2025-2026学年高一下学期数学期末复习课程任务二十八 ·基本立体图形及空间几何体的表面积与体积 课件

这是一份高一数学期末复习课件，聚焦基本立体图形及空间几何体的表面积与体积，通过主干知识梳理（含多面体、旋转体结构特征表，直观图画法，表面积体积公式及常用结论）、基础检测（11道题）、能力达标（结构特征辨析、直观图面积计算等例题与及时练）构建学习支架。 资料特色鲜明，以表格对比多面体与旋转体性质构建结构化知识，通过斜二测画法例题培养几何直观，展开图最短路径问题发展空间观念，体积计算例题渗透割补法等推理方法，规律总结（如“三变三不变”）助力方法掌握，适合高一学生巩固立体几何基础，提升空间想象与推理能力，为教师期末复习教学提供系统资源支持。

任务二十八·基本立体图形及空间几何体的表面积与体积 高一数学期末复习课程 一、主干知识梳理 1.空间几何体的结构特征 (1)多面体的结构特征 围成多面体的每一个面都是平面图形,没有曲面 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形       底面 互相　　　　且 　　　　  多边形 互相　　   侧棱 　　　　　   相交于　　　但不一定相等  延长线交于　　　　  侧面 形状 　　 　　   　　 　  　　 　  平行 全等 平行 平行且相等 一点 一点 平行四边形 三角形 梯形 (2)旋转体的结构特征 旋转体一定有旋转轴 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形         母线 平行、相等且 　　　于底面  相交于   延长线交于 　 　  — 轴截面 全等的　   全等的 　   全等的 　   　　　  侧面 展开图 矩形 扇形 扇环 — 垂直 一点 一点 矩形 等腰三角形 等腰梯形 圆 2.空间几何体的直观图 九十度,画一半,横不变,纵减半,平行关系不改变,画出图形更直观 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画,其规则是: (1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于点O.画直观图时,把它们画成对应的x'轴与y'轴,两轴相交于点O',且使∠x'O'y'=45°(或135°),它们确定的平面表示水平面. (2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中分别画成平行于x'轴或y'轴的线段. (3)已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持原长度不变,平行于y轴的线段,在直观图中长度为原来的一半. 3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 旋转体表面上的最短距离问题,常常“化曲为直”,利用侧(表)面展开图解决 名称 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图       侧面积公式 S圆柱侧=　　   S圆锥侧=　 　  S圆台侧=　   2πrl πrl π(r1+r2)l 4.柱体、锥体、台体和球的表面积和体积 几何体名称 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S表面积=S侧+2S底 V=　　　 　  锥体(棱锥和圆锥) S表面积=S侧+S底 V=　　　 　  台体(棱台和圆台) S表面积=S侧+S上+S下 V=　　 　　   球 S=　　　 　  V=　　 　　  S底·h S底·h (S上+S下+)h 4πR2 R3 1.如图,长方体ABCD-A'B'C'D'被一个平面截成两个几何体,其中EH∥B'C'∥FG.则左下方部分几何体是(　　) A.棱台 B.四棱柱 C.五棱柱 D.既不是棱柱,也不是棱台 C 二、基础检测 2.以下利用斜二测画法得到的结论中,正确的是(　　) A.相等的角在直观图中仍相等 B.相等的线段在直观图中仍相等 C.平行四边形的直观图是平行四边形 D.菱形的直观图是菱形 C 解析:根据斜二测画法的规则可知,平行于坐标轴的直线平行性不变,平行于x轴的线段长度不变,平行于y轴的线段长度减半,故A,B,D错误;对于C,根据平行性不变原则,平行四边形的直观图仍然是平行四边形,C正确.故选C. 3.棱长为2的正四面体的表面积是(　　) A. B.4 C.4 D.16 C 解析:每个面的面积为2×2, 所以正四面体的表面积为4 故选C. 4.设正六棱锥的底面边长为1,侧棱长为,那么它的体积为(　　) A.6 B. C.2 D.2 B 解析:由正六棱锥底面边长为1和侧棱长为,可知高h=2, 又因为底面积S=,所以体积V=Sh=2=故选B. 5.已知正四棱锥的侧面都是等边三角形,它的斜高为, 则这个正四棱锥的体积为　　　　　. 　 解析:在如图所示的正四棱锥P-ABCD中, PE⊥AB,点E为垂足, 因为PE=,△PAB为等边三角形, 所以AE=1,PA=2,所以OE=AE=1. 在Rt△POE中,PO=, 所以正四棱锥的体积V=22 6.如图,某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成,半球的直径是0.3 m,圆柱高0.6 m.如果在浮标表面涂一层防水漆,每平方米需要0.5 kg涂料,那么给1 000个这样的浮标涂防水漆需要涂料　　　　　kg. 423.9 解析:一个浮标的表面积为2π×0.15×0.6+4π×0.152≈0.847 8(m2),所以给 1 000个这样的浮标涂防水漆约需涂料0.847 8×0.5×1 000=423.9(kg). 7.一个长方体的顶点都在球面上,且长方体的棱长分别为1,2,3, 则球的表面积为　　　　　. 14π 解析:设球的半径为R,则2R=,R=, 所以S球=4πR2=4=14π. 8.若正六棱台的上、下底面边长分别是2 cm和6 cm,侧棱长是5 cm, 则它的表面积为　　　　 　cm2. 60+24 解析:如图,正六棱台ABCDEF-A'B'C'D'E'F'中, A'B'=2 cm,AB=6 cm,AA'=5 cm, 所以侧面梯形ABB'A'的斜高为(cm), 所以S梯形ABB'A'==4(cm2). 又S上底=622=6(cm2),S下底=662=54(cm2), 所以正六棱台的表面积S=S上底+S下底+6 =6+54+6×4=60+24(cm2). 9.已知圆柱和圆锥的底面半径相等,侧面积相等,且它们的高均为, 则圆锥的体积为(　　) A.2 B.3 C.6 D.9 B 解析:∵圆柱和圆锥的底面半径相等,∴可设圆柱和圆锥的底面半径为r. 又圆柱和圆锥的高均为, ∴圆柱的侧面积为2πr,圆锥的侧面积为πr=πr 又圆柱和圆锥的侧面积相等,∴2πr=πr,∴r2=9. ∴圆锥的体积为r29=3 11.底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截,截去一个底面边长为2,高为3的正四棱锥,所得棱台的体积为　　　　. 28 10.已知圆锥的表面积等于12π cm2,其侧面展开图是一个半圆, 则底面的半径为(　　) A.1 cm B.2 cm C.3 cm D. cm B 解析:设底面半径为r cm,因为S表=πr2+πrl=πr2+πr·2r=3πr2=12π, 所以r2=4,所以r=2. 解析:如图所示,在正四棱锥P-ABCD中,平面A'B'C'D'∥平面ABCD. 点O',O分别为正四棱台ABCD-A'B'C'D'上、下底面的中心, O'H'⊥A'B',OH⊥AB,点H',H为垂足. 由题意,得AB=4,A'B'=2,PO'=3. 易知△PO'H'∽△POH, 所以,即,解得PO=6, 所以OO'=PO-PO'=3, 所以该正四棱台的体积是 V=3×(22++42)=28. 三、能力达标 ①.基本立体图形 例1 下列说法正确的是(　　) A.有两个平面互相平行,其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 B.四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形 C.有两个平面互相平行,其余各面都是梯形的多面体是棱台 D.棱台的各侧棱延长后不一定交于一点 B 结构特征 解析:A错误,如图1;B正确,如图2,其中PD⊥底面ABCD,且底面ABCD是矩形,可以证明∠PAB,∠PCB都是直角,这样四个侧面都是直角三角形;C错误,如图3;D错误,由棱台的定义知,其侧棱延长后必相交于同一点.故选B. 图1 图2 图3 及时练1：(多选题)下列说法中,错误的为(　 　) A.有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥 B.有两个面互相平行,其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台 C.底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 D.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等,则此棱锥不可能是正六棱锥 ABC 解析 棱锥的定义需要其余各面都是有一个公共顶点的三角形,如图所示的几何体符合条件,但不是棱锥,故A错误;有两个面互相平行,其余四个面都是等腰梯形的六面体的侧棱不一定交于一点,所以不一定是棱台,故B错误;对于C,三棱锥的顶点在底面的射影不一定为底面等边三角形的中心,故C错误;若六棱锥的所有棱长都相等,则底面为正六边形,在以底面上的一个顶点、底面中心和棱锥顶点形成的直角三角形中,易知斜边长大于直角边长,则侧棱必然大于底面边长,故D正确.故选ABC. (2)下列结论正确的是(　　) A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体 C.若正棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等,则此棱锥可能是六棱锥 D.圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线 D 解析:由图1知,A错误;如图2,当两个平行平面与底面不平行时,截得的几何体不是旋转体,B错误;若六棱锥的所有棱长都相等,则底面多边形是正六边形,由几何图形知,若以正六边形为底面,侧棱长必然要大于底面边长,C错误;由母线的概念知,D正确.故选D. 图1 图2 例2 已知△ABC是边长为a的正三角形,那么△ABC平面直观图△A'B'C'的 面积为(　　) A.a2 B.a2 C.a2 D.a2 A 直观图 解析:(方法1)根据题意,建立如图①所示的平面直角坐标系,再按照斜二测画法画出其直观图,如图②所示. 由斜二测画法可知, A'B'=AB=a,O'C'=OC=a. 作C'D'⊥A'B'于D', 则C'D'=O'C'=a, S△A'B'C'=A'B'·C'D'=aa=a2. (方法2)易得原图形△ABC的面积S=a2,所以S直观图=S原图形=a2. 变式探究： (交换条件与结论)例题变为:已知△ABC的平面直观图△A'B'C'是 边长为a的正三角形,则原△ABC的面积为　　　　　. a2　 解析:(方法1)如图所示,在直观图中,正三角形A'B'C'的边长为a,故点A'到底边B'C'的距离是a,作A'D'⊥x'轴于点D',则△A'D'O'是等腰直角三角形, 故可得O'A'=a. 由此可得在平面图中△ABC的高为a, 原△ABC的面积为aa=a2. (方法2)易得直观图的面积S=a2, 所以S原图形=2S直观图=a2. 及时练2：已知水平放置的△ABC按“斜二测画法”得到如图所示的直观图,其中B'O'=C'O'=1,A'O'=,那么△ABC是一个(　　) A.等边三角形 B.直角三角形 C.非等边的等腰三角形 D.钝角三角形 A 解析 根据斜二测画法还原△ABC在直角坐标系的图形,如图. 则BC=B'C'=2,AO=2A'O'=, 由勾股定理得AC=AB==2,所以△ABC是一个等边三角形. 例3 如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为1 cm,高为5 cm,一质点自A点出发,沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为(　　) A.12 cm B.13 cm C. cm D.15 cm C 展开图 解析:如图,把侧面展开2周可得对角线最短, 则AA1=(cm). 及时练3:(1)如图是一座山的示意图,山呈圆锥形,圆锥的底面半径为1 km,母线长为4 km,B是母线SA上一点,且AB=1 km,为了发展旅游业,要建设一条最短的从A绕山一周到B的观光铁路,则这段铁路的长度为 　　　　　km. 5 解析 根据题意,设该圆锥侧面展开图的圆心角为θ, 该圆锥中,底面半径为1 km,母线长为4 km,则有4θ=2π,可得θ= 如图为该圆锥的侧面展开图,有SA=SA'=4 km,A'B=1 km,则SB=3 km, 故AB==5(km), 即符合题意的最短的铁路的长度为5 km. (2)有一根高为3π,底面半径为1的圆柱形铁管,用一段铁丝在铁管上缠绕2圈,并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端,则铁丝的最短长度为　　　　　 . 5π 解析:如图,把圆柱的侧面展开图再延展一倍,所以铁丝的最短长度即为AB的长,此时AB==5π. ②.表面积与体积 例4 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,它将正四棱台(棱台的上、下底面均为正方形)称为方亭.如图,现有一方亭ABCD-EFHG,其中上底面与下底面的面积之比为1∶4,方亭的高h=EF,BF=EF,方亭的四个侧面均为全等的等腰梯形,已知方亭的体积为, 则该方亭的表面积为(　　) A.20+12 B.20+6 C.5+3 D.5+6 A 简单几何体的表(侧)面积 解析:由题意得S正方形EFHG=EF2,S正方形ABCD=4EF2, 则方亭的体积为EF·(EF2+4EF2+)=, 解得EF=2, 则S正方形EFHG=4,S正方形ABCD=16. 如图,作EM⊥AB于M,AE=BF=EF=,AM==1, 则EM=,S梯形ABFE=(2+4)=3, 则该方亭的表面积为S正方形EFHG+S正方形ABCD+4S梯形ABFE=20+12 及时练4：:如图所示,已知三棱台ABC-A1B1C1的上、下底面都是等腰直角三角形, CC1⊥平面ABC,AC=2,A1C1=1,CC1=1,则这个三棱台的侧面积为(　　) A. B. C. D.3+2 A 解析:因为CC1⊥平面ABC,AC,CB⊂平面ABC,所以CC1⊥AC,CC1⊥CB, 又因为AC=2,A1C1=1,CC1=1, 所以(1+2)×1=, 在梯形A1ABB1中,易知,A1B1=,AB=2,AA1=BB1=, 所以(+2), 所以这个三棱台的侧面积 S侧= 例5 (1)已知圆台甲、乙的上底面半径均为r1,下底面半径均为r2,圆台的母线长分别为2(r2-r1),3(r2-r1),则圆台甲与乙的体积之比为　　　　　. 　 解析:如图,由题意, 可知 甲 乙 简单几何体的体积 (2)一个五面体ABC-DEF.已知AD∥BE∥CF,且两两之间的距离为1,并已知AD=1,BE=2,CF=3,则该五面体的体积为(　　) A. B. C. D. C 解析 如图,用一个和五面体ABC-DEF完全相同的五面体HIJ-LMN与五面体ABC-DEF拼在一起,其中顶点L,M,N分别与顶点D,E,F重合. 由题意可知,拼成的组合体是一个三棱柱, 且该三棱柱与侧棱垂直的截面是边长为1的等边三角形,其面积为12=,三棱柱的侧棱长为4,所以VABC-DEF=VABC-HIJ=4=故选C. 及时练5：(1)在三棱锥P-ABC中,△ABC是边长为2的等边三角形,PA=PB=2,PC=,则该棱锥的体积为(　　) A.1 B. C.2 D.3 A 解析 (方法一)如图,作AO⊥平面PBC,设AO=h,连接OP,OB,OC, 由AP=AB=AC=2,可得OP=OB=OC,即O为△PBC的外心. 在△PBC中,cos∠PBC=, 则sin∠PBC= 设△PBC的外接圆半径为R,=2R,解得R=在Rt△AOP中,∵AO2+PO2=AP2,∴h=AO= ∴S△BPC=PB·BC·sin∠PBC=2×2 ∴VP-ABC=VA-BPC=S△BPC·h==1. (方法二)如图,过点P作PO⊥平面ABC于点O,连接CO并延长交AB于点D,连接PD. ∵PA=PB=AB,∴D为AB的中点.∴CD=,PD= 由PO⊥CD,设OD=x,0≤x< 由PD2-OD2=PC2-OC2, 得()2-x2=6-(-x)2,解得x=0或x=(舍去), ∴PD⊥平面ABC. 则VP-ABC=S△ABC·PD=22=1.故选A. (2)在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,A1B1=1, AA1=, 则该棱台的体积为　　　　　　　. 　 解析:(方法1　直接法)如图所示,正四棱台中四边形AA1C1C为等腰梯形. 连接AC,A1C1,过点A1作A1G⊥AC,交AC于点G,则A1G为棱台的高. 在正四棱台中,∵AC=2,A1C1=,∴AG= 在Rt△A1AG中,A1G= 则棱台体积V=+ S四边形ABCD)·A1G=(1+2+4) (方法2　补形法)如图,延长各侧棱交于点O,连接AC,A1C1,过O作OG⊥AC,交AC于点G,交平面A1B1C1D1于点H,且点H恰为A1C1的中点, 解得OA1=,A1H=,AG=,OA=2 在Rt△A1OH中,OH=, 在Rt△AOG中,OG= 则棱台体积V=V四棱锥O-ABCD- (S四边形ABCD·OG-OH)=(4-1)= 任 务 完 成 $