精品解析：河南商丘市睢县高级中学2025-2026学年高一下学期第二次月考测试数学试题

2025-2026学年高一数学下学期第二次月考测试卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．测试范围：人教A版2019必修第二册第六~九章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，，则（ ） A. B. C. D. 5 2. 某工厂抽检了51个零件，并统计了这51个零件的直径（单位：）数据，得到如下的表格：由表可知这51个零件的直径的第40百分位数为（ ） 直径/ 49 50 51 52 53 54 频数 8 9 8 13 12 1 A. B. C. D. 3. 设，表示两条不重合的直线，，表示两个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，， ，，则 D. 若， ，，则 4. 一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，此直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面图形的周长为（ ） A. B. C. 4 D. 8 5. 若圆锥的高与球的直径相等，圆锥的体积与球的体积也相等，则圆锥与球的表面积之比为（ ） A. B. C. D. 6. 记样本数据1，2，2，2，3的方差为，样本数据3，5，5，5，7的方差为，则（ ） A. B. C. D. 7. 正三棱柱中，各棱长均相等，为棱的中点．则二面角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 正方体的棱长为1，若在内（包括边界）运动，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 为了养成良好的运动习惯，某人记录了自己一周内每天的运动时长（单位：分钟），分别为53，57，45，61，79，49， ，若这组数据的第80百分位数与第60百分位数的差为3，则 的值可能为（ ） A. 58 B. 59 C. 62 D. 64 10. 在棱长为2的正方体中，点在线段上运动（包括端点），点在正方形及其内部运动，且，则下列正确的选项有（ ） A. B. 点的轨迹的长度为 C. 的最小值为 D. 直线与平面所成角的最小值为 11. 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则是等边三角形 B. 已知 ，，若有两解，则 的取值范围是 C. 在中，若，，且满足条件，则动点经过的重心 D. 若 ，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设、为单位向量，若，则________. 13. 如图，为了测量河对岸的塔高，某测量队选取与塔底 在同一水平面内且相距20米的两个测量基点 与．现测量得 ，在点处测得塔顶 的仰角分别为，若河宽至少12米，则塔高______米． 14. 在三棱锥 中，平面平面，，，，则三棱锥 的外接球的表面积为______． 四、解答题：本题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某高校承办了地铁站的志愿者选拔面试工作，现随机抽取了200名候选人的面试成绩（成绩均在内）并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）求a的值，并估计这200名候选者面试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）现从第四组和第五组中用分层随机抽样的方法选取20人的成绩，若这20人中来自第四组候选者的面试成绩的平均数和方差分别为80和6.5，来自第五组候选者的测试成绩的平均数和方差分别为90和3.5，据此估计这次第四组和第五组所有参与测试的候选者的成绩的方差． 16. 已知平面向量，且， （1）求在方向的投影向量的坐标； （2）若，且，求向量的坐标； （3）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 17. 已知圆锥的侧面展开图为半圆，母线长为． （1）求圆锥的体积； （2）在该圆锥内按如图所示放置一个圆柱，求圆柱侧面积的最大值，并求出此时圆柱的高． 18. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，． （1）求角A； （2）若D是线段的中点，且，求； （3）若为锐角三角形，求的周长的取值范围． 19. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，，，底面． （1）证明: 平面平面； （2）设平面平面于直线l，证明：； （3）若在线段BC上是否存在点 F，使得 平面PAB，若存在点 F，则 为何值时，直线EF与底面ABCD所成角为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期第二次月考测试卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．测试范围：人教A版2019必修第二册第六~九章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，，则（ ） A. B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数模的运算求得正确答案. 【详解】，， ． 2. 某工厂抽检了51个零件，并统计了这51个零件的直径（单位：）数据，得到如下的表格：由表可知这51个零件的直径的第40百分位数为（ ） 直径/ 49 50 51 52 53 54 频数 8 9 8 13 12 1 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定第40百分位数在频数分布表中确定对应的数据位置，先计算目标位置，再通过累加频数找到该位置对应的数值. 【详解】首先计算， 根据百分位数的定义，第40百分位数应为这组数据从小到大排列后的第21项数据， 直径为的频数为8，直径为的频数为9，累加频数为17， 直径为的频数为8，累加频数为25，即占据第18个至第25的位置， 因此，这51个零件的直径的第40百分位数为. 3. 设， 表示两条不重合的直线，，表示两个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，， ，，则 D. 若， ，，则 【答案】D 【解析】 【详解】若，，，则或异面，故A错误； 若，，则或相交或，无法推出，故B错误； 若，， ，，若相交，则， 若 ，则无法判断，故C错误； 若， ，，过直线作平面，， ，，过直线作平面 ，， ，，，，， ，，故D正确． 4. 一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，此直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面图形的周长为（ ） A. B. C. 4 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据直观图与原图的关系，原图转化为直观图时，平行关系保持不变，平行于轴的长度不变，平行于轴长度变成原来的一半，轴与轴成，即可求解. 【详解】把直观图转化为原图四边形，如图所示， 由作图可知四边形为平行四边形，， ， , 故周长为. 5. 若圆锥的高与球的直径相等，圆锥的体积与球的体积也相等，则圆锥与球的表面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设球的半径为，则球的直径为，由题意，圆锥的高 ， 所以球的体积为， 设圆锥底面半径为，则， 由，即，所以 ， 又因为圆锥的母线长， 所以， 又，所以. 6. 记样本数据1，2，2，2，3的方差为，样本数据3，5，5，5，7的方差为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】样本数据1，2，2，2，3的均值为， 则， 样本数据3，5，5，5，7的均值为， 则， 所以. 7. 正三棱柱中，各棱长均相等，为棱的中点．则二面角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据面面垂直结合二面角定义找到二面角，再应用边长求正弦及余弦值即可. 【详解】平面 ，平面 ， ， 是的中点， ，又，平面， 平面，平面 ， 平面平面，且平面平面， 正方形中，若为棱的中点，易知， 设与 交于点，则 平面 ， 过作 垂直，连接，则， 为二面角的平面角， 令，则 ，， ， 因为，， 为的中点， ， 在直角三角形中，， 由图知，为锐角， ， 由图知二面角的平面角与二面角的平面角互补， 故二面角的平面角的余弦值为. 8. 正方体的棱长为1，若在内（包括边界）运动，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】平面，可得即为直线与平面ABCD所成角，再进行分析即可确定正确答案. 【详解】连接， 在正方体中，平面， 对于平面 ，为垂线，为斜线，为射影， 所以即为直线与平面ABCD所成角， 设，则， 因为P是内（包括边界）的动点， , 当P与O重合时，最小， 此时最大， 当P与B重合时，最大， 此时最小， 所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 为了养成良好的运动习惯，某人记录了自己一周内每天的运动时长（单位：分钟），分别为53，57，45，61，79，49， ，若这组数据的第80百分位数与第60百分位数的差为3，则 的值可能为（ ） A. 58 B. 59 C. 62 D. 64 【答案】AD 【解析】 【分析】先对数据从小到大排序，分，，三种情况，舍去不合要求的情况，列出方程，求出答案, 【详解】将已知的6个数从小到大排序为45，49，53，57，61，79． 若，则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为61和57， 他们的差为4，不符合条件； 若，则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为79和61， 它们的差为18，不符合条件； 若，则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为x和61（或61和x）， 则，解得或 故选：AD. 10. 在棱长为2的正方体中，点在线段上运动（包括端点），点在正方形及其内部运动，且，则下列正确的选项有（ ） A. B. 点的轨迹的长度为 C. 的最小值为 D. 直线与平面所成角的最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】A由正方体的性质，得到正方体中的垂直关系，作出判断；B先根据题意判定出点Q的轨迹，再求弧长即可；C通过翻折平面，将平面与平面沿翻折到同一个平面内，进而判断的最小值； D作出直线与平面所成角，进而判断线面角的最小值； 【详解】A，由正方体性质，易得，， 因为平面， 所以平面.因为 平面，所以，故A正确； B，因为，在正方形中，，. 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆弧. 根据弧长公式，这里，，所以轨迹长度为，故B错误； C，如图，将平面与平面沿翻折到同一个平面内 由题意，， 从而，故为平行四边形. 又，故为矩形. 从而当为与交点时，最小，此时，故C错误. D，如图连接交于 ， 因为平面，平面，所以. 因为，平面， 所以平面，即平面， 所以为直线与平面所成角，所以. 所以当 最大时最小，即P与B重合，时， 最大. 可得， 此时，故的最小值为， 直线与平面所成角的最小值是，故D正确. 11. 的内角， ，的对边分别为，， ，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则是等边三角形 B. 已知 ，，若有两解，则的取值范围是 C. 在中，若，，且满足条件，则动点经过的重心 D. 若 ，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，根据条件，利用正弦定理得 ，即可求解；对B，根据条件得 ，即可求解；对C，过A作于 ，根据条件得，即可求解；对于D，根据条件，利用正弦定理及正弦的和角公式，即可求解. 【详解】对于A，因为，则 ，所以 ， 则 ，又，则，所以 ，即， 又 ，所以 ，即 ， 同理可知 ，所以 ，故A正确， 对于B，因为，且有两解，则 ，又，所以，故B正确， 对于C，方法一：如图，过作于 ，则 ， 由，得到， 当 为中点时，与中线共线，此时动点经过的重心，所以C错误. 方法二：由，得到， 所以， 所以 ，所以， 所以动点经过的垂心，C错误； 对于D，因为 ，则 ， 又，则 ，所以，又，，所以D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设、为单位向量，若，则________. 【答案】（或） 【解析】 【分析】利用向量数量积的运算性质和定义可求得，结合向量夹角的取值范围可得答案. 【详解】因为、为单位向量，，则， 所以， 因为，故. 13. 如图，为了测量河对岸的塔高，某测量队选取与塔底 在同一水平面内且相距20米的两个测量基点与．现测量得 ，在点处测得塔顶的仰角分别为，若河宽至少12米，则塔高______米． 【答案】 【解析】 【分析】根据余弦定理结合几何关系求出，结合河宽至少12米进一步判断即可. 【详解】由题意知， 平面，， ，，. 因为平面，所以，. 在 中，，所以. 在中， ，所以. 在中，由余弦定理得，， 即，整理得， 即，解得或. 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 故. 14. 在三棱锥 中，平面平面，，，，则三棱锥 的外接球的表面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平面平面，由 和的外接圆圆心位置即半径确定外接球的球心位置，再利用勾股定理求得外接球的半径即可求出表面积. 【详解】中，易知，可得； 在 中，易知，可得； 易知 和的外接圆半径分别为； 取的中点为，设 和的外接圆圆心分别为，三棱锥 的外接球的球心为，如下图所示： 易知，且，又平面平面，所以平面； 同理可得，平面； 由球心性质可知平面，平面； 因此可知，所以四边形为平行四边形，可得； 所以三棱锥 的外接球的半径为； 因此外接球的表面积为. 四、解答题：本题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某高校承办了地铁站的志愿者选拔面试工作，现随机抽取了200名候选人的面试成绩（成绩均在内）并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）求a的值，并估计这200名候选者面试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）现从第四组和第五组中用分层随机抽样的方法选取20人的成绩，若这20人中来自第四组候选者的面试成绩的平均数和方差分别为80和6.5，来自第五组候选者的测试成绩的平均数和方差分别为90和3.5，据此估计这次第四组和第五组所有参与测试的候选者的成绩的方差． 【答案】（1），平均数为69.5 （2）21.9 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形面积和为1，可得a值，根据频率分布直方图中平均数的求法，代入数据，即可得答案. （2）根据第四组和第五组的频率之比，可得合并后的平均数，根据合并后的方差的公式，代入求解，即可得答案. 【小问1详解】 由题意知，解得． 估计这200名候选者面试成绩的平均数， 即估计这200名候选者面试成绩的平均数为69.5． 【小问2详解】 设第四组、第五组候选者的测试成绩的平均数和方差分别为，，，， 则，，，， 且这两组的频率之比为4：1，则这两组的平均数为， 所以第四组和第五组所有参与测试的候选者的测试成绩的方差为： 所以第四组和第五组所有参与测试的候选者的成绩的方差为21.9． 16. 已知平面向量，且， （1）求在方向的投影向量的坐标； （2）若，且，求向量的坐标； （3）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）利用在上的投影向量为求解即可； （2）设，然后根据已知条件列方程组求解即可； （3）由题意可得且与不共线，从而可求出实数的取值范围. 【小问1详解】 ，， 故，所以 所以在上的投影向量为 所以在上的投影向量为. 【小问2详解】 设，， ，又， 或， 或 【小问3详解】 因为， 所以，， 因为与的夹角为锐角， 所以且与不共线 即 解得且 即k的取值范围是 17. 已知圆锥的侧面展开图为半圆，母线长为． （1）求圆锥的体积； （2）在该圆锥内按如图所示放置一个圆柱，求圆柱侧面积的最大值，并求出此时圆柱的高． 【答案】（1） （2） 最大值为，此时圆柱的高为. 【解析】 【分析】（1）利用圆锥侧面展开图半圆弧长等于圆锥底面周长，结合已知母线长求出圆锥底面半径，再由勾股定理得圆锥的高，代入体积公式计算得体积； （2）利用轴截面的相似三角形建立圆柱底面半径与高的关系，将侧面积表示为二次函数，利用二次函数性质即可求得最大值及对应圆柱的高. 【小问1详解】 设圆锥的母线长为，底面半径为 ，高为 . 已知母线长​，圆锥侧面展开图为半圆， 因此半圆的弧长等于圆锥底面周长，即，代入​，得， 圆锥的高. 因此圆锥的体积为. 【小问2详解】 设圆柱的底面半径为 ，高为. 由相似三角形（小圆锥的轴截面与原圆锥的轴截面相似）， 可得比例关系. 圆柱侧面积公式为，代入 得 这是关于的开口向下的二次函数，当时，二次函数取得最大值， 代入得最大侧面积. 因此圆柱侧面积的最大值为，此时圆柱的高为. 18. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，． （1）求角A； （2）若D是线段的中点，且，求； （3）若为锐角三角形，求的周长的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先应用正弦定理化边为角，再应用两角和的正弦公式计算化简得出角； （2）先根据向量关系，左右两边平方后结合余弦定理得出，进而得出面积即可； （3）应用正弦定理边角转化应用辅助角公式化简，再根据角的范围应用正弦函数的性质求解． 【小问1详解】 解：由正弦定理可知， ， ， 又，， ， ，， ，； 【小问2详解】 解：由（1）及余弦定理得 ，即①， 又因为，则， 则， 即， 所以②， 由得， 所以； 【小问3详解】 解：由（1）得，则， 即， 由正弦定理可知，， 所以 ． 因为为锐角三角形，所以，， 则，， 则，即， 则， 故的周长的取值范围为． 19. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，，，底面． （1）证明: 平面平面 ； （2）设平面平面于直线l，证明：； （3）若在线段BC上是否存在点 F，使得 平面PAB，若存在点 F，则为何值时，直线EF与底面ABCD所成角为. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）存在， 【解析】 【分析】（1） 可证平面 ，由面面垂直的判定定理即可证明； （2） 可证平面，由线面平行的性质定理即可证明； （3）由线面平行的判定定理得出点F在BC的处，再证得平面，所以即为EF与底面所成角，求解即可得出答案. 【小问1详解】 因为底面，平面，则， 又因为底面为正方形，则 ， 且，平面 ， 可得平面 ， 又因为平面PBD，所以平面平面 . 【小问2详解】 在正方形中，则， 且平面，平面，可知平面， 且平面 ，平面平面，所以. 【小问3详解】 存在点F在BC的处，使得 平面． 在线段PA上取点K，使，连接KE，KB，EF． 在中，，即， 则，且， 在正方形中，F在BC的处，则，且， 可得，且，可知为平行四边形， 则，且平面，平面，所以 平面， 在AD的处取点M，连接． 中，点E，M分别为的处，则，且， 因为平面，则平面，即EF在平面上的射影MF， 可知即为EF与底面所成角， 在中，， 若，，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $