精品解析：四川成都外国语学校2025-2026学年高二下学期零诊模拟数学试卷

成都市外国语学校高中2024级零诊模拟 数学试卷 说明： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，共4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效．考试结束后，将答题卡交回． 2．本试卷满分150分，120分钟完卷． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．） 1. 数列的第9项为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】数列， 分子：，是等差数列，首项为 ，公差为 ，所以通项为； 分母：，通项为， 故数列的通项为， 所以第9项：. 2. 设，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正态分布的对称性可求得结果. 【详解】因为，则. 故选：A. 3. 在等比数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】已知，， 根据等比数列的性质可得，则，即，解得. 同理可得，则，即，解得. 在等比数列中，，成等比数列，根据等比中项的性质可得， 则. 4. 抛物线（）的焦点的纵坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得，解得，故焦点坐标为，焦点的纵坐标为. 5. 若函数在上存在单调递增区间，则实数 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，. 函数在上存在单调递增区间， 在上有解，即在上有解； 在上有解，即. 令，； 在上单调递减， 时，取得最大值； ，即实数 的取值范围为. 6. 已知为等比数列，和是函数的两个极值点，则（ ） A. -1013 B. 1014 C. -1014 D. 1013 【答案】B 【解析】 【详解】，求导可得， 和是 的两个极值点，即和是 的两个根， 根据韦达定理可得，， 因为是等比数列，所以， 因此． 7. 2026年5月8日，郑州中学红梅街校区第二届科技节盛大举行，活动内容丰富多样，包括机器人对抗赛、科技盲盒实验室、编程闯关挑战、无人机飞行表演、VR虚拟体验等多个项目，受到了全校师生的热烈欢迎和一致好评.现从报名的同学中选出5位在科技方面各有特长的同学（分别擅长机器人、编程、3D建模、无人机操作、VR内容制作），要将他们分配到3个不同的活动展台（分别是：“智能硬件体验区”“创意编程工坊”“未来科技演讲台”），每个展台至少安排一名同学负责讲解与展示.那么，符合要求的分配方案共有多少种？ （ ） A. 90 B. 100 C. 150 D. 180 【答案】C 【解析】 【分析】分1，1，3和2，2，1两种情况，分别求出分组数，结合排列，组合知识进行求解 【详解】把这5个同学分配到3个不同的活动展台，每个展台至少安排一名同学，分组方式有两种： ①按1，1，3分组：先从5个中选3个为一组，剩下的2个各成一组， 可得不同的分组数为； ②按2，2，1分组：先从5个中选2个为一组，再将剩下的3个中选2个为一组，最后1个为一组， 可得不同的分组数为， 最后分配到3个不同的活动展台，共有种不同的方法． 8. 已知定义在上的函数，其导函数为，不等式恒成立．若对，不等式恒成立，则 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造函数，判断单调性及奇偶性，去掉函数符号，转化为恒成立,分离参数求最值即可求解. 【详解】令，依题意，． 函数在上单调递增． 对，不等式恒成立， , 即， ． 当时，， 则， 则；； 故 在单调递减，在单调递增； 可得 时，函数 取得极小值即最小值， ． 当时，，此时，在上单调递减， 又时，，且，则 则 的取值范围是. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知函数，则（ ） A. 当 时，函数有最大值 B. 若函数图象的对称中心为，则 C. 函数在上一定存在减区间 D. 函数可能有2个零点 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，求导根据函数的单调性判断即可；对于B，二阶导数求对称中心横坐标或利用对称中心定义判断即可；对于C，求导，结合判别式大于零解出减区间即可判断；对于D，因式分解，结合判别式大于零进行判断即可. 【详解】对于A，当 时，， 当 时，在上单调递增， 当 无限趋于正无穷大时，也无限趋于正无穷大，所以没有最大值，故A错误； 对于B，法一：，令，则， 结合三次函数对称性可知，，所以 ，故B正确； 法二：若函数图象的对称中心为，则对任意实数，恒有， 代入化简得，解得 ，故B正确； 对于C，，令 ， 解得或， 当时 ，所以在上单调递减，故C正确； 对于D，， 令，又， 所以有两个不为0的根，所以有3个零点，故D错误. 10. 设是等差数列的前n项和，若，，则（ ） A. B. 中最小值为 C. 当取得最大值时， D. 使成立的最大整数n为14 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，利用等差数列的求和公式和等差数列的性质，求得，且，，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【详解】A，由，可得， 因为，可得，所以，正确； B，由A分析且，所以且，正确； C，在等差数列中，由且， 当时，得；当时，得， 所以取得最大值时，，错误； D，由，且， 所以使得成立的最大整数 为，正确. 11. 已知甲口袋中装有 个红球， 个白球， 个黑球，乙口袋中装有 个红球， 个白球， 个黑球，这些球只有颜色不同．先从甲口袋中随机取出 个球放入乙口袋，再从乙口袋中随机取出 个球．记从甲口袋中取出的球是红球、白球、黑球分别为事件、、，从乙口袋中取出的球是红球为事件B，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项：由乘法公式计算即得；B选项：运用全概率公式求解即得；C选项：由贝叶斯概率公式计算即得；D选项：利用条件概率公式分别计算和，比较两个概率的大小即可. 【详解】对于A，由概率的乘法公式得，所以A正确； 对于B，由全概率公式得 ，故B错误； 对于C，由贝叶斯公式得，故C正确； 对于D，由条件概率公式得， ，因，故D正确． 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．将答案直接填在答题卡上） 12. 的展开式中的常数项是______. 【答案】15 【解析】 【分析】利用展开式的通项，当 的指数为0时，求展开式的常数项. 【详解】的展开式的通项为，， 令，得 ， 所以的展开式中的常数项是. 故答案为：15 13. 若曲线，则曲线在 的切线方程为_______________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出切点，再根据导数的几何意义求出斜率，代入点斜式方程求出直线方程即可. 【详解】解：由题可得， 当 时，，， 所以切点坐标为，斜率为， 因此切线方程为，即. 14. 在探究的展开式的二项式系数性质时，我们把系数列成一张表，借助它发现了一些规律．在我国南宋数学家杨辉年所著的《详解九章算法》一书中，出现了这个表，我们称这个表为杨辉三角．杨辉三角是中国古代数学中十分精彩的篇章．杨辉三角如图所示： 如上图，杨辉三角第 行的 个数依次为，，…，．现将杨辉三角中第行的第个数乘以，第 行的一个数为 ，得到一个新的三角数阵如下图： 在这个新的三角数阵中，第行的第 个数为________；第行的所有数的和为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由杨辉三角及二项式系数得出新的三角数阵中第 行的第 个数为；从而得到新的三角数阵中第 行的和为：，令，，两边求导得，再通过赋值，即可求解. 【详解】由题可得杨辉三角中第 行的第 个数为， 则新的三角数阵中第 行的第 个数为，故第10行的第3个数为， 新的三角数阵中第 行的和为：， 设，， 两边求导得，， 令 得，， 所以新的三角数阵中第 行的和为. 故答案为：90，． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 如图，四棱锥 的底面 是矩形，平面 ，点 是棱上的动点，点 是棱 中点， ，，． （1）求证： ； （2）若中点为 ，求直线 与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）因为平面 ，所以，， 在矩形 中：，则、 、 两两互相垂直，以 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：、、，设， 故，，， 所以，即. （2）. 【解析】 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 因为、、、、， 故，，， 设平面的一个法向量为，则，即， 化简得，令，得，所以，， ，， ， 设直线 与平面所成角为，则， 所以直线 与平面所成角的正弦值为. 16. 已知是数列的前 项和，且． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前 项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)利用可得最后一项，再检验首项，即可得通项公式； (2)利用裂项相消法即可求和. 【小问1详解】 由， 当 时，， 当 时，可得， 两式相减得：，所以有， 也符合上式， 所以； 【小问2详解】 当 时，有 当 时，有， 所以有 . 17. 为响应年青少年拔尖创新人才培养计划，某高校面向全市中学选拔优秀学生，开设数学、物理、化学、信息技术四门学科科研夏令营活动． （1）若数学组的 名学员中恰有 人来自同一中学，从这 名学员中选取 人，表示选取的人中来自该中学的人数，求的分布列和数学期望； （2）在学营开幕式的晚会上，数学组举行了一次学科知识竞答活动．规则如下：两人一组，每人答 题，答对不少于 题则获胜，假设每轮答题结果互不影响．已知甲、乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率都为，如果甲、乙两位同学想在此次竞答活动中取得 轮胜利，那么理论上至少要参加多少轮竞赛？ 【答案】（1）分布列见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）根据超几何分布列出分布列，计算数学期望即可； （2）先求每轮答题中取得胜利的概率，再应用独立重复实验数学期望的范围求出最少轮数. 【小问1详解】 由题意可知的可能取值有， ，， ，， 所以，随机变量的分布列如下表所示： 0 1 2 3 所以. 【小问2详解】 甲、乙两人在一轮竞赛中总共答对的题数为随机变量 Y ， 由题意可知，每人答 2 题，两人共答 4 题，每道题答对的概率均为,且各题答对与否相互独立， 因此 Y 服从二项分布，则他们在每轮答题中取得胜利的概率为： 设他们小组在 轮答题中取得胜利的次数为，则，， 由，即，解得， 而，则，所以理论上至少要进行 轮答题． 18. 已知椭圆 ：（）的离心率为，以椭圆 的四个顶点为顶点的四边形周长为． （1）求椭圆 的方程； （2）过点且斜率存在的直线与椭圆 交于不同的两点 ， ， ①当，求直线的斜率； ②过点 和（）的直线与椭圆 的另一个交点为 ，与分别表示与的面积．若，求的值． 【答案】（1）； （2）①；②1 【解析】 【分析】（1）根据离心率和四边形周长得到方程，求出，得到椭圆方程； （2）①设出直线方程，联立椭圆方程，根据弦长得到方程，求出直线的斜率； ②由面积公式得，点关于 轴对称，并根据得到方程，求出答案 【小问1详解】 由离心率可得，即, 椭圆 的四个顶点为顶点的四边形周长为，可得， 联立解得， 所以椭圆方程为； 【小问2详解】 ①过点且斜率存在的直线方程设为， 代入可得， ，解得， 设，则（*）， ， 又，所以， 整理得，解得或(舍去) 又，则得，即直线的斜率为； ②由得， 则， 由点 在线段 上，得均是锐角，则， 点关于 轴对称，于是点，则， 由三点共线，得， 即， 整理得， 将（*）代入，得，解得 ，满足. 故的值为1. 19. 设函数，． （1）讨论函数的单调性； （2）若恒成立，求 的取值范围； （3）已知 ，方程有两个不等实根，，方程有两个不等实根，，试判断与的大小关系，并证明你的结论． 【答案】（1） 在 上单调递减，在 上单调递增. （2） . （3）.证明如下： 因为方程有两个不等实根，，不妨设, 所以，， 化简得，即， 令，其中，则，所以， 解得，则解得； 因为方程有两个不等实根，，不妨设, 所以，， 化简得，即， 令，其中，则，所以， 解得，解得； 设，其中 ，令，， 则，， ， ， 因为，所以，，，， 令，其中， 则， ，当 时，，所以在 上单调递减， ，所以在 上单调递增， 当时，，，所以，则， 所以 在 上单调递减， 因为，所以，所以， 则，所以，即. 【解析】 【分析】（1）函数 的定义域 ，求导得，由的正负求函数得单调区间. （2）对不等式化简变形，构造，利用导数的正负判断函数的单调性，求出最小值，进一步确定参数 的取值范围. （3）根据题意构造参数，，再进一步构造函数： .利用导数的单调性判断和的大小，进一步判断与的大小关系. 【小问1详解】 因为的定义域为 ，， 令得， ；令得， ；令得，， 所以， 在 上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 由，得，即， 令，，则恒成立，即， ， 令得，；令得，；令得，， 所以，在上单调递减，在上单调递增， ， 则,得，解得 ，故 的取值范围为 . 【小问3详解】 略. 【点睛】方法归纳： 1.恒成立问题：构造函数，导数求最值，转化最值不等式求解参数. 2.零点乘积比较：构造比值型辅助函数，利用单调性比较根的乘积大小. 易错归纳： 1.忽视对数函数的定义域；对求导易算错. 2.恒成立混淆“最小值>常数”与“最大值>常数”. 3.构造辅助函数，求导符号判断失误，导致乘积结论出错. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都市外国语学校高中2024级零诊模拟 数学试卷 说明： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，共4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效．考试结束后，将答题卡交回． 2．本试卷满分150分，120分钟完卷． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．） 1. 数列的第9项为（ ） A. B. C. D. 2. 设，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 在等比数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 抛物线（）的焦点的纵坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 若函数在上存在单调递增区间，则实数 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知为等比数列，和是函数的两个极值点，则（ ） A. -1013 B. 1014 C. -1014 D. 1013 7. 2026年5月8日，郑州中学红梅街校区第二届科技节盛大举行，活动内容丰富多样，包括机器人对抗赛、科技盲盒实验室、编程闯关挑战、无人机飞行表演、VR虚拟体验等多个项目，受到了全校师生的热烈欢迎和一致好评.现从报名的同学中选出5位在科技方面各有特长的同学（分别擅长机器人、编程、3D建模、无人机操作、VR内容制作），要将他们分配到3个不同的活动展台（分别是：“智能硬件体验区”“创意编程工坊”“未来科技演讲台”），每个展台至少安排一名同学负责讲解与展示.那么，符合要求的分配方案共有多少种？ （ ） A. 90 B. 100 C. 150 D. 180 8. 已知定义在上的函数，其导函数为，不等式恒成立．若对，不等式恒成立，则 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知函数，则（ ） A. 当 时，函数有最大值 B. 若函数图象的对称中心为，则 C. 函数在上一定存在减区间 D. 函数可能有2个零点 10. 设是等差数列的前n项和，若，，则（ ） A. B. 中最小值为 C. 当取得最大值时， D. 使成立的最大整数n为14 11. 已知甲口袋中装有个红球， 个白球， 个黑球，乙口袋中装有 个红球， 个白球，个黑球，这些球只有颜色不同．先从甲口袋中随机取出个球放入乙口袋，再从乙口袋中随机取出个球．记从甲口袋中取出的球是红球、白球、黑球分别为事件、、，从乙口袋中取出的球是红球为事件B，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．将答案直接填在答题卡上） 12. 的展开式中的常数项是______. 13. 若曲线，则曲线在 的切线方程为_______________. 14. 在探究的展开式的二项式系数性质时，我们把系数列成一张表，借助它发现了一些规律．在我国南宋数学家杨辉年所著的《详解九章算法》一书中，出现了这个表，我们称这个表为杨辉三角．杨辉三角是中国古代数学中十分精彩的篇章．杨辉三角如图所示： 如上图，杨辉三角第 行的 个数依次为，，…，．现将杨辉三角中第行的第个数乘以，第 行的一个数为 ，得到一个新的三角数阵如下图： 在这个新的三角数阵中，第行的第 个数为________；第行的所有数的和为________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 如图，四棱锥 的底面是矩形，平面，点 是棱上的动点，点 是棱 中点， ，，． （1）求证： ； （2）若中点为 ，求直线 与平面所成角的正弦值． 16. 已知是数列的前项和，且． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 17. 为响应年青少年拔尖创新人才培养计划，某高校面向全市中学选拔优秀学生，开设数学、物理、化学、信息技术四门学科科研夏令营活动． （1）若数学组的 名学员中恰有 人来自同一中学，从这 名学员中选取 人，表示选取的人中来自该中学的人数，求的分布列和数学期望； （2）在学营开幕式的晚会上，数学组举行了一次学科知识竞答活动．规则如下：两人一组，每人答 题，答对不少于 题则获胜，假设每轮答题结果互不影响．已知甲、乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率都为，如果甲、乙两位同学想在此次竞答活动中取得 轮胜利，那么理论上至少要参加多少轮竞赛？ 18. 已知椭圆 ：（）的离心率为，以椭圆 的四个顶点为顶点的四边形周长为． （1）求椭圆 的方程； （2）过点且斜率存在的直线与椭圆 交于不同的两点 ， ， ①当，求直线的斜率； ②过点 和（）的直线与椭圆 的另一个交点为 ，与分别表示与的面积．若，求 的值． 19. 设函数，． （1）讨论函数的单调性； （2）若恒成立，求 的取值范围； （3）已知 ，方程有两个不等实根，，方程有两个不等实根，，试判断与的大小关系，并证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $