精品解析：山东省日照第一中学2025-2026学年高一下学期第二次质量测试数学试题

2025—2026学年高一下学期第二次质量测试 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 半径为 ，圆心角为的扇形的弧长为（ ） A. B. C. D. 2. 已知 ，则 （ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的侧面积与全面积的比是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的周期为2，且在上单调递减，则可以是（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆锥的底面半径为1，母线长为2，则该圆锥内半径最大的球的表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 海洋洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得，，， ，则A、B两点的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在四边形中，， ，，，若，则等于（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 为的零点 10. 已知向量，满足，，，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. 与夹角为 D. 11. 如图，正方体的棱长为2，M，N分别为棱， 的中点，P为棱上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 三棱锥 的体积为 B. 平面 截正方体表面所得的交线形成的图形可能为三角形 C. 若P是棱的中点，则平面 截正方体所得截面面积为 D. 平面 截正方体表面所得的交线形成的图形可以是菱形且此时截面面积最大 三、填空题：本小题共三小题，每小题5分，共15分． 12. 在平面直角坐标系中，角的始边落在x轴正半轴上，点在角的终边上，则________． 13. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且 ，则角B的大小为________． 14. 在三棱锥中，平面 ，，，则其外接球的表面积为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求的最小正周期； （2）若，，求的值． 16. 用一块钢锭浇铸一个厚度均匀，且全面积为2平方米的正四棱锥有盖容器（如图），设容器的高为h（）米，盖子边长为a米． （1）求a关于h的函数表达式； （2）设容器的容积为V立方米，当h为何值时，V最大？并求出V的最大值（不计容器的厚度）． 17. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 （1）求A； （2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 18. 如图所示，四棱锥，底面为正方形，， 为正三角形，，点在 上. （1）若为中点，求证：平面； （2）求异面直线 与所成角的余弦值； （3）若，在棱 上是否存在一点 ，使平面？并证明你的结论. 19. 已知质点从开始，沿以原点为圆心，2为半径的圆做匀速圆周运动，质点运动的角速度为弧度/秒（），经过x秒，质点运动到点P，设点P的纵坐标为y，令，将的图象向左平移2个单位长度后图象关于y轴对称． （1）求函数的解析式； （2）求函数的单调递减区间及上的最值． （3）将函数横坐标伸长到原来的倍，纵坐标缩短到原来的倍得到函数，若，求函数的值域． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年高一下学期第二次质量测试 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 半径为 ，圆心角为的扇形的弧长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将圆心角从角度制转化为弧度制，再代入弧长公式计算求解. 【详解】由题意可得，根据弧长公式可得：  . 2. 已知 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】已知 ，若，等式不成立； 若，则， ． 3. 已知向量，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两向量垂直时数量积为0求解λ的值. 【详解】根据题意可得 ，即， 其中 ，  ，  ， 所以 ， 解得 . 4. 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的侧面积与全面积的比是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设圆柱底面半径为，已知侧面展开图是正方形， 则底面周长等于高，即 ， 故侧面积，底面积， 圆柱全面积， 故圆柱的侧面积与全面积的比为：． 5. 已知函数的周期为2，且在上单调递减，则可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】举例说明函数的单调性不满足要求，排除AC；结合函数 定义域，排除B；求函数的周期，结合余弦函数的单调性判断D； 【详解】对于选项A：因为， ， 所以函数在上不单调递减，不符合题意，故A错误； 对于选项B：函数 的定义域为，， 所以函数 在上不单调，不符合题意，故B错误； 对于选项C：因为，， 所以函数在上不单调递减，不符合题意，故C错误； 对于选项D：因为的最小正周期为， 又因为，则，且在内单调递减 所以函数在上单调递减，符合题意，故D正确. 6. 已知圆锥的底面半径为1，母线长为2，则该圆锥内半径最大的球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析可知半径最大球的半径即为边长为2的等边三角形的内切圆半径，进而运算求解. 【详解】由题意可知：半径最大球的半径即为边长为2的等边三角形的内切圆半径， 即球的半径最大值为， 所以半径最大的球的表面积为. 7. 海洋洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得，，， ，则A、B两点的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意在中利用正弦定理得 ，在 中可得，从而在中利用余弦定理即可得解. 【详解】如图，在中，，， ，所以， 由正弦定理得，解得， 在 中，，， ， 所以，故， 所以在中，由余弦定理得 ， 则，即A，B两点间的距离为． 故选：D. 8. 如图，在四边形中，， ，，，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取的中点 ，连接，利用向量加减、数乘的几何意义及数量积的运算律得，结合 ，求得，进而有，应用二倍角余弦公式求函数值. 【详解】如图所示，取的中点 ，连接， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵，， ， ∴ ①， 又 ，则 ②， 由①②解得，则， ∴， ∴． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 为的零点 【答案】AC 【解析】 【分析】根据图象求得，结合正弦函数的图象与性质依次判断选项即可. 【详解】由图可知，，， 又，所以 ， 将点代入，得， 得，解得 ， 又，所以，故.故A正确，B错误； ，所以，故C正确； 由，故不是的零点，故D错误. 故选：AC 10. 已知向量，满足，，，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. 与夹角为 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据向量数量积的运算律，结合向量垂直、夹角的相关计算公式逐项判断可得答案. 【详解】∵，∴， ∴，即， ∴，选项B正确. ∵， ∴不成立，选项A错误. ∵，， ∴与夹角为，选项C正确. ∵， ∴，选项D正确. 故选：BCD. 11. 如图，正方体的棱长为2，M，N分别为棱， 的中点，P为棱上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 三棱锥 的体积为 B. 平面 截正方体表面所得的交线形成的图形可能为三角形 C. 若P是棱的中点，则平面 截正方体所得截面面积为 D. 平面 截正方体表面所得的交线形成的图形可以是菱形且此时截面面积最大 【答案】AC 【解析】 【分析】应用三棱锥体积公式计算判断A，应用特殊点证明平行四边形及菱形计算面积判断D；利用截面计算判断B，C. 【详解】，A选项正确； 正方体有三组对面互相平行，若截面为三角形， 则每组对面上有且仅有一条截面与正方体的交线， 由题意，平面 平面 ， 因为平面 平面， 设平面 平面 ，则 . 由 平面且 平面，则 . 取中点，过点 作 ，垂足为， 则 ，且，所以四边形 为平行四边形， 所以，则， 不论点 在棱如何运动，过点均可作，交棱于，又 ， 则直线 即为交线.(经过一点，有且只有一条直线与已知直线平行) 故截面图形至少为四边形，不可能为三角形，故B错误； 当 与重合时，平面即为平面， 此时截面图形为矩形，且面积为. 如图，当 与重合，依次连接 ， 取中点，连接 ， 由 且 ，则四边形 为平行四边形， 则 ，且 ， 又由 且 ，则四边形 为平行四边形， 则 ，则 ，又 ， 所以四边形为平行四边形，又 ， 故此时四边形为菱形，其面积为 ， 因此，此时截面虽为菱形，但不是最大截面面积，故D错误； 当点 为中点时，分别取的中点 ， 顺次连接 ， 因为 ，所以 ，则 四点共面， 同理，由 ，则 四点共面， 又 三点不共线，故 五点共面， 由 ， 则平 ，即 六点共面， 即平面 即为平面 ， 是正六边形，， 所以截面面积为，C正确； 三、填空题：本小题共三小题，每小题5分，共15分． 12. 在平面直角坐标系中，角的始边落在x轴正半轴上，点在角的终边上，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用三角函数定义求出，然后利用二倍角公式可得. 【详解】由题可得，所以. 13. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且 ，则角B的大小为________． 【答案】 或 【解析】 【分析】利用正弦定理将边转化为角的正弦，结合两角和的正弦公式化简求出 ，再根据三角形内角范围确定角的取值。  【详解】由正弦定理，对 进行边角互化， 可得  ， 因为，所以 ， 所以  ， 得，即，即， 所以或. 14. 在三棱锥中，平面 ，，，则其外接球的表面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】将三棱锥补形成长方体，然后求出长方体的体对角线长，即为外接球的直径，即可求解. 【详解】将三棱锥补形成长方体，如图所示： 则，即其外接球的直径为， 所以外接球的表面积 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求的最小正周期； （2）若，，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式、二倍角公式、两角差的正弦公式化简函数式，然后由周期公式得结论； （2）已知条件代入后，利用平方关系、两角和的正弦公式求解. 【小问1详解】 由题意得 , 故的最小正周期是 ； 【小问2详解】 由题意得，， 而 ，则 ， 所以， 所以 . 16. 用一块钢锭浇铸一个厚度均匀，且全面积为2平方米的正四棱锥有盖容器（如图），设容器的高为h（）米，盖子边长为a米． （1）求a关于h的函数表达式； （2）设容器的容积为V立方米，当h为何值时，V最大？并求出V的最大值（不计容器的厚度）． 【答案】（1） （2） 当时，最大，最大值为立方米 【解析】 【分析】（1）根据正四棱锥全面积公式建立关于和的方程，解出关于的表达式； （2）由体积公式，结合（1）得到关于的函数，利用对勾函数的单调性，结合求出的最大值. 【小问1详解】 取 的中点，连接交于点 ，连接 ， 则平面，. 因为平面，所以. 易知 ，所以， 因为正四棱锥的全面积为2平方米，所以 ， 整理得，， 两边平方得，， 化简得，即 . 因为 ，所以，即. 【小问2详解】 正四棱锥的容积 . 设函数，根据对勾函数的性质，知函数 在区间 上单调递增， 由可得.则. 即当时，最大，最大值为立方米. 17. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 （1）求A； （2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理化角为边，然后由余弦定理求解； （2）由锐角三角形得，由正弦定理求得 （用表示），然后由三角形面积公式表示出面积，利用两角差的正弦公式、同角关系式变形后，结合正切函数性质、不等式的性质得结论. 【小问1详解】 因为，所以由正弦定理得， 整理得，所以， 而是三角形内角，所以； 【小问2详解】 由（1）得 ， 为锐角三角形，则，所以， 由正弦定理得， 由面积公式得 ， 而，则，可得， 所以，故 . 18. 如图所示，四棱锥，底面为正方形，， 为正三角形，，点在 上. （1）若为中点，求证：平面； （2）求异面直线 与所成角的余弦值； （3）若，在棱 上是否存在一点，使平面？并证明你的结论. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在，证明见解析. 【解析】 【分析】（1）连接 交于点 ，先证明，再由线面垂直判定定理证明结论； （2）取 的中点，结合异面直线夹角定义证明为异面直线 与所成角（或其补角），解三角形求其余弦值； （3）取中点， 的中点为，根据线面平面判定定理证明平面，平面，再根据面面平行判定定理证明平面平面，由此证明平面. 【小问1详解】 连接 交于点 ，连接， 因为是正方形，所以 为 中点， 所以在中，为中位线，， 又平面， 平面，平面； 【小问2详解】 取 的中点，因为 为 中点， 所以在中，为中位线，所以，， 所以为异面直线 与所成角（或其补角）， 在中，，，， 由余弦定理可得，又， 所以为锐角， 所以异面直线 与所成角的余弦值为； 【小问3详解】 当是棱 中点时，平面 证明如下：取中点，连接 ， ，则， 平面，平面， 平面， 在 中，为 中点， 为 中点， 平面，平面，所以平面； ，所以平面平面； 平面，平面 19. 已知质点从开始，沿以原点为圆心，2为半径的圆做匀速圆周运动，质点运动的角速度为弧度/秒（），经过x秒，质点运动到点P，设点P的纵坐标为y，令，将的图象向左平移2个单位长度后图象关于y轴对称． （1）求函数的解析式； （2）求函数的单调递减区间及上的最值． （3）将函数横坐标伸长到原来的倍，纵坐标缩短到原来的倍得到函数，若，求函数的值域． 【答案】（1） （2）单调递减区间为 ，， （3） 【解析】 【分析】（1）设，根据正弦型三角函数的图象性质分别确定参数 的值，从而得函数 的解析式； （2）由正弦型三角函数的单调性得单调区间，从而可得在区间上的单调性即可得最值. （3）根据已知及图象平移得 ，再应用三角恒等变换化简目标函数式，结合三角函数的性质求值域. 【小问1详解】 设， 由 知，， 因为，所以，又，所以， 将的图象向左平移2个单位长度后所得函数． 因为的图象关于y轴对称， 所以 ，解得 ． 又，所以 时， 所以． 【小问2详解】 由（1）得， 令，解得 ， 所以函数的单调递减区间为 ． 当 时， ， 当 时， ； 当时， ． 【小问3详解】 由（1）知， 将函数图象横坐标伸长到原来的倍，纵坐标缩短到原来的倍， 所以 ， 所以 ， 由，则，故，所求值域为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $