江苏徐州市科技中学2026年中考打靶卷（一）九年级数学试题

**基本信息** 这份九年级数学打靶卷以文化传承（如《算法统宗》分银问题）、生活实践（如测量旗杆、抖音销售利润）为情境，通过基础巩固（运算、方程）、能力提升（几何证明、函数应用）、创新应用（双曲线旋转、国际标准纸折叠）的梯度设计，全面覆盖代数、几何、统计与概率知识，适配中考模拟需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|运算、统计、几何性质|第6题以古代数学著作情境考方程，渗透文化传承| |填空题|10/30|函数、因式分解、圆|第16题正六边形面积计算，考查几何直观与空间观念| |解答题|10/86|代数运算、几何证明、综合实践|24题测量旗杆实践探究，28题国际标准纸折叠创新，体现应用意识与创新意识|

2025—2026 学年度徐州市科技中学打靶卷（一） 九年级数学试题 （全卷共 140 分，考试时间 120 分钟） 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分. 在每小题给出的四个选项中，恰有一项符合要求.） 1．下列运算的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 2．若零上记作，则零下记作（    ） A． B． C． D． 3．在“庆五四·展风采”的演讲比赛中，7位同学参加决赛，演讲成绩依次为：77，80，79，77，80，79，80．这组数据的中位数是（    ） A．77 B．78 C．79 D．80 4．已知，则一定有，“”中应填的符号是（    ） A． B． C． D． 5．一个等腰三角形一边长为，另一边长为，则这个等腰三角形的周长为（   ） A． B． C．或 D． 6．中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个题目：隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤，问人、银各几何？其大意是：几个人分银子，若每人分7两，则剩余4两；若每人分9两，则差8两（古代的半斤即为8两），问有多少人？有多少两银子？设有人，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，下述结论正确的有（   ） ①平分；②的周长等于 ③；④点是线段的三等分点 A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ 8．如图，点在双曲线（且）上，作轴于点A，轴于点C，将四边形绕点A顺时针旋转得到四边形，若双曲线经过的中点P，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分.） 9．要使二次根式有意义，则的取值应满足_________________． 10．在2025年中国前三季度GDP百强城市排名中，绵阳排在第79位，GDP达3198.1亿元．将数据3198.1亿用科学记数法表示为________． 11．分解因式：_____． 12．若一个圆锥的底面半径为，母线长为，则其侧面展开图的圆心角是_____． 13．如图是一次函数的图象，则关于的方程的解为___________． 14．若点在第二象限， 则a的取值范围是____________． 15．不解方程，判断一元二次方程的根的情况是_____． 16．如图，在一个边长为6的正六边形中，中间空白部分的五边形面积为10，则阴影部分的面积和是_____． 17．若是二元一次方程的一个解，则的值是______． 18．如图，在中，，，是内一点，，，，则的面积是_____． 三、解答题（本大题共 10 小题，共 86 分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 19．（10分）计算： 20．（10分）先化简，再求值：，其中． 21．（7分）如图，四边形中， ，，，，垂足为E． (1)求证：； (2)若，求的度数． 22．（8分）为了解九年级学生的数学运算能力，某校对全体九年级学生进行了数学运算水平测试，并随机抽取了部分学生的成绩（满分100分），按成绩划分为A，B，C，D四个等级，制作了如下不完整的统计表和统计图． 成绩频数分布表 等级 　成绩(x分) 频数 A 72 B C 12 D 6 成绩扇形统计图    请根据以上信息，解答下列问题： (1)本次调查的样本容量是__________，C组所在扇形的圆心角的大小是__________； (2)所抽取学生成绩的中位数落在___________等级（填“A”，“B”，“C”或“D”）； (3)该校共组织了900名九年级学生参加测试，请估计其中成绩达到80分以上（含80分）的学生人数． 23．（7分）一个不透明的口袋中有个大小、质地完全相同的乒乓球，球面上分别标有数-1，2，-3，4． （1）摇匀后任意摸出个球，则摸出的乒乓球球面上的数是正数的概率为 _； （2）摇匀后先从中任意摸出个球(不放回)，记下数字作为平面直角坐标系内点的横坐标：再从余下的个球中任意摸出个球，记下数字作为点的纵坐标，用列表或画树状图的方法求：两次摸球后得到的点恰好在函数图像上的概率． 24．（7分）综合实践 【问题情境】5月1日，南宁市在民族广场举行2023年“五一”升国旗仪式，广场上鲜花绽放、红旗飘扬，在属于全体劳动者的节日里用庄严的升国旗仪式向所有伟大的劳动者致敬．某校把“测量旗杆”作为一项课题活动，利用课余时间进行实地测量，可选用工具：测量角度（单位：度）的仪器、测量距离（单位：）的皮尺、标杆、平面镜等．（注：以下数据为多次测量的平均值） 【实践探究】某小组测量方案及数据如表： 项目 测量民族广场旗杆的高度 工具 标杆、测量距离（单位：）的皮尺 测量示意图及说明 说明：用标杆测量旗杆的高度 线段表示观测者的眼睛到地面的距离，线段表示标杆，线段表示旗杆，点、点、点三点共线，，，点在同一平面内． 测量数据 平均值 【问题解决】 (1)请运用所学知识，根据上表中的测量数据，帮助“数学实践小组”求出旗杆的长度． (2)请运用所学知识，再设计一种方案，画出示意图，并写出需要测量的量． 25．（8分）如图，在半径为5的中，是的直径，是过上一点C的直线，且于点D，平分，． (1)求证：是的切线； (2)求的长． 26．（10分）某抖音主播以每罐20元的价格新进一批菊花茶，根据以往的销售经验，当销售价格定为每罐24元时，每天可售出200罐．后来经过市场调查发现，每罐菊花茶的售价每涨价2元，则平均每天少卖出10罐，若设该种菊花茶的售价为元．（抖音平台规定：在抖音平台销售的商品的利润率都不能超过．） (1)若该抖音主播销售该种菊花茶要想平均每天获利1700元，求该种菊花茶每罐的售价． (2)该博主要想每天获利最大，则菊花茶每罐的售价应为多少元？最大利润是多少？ 27．（10分）在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)若点A是抛物线L的顶点，求点A的坐标； (2)将抛物线L向左平移a个单位长度后，与直线l相交于两点，求平移后的抛物线的解析式； (3)若均在抛物线L上，且，求m的取值范围． 28．（9分） 综合与实践 问题情境： 已知国际标准纸的长与宽的比为，平时常用的纸的长宽之比为就是 ，在数学综合实践课上，老师给同学准备了一些纸，同学们围绕国际标准纸开展探究． 操作步骤： 第一步：将纸沿过点的直线折叠，使点的对应点落在边上， 展开后折痕交于点； 第二步：继续沿过点的直线折叠，使点的对应点落在上， 展开后折痕交于点， 连接； 交流讨论： 同学们基于以上的折纸操作，提出以下结论： （1）； （2）是等腰直角三角形． 理性验证： 判断以上两个结论是否正确，如果正确，请加以证明；若不正确，请说明理由； 拓展延伸： （3）如图，已知正方形，请用尺规作图的方式在图中作出一个国际标准纸规格的矩形，其中矩形一边的长等于正方形的边长． (保留作图痕迹，不写作法) 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026年6月21日初中数学作业》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D C B D B C A 1．A 【详解】解：． 2．D 【分析】本题考查了相反意义的量，熟练掌握正负数表示具有相反意义的量是解题的关键． 根据题意，零上的温度记为正，则零下的温度记为负，据此即可求解． 【详解】解：若零上记作，则零下记作． 故选：D． 3．C 【分析】先将数据从小到大排序，再根据数据个数为奇数，取中间位置的数即可得到中位数． 【详解】解：∵数据总个数为7，是奇数个， 将这组数据从小到大排列为：77，77，79，79，80，80，80， ∴中位数为排序后位于中间的第4个数， ∵第4个数是79， ∴这组数据的中位数是79． 4．B 【分析】直接运用不等式的性质3进行解答即可． 【详解】解：将不等式两边同乘以-4，不等号的方向改变得， ∴“”中应填的符号是“”， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了不等式的基本性质3：不等式的两边同乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，熟练掌握不等式的基本性质是解答此题的关键． 5．D 【分析】分边长为4的边为底边和腰两种情况结合构成三角形的条件进行求解即可． 【详解】解：当边长为4的边为底边时，则这个三角形的三边为4，，， ∵， ∴不能构成三角形，不符合题意； 当边长为4的边为腰时，则这个三角形的三边为4，4，， ∵， ∴能构成三角形，符合题意， ∴这个等腰三角形的周长为， 故选D． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，实数比较大小，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 6．B 【分析】本题考查一元一次方程的应用，依据两种分银方式中银子总数不变的等量关系列方程，需先将两种分法对应的银子数量用含人数的代数式表示出来． 【详解】解：设有人， ∵每人分7两剩余4两， ∴银子总数可表示为， ∵每人分9两差8两， ∴银子总数可表示为， ∵银子总数是固定值， ∴． 故选：B． 7．C 【分析】此题主要考查等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质是解决问题的关键． ①根据，得，再根据线段垂直平分线性质得，进而得，则，据此可对结论①进行判断； ②根据得，进而得的周长等于，据此可对结论②进行判断； 根据得，则，进而得，再根据即可对结论③进行判断； ④假设点D是线段的三等分点得，进而得，但是，根据已知条件无法判定，由此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①在中，，， ， 的垂直平分线交于点， ， ， ， ， 平分，故结论①正确； ， ， ， 的周长等于，故结论②正确； ， ， ， ， ， ，故结论③正确； ④假设是线段的三等分点， ， ， ， ， ， ，根据已知条件无法判定，故结论④不正确； 综上所述，正确的结论是①②③． 故答案为：C． 8．A 【分析】由题意可得，，然后根据旋转的性质表示出点E、F的坐标，再根据中点坐标公式得到点P的坐标，最后根据点B和点P都是图象上列出等式，化简即可解答． 【详解】解：由题意可得，， ∵将四边形绕点A顺时针旋转得到四边形， ∴，， ∴， ∴，， ∵点P是的中点， ∴， ∵点B和点P都在双曲线（且）上， ∴， 整理得． 9． 【分析】二次根式有意义，被开方数大于等于0，列不等式求解即可． 【详解】解：由题意得：4−2x≥0， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数时，二次根式有意义． 10． 【分析】先将3198.1亿转化为整数形式，再根据科学记数法的定义确定a和n的值即可．科学记数法的表示形式为，其中，n为整数． 【详解】解：∵1亿， ∴3198.1亿． 11． 【分析】本题主要考查了提公因式法和平方差公式分解因式，先提取公因式，再利用平方差公式对剩余部分进行因式分解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 12． 【分析】根据圆锥底面周长等于侧面展开图扇形的弧长，利用公式求解即可． 【详解】解：∵圆锥的底面半径为，母线长为，圆锥底面周长等于侧面展开图扇形的弧长，满足关系， ∴． 13． 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系．一次函数的图象上纵坐标为1的点的横坐标即为方程的解，据此求解即可． 【详解】解：∵点在一次函数的图象上， ∴关于x的方程的解是． ∴关于的方程的解为． 故答案为：4． 14． 【分析】本题考查解一元一次不等式组，各象限中点的坐标特点，正确求出每一个不等式的解集是基础，熟知“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则是解题的关键．根据点P的位置可列不等式组 ，求解即可． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴， 解得． 故答案为：． 15．有两个不相等的实数根 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，利用一元二次方程的根的判别式判断根的情况是解题的关键．先计算一元二次方程的根的判别式，得出，即可得到结论 【详解】解：∵一元二次方程， ∴，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 故答案为：有两个不相等的实数根． 16．/ 【分析】先求出的长和，再求出，计算即可． 【详解】解：如下图：六边形是正六边形，，， 是等边三角形，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 如下图， ． 17．2029 【分析】本题考查了二元一次方程的解，代数式求值．熟练掌握二元一次方程的解，代数式求值是解题的关键．根据二元一次方程的解的定义得出，根据，代值求解即可． 【详解】解：∵是二元一次方程的一个解， ∴， ∴ ， 故答案为：2029． 18． 【分析】 本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，勾股定理逆定理，将绕点顺时针旋转得到，则，，，，连接，证明为直角三角形，得出，从而可得，证明点、、在同一直线上，作，则，再由三角形的面积公式计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，将绕点顺时针旋转得到，则，，，，连接， ， ∵， ∴，为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴为直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴点、、在同一直线上， 过点C作，则， ∴的面积为， 故答案为：． 19． 【分析】本题主要考查了二次根式化简，特殊三角函数值，绝对值以及负指数幂的运算，先分别对各项进行化简，再进行加减运算． 【详解】解∶ 20．， 【分析】先通分，再进行同分母的加法运算约分后将代入求解． 【详解】解： ， 当时，原式． 21．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． （1）根据，得到，利用证明全等即可； （2）根据，得到，结合，计算，利用直角三角形两个锐角互余，计算，计算即可． 【详解】（1）证明：， ． ，， ， ； （2）解：， ， ， ， 又， ， ． 22．(1)200， (2) (3)819人 【分析】本题考查分布表和扇形统计图，从统计图表中有效的获取信息，是解题的关键． （1）用等级的人数除以所占的比例，求出样本容量，用等级所占的比例，求出圆心角的度数即可； （2）根据中位数的定义进行判断即可； （3）利用样本估计总体的思想，进行求解即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：200，； （2）， ∴将数据排序后，第100个和第101个数据都在等级， ∴中位数落在等级； 故答案为：； （3）（人）． 23．（1）；（2）两次摸球后得到的点恰好在函数图像的概率为 【分析】（1）直接利用概率公式计算； （2）利用列表法，展示所有12种等可能的结果数，找出两次摸球后得到的点恰好在函数图像上的结果数，然后根据公式求解． 【详解】解：（1）摸出的乒乓球球面上的数是正数的概率为：； 故答案为：； 用列表法表示为： 点的坐标 ∴共有种等可能的结果，其中两次摸球后得到的点恰好在函数图像的有种， 设事件“两次摸球后得到的点恰好在函数图像”记为“事件”， 则； 答：两次摸球后得到的点恰好在函数图像的概率为； 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率． 24．(1) (2)方案见解析 【分析】本题考查测高，涉及相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，熟练掌握相似三角形判定与性质及解直角三角形是解决问题的关键． （1）由题意，得到，从而有，代值求解即可得到答案； （2）由题意，利用测量角度的仪器得到看旗杆顶端的仰角，再测量长度即可得到答案． 【详解】（1）解：过作交于，交于，如图所示： ， 由题意可得， ，则，即，解得， 旗杆的长度； （2）解： 项目 测量民族广场旗杆的高度 工具 测量角度（单位：度）的仪器、测量距离（单位：）的皮尺 测量示意图及说明 说明：用测角仪测量旗杆的高度 线段表示观测者的眼睛到地面的距离，线段表示旗杆，为看到旗杆顶端的仰角，点、点共线，，，点在同一平面内． 测量数据 计算过程 ， ． 25．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定、圆周角定理、相似三角形的性质与判定，熟练掌握切线的判定和圆周角定理是解题的关键． （1）连接，根据等边对等角得到，根据角平分线的定义得到，则有，再根据切线的判定定理即可证明； （2）先证明，得到，代入数据即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴是的切线； （2）解：∵是的直径，的半径为5， ∴，， ∵， ∴， 由（1）得，， ∴， ∴，即， 解得． 26．(1)该抖音主播销售该种菊花茶要想平均每天获利1700元，该种菊花茶每罐的售价为元 (2)菊花茶每罐的售价应为元，最大利润是 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用，理解题意，正确列出一元二次方程和二次函数解析式是解此题的关键． （1）设该种菊花茶的售价为元．则每天的销售量为罐，根据题意列出一元二次方程，解方程并结合在抖音平台销售的商品的利润率都不能超过判断即可得解； （2）设该抖音博主想要每天获得利润元，由题意可得，再结合二次函数的性质即可得解． 【详解】（1）解：设该种菊花茶的售价为元．则每天的销售量为罐， 由题意可得：， 整理可得：， 解得：，， ∵在抖音平台销售的商品的利润率都不能超过， ∴， ∴不符合题意，舍去， ∴， ∴该抖音主播销售该种菊花茶要想平均每天获利1700元，该种菊花茶每罐的售价为元； （2）解：设该博主想要每天获得利润元， 由题意可得：， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为， 故菊花茶每罐的售价应为元，最大利润是． 27．(1) (2) (3)或． 【分析】（1）先根据抛物线解析式求出抛物线的顶点坐标为：，再根据点是抛物线L的顶点，得出，求出，然后再求出点A的坐标即可； （2）根据平移特点得出，得出抛物线的解析式为直线，根据抛物线与直线l相交于两点，得出，求出，即可得出答案； （3）根据，得出，根据点在抛物线L上，求出，得出，解不等式得出或；根据点在抛物线L上，得出，求出或，综合得出答案即可． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为：， ∵点是抛物线L的顶点， ∴， 解得：， ∴点A的坐标为； （2）解：将抛物线L向左平移a个单位长度后抛物线的解析式为： ， ∴抛物线对称轴的解析式为直线， ∵抛物线与直线l相交于两点， ∴， 解得：， ∴平移后的抛物线的解析式为： ． （3）解：∵， ∴， ∵点在抛物线L上， ∴， 解得：， ∴， 当时，，因此不成立； 当，即时，， 解得：或； ∵点在抛物线L上， ∴， 解得：， ∴， 当时，，因此不可能成立， 当，即时，， 解得：或， 综上分析可知：m的取值范围是或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求抛物线的顶点坐标，二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 28．（）成立，理由见解析；（）是等腰直角三角形成立，理由见解析；（）见解析． 【分析】（）连接，，由四边形是矩形，则，由折叠性质可得，，，通过，求得，则，即，由折叠性质可知，，，所以，，证明，得，，即，可得，，所以，，故（）结论正确； （）通过（）证明，所以，，得，所以可得是等腰直角三角形； （）连接正方形的两条对角线，交于点，以点为圆心，以长为半径画弧，交边于点，以点为圆心，以长为半径画弧，交边于点，连接，则矩形的长与宽的比为． 【详解】解：（），（）是等腰直角三角形成立，理由， 如图，连接，， ∵四边形是矩形， ∴， 由折叠性质可得，，， ∵纸的长宽之比为就是 ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 由折叠性质可知：，，， ∴，， ∴，，， ∴，， ∴，，即， ∴，， ∴，，故（）结论正确； ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形,故（2）结论正确；； （）如图，连接正方形的两条对角线，交于点，以点为圆心，以长为半径画弧，交边于点，以点为圆心，以长为半径画弧，交边于点，连接，则矩形的长与宽的比为， 理由：∵四边形是正方形， ∴，，， 由作图可知：， ∴四边形是矩形， ∴， ∴矩形即为所求． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定与性质，尺规作图，正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，折叠的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $