线于点，先证明，得出，，再证明，可证明，得出，，再证明是等腰直角三角形，即可证明； （3）取中点，将绕点逆时针旋转，得，连接，，通过证明，得出，再求证，即点、、共线，证明，得出点的轨迹为过线段中点且平行于的直线上，过点作直线的对称点，连接，由对称得，则，当且仅当、、依次共线时，取得最小值，此时，过点作于点，过点作于点，通过计算求出，再计算出，，作点关于的对称点，在上取点，使，设交于点，过点作于点，利用四边形是平行四边形，得出，则，由两点之间最短距离得，当且仅当、、依次共线时取得最小值，再进行计算即可． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点， ∵，， ∴，是等腰直角三角形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴，是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴； （2）解：，理由如下： 如图，延长到点，使，连接，，延长交的延长线于点， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 由旋转知，， ∴， ∴， 又∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； （3）解：取中点，将绕点逆时针旋转，得，连接，， 由旋转得，，， ∴， ∴， ∴， ∵平行四边形中，，，为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点、、共线， ∵， ∴， ∴点的轨迹为过线段中点且平行于的直线上， 如图，过点作直线的对称点，连接， 由对称得， ∴，当且仅当、、依次共线时，取得最小值， 此时点位置如图，过点作于点，过点作于点， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由对称得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 作点关于的对称点，在上取点，使，设交于点，过点作于点， ∴，，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由两点之间最短距离得，当且仅当、、依次共线时取得最小值， 由（1）知与间的距离为， ∴， ∴， ∵，平行四边形中，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 16．【答案】（1）见详解 （2）四条边相等的四边形是菱形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 【分析】本题考查作图-复杂作图，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，矩形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据要求作出图形； （2）根据四边相等的四边形是菱形证明，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明． 【详解】（1）解：图形如图所示： （2）证明：， 四边形是菱形．（①四边相等的四边形是菱形） 四边形为矩形， ，． 四边形是菱形， ，， ，， 四边形是平行四边形．（②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） 17．【答案】（1）6，6，20，20；（2）10，4；（3）. 【分析】（1）按算术平方根的定义进行计算即可得到空格处的数； （2）分析（1）中所得结果可知：当时，，按照所得规律进行计算即可； （3）按照所得规律可知：，再结合即可得到结论. 【详解】（1），； ，； （2）由（1）中的计算结果可知：当时，， ∴①； ②； （3）∵，， ∴. 18．【答案】(1)AP=BQ；(2)QM的长为；(3)AM的长为． 【分析】 (1)要证AP=BQ，只需证△PBA≌△QCB即可； (2)过点Q作QH⊥AB于H，如图．易得QH=BC=AB=3，BP=2，PC=1，然后运用勾股定理可求得AP(即BQ)=，BH=2．易得DC∥AB，从而有∠CQB=∠QBA．由折叠可得∠C′QB=∠CQB，即可得到∠QBA=∠C′QB，即可得到MQ=MB．设QM=x，则有MB=x，MH=x-2．在Rt△MHQ中运用勾股定理就可解决问题； (3)过点Q作QH⊥AB于H，如图，同(2)的方法求出QM的长，就可得到AM的长． 【详解】 解：(1)AP=BQ． 理由：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC，∠ABC=∠C=90°， ∴∠ABQ+∠CBQ=90°． ∵BQ⊥AP， ∴∠PAB+∠QBA=90°， ∴∠PAB=∠CBQ． 在△PBA和△QCB中， ， ∴△PBA≌△QCB， ∴AP=BQ； (2)过点Q作QH⊥AB于H，如图． ∵四边形ABCD是正方形， ∴QH=BC=AB=3． ∵BP=2PC， ∴BP=2，PC=1， ∴BQ=AP===， ∴BH===2． ∵四边形ABCD是正方形， ∴DC∥AB， ∴∠CQB=∠QBA． 由折叠可得∠C′QB=∠CQB， ∴∠QBA=∠C′QB， ∴MQ=MB． 设QM=x，则有MB=x，MH=x-2． 在Rt△MHQ中， 根据勾股定理可得x2=(x-2)2+32， 解得x=． ∴QM的长为； (3)过点Q作QH⊥AB于H，如图． ∵四边形ABCD是正方形，BP=m，PC=n， ∴QH=BC=AB=m+n． ∴BQ2=AP2=AB2+PB2， ∴BH2=BQ2-QH2=AB2+PB2-AB2=PB2， ∴BH=PB=m． 设QM=x，则有MB=QM=x，MH=x-m． 在Rt△MHQ中， 根据勾股定理可得x2=(x-m)2+(m+n)2， 解得x=m+n+， ∴AM=MB-AB=m+n+-m-n=． ∴AM的长为． 【点睛】 本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、轴对称的性质等知识，设未知数，然后运用勾股定理建立方程，是求线段长度常用的方法，应熟练掌握． 19．【答案】（1）见详解 （2），见详解 （3） 【分析】（1）过P作，先证明四边形为正方形，再证明，即可得到结论； （2）过P作，先证明四边形为正方形，再证明，从而可得结论． （3）连接，根据正方形的性质，对角线垂直和同角的余角相等，证明，即可得解． 【详解】（1）证明：过P作，如图所示： ∵P，C为正方形对角线上的点， ∴平分，， ∴， ∴四边形为正方形， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴． （2）解：，理由如下， 过P作， ∴ ∵P，C为正方形对角线上的点， ∴平分，， ∴， ∴四边形为正方形， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：在P点运动的过程中，的长度不发生变化．理由如下： 如图，连接． ∵四边形是边长为2的正方形， ∴， ∵点O是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴， ∴． 由（1）得：， ∴， ∴． ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 即的长不发生变化，为． 20．【答案】（1）；（2）见详解；（3）定值，见详解 【分析】（）在中，利用直角三角形的性质求得，在中，利用等腰直角三角形和勾股定理求得即可，由求解； （）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形，即可； （）作于，交延长线于，证明，得到，然后由三角形面积公式计算出 ，从而得出结论． 【详解】解：（）在中，，，， ∴， 在中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴. （）∵（已知）， （已知）， ∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）， ∴ （）与的面积比是定值，理由： 作于，交延长线于，如图， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴与的面积比是定值． 21．【答案】（1）见详解； （2），理由见详解； （3）小路的长为米． 【分析】（）由直角三角形的性质可得，，则，然后证明是等边三角形，最后由等边三角形性质即可求证； （）证明，则，又，可得是的垂直平分线，再由垂直平分线性质即可求解； （）先得出，过点作中线，由是等边三角形，点是中点，则，，通过勾股定理得，，所以，再证明，所以米，再通过线段的和与差即可求解． 【详解】（1）证明：∵是的中线， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴； （2）解：，理由， ∵，， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由（）得，， ∴， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴； （3）解：∵是等边三角形， ∴ ∵， ∴， ∴， 如图，过点作中线， ∵是等边三角形，点是中点， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴米， ∵是中点， ∴（米）， ∴米， ∴小路的长为米． 22．【答案】（1）， （2），，， 【分析】（1）根据题意，则，，由折叠得到是线段的垂直平分线，如图所示，连接，则，设，则，在中，由勾股定理得到，由此列式求解即可； （2）根据菱形的性质，结合图形分析即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵将矩形沿直线折叠使点与点重合， ∴是线段的垂直平分线， 如图所示，连接，则， 设，则， 在中，， ∴， 解得，， ∴， ∴. （2）解：∵，， ∴， ①如图所示，当，为菱形的邻边时，， ∵轴，， ∴轴， 当点在位置，当点在位置时，， ∴； 当点在位置，当点在位置时，， ∴； ∴，； ②如图所示，当，为菱形的邻边时， 由，点得点在轴负半轴上，， ∴； ③如图所示，当，为菱形的邻边时，，，， 设，则， 在中，由勾股定理，得， ∴， 解得， ∴， ∴； 综上的坐标为：；；：． 23．【答案】（1） （2），见详解 （3） 【分析】（1）过点D作，交于点H．证明，得出，，根据等腰三角形的判定和勾股定理可得出，，设，则，结合得出，然后解方程即可求解； （2）过点A作，且，连接，，证明，得出，，进而可证，再证明，得出，根据勾股定理可求出，即可出结论； （3）以B为顶点，为边，在的下方作，且截取，连接，，可证，得出，则，故当A、P、G三点共线时，取最小值，此时，过A作于E，过G作于F，可求出，，根据等面积法求出，进而求出，根据等边对等角、三角形外角的性质等知识可得出，则，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：过点D作，交于点H． ∵在等腰中，，， ∴，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，， 在中，，， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴． （2）解：．证明如下： 过点A作，且，连接，， ∵在等腰中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ 在和中， ∴， ∴， ∵中，，， ∴， ∴． （3）解：以B为顶点，为边，在的下方作，且截取，连接，， 又， ∴， ∴， ∴， ∴当A、P、G三点共线时，取最小值， ∵，， ∴，， 此时，过A作于E，过G作于F， 则和都是等腰直角三角形， ∴，， 又， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵旋转， ∴， 又， ∴， ∴， 又， ∴， 又， ∴， ∴， ∴． 第 page number 页，共 number of pages 页 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安徽省合肥市第四十五中学 2025学年度八年级第二学期 期末测试数学试题卷 一、单选题（本大题共10小题） 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．下列等式正确的是（　　） A．（）2=3 B．=﹣3 C．=3 D．（﹣）2=﹣3 3．函数的自变量x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．下列式子中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点E，F，分别以E，F为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点G．作射线交于点H，若．则（　　） A．4 B．4.5 C．5 D．6 6．如图，在矩形中，，点和是边上的两点，连接、，将和沿、折叠后，点和点重合于点，则的长是（   ） A．3 B．5 C．6 D．8 7．如图，在中，是边上一点，是边的中点，平分．若，则的长为（    ）    A．8 B．10 C．12 D．14 8．若一次函数y=kx+b的图象与直线y=-x+1平行,且过点(8,2),则此一次函数的表达式为 (　　) A．y=-x-2 B．y=-x-6 C．y=-x-1 D．y=-x+10 9．如图，在平行四边形中，、是上两点，，连接、、、，添加一个条件，使四边形是矩形，这个条件是(   ) A． B． C． D． 10．如图1，在面积为4的正方形中，E为边的中点，动点F从点D出发，在正方形的边上沿匀速运动，运动到点B时停止．设点F的运动路程为x，线段的长为y，y与x的函数图象如图2所示，则点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4小题） 11．如图，在中，，点在边上，且，过点作，交的延长线于点，若，则的长为___________． 12．如图，在中，，过点作于点，，． （1）的长为______． （2）点在线段上，过点作于点，若，则的长为______． 13．如图，在▱ABCD中，AB＝9，AD＝6，∠DAB，∠ABC的平分线AE，BF分别与直线CD交于点E，F． （1）EF的长为 ． （2）把“问题”中的条件“AB＝9，AD＝6”去掉，其余条件不变，当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，求的值为 ． 14．如图，矩形中，，．点N是边上一动点，将沿折叠，使点B落在点M处，延长交矩形的一边与点E，    （1）当为的角平分线时，的度数为 ； （2）当点E为中点时，则的长为 ． 三、解答题（本大题共1小题） 15．已知平行四边形中，，，，过点作交边于点． （1）如图1，为边上一点，当时，求线段的长； （2）如图2，为平行四边形所在平面内一点，将线段绕点顺时针旋转到，连接，为线段的中点，连接，，探究并证明线段和之间的数量关系； （3）如图3，为直线上一动点，连接并将绕点逆时针旋转到，连接，，当取得最小值时，过点作于点，将线段在直线上平移得到，连接，，直接写出的最小值． 四、作图题（本大题共1小题） 16．下面是小乐设计的“利用已知矩形作一个菱形和一个平行四边形”的尺规作图过程． 已知：矩形． 求作：菱形，平行四边形． 作法： ①过点作射线交线段于点； ②以点为圆心，以长为半径作弧，交射线于点； ③分别以点、为圆心，以长为半径作弧，两弧交于点（不同于点），连接、．则四边形即为所求作的菱形． 连接、，则四边形即为所求作的平行四边形． （1）请你用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成以下证明：， 四边形是菱形．（①__________）（填推理的依据） 四边形为矩形， ，． 四边形是菱形， ，， ，， 四边形是平行四边形．（②__________）（填推理的依据） 五、计算题（本大题共1小题） 17．你能找出规律吗 (1)计算：= ， = . = ， = . (2)请按找到的规律计算：① ；②； (3)已知：a=，b=，则= (用含a、b的式子表示). 六、证明题（本大题共2小题） 18．如图，P为正方形ABCD的边BC上一动点(P与B、C不重合)，连接AP，过点B作BQ⊥AP交CD于点Q，将△BQC沿BQ所在的直线对折得到△BQC′，延长QC′交BA的延长线于点M． (1)试探究AP与BQ的数量关系，并证明你的结论； (2)当AB=3，BP=2PC，求QM的长； (3)当BP=m，PC=n时，求AM的长． 19．【问题探究】 如图，正方形中，是对角线，现有较大的直角三角板，一边始终经过点．直角顶点在射线上移动，另一边交于． （1）如图1，当点在边上时，探究与所满足的数量关系；小明同学探究此问题的方法是：过点作于点，于点，根据正方形的性质和角平分线的性质很容易证明，得出结论，请你帮他写出完整的证明过程 （2）【类比思考】如图2，当点落在的延长线上时，猜想并写出与满足的数量关系，并证明你的猜想． （3）【拓展应用】如图3，过点作于点，若正方形的边长为2，则在点运动的过程中，发现的长度不发生变化，请直接写出这个不变的值为______． 七、应用题（本大题共2小题） 20．根据所给素材，完成相应任务． 玩转三角尺 活动 背景 在某次数学探究活动中，李老师拿出一副斜边长都为2的三角尺，如图1所示．其中，为直角，，把两直角顶点重合（点A与点F重合于点O），旋转三角尺进行探究活动 素材1 小明同学的探究结果如图2所示，D，O，C三点在一条直线上． 素材2 小聪同学的探究结果如图3所示，，连结，发现四边形的对边． 素材3 李老师提出问题：如图4，在上述操作过程（），与的面积比是否为定值？ 解决问题 任务1 （1）根据图2，直接写出线段的长为______． 任务2 （2）根据图3帮助小聪同学写出的推导过程． 任务3 （3）请你解答李老师的问题，并说明理由． 21．【问题提出】 如图，在中，，，是的中线，是边上一点，连接，以为边作等边，且点在的内部，连接，． （1）求证：； （2）试探究线段与之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 （3）如图，是某小区的健身场地，，，为了让住户们有更多的健身空间，物业计划对进行扩建，以小路为边作等边为儿童活动区，以为边作等边为成人健身区，沿线段铺设一条健身步道，步道与小路相交于点，且小路米，现需要翻修小路，求小路的长． 八、综合题（本大题共2小题） 22．如图，平面直角坐标系中，矩形的边，分别在轴、轴上，，将矩形沿直线折叠使点与点重合，直线与、、的交点分别为，，． （1）直接写出点和点的坐标为：________；________； （2）若点在轴上，点为平面直角坐标系中任意一点，若以、、、为顶点的四边形是菱形，求满足上述条件的点的坐标． 23．在等腰中，，，点D为上一点，连接． （1）如图1，若平分，，求的长； （2）如图2，过点D作，交于点E，交延长线于点F，连接，，用等式表示线段，的数量关系并证明； （3）如图3，，P为上的点，且，连接，当取最小值时，将线段绕点C逆时针旋转得到线段，在的延长线上取一点M，且，连接，若，为锐角，请直接写出的值． 第 page number 页，共 number of pages 页 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $