精品解析：江苏苏州高新区实验初级中学2025－2026学年下学期初二数学期末模拟卷(一)

实初教育集团初二数学期末模拟卷(一) 一、选择题．(本大题共8小题，每小题2分，共16分) 1. 2021年我市有1.2万名初中毕业生参加升学考试，为了了解这1.2万名考生的数学成绩，从中抽取2000名考生的数学成绩进行统计，在这个调查中，样本是（　　） A. 2000 B. 2000名考生 C. 1.2万名考生的数学成绩 D. 2000名考生的数学成绩 【答案】D 【解析】 【分析】本题考察对象是考生的数学成绩，需明确样本是从总体中抽取的部分考察对象． 【详解】解：∵本题要了解的是1.2万名考生的数学成绩，从中抽取2000名考生的数学成绩进行统计， ∴总体是1.2万名考生的数学成绩，样本为抽取的2000名考生的数学成绩． 2. 一个不透明的盒子中装有2个红球和1个白球，它们除颜色外都相同．若从中任意摸出一个球，则下列叙述正确的是（　　） A. 摸到红球是必然事件 B. 摸到白球是不可能事件 C. 摸到红球与摸到白球的可能性相等 D. 摸到红球比摸到白球的可能性大 【答案】D 【解析】 【详解】A．摸到红球是随机事件，故此选项错误； B．摸到白球是随机事件，故此选项错误； C．摸到红球比摸到白球的可能性相等，根据不透明的盒子中装有2个红球和1个白球，得出摸到红球比摸到白球的可能性大，故此选项错误； D．根据不透明的盒子中装有2个红球和1个白球，得出摸到红球比摸到白球的可能性大，故此选项正确； 故选：D． 3. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据比例的性质：内项之积等于外项之积进行解答即可． 【详解】解：由得：，则， ∴==， 故选：B． 【点睛】本题考查比例的性质、代数式求值，解答的关键是熟练掌握比例的性质：内项之积等于外项之积． 4. 若关于的一元二次方程的常数项为0，则的值等于（ ） A. 1 B. 0 C. 1或2 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的定义以及因式分解法解一元二次方程，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 根据常数项为0，二次项系数不为0，确定出m的值即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的常数项为0， ∴，， ∴， 解得（舍去）或． 故选：D． 5. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，，，于点，延长交于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的性质分别求出、，根据勾股定理求出，根据菱形的面积公式计算即可． 【详解】解：四边形是菱形， ，，， 在中，由勾股定理得，， ， ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查的是菱形的性质，掌握菱形的面积公式、菱形的性质定理是解题的关键． 6. 将矩形OABC如图放置，O为坐标原点，若点A（﹣1，2），点B的纵坐标是，则点C的坐标是（　　　） A. （4，2） B. （3，） C. （3，） D. （2，） 【答案】B 【解析】 【分析】首先构造直角三角形，利用相似三角形的判定与性质以及结合全等三角形的判定与性质得出CM，MO＝3，进而得出答案． 【详解】如图，过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，过点A作AN⊥BF于点N， 过点C作CM⊥x轴于点M． ∵∠EAO+∠AOE=90°，∠AOE+∠MOC=90°， ∴∠EAO=∠COM， 又∵∠AEO=∠CMO=90°， ∴△AEO∽△OMC， ∴， ∵∠BAN+∠OAN=90°，∠EAO+∠OAN=90°， ∴∠BAN=∠EAO=∠COM， 在△ABN和△OCM中， ， ∴△ABN≌△OCM（AAS）， ∴BN=CM． ∵点A（﹣1，2），点B的纵坐标是， ∴BN， ∴CM， ∴， ∴MO=3， ∴点C的坐标是：（3，）． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质以及相似三角形的判定与性质以及结合全等三角形的判定与性质等知识.构造直角三角形，正确得出CM的长是解题的关键. 7. 某市为实现碧水青山规划，今年从三月开始植树到五月底结束，三个月共植树285万棵，三月份植了60万棵，设第四、五月植树量较前一个月的平均增长率为x，则下面所列方程正确的是（　　） A. 60（1+x）2＝285 B. 60（1﹣x）2＝285 C. 60（1+x）+60（1+x）2＝285 D. 60+60（1+x）+60（1+x）2＝285 【答案】D 【解析】 【分析】可先表示出四月份植树的数量，那么五月份植树的数量=三月份植树的数量×(1+增长率)2，根据三个月共植树285万棵列出方程即可． 【详解】解：设第四、五月植树量较前一个月的平均增长率为x， 根据题意，得60+60(1+x)+60(1+x)2＝285． 故选：D 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，掌握求平均变化率的方法：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b是解决问题的关键． 8. 如图， 已知为的角平分线，交于点E， ，那么等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由角平分线的定义和平行线的性质可证明，得到；证明，得到，即，据此可得答案． 【详解】解：∵为的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 二、填空题．(本大题共8小题，每小题3分，共24分) 9. 在一个不透明的袋子中装有4个红球和若干个白球，这些球除颜色外，其余都相同，从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，经过大量重复实验后，摸到红球的频率稳定在0.2，则可估计袋中大约有______个白球． 【答案】16 【解析】 【分析】设袋子中白球的个数为x，用红球的个数除以球的总个数等于摸到红球的频率列出方程，解之可得． 【详解】解：设袋子中白球的个数为x， 根据题意，得： ， 解得：x＝16， 经检验：x＝16是分式方程的解， ∴袋子中白球的个数是16， 故答案为：16． 【点睛】此题考查了利用频率估计概率和解分式方程，解答此题的关键是了解红球的频率稳定在0.2附近即为概率约为0.2． 10. 已知线段，，则线段a，b的比例中项为___． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查比例中项，根据比例中项的定义，设比例中项为，则 ，代入已知数值计算即可． 【详解】解：设比例中项为，则， ∵，， ∴； 故答案为：． 11. 某校有40人参加全国数学竞赛，把他们的成绩分为6组，第一至第四组的频数分别为10，5，7，6，第五组的频率是．则第六组的频数是_____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了频率与频数，熟练掌握频率等于频数总次数是解题的关键． 先求出第五组的频数，从而求出第六组的频数即可解答． 【详解】解：∵有40人参加全国数学竞赛， 第五组的频率是， ∴， 第五组的频数是， ， 故答案为：4． 12. 若菱形的两条对角线分别是方程x2-14x+48=0的两个实数根，则菱形的边长为______． 【答案】5 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解法即可求出对角线的长，然后利用勾股定理即可求出答案． 【详解】解：∵x2-14x+48=0， ∴x=6或x=8， ∴该菱形的对角线长分别为6或8， ∴由勾股定理可知：菱形的边长为=5， 故答案为：5 【点睛】本题考查一元二次方程的解法，熟练运用一元二次方程的解法是解题的关键． 13. 已知不相等的实数，满足，，则代数式的值等于______． 【答案】 【解析】 【分析】根据，满足，得出，是一元二次方程的两个不相等的实数根，根据一元二次方程根与系数的关系对称，，把变形为，把，代入即可得出答案． 【详解】解：∵不相等的实数，满足，， ∴，是一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴，， ∴ ． 14. 如图，中，、分别为，上的点，已知，且的面积是3，则的面积是______． 【答案】12 【解析】 【分析】先证明∽，再根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】∵，∠MCN=∠ACB ∴∽ ∵的面积是3 ∴ 故答案为：12． 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理． 15. 如图，在中，延长至，使得，过中点作EF//CD（点位于点右侧），且，连接，若，则的长为______． 【答案】9 【解析】 【分析】延长FE交AB于H，求出H为AB的中点，求出BH长，求出BD=FH，根据平行四边形的判定得出四边形BHFD是平行四边形，根据平行四边形的性质得出DF=BH即可． 【详解】解：延长交于， 为的中点，， 为的中点， 即，， ， ， ，，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的中位线，平行四边形的性质和判定等知识点，能灵活运用定理进行推理和计算是解此题的关键． 16. 如图，是一块直角三角形木板，BC＝1.5米，AC＝2米，要在这个三角形内部裁剪出一个正方形，且正方形各顶点都在三角形的边上，则这个正方形最大面积是____． 【答案】 【解析】 【分析】作CE平分∠ACB交AB于E，作EG⊥BC于G，EF⊥AC于F，四边形EFCG即为所求，设正方形的边长为xm，再利用平行线分线段成比例定理，构建方程求出x即可求解． 【详解】解：作CE平分∠ACB交AB于E，作EG⊥BC于G，EF⊥AC于F， 设正方形的边长为xm， ∵ ， ∴即， ∴， ∴这个正方形最大面积是 （）， 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 17. 图，在菱形中，已知，点E在的延长线上，点F在的延长线上，有下列结论：①；②；③；④若，则点F到的距离为．则其中正确的结论的序号是__________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】①只要证明即可判断；②根据等边三角形的性质以及三角形外角的性质即可判断；③根据相似三角形的判定方法即可判断；④求得点到的距离即可判断．综上即可得答案. 【详解】四边形是菱形，连AC ∴，， ∵∠ABC=60°， ∴是等边三角形， ∴∠ACD=∠ACB=60°，AB=AC， ∴∠ABE=∠ACF=120°， ∵， ∴∠BAE+∠BAF=∠CAF+∠BAF=60°， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴，．故①正确； ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴和不会相似，故③不正确； 过点作于点，过点作于点， ∵，， ∴， ∵在中，，， ∴，， ∵在中，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴在中，，， ∴． ∴． ∴点到的距离为，故④正确． 综上，正确结论有①②④ 故答案为：①②④， 【点睛】本题考查四边形综合题、等边三角形的判定、全等三角形的判定和性质、相似三角形的性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会添加常用辅助线． 18. 如图，正方形的边长为4，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】由题意分析可知，点为主动点，为从动点，所以以点为旋转中心构造全等关系，得到点的运动轨迹，之后通过垂线段最短构造直角三角形获得最小值． 【详解】由题意可知，点是主动点，点是从动点，点在线段上运动，点也一定在直线轨迹上运动 将绕点旋转，使与重合，得到， 从而可知为等边三角形，点在垂直于的直线上， 作，则即为的最小值， 作，可知四边形为矩形， 则. 故答案为． 【点睛】本题考查了线段极值问题，分清主动点和从动点，通过旋转构造全等，从而判断出点的运动轨迹，是本题的关键． 三、解答题．(本大题共小题，共60分) 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）先移项，再利用因式分解法解方程即可； （2）先把原方程转化为一元二次方程的一般形式，再利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解： 移项得，，即， ∴， 解得：，． 【小问2详解】 解： ∴， ， 解得：，． 20. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点(网格线的交点)为顶点的． （1）以点为位似中心，将线段作位似变换，且放大到原来的2倍，得到线段(点、分别为、的对应点)，在网格内画出线段． （2）若点在第一象限，且以、、、为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标为________ 【答案】（1）线段为所求： （2） 【解析】 【分析】（1）根据位似变换的作图要求找到对应点连线即可； （2）结合点和点的位置，根据平行四边形的性质即可依托点求得点． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：如图， ∵，， ∴根据平行四边形的性质将点向上平移1个单位，向右平移3个单位， ∵， ∴． 21. 在我校举办的“读好书、讲礼仪”的活动中，各班积极行动，图书角的新书、好书不断增多，除学校购买的图书外，还有师生捐献的图书则九（1）班全体同学捐献图书情况的统计图（每人都有捐书）．请你根据以上统计图中的信息，解答下列问题： （1）该班共有学生 人，并补全条形统计图； （2）“捐6本书”的人数对应的扇形圆心角的度数是 ； （3）请你估计全校2000名学生所捐图书的数量． 【答案】（1）50，补图见解析 （2）36° （3）6240本 【解析】 【分析】（1）从两个统计图中可以得到，捐书2本的人数是15人，占全班人数的，可求出全班人数，进而求出捐书4本的人数，补全条形统计图； （2）捐书6本的人数占全班人数的，因此“捐书6本”所占圆心角的度数为的； （3）样本估计总体，求出样本中捐书本数的平均数，进而求出2000名学生捐书的总本数． 【小问1详解】 解：人，人，补全条形统计图如图所示： 故答案为：50； 【小问2详解】 解：， 故答案为：； 【小问3详解】 解： 本． 答：全校2000名学生共捐图书6240本． 【点睛】考查扇形统计图、条形统计图的意义和制作方法，解题的关键是掌握统计图中数量之间的关系是正确解答的前提，样本估计总体是统计中常用的方法． 22. 已知：关于的方程． （1）求证：方程总有实数根； （2）若方程有一根小于3，求的取值范围． 【答案】（1） 证明：由题意： ∴ ∵ ∴方程总有实数根； （2） 【解析】 【分析】（1）根据判别式即可证明； （2）利用因式分解，将转化为，即可得到方程的两根，根据方程有一根小于3即可计算的取值范围． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 将的左边因式分解得： ∴方程的两根为 ∵方程有一根小于3 ∴ 即的取值范围：． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，其中各项及公式中的符号是易错点，第（2）问中，将方程的两根用m表示出来是解题的关键． 23. 某文创店准备以6元的单价购进1200个纪念品进行售卖，如果第一周定价为10元，可以售卖出400个；第二周若按每个10元的价格仍可售出400个，但文创店为了增加销量，决定适当降价销售（根据调查，单价每降低1元，可多售出100个，售价不得低于进价），第二周按照降低的价格销售后，文创店在第三周对剩余纪念品进行清仓处理，最终以每个4元的价格全部售出，如果这批纪念品共获利2500元，第二周每个纪念品的销售价格为多少元？ 【答案】9元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键．由纪念品的进价和售价以及销量分别表示出两周的总利润，根据“这批旅游纪念品共获利2500元”等式求出即可． 【详解】解：设降低x元，由题意得出∶ ， 整理得：， 解得：． ∴． 答：第二周的销售价格为9元． 24. 如图，在中，O是上的任意一点（不与点A、C重合），过点O平行于的直线l分别与、的外角的平分线交于点E、F． （1）与相等吗？证明你的结论． （2）试确定点O的位置，使四边形是矩形，并加以证明． 【答案】（1） ，理由如下： ∵直线， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴． （2） 当O在AC的中点上时，四边形AECF是矩形，证明如下： ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形． 【解析】 【分析】（1）根据平行线性质和角平分线定义推出，根据等腰三角形的判定推出,然后运用等量代换即可解答； （2）根据平行四边形的判定得出平行四边形，根据对角线相等的平行四边形是矩形推出即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和判定、矩形的判定、平行线的性质、角平分线定义等知识点，灵活应用相关性质、判定定理是解答本题的关键． 25. 如图，在平行四边形中，过点A作，垂足为E，连接，F为线段上一点，且． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）6 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形的性质可得，从而得，然后根据两角相等的两个三角形相似证明即可解答； （2）利用相似三角形的性质可求出，然后在中，利用勾股定理进行计算即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴的长为6． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，以及勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 26. 如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD＞AB），将纸片折叠一次，使点A与C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，交AC于点O，分别连接AF和CE． （1）求证：四边形AFCE是菱形； （2）过E点作AD的垂线EP交AC于点P，求证：2AE2＝AC•AP； （3）若AE＝10cm，△ABF的面积为24cm2，求△ABF的周长． 【答案】 （1）证明：当顶点A与C重合时，折痕EF垂直平分AC， ∴OA=OC，∠AOE=∠COF=90°， ∵在矩形ABCD中，AD∥BC， ∴∠EAO=∠FCO， 在△AOE和△COF中， ∴△AOE≌△COF（ASA）， ∴OE=OF， ∵OA=OC， ∴四边形AFCE是平行四边形， ∵EF⊥AC， ∴平行四边形AFCE是菱形． （2）证明：∵∠AEP=∠AOE=90°，∠EAO=∠EAP， ∴△AOE∽△AEP， ∴， 即AE2=AO•AP， ∵AO=AC， ∴AE2=AC•AP， ∴2AE2=AC•AP． （3）24cm 【解析】 【分析】（1）求出∠AOE=∠COF=90°，OA=OC，∠EAO=∠FCO，证△AOE≌△COF，推出OE=OF即可； （2）证△AOE∽△AEP，得出比例式，即可得出答案； （3）设AB=xcm，BF=ycm，根据菱形的性质得出AF=AE=10cm，根据勾股定理求出x2+y2=100，推出（x+y）2-2xy=100①，根据三角形的面积公式求出xy=24．即xy=48 ②．即可求出x+y=14的值，代入x+y+AF求出即可． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）设AB=xcm，BF=ycm． ∵由（1）四边形AFCE是菱形， ∴AF=AE=10cm． ∵∠B=90°， ∴x2+y2=100． ∴（x+y）2-2xy=100① ∵△ABF的面积为24cm2， ∴xy=24，即xy=48 ②， 由①、②得（x+y）2=196． ∴x+y=14或x+y=-14（不合题意，舍去）． ∴△ABF的周长为：x+y+AF=14+10=24（cm）． 【点睛】本题综合考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，三角形的面积，全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，菱形的性质和判定等知识点的应用，题目综合性比较强，有一定的难度． 27. 【教材呈现】（1）如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形和摆放在一起，点A为公共顶点，，若固定不动，将绕点A旋转，边，与边分别交于点D，E（点D不与点B重合，点E不与点C重合），则结论是否成立 （填“成立”或“不成立”）； 【类比引申】（2）如图2，在正方形中，为内的一个动角，两边分别与，交于点E，F，且满足，求证：； 【拓展延伸】（3）如图3，菱形的边长为，，的两边分别与，相交于点E，F，且满足，若，则线段的长为 ． 【答案】（1）成立； （2）证明：如图2， ∵四边形是正方形， ∴, ∵， ∴, ∴， ∴， 又∵， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形性质得出，再证即可； （2）根据正方形性质得出即可； （3）如图3，在上取一点M,使，过M作于N，，根据四边形为菱形，且，证出，，再证，求出，利用菱形的边长为，求出即可． 【详解】解：（1）结论成立 　 理由：如图1，∵和都是等腰直角三角形， ∴ ∵，， ∴， 又∵， ∴, ∴ ∵, ∴, 故结论成立； （2）略 （3）线段的长为cm 理由：如图3，在上取一点M,使，过M作于N， 又∵四边形为菱形,且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴, ∵，， ∴ ∵, ∴， ∴ ∴, ∵菱形的边长为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴cm， ∴， ∴线段的长为． 【点睛】本题考查等腰直角三角形性质，正方形性质，三角形相似判定与性质，菱形性质，锐角三角形函数，掌握等腰直角三角形性质，正方形性质，三角形相似判定与性质，菱形性质，锐角三角形函数是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 实初教育集团初二数学期末模拟卷(一) 一、选择题．(本大题共8小题，每小题2分，共16分) 1. 2021年我市有1.2万名初中毕业生参加升学考试，为了了解这1.2万名考生的数学成绩，从中抽取2000名考生的数学成绩进行统计，在这个调查中，样本是（　　） A. 2000 B. 2000名考生 C. 1.2万名考生的数学成绩 D. 2000名考生的数学成绩 2. 一个不透明的盒子中装有2个红球和1个白球，它们除颜色外都相同．若从中任意摸出一个球，则下列叙述正确的是（　　） A. 摸到红球是必然事件 B. 摸到白球是不可能事件 C. 摸到红球与摸到白球的可能性相等 D. 摸到红球比摸到白球的可能性大 3. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 若关于的一元二次方程的常数项为0，则的值等于（ ） A. 1 B. 0 C. 1或2 D. 2 5. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，，，于点，延长交于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 将矩形OABC如图放置，O为坐标原点，若点A（﹣1，2），点B的纵坐标是，则点C的坐标是（　　　） A. （4，2） B. （3，） C. （3，） D. （2，） 7. 某市为实现碧水青山规划，今年从三月开始植树到五月底结束，三个月共植树285万棵，三月份植了60万棵，设第四、五月植树量较前一个月的平均增长率为x，则下面所列方程正确的是（　　） A. 60（1+x）2＝285 B. 60（1﹣x）2＝285 C. 60（1+x）+60（1+x）2＝285 D. 60+60（1+x）+60（1+x）2＝285 8. 如图， 已知为的角平分线，交于点E， ，那么等于（ ） A. B. C. D. 二、填空题．(本大题共8小题，每小题3分，共24分) 9. 在一个不透明的袋子中装有4个红球和若干个白球，这些球除颜色外，其余都相同，从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，经过大量重复实验后，摸到红球的频率稳定在0.2，则可估计袋中大约有______个白球． 10. 已知线段，，则线段a，b的比例中项为___． 11. 某校有40人参加全国数学竞赛，把他们的成绩分为6组，第一至第四组的频数分别为10，5，7，6，第五组的频率是．则第六组的频数是_____． 12. 若菱形的两条对角线分别是方程x2-14x+48=0的两个实数根，则菱形的边长为______． 13. 已知不相等的实数，满足，，则代数式的值等于______． 14. 如图，中，、分别为，上的点，已知，且的面积是3，则的面积是______． 15. 如图，在中，延长至，使得，过中点作EF//CD（点位于点右侧），且，连接，若，则的长为______． 16. 如图，是一块直角三角形木板，BC＝1.5米，AC＝2米，要在这个三角形内部裁剪出一个正方形，且正方形各顶点都在三角形的边上，则这个正方形最大面积是____． 17. 图，在菱形中，已知，点E在的延长线上，点F在的延长线上，有下列结论：①；②；③；④若，则点F到的距离为．则其中正确的结论的序号是__________． 18. 如图，正方形的边长为4，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为_____． 三、解答题．(本大题共小题，共60分) 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点(网格线的交点)为顶点的． （1）以点为位似中心，将线段作位似变换，且放大到原来的2倍，得到线段(点、分别为、的对应点)，在网格内画出线段． （2）若点在第一象限，且以、、、为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标为________ 21. 在我校举办的“读好书、讲礼仪”的活动中，各班积极行动，图书角的新书、好书不断增多，除学校购买的图书外，还有师生捐献的图书则九（1）班全体同学捐献图书情况的统计图（每人都有捐书）．请你根据以上统计图中的信息，解答下列问题： （1）该班共有学生 人，并补全条形统计图； （2）“捐6本书”的人数对应的扇形圆心角的度数是 ； （3）请你估计全校2000名学生所捐图书的数量． 22. 已知：关于的方程． （1）求证：方程总有实数根； （2）若方程有一根小于3，求的取值范围． 23. 某文创店准备以6元的单价购进1200个纪念品进行售卖，如果第一周定价为10元，可以售卖出400个；第二周若按每个10元的价格仍可售出400个，但文创店为了增加销量，决定适当降价销售（根据调查，单价每降低1元，可多售出100个，售价不得低于进价），第二周按照降低的价格销售后，文创店在第三周对剩余纪念品进行清仓处理，最终以每个4元的价格全部售出，如果这批纪念品共获利2500元，第二周每个纪念品的销售价格为多少元？ 24. 如图，在中，O是上的任意一点（不与点A、C重合），过点O平行于的直线l分别与、的外角的平分线交于点E、F． （1）与相等吗？证明你的结论． （2）试确定点O的位置，使四边形是矩形，并加以证明． 25. 如图，在平行四边形中，过点A作，垂足为E，连接，F为线段上一点，且． （1）求证：； （2）若，求的长． 26. 如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD＞AB），将纸片折叠一次，使点A与C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，交AC于点O，分别连接AF和CE． （1）求证：四边形AFCE是菱形； （2）过E点作AD的垂线EP交AC于点P，求证：2AE2＝AC•AP； （3）若AE＝10cm，△ABF的面积为24cm2，求△ABF的周长． 27. 【教材呈现】（1）如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形和摆放在一起，点A为公共顶点，，若固定不动，将绕点A旋转，边，与边分别交于点D，E（点D不与点B重合，点E不与点C重合），则结论是否成立 （填“成立”或“不成立”）； 【类比引申】（2）如图2，在正方形中，为内的一个动角，两边分别与，交于点E，F，且满足，求证：； 【拓展延伸】（3）如图3，菱形的边长为，，的两边分别与，相交于点E，F，且满足，若，则线段的长为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $