2025-2026学年高一下学期数学期末复习课程任务二十九空间点、直线、平面之间的位置关系课件

这是一份高一数学期末复习课件，共40页，聚焦空间点、直线、平面的位置关系。通过表格梳理平面基本事实及推论、线线/线面/面面位置关系等主干知识，配套基础检测和能力达标练习，包含正方体、直三棱柱等实例解析。 资料特色突出，以图形语言与符号语言结合呈现知识，通过反证法证明异面直线、平移法求异面直线所成角等实例，培养学生数学眼光（空间观念）、思维（推理能力）和语言（符号表达）。分层练习与规律方法总结帮助学生构建知识体系，也为教师教学提供清晰支架，助力学生提升空间几何解题能力。高一学生正处于抽象思维发展阶段，空间几何是学习难点，此资料能帮助他们直观理解空间关系，逐步养成逻辑推理习惯。

任务二十九·空间点、直线、平面之间的位置关系 高一数学期末复习课程 一、主干知识梳理 1.与平面及平行线有关的基本事实及推论 (1)平面及平行线的基本事实 事实 图形 文字语言 符号语言 基本 事实 1   过　　　　 　　上的三个点,有且只有一个平面  当三个点共线时,过这三点的平面有无数个 A,B,C三点不共线⇒有且只有一个平面α,使A∈α,B∈α,C∈α 基本 事实 2   如果一条直线上的　　 　在一个平面内,那么这条直线在这个平面内  A∈l,B∈l,且A∈α, B∈α⇒l⊂α   不能写成“⊆” 不在一条直线 两个点 事实 图形 文字语言 符号语言 基本 事实 3     是寻找两相交平面 的交线以及证明 “线共点”的理论 依据 如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们 　 　　　　过该点的公共直线  P∈α,且P∈β ⇒α∩β=l,且P∈l 基本 事实 4   平行于同一条直线的两条直线平行 若直线a∥b,c∥b, 则a∥c 有且只有一条 (2)平面的基本事实的3个推论 推论 自然语言 图形语言 推论1 经过一条直线与　 　　　　一点,有且只有一个平面        注意点A不在直线上 推论2 经过两条　　　　　直线,有且只有一个平面    推论3 经过两条　　　　　直线,有且只有一个平面    这条直线外 相交 平行 2.空间中直线与直线的位置关系 相交 平行 3.空间中直线与平面、平面与平面的位置关系 a∩α=A 1 a∥α 0 a⊂α 无数 α∥β 0 α∩β=l 无数 4.等角定理 如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角　　　 　　. [知识深化] 如果两个角的两边平行且方向都相同或都相反,则两角相等;若一边同向,另一边反向,则两角互补. 相等或互补 5.异面直线所成的角 (1)定义:设a,b是两条异面直线,经过空间任一点O分别作直线a'∥a,b'∥b,把a'与b'所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). (2)范围:(0,]. 当异面直线所成角为时,称两直线垂直 [知识深化] 1.平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线. 2.分别在两个平行平面内的直线平行或异面. 二、基础检测 1.下列说法中正确的是(　　) A.三点确定一个平面 B.四边形确定一个平面 C.梯形确定一个平面 D.空间任意两条直线确定一个平面 C 解析:不共线的三点确定一个平面,故A错误;四边形有可能是空间四边形,故四边形不一定能确定一个平面,故B错误;因为梯形有一组对边平行,所以梯形确定一个平面,故C正确;两条异面直线不能确定一个平面,故D错误. 2.若直线a不平行于平面α,且a⊄α,则下列结论成立的是(　　) A.α内的所有直线与a是异面直线 B.α内不存在与a平行的直线 C.α内存在唯一一条直线与a平行 D.α内的所有直线与a都相交 B 解析:由题意可知直线a与平面α相交,所以平面α内所有直线与a相交或异面,且α内不存在与直线a平行的直线.故A,C,D不正确. 3.若直线a不平行于平面α且a⊄α,则下列结论成立的是(　　) A.平面α内的所有直线与a异面 B.平面α内不存在与a平行的直线 C.平面α内存在唯一的直线与a平行 D.平面α内的直线与a都相交 B 解析:由条件知直线a与平面α相交,则平面α内的直线与a可能相交,也可能异面,不可能平行. 4.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D为A1B1的中点,AB=BC=2,BB1=1,AC=2,则异面直线BD与AC所成的角为(　　) A.30° B.45° C.60° D.90° C 解析:如图,取B1C1的中点E,连接BE,DE,则AC∥A1C1∥DE,则∠BDE(或其补角)即为异面直线BD与AC所成的角. 由条件知,BD=DE=EB=,则∠BDE=60°. 5.已知两条相交直线a,b,且a∥平面α,则直线b与平面α的位置 关系是　　 　. 平行或相交 解析:两条相交直线a,b,且a∥平面α,如图,则直线b与平面α的位置关系是平行或相交. 6.三个平面最多能把空间分成　　　　　部分, 最少能把空间分成　　　　　部分. 8 4 解析:三个平面可将空间分成4,6,7,8部分, 所以三个平面最少可将空间分成4部分,最多分成8部分. 7.如图,三条直线两两平行且不共面,每两条直线确定一个平面,一共可以确定　　　个平面;如果三条直线相交于一点,它们最多可以确定　　个平面. 3 3 解析:①三条直线两两平行,这三条直线看作三棱柱的三条侧棱,其中每两条直线可以确定一个平面,则可以确定3个平面;②三条直线两两相交,每两条确定一个平面,当这三条直线在同一个平面时,则可以确定1个平面;当这三条直线不在同一个平面时,则可以确定3个平面,所以这三条直线能够确定一个平面或三个平面,最多可以确定3个平面. 8.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为B1D1的中点,则直线PB与AD1所成的角为 （ ） A. B. C. D. D 解析:如图,连接BC1,PC1. 由正方体的性质可得AD1∥BC1,故∠PBC1为直线PB与AD1所成的角. 设正方体的棱长为1,则BC1=,C1P=A1C1= 而BP=, 可得C1P2+BP2=B,故C1P⊥PB. 则在Rt△BPC1中,有sin∠PBC1=, 于是∠PBC1=,即直线PB与AD1所成的角等于 ①.平面的基本性质及应用 例1 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,对角线A1C与平面BDC1交于点O,AC, BD交于点M,E为AB的中点,F为AA1的中点.求证: (1)C1,O,M三点共线; (2)E,C,D1,F四点共面; (3)CE,D1F,DA三线共点. 三、能力达标 证明:(1)因为A1C∩平面BDC1=O,所以O∈A1C,O∈平面BDC1. 又因为A1C⊂平面ACC1A1,所以O∈平面ACC1A1. 因为AC,BD交于点M,所以M∈AC,M∈BD. 又因为AC⊂平面ACC1A1,BD⊂平面BDC1, 所以M∈平面ACC1A1,M∈平面BDC1. 又因为C1∈平面ACC1A1,C1∈平面BDC1, 所以C1,O,M三点在平面ACC1A1与平面BDC1的交线上, 所以C1,O,M三点共线. (2)连接BA1,EF,D1C,BC1,因为E为AB的中点,F为AA1的中点,所以EF∥BA1,又因为BC∥A1D1,BC=A1D1,所以四边形BCD1A1是平行四边形, 所以BA1∥CD1,所以EF∥CD1,所以E,C,D1,F四点共面. (3)因为平面ABCD∩平面ADD1A1=AD, 设CE与D1F交于一点P,则P∈CE,CE⊂平面ABCD, 所以P∈平面ABCD,同理,P∈平面ADD1A1, 又平面ABCD∩平面ADD1A1=AD, 所以P∈AD, 所以直线CE,D1F,DA三线交于一点P,即三线共点. 及时练1：如图,在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别为棱A1B1, B1C1,AB,BC的中点.证明: (1)E,F,G,H四点共面; (2)GE,FH,BB1相交于一点. 证明 (1)连接AC,A1C1,如图所示. 因为ABCD-A1B1C1D1为正四棱台, 所以A1C1∥AC. 又E,F,G,H分别为棱A1B1,B1C1,AB,BC的中点, 所以EF∥A1C1,GH∥AC,则EF∥GH, 所以E,F,G,H四点共面. (2)因为A1C1≠AC,所以EF≠GH,所以四边形EFHG为梯形, 则EG与FH必相交. 设EG∩FH=P,因为EG⊂平面AA1B1B,所以P∈平面AA1B1B. 因为FH⊂平面BB1C1C,所以P∈平面BB1C1C. 又平面AA1B1B∩平面BB1C1C=BB1,所以P∈BB1,则GE,FH,BB1相交于一点. ②.空间两条直线的位置关系 例2 (1)(多选)如图所示,已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,l⊂平面A1B1C1D1,且l与B1C1不平行,则下列结论能成立的是(　 　) A.l与AD平行 B.l与AB异面 C.l与CD所成的角为30° D.l与BD垂直 BCD 解析:假设l∥AD,则由AD∥BC∥B1C1,可得l∥B1C1,与“l与B1C1不平行”矛盾,所以l与AD不平行,A错误;取l为A1C1所在直线,满足B,B正确;又因为l⊥B1D1, B1D1∥BD,所以l⊥BD,D正确;取l与C1D1成30°角,因为C1D1∥CD,所以此时l与CD所成的角为30°,C正确.故选BCD. (2)在底面半径为1的圆柱OO1中,过旋转轴OO1作圆柱的轴截面ABCD,其中母线AB=2,E是的中点,F是AB的中点,则(　　) A.AE=CF,AC与EF是共面直线 B.AE≠CF,AC与EF是共面直线 C.AE=CF,AC与EF是异面直线 D.AE≠CF,AC与EF是异面直线 D 解析:如图,圆柱的轴截面ABCD是边长为2的正方形,E是的中点,F是AB的中点,AC⊂平面ABC,所以EF与平面ABC相交,且与AC无交点,所以AC与EF是异面直线. 又CF=,AE=,所以AE≠CF.故选D. 及时练2：(1)若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,则下列说法正确的是(　　) A.l与l1,l2都不相交 B.l与l1,l2都相交 C.l至多与l1,l2中的一条相交 D.l至少与l1,l2中的一条相交 D 解析 (方法一　反证法)由于l与直线l1,l2分别共面,故直线l与l1,l2要么都不相交,要么至少与l1,l2中的一条相交.若l∥l1,l∥l2,则l1∥l2,这与l1,l2是异面直线矛盾,故l至少与l1,l2中的一条相交. (方法二　模型法)如图1,l1与l2是异面直线,l1与l平行,l2与l相交,故A,B不正确;如图2,l1与l2是异面直线,l1,l2都与l相交,故C不正确.故选D. 图1 图2 (2)(多选题)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,C1C的中点,则下列四个结论正确的是(　　) A.直线AM与CC1是相交直线 B.直线AM与BN是平行直线 C.直线BN与MB1是异面直线 D.直线AM与DD1是异面直线 CD 解析 对于A,因为点A在平面C1D1DC外,点M在平面C1D1DC内,直线CC1在平面C1D1DC内,CC1不过点M,所以AM与CC1是异面直线,故A错误;对于B,直线AM在平面ABC1D1内,直线BN与平面ABC1D1相交于点B,点B不在直线AM上,所以直线AM与BN是异面直线,故B错误;对于C,直线BN在平面BCC1B1内,直线MB1与平面BCC1B1相交于点B1,点B1不在直线BN上,所以直线BN与直线MB1是异面直线,故C正确;对于D,因为点M与DD1都在平面C1D1DC内,点A在平面C1D1DC外,DD1不过点M,所以AM与DD1是异面直线,故D正确.故选CD. ③.异面直线所成角的计算 例3 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=,则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. C 解析:(方法1　平移法)如图,连接BD1,交DB1于O,取AB的中点M,连接DM,OM,易知O为BD1的中点,所以AD1∥OM,则∠MOD为异面直线AD1与DB1所成的角. 因为在长方体ABCD-A1B1C1D1中, AB=BC=1,AA1=,AD1==2, DM=, DB1=, 所以OM=AD1=1,OD=DB1= (方法2　补体法)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1的一侧补上一个相同的长方体A'B'BA-A1'B1'B1A1,连接B1B',DB'.由长方体的性质可知B1B'∥AD1,所以∠DB1B'为异面直线AD1与DB1所成的角或其补角. 由题意得DB'=, B'B1==2,DB1= 在△DB'B1中, 由余弦定理得DB'2=B'+D-2B'B1·DB1·cos∠DB1B', 即5=4+5-2×2cos∠DB1B',所以cos∠DB1B'= 求两条异面直线所成角的方法 方法 解读 平移 法 将异面直线中的某一条平移,使其与另一条相交,一般采用图中已有的平行线或者作平行线,形成三角形求解 补形 法 在该几何体的某侧补接上同样一个几何体,在这两个几何体中找异面直线相应的位置,形成三角形求解 及时练3：如图,已知四棱锥M-ABCD,底面ABCD是边长为2的正方形,侧棱长相等且为4,E为CD的中点,则异面直线CM与AE所成的角的余弦值为(　　) A. B. C. D. D 解析 取MD的中点F,连接EF,AF,由E为CD的中点,得EF∥MC,EF=MC=2,则∠AEF是异面直线CM与AE所成的角或其补角, 在正方形ABCD中,AE=, 在△MAD中,MD=MA=4, cos∠ADF=,AF=, 于是cos∠AEF=, 所以异面直线CM与AE所成的角的余弦值为 任 务 完 成 类型 图形语言 符号语言 公共点 直线与平面 直线在平面外 相 交 　　　  　　个  平 行 　　　  　　个  直线在 平面内 　　　  　　个  类型 图形语言 符号语言 公共点 平面与平面 平行 　　　  　　个  相交 　　　  　　个  $