精品解析：云南省文山州马关县第一中学校2024-2025学年高二下学期第二次月考数学试卷

马关县第一中学2024年秋季学期高二年级第二次月考试卷 数学 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.第I卷第1页至第3页，第II卷第3页至第4页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 第I卷（选择题，共58分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知直线的斜率为，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 在平行六面体中，向量是（ ） A. 有相同起点的向量 B. 等长的向量 C. 共面向量 D. 不共面向量 3. 已知椭圆的焦点在轴上，且焦距为4，则等于（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 4. 已知点是抛物线上一点，若到抛物线焦点的距离为5，且到轴的距离为4，则（ ） A. 1或2 B. 2或4 C. 2或8 D. 4或8 5. 已知双曲线的一条渐近线的斜率，一个焦点为，则双曲线的焦点到渐近线的距离为（ ） A. B. C. 3 D. 6 6. 已知空间四边形，，分别是边，的中点，点在线段上，且使，用向量，，表示向量是（ ） A. B. C. D. 7. 已知点，，点是圆上任意一点，则面积的最小值为（ ） A. 6 B. C. D. 8. 如图，椭圆的右顶点为，上顶点为，直线且在第一象限交椭圆于点，设与的交点为，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知空间中三点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 与是共线向量 C. 和夹角的余弦值是1 D. 与同向的单位向量是 10. 若圆上至多存在一点，使得该点到直线的距离为2，则实数可能为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，点为的右支上任意一点，点，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. 过点且与双曲线只有一个公共点的直线有2条 D. 存在直线与交于，两点，且为的中点 第II卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第II卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若为空间两两夹角都是的三个单位向量，则______． 13. 已知分别是椭圆的左，右焦点，P为椭圆C上的一点，且，则的面积为______． 14. 已知在长方体中，，若棱上存在点，使得，则的取值范围是________. 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 如图，O为坐标原点，过点P（2，0）且斜率为k的直线l交抛物线于，两点. （1）求的值； （2）求证：OM⊥ON. 16. 如图所示，四棱锥的底面是正方形，底面，为的中点，. （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离. 17. 已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）过点作圆的切线，求切线方程； （3）求直线上被圆所截得的弦长. 18. 如图1，在五边形中，四边形为正方形，，，如图2，将沿折起，使得A至处，且． （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值． 19. 已知椭圆的一个焦点是.直线与直线关于直线对称，且相交于椭圆的上顶点. （1）求椭圆的标准方程； （2）求的值； （3）设直线分别与椭圆另交于两点，证明：直线过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 马关县第一中学2024年秋季学期高二年级第二次月考试卷 数学 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.第I卷第1页至第3页，第II卷第3页至第4页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 第I卷（选择题，共58分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知直线的斜率为，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由倾斜角与斜率关系即可求解. 【详解】设倾斜角为，，则，解得，故倾斜角为， 故选：A. 2. 在平行六面体中，向量是（ ） A. 有相同起点的向量 B. 等长的向量 C. 共面向量 D. 不共面向量 【答案】C 【解析】 【分析】 根据空间向量的概念和共面定理判断. 【详解】如图所示： 向量显然不是有相同起点的向量，A不正确； 由该平行六面体不是正方体可知，这三个向量不是等长的向量，B不正确. 又因为，所以共面，C正确，D不正确. 故选：C 3. 已知椭圆的焦点在轴上，且焦距为4，则等于（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】由椭圆标准方程，根据椭圆焦点的位置，建立方程，可得答案. 【详解】由条件可知，，即，，解得. 故选：B. 4. 已知点是抛物线上一点，若到抛物线焦点的距离为5，且到轴的距离为4，则（ ） A. 1或2 B. 2或4 C. 2或8 D. 4或8 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得到，，结合得到方程，求出的值. 【详解】由题意得，， 其中，故，解得或8， 故选：C 5. 已知双曲线的一条渐近线的斜率，一个焦点为，则双曲线的焦点到渐近线的距离为（ ） A. B. C. 3 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】由渐近线的斜率和焦点坐标，解出，进而求出顶点坐标与渐近线方程，再根据距离公式求解即可. 【详解】由题意，，，，，，， 双曲线的焦点到渐近线的距离为， 故选：A. 6. 已知空间四边形，，分别是边，的中点，点在线段上，且使，用向量，，表示向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量的加法运算法则及数乘代换即可. 【详解】如图 ， 故选：C. 7. 已知点，，点是圆上任意一点，则面积的最小值为（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出直线的方程，利用点到直线的距离，结合圆的性质求出点到直线距离的最小值即可求得最小值. 【详解】两点，，则，直线方程为， 圆的圆心，半径， 点到直线的距离， 因此点到直线距离的最小值为， 所以面积的最小值是. 故选：D 8. 如图，椭圆的右顶点为，上顶点为，直线且在第一象限交椭圆于点，设与的交点为，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】联立方程求出点的坐标，再由向量共线的坐标表示可得点的坐标，代入椭圆方程，化简整理，由椭圆的离心率公式可得所求值. 【详解】设椭圆的右顶点，上顶点， 则，且直线为， 由可得，所以直线为， 联立，解得，即， 因为，所以， 将代入椭圆方程化简得， 即，所以或（舍去）， 所以，即，所以离心率. 故选：B. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知空间中三点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 与是共线向量 C. 和夹角的余弦值是1 D. 与同向的单位向量是 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，求出模长即可；对于B，向量共线定理；对于C，向量数量积求角度；对于D，计算同向的单位向量，再比较即可 【详解】对于A，，，A正确； 对于B，，，，所以不共线，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，， 所以其同向的单位向量为，D正确. 故选：AD 10. 若圆上至多存在一点，使得该点到直线的距离为2，则实数可能为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据圆的方程确定圆心和半径以及，再结合题意列出相应不等式，即可求得答案. 【详解】圆即圆, 需满足，则圆心为，半径为 圆心到直线的距离为， 要使圆上至多存在一点，使得该点到直线的距离为2， 需满足，解得，结合选项可知6，7，8符合题意， 故选：BCD 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，点为的右支上任意一点，点，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. 过点且与双曲线只有一个公共点的直线有2条 D. 存在直线与交于，两点，且为的中点 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A：根据双曲线定义分析判断；对于B：可知在双曲线的渐近线上方，结合双曲线定义分析判断；对于C：根据直线与双曲线的位置关系以及渐近线的性质分析判断；对于D：利用点差法运算求解. 【详解】由双曲线的方程可知：，，，且焦点在x轴上， 则，，双曲线的渐近线方程为， 对于选项A：由双曲线的定义可得，故A正确； 对于选项B：由选项A可得：， 因为在双曲线的渐近线上方， 则， 当且仅当，，三点共线时，取得等号，故B正确； 对于选项C：当过的直线与双曲线相切时，有两条与双曲线只有一个公共点； 当过的直线与渐近线平行时，也有两条与双曲线只有一个公共点， 所以过点且与双曲线只有一个公共点的直线有4条，故C错误； 对于选项D：设，， 若为的中点，可得，， 因为，两式相减可得， 即为，可得直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 联立方程，消去y可得， 则， 即直线与双曲线相交，可得直线存在，故D正确； 故选：ABD. 第II卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第II卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若为空间两两夹角都是的三个单位向量，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先平方，结合向量的数量积公式求出，从而得到答案. 【详解】为空间两两夹角都是的三个单位向量， ， . 故答案为： 13. 已知分别是椭圆的左，右焦点，P为椭圆C上的一点，且，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】结合椭圆定义求得可得面积． 【详解】由椭圆方程知，， 因为，所以，所以， 所以． 故答案为：4． 14. 已知在长方体中，，若棱上存在点，使得，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设，，由得，即，利用二次函数即可求解. 【详解】如图建立空间直角坐标系，设，，则，，， ，， ，， 即，所以， 当时，所以，所以. 故答案为：. 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 如图，O为坐标原点，过点P（2，0）且斜率为k的直线l交抛物线于，两点. （1）求的值； （2）求证：OM⊥ON. 【答案】（1）4 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设出直线方程，将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理求解即可； （2）求出的值结合（1）中求出的值，直接证明即可. 【小问1详解】 直线l的方程为， 直线与抛物线联立得，消去y可得， 其中， 由韦达定理得； 【小问2详解】 证明：，，所以， 又∵，∴. 设OM，ON的斜率分别为，， 则，，有， 则OM⊥ON. 16. 如图所示，四棱锥的底面是正方形，底面，为的中点，. （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用空间向量与平面的法向量垂直可证结论正确； （2）根据点面距的向量公式可求出结果. 【小问1详解】 证明：以为坐标原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向，并均以1为单位长度，建立如图空间直角坐标系. 则，，，，， 所以，，. 设是平面的一个法向量， 则令，得，， 所以. 因为， 所以，又因为平面， 所以平面. 【小问2详解】 因为，， 设是平面的一个法向量， 则令，得，，所以. 所以点到平面的距离. 17. 已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）过点作圆的切线，求切线方程； （3）求直线上被圆所截得的弦长. 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）设圆心，通过半径求得，进而可求解； （2）通过讨论斜率存在与不存在，由圆心到直线距离等于半径，列出等式求解即可； （3）由弦长公式即可求解. 【小问1详解】 由题意设圆心， 因为， 即， 解得，即， 半径， 所以圆的标准方程为. 【小问2详解】 当切线的斜率不存在时，则切线方程为， 此时圆心到直线的距离为，符合条件； 当切线的斜率存在时，设过的切线的方程为， 即， 则圆心到切线的距离， 解得， 此时切线的方程为：， 即， 综上所述：过的切线方程为或. 【小问3详解】 圆心到直线的距离为， 所以弦长. 18. 如图1，在五边形中，四边形为正方形，，，如图2，将沿折起，使得A至处，且． （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由已知易得，即可证明线面垂直； （2）建立空间直角坐标系，用坐标公式法求解即可． 【小问1详解】 由题意得，，， 因为，则， 又，面，所以面， 又面，则， 又，，平面，平面， 所以平面． 【小问2详解】 取的中点，可知， 由，且可得， 所以四边形是平行四边形，所以，则平面， 设，以点为坐标原点，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，如图， 则， ， 设平面的一个法向量为， 则，即，取，则， 设平面的一个法向量为， 则，即，取，则， 所以， 由图可知，二面角为锐角， 所以面角的余弦值为 ． 19. 已知椭圆的一个焦点是.直线与直线关于直线对称，且相交于椭圆的上顶点. （1）求椭圆的标准方程； （2）求的值； （3）设直线分别与椭圆另交于两点，证明：直线过定点. 【答案】（1） （2） （3） 设，． 联立直线与椭圆：，得， 所以， 同理，， 又由（2）：，所以也可表示为， 所以直线的方程为， 化简得， 所以对任意的，总会过点． 故直线过定点． 【解析】 【分析】（1）由焦点和顶点坐标计算即可求出椭圆标准方程； （2）已知直线与直线关于直线对称，设对称点，利用对称关系列方程组求的值； （3）通过联立方程组求出两点坐标，求直线的方程，根据方程确定所过定点. 【小问1详解】 因为相交且关于直线对称，故的交点在直线上， 又直线与轴相交于点，则椭圆的上顶点为， 设椭圆的标准方程为，则， 又半焦距，得， 所以椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 由（1）可得. 设点是上任意异于的一点， 点是关于直线的对称点， 所以由得， 由得， 联立①、②，解得， 代入直线得． 又由点，在直线上可得，故， 所以，由得， 故的值为1； 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $