精品解析：云南昆明市呈贡区第一中学2025-2026学年高二下学期6月模拟检测数学试题

昆三中呈贡学校（呈贡一中）高2027届高二年级下学期 6月模拟考数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由已知得，所以. 2. ，是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】， ， 显然当成立时，不一定成立，例如， 当成立时，显然一定成立， 所以，是的必要不充分条件. 3. 在四边形中，，，为的中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】. 则 . 4. 某器形制呈“三层九枝，枝栖神鸟”.今制仿器，首层凡四，次层增三，每进一层，益数恒三，循序而增，乃成等差之序.意思是该仿制器物第1层的构件有4个，从第2层起每层的构件比前一层多3个.若按古制取前若干层构件总数恰好为116，则该层数为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【详解】由题意可知该器各层的构件数成等差数列，其中，公差， 则其前项和， 整理可得，即， 解得或（舍去），所以该层数为8. 5. 下列说法中，错误的个数为（ ） ①根据的列联表中的数据计算得出，而，则我们认为两个分类变量不独立，该推断犯错误的概率不超过5%； ②若甲、乙两组数据的相关系数分别为-0.98和0.95，则乙组数据的线性相关性更强； ③一个袋子中有50个大小相同、质地相同的球，其中有20个黄球，30个红球，从中不放回地随机摸出20个球作为样本，用随机变量表示样本中黄球的个数，则服从二项分布，并且 ④随机变量，且，则 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【详解】对于①，且，则我们认为在犯错误的概率不超过的前提下，认为两个分类变量不独立，①正确. 对于②，相关系数的绝对值越大，相关性越强，，故甲组数据的线性相关性更强，②错误. 对于③，因为是不放回随机抽样，所以随机变量服从超几何分布，③错误. 对于④，且，，又，，得，④错误. 综上，错误的个数为3个. 6. 当直线与圆相交所得弦长最短时，实数的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出直线过定点，求出圆的圆心和半径，当时，直线与圆相交所得弦长最短，根据斜率得到方程，求出答案. 【详解】直线过定点， 圆的标准方程为，则圆心为，半径为. 定点在圆内，当时，直线与圆相交所得弦长最短. 因为，所以直线的斜率为1，故，解得. 7. 一个三棱锥的三条侧棱、、两两互相垂直，且长度分别为，，，已知该三棱锥的四个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，把三棱锥补成一个长方体，结合长方体的对角线就是球的直径，求得外接球的半径，利用球的表面积公式，即可求解. 【详解】三棱锥中，共顶点S的三条棱两两相互垂直，且其长分别为， 因为三棱锥的四个顶点同在一个球面上， 则三棱锥是长方体的一个角，可扩展为长、宽、高分别为的长方体， 三棱锥的外接球与长方体的外接球相同，长方体的对角线就是球的直径， 设长方体的外接球的半径为，可得 所以外接球的半径为，可得外接球的表面积为． 8. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过作渐近线的垂线，垂足为P，若，且的面积为，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据焦点到渐近线的距离可得，结合可得，进而得到并计算离心率即可． 【详解】设点，渐近线方程为，即, 则点到渐近线的距离为， 又，， ， 解得，则， ． 二、多选题（每题6分，选不全得部分分，错选不得分，共18分） 9. 下列说法正确的有（ ） A. 一组数据1，2，3，4，5，6，7，8的第30百分位数为3 B. 若随机变量，则 C. 若事件，满足，则与是对立事件 D. 若事件，满足，则事件，相互独立 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于选项A，可知，所以8个数据的第30百分位数为第3个数字，即3，所以A正确； 对于选项B，由二项分布可知，所以B正确； 对于选项C，由无法得出，所以无法判定与是否是对立事件，所以C错误； 对于选项D，可知， 可得，化简得，即事件，相互独立，所以D正确； 10. 数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（ ） A. 是递减数列 B. C. ，，成等差数列 D. 当或4时，取得最大值 【答案】ACD 【解析】 【分析】由的关系求得通项公式，再结合等差数列的性质逐项判断即可. 【详解】当时，， 又，所以，则是递减数列，故A正确； ，故B错误； 因为，所以，故数列为等差数列， 所以，，成等差数列，故C正确； 因为的对称轴为，开口向下，而是正整数，且或距离对称轴一样远， 所以当或时，取得最大值，故D正确． 11. 一个匀速旋转的摩天轮每12分钟旋转一周，最低点距离地面2米，最高点距离地面18米．已知游客在距离地面最近的位置进舱，游客距离地面的高度h（米）关于进舱时间t（分钟）的函数解析式为（其中，，），则正确的有（ ） A. B. C. D. 从登上摩天轮的时刻开始计时，经过8分钟，游客与地面的距离为14米 【答案】ABD 【解析】 【详解】由已知，解得，，故A正确； 因为摩天轮每分钟旋转一周，所以，即，故，B正确； 由最低点距离地面米得：，从而， 因为，，故C不正确； 综上， 当时，，故D正确. 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知复数，则________，其中复数的虚部为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【详解】由，则， 所以，的虚部为． 13. 二项式的展开式中常数项为第__________项． 【答案】 【解析】 【分析】利用二项式展开式的通项公式，令的指数为0求出r，即可得到常数项对应的项数. 【详解】展开式的第项为：，其中 令，得到，故展开式中常数项为第项. 14. 已知抛物线C：的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C交于M、N两点，点M在第一象限，若，则直线l的斜率为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点M，N作准线的垂线段，利用抛物线定义结合直角三角形求解作答． 【详解】解：如图，过点M，N作抛物线准线的垂线，垂足分别为A，B， 过N作于P，显然四边形是矩形， 因直线过抛物线的焦点，交抛物线于，由抛物线定义知，， 而，则， ， 设直线的倾斜角为，在，，则，． 四、解答题 15. 在锐角中，，，分别为内角，，的对边，满足． （1）求角的大小； （2）求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 在中，因为， 由正弦定理得 ， 即，而，则，又， 所以． 【小问2详解】 由（1）得，由锐角，得，解得， 因此 ， 由，得，即， 所以的范围是． 16. 已知函数． （1）当时 （ⅰ）求在处的切线方程 （ⅱ）求函数的单调区间； （2）若对任意，恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ）的单调减区间是，单调增区间是 （2） 【解析】 【分析】(1)先求导，求出点的斜率和函数值，利用点斜式即可求切线方程，求导即可求出单调区间 (2)写出不等式，分离参数，构造新函数求导，求出最大值即可求出的取值范围 【小问1详解】 （ⅰ）当时，函数的定义域是，， ，，由点斜式可得；， 所以切线方程为； （ⅱ）令，得，解得，所以的单调减区间是， 令，得 ，解得，所以的单调增区间是， 综上，的单调减区间是，单调增区间是； 【小问2详解】 由任意， 知 恒成立， 因为，故，在上恒成立， 设，则， 令，得，(舍去)， 当时，，单调递增，，，单调递减， 故，取得极大值，也是最大值，且 ， 所以若在上恒成立，则 ， 故实数的取值范围是. 17. 如图，在直三棱柱中，，，，点E，F分别为线段和的中点. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求直线与直线间的距离. 【答案】（1）证明：（方法一）连接，如图所示： 因为，且四边形为矩形， 所以， 又因为，所以， 因为平面，平面， 所以平面； （方法二）因为，，两两垂直， 以为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴， 建立如图所示空间直角坐标系： 可得，，，， ，，，， 平面的一个法向量为， ，， ∵平面. ∴平面. （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）（方法一）连接，由中位线的定义可得，由线面平行的判定定理即可得证；（方法二）以为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴，利用空间向量法证明即可； （2）利用空间向量法求解即可； （3）利用空间向量法，转化为求点E到直线的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）的方法二可知： ，，. 设平面的一个法向量为， 则， 取，可得，， 所以， 设直线与平面所成角为， 可得， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 由（1）的方法二可知： ，，， ，∴. 则直线与直线间的距离转化为点E到直线的距离， . 所以直线与直线间的距离为. 18. 现有标号依次为1，2，…，的个盒子（其中），标号为1号的盒子里有2个红球和2个白球，其余盒子里都是1个红球和1个白球．现从1号盒子里取出2个球放入2号盒子，再从2号盒子里取出2个球放入3号盒子，…，依次进行到从号盒子里取出2个球放入号盒子为止． （1）当时，求2号盒子里有2个红球的概率； （2）当时，求3号盒子里的红球的个数的分布列； （3）记号盒子中红球的个数为，求第号盒子有两个红球和两个白球的概率及的期望． 【答案】（1） （2）分布列 1 2 3 （3），【解析】 【分析】（1）计算从1号盒取出1红1白的组合数与总取法组合数的比值，即为所求事件概率. （2）先确定的所有可能取值，对每个取值分情况计算两步取球的概率乘积之和，整理得到分布列. （3）对于一般情形的，引入变量分别表示第号盒为3红1白、2红2白的概率，根据取放球规则建立概率递推关系，构造等比数列求解2红2白的概率，再结合期望定义与递推恒等式简化计算期望. 【小问1详解】 设事件号盒子里有2个红球， 由题可知2号盒子里有2个红球的概率为； 【小问2详解】 由题可知可取1，2，3， ， ， 所以3号盒子里的红球的个数的分布列为 1 2 3 【小问3详解】 记为第号盒子有三个红球和一个白球的概率，则， 为第号盒子有两个红球和两个白球的概率，则， 则第号盒子有一个红球和三个白球的概率为， 且，化简得① 得， 而，则数列为等比数列，首项为，公比为，所以， 所以第号盒子有两个红球和两个白球的概率为． 又由② 由①②得 所以 又因为，所以 因此． 【点睛】方法归纳：本题为概率与数列结合的综合题，求解多轮操作的概率问题时，可通过定义状态变量建立递推关系，构造等差或等比数列求解通项；期望计算可先推导状态变量的恒等式，简化运算无需逐一求解所有状态的概率. 19. 已知椭圆的左、右顶点分别为，，直线与椭圆交于点，. （1）求椭圆的标准方程与离心率； （2）若直线与圆 交于点，，直线，与椭圆的另一个交点分别为点，，求证：对任意，直线过定点． 【答案】（1），离心率. （2） 由，解得或， 不妨设，，因为，所以，， 设直线的方程为，则，， 由，消去整理得， 则，所以，， 当时，直线趋向于椭圆在点处的切线，此时直线过点，下面就一般情况验证. 则， 同理，可得，所以， 所以三点共线. 所以对任意，直线过定点. 【解析】 【分析】（1）根据题意建立方程求得，进而求得标准方程，再根据关系求得，求得离心率； （2）由题，不妨设，，设直线的方程为，则，，与椭圆方程联立，求出点的坐标；由时，猜想直线过点，求出验证. 【小问1详解】 由题意得，，解得，所以椭圆的方程为. 因为，所以离心率. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昆三中呈贡学校（呈贡一中）高2027届高二年级下学期 6月模拟考数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. ，是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 在四边形中，，，为的中点，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 某器形制呈“三层九枝，枝栖神鸟”.今制仿器，首层凡四，次层增三，每进一层，益数恒三，循序而增，乃成等差之序.意思是该仿制器物第1层的构件有4个，从第2层起每层的构件比前一层多3个.若按古制取前若干层构件总数恰好为116，则该层数为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 5. 下列说法中，错误的个数为（ ） ①根据的列联表中的数据计算得出，而，则我们认为两个分类变量不独立，该推断犯错误的概率不超过5%； ②若甲、乙两组数据的相关系数分别为-0.98和0.95，则乙组数据的线性相关性更强； ③一个袋子中有50个大小相同、质地相同的球，其中有20个黄球，30个红球，从中不放回地随机摸出20个球作为样本，用随机变量表示样本中黄球的个数，则服从二项分布，并且 ④随机变量，且，则 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 当直线与圆相交所得弦长最短时，实数的值为（ ） A. 1 B. C. D. 7. 一个三棱锥的三条侧棱、、两两互相垂直，且长度分别为，，，已知该三棱锥的四个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过作渐近线的垂线，垂足为P，若，且的面积为，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，选不全得部分分，错选不得分，共18分） 9. 下列说法正确的有（ ） A. 一组数据1，2，3，4，5，6，7，8的第30百分位数为3 B. 若随机变量，则 C. 若事件，满足，则与是对立事件 D. 若事件，满足，则事件，相互独立 10. 数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（ ） A. 是递减数列 B. C. ，，成等差数列 D. 当或4时，取得最大值 11. 一个匀速旋转的摩天轮每12分钟旋转一周，最低点距离地面2米，最高点距离地面18米．已知游客在距离地面最近的位置进舱，游客距离地面的高度h（米）关于进舱时间t（分钟）的函数解析式为（其中，，），则正确的有（ ） A. B. C. D. 从登上摩天轮的时刻开始计时，经过8分钟，游客与地面的距离为14米 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知复数，则________，其中复数的虚部为________． 13. 二项式的展开式中常数项为第__________项． 14. 已知抛物线C：的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C交于M、N两点，点M在第一象限，若，则直线l的斜率为______． 四、解答题 15. 在锐角中，，，分别为内角，，的对边，满足． （1）求角的大小； （2）求的取值范围． 16. 已知函数． （1）当时 （ⅰ）求在处的切线方程 （ⅱ）求函数的单调区间； （2）若对任意，恒成立，求实数a的取值范围． 17. 如图，在直三棱柱中，，，，点E，F分别为线段和的中点. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求直线与直线间的距离. 18. 现有标号依次为1，2，…，的个盒子（其中），标号为1号的盒子里有2个红球和2个白球，其余盒子里都是1个红球和1个白球．现从1号盒子里取出2个球放入2号盒子，再从2号盒子里取出2个球放入3号盒子，…，依次进行到从号盒子里取出2个球放入号盒子为止． （1）当时，求2号盒子里有2个红球的概率； （2）当时，求3号盒子里的红球的个数的分布列； （3）记号盒子中红球的个数为，求第号盒子有两个红球和两个白球的概率及的期望． 19. 已知椭圆的左、右顶点分别为，，直线与椭圆交于点，. （1）求椭圆的标准方程与离心率； （2）若直线与圆 交于点，，直线，与椭圆的另一个交点分别为点，，求证：对任意，直线过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $