2027届高考数学一轮复习讲义-第六章 课时4 数列求和

该高中数学高考复习讲义聚焦数列求和核心考点，涵盖分组、错位相减、倒序相加、裂项相消等方法，按课标要求-知识梳理-基础回顾-考点扫描逻辑架构，通过考点梳理、方法指导、真题训练环节，帮助学生系统突破求和难点，针对性强。 资料特色在于分层设计与核心素养融合，如裂项相消通过拓展公式引导抽象（数学眼光），错位相减例题步骤化培养运算能力（数学思维），结合2024-2025年真题训练，设置基础与提升练习，保障复习效果，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

课时4 数列求和 一、课标要求 1．掌握数列求和的常见方法. 2．将数列转化为等差或等比数列，然后进行求和. 二、知识梳理 1． 分组求和法：一个数列的通项公式由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后再相加减． 2．错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和就是用此法推导的． 3． 倒序相加法：如果一个数列{an}的前n项中首、末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和即是用此法推导的． 4． 裂项相消法：如果一个数列的通项可拆分成两个式子的差，然后通过累加抵消掉中间的许多项．此种方法适用于通项可以分裂成两式之差，尤其是分母为等差数列的两项之积的类型的数列求和问题． 【拓展知识】 1. 若{an}为各项都不为0的等差数列，公差为d(d≠0)，则＝ ； 2. ＝ ； 3. ＝ ； 4. loga(1＋)＝ (a＞0，且a≠1)． 三、基础回顾 1．判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) （1）若数列{an}为等比数列，则其前n项和 ． ( ) （2）当n≥2时，＝－ ． ( ) （3）利用倒序相加法可求得sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝44.5． ( ) （4）若Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan，则当a≠0且a≠1时，求Sn的值可用错位相减法．( ) 2．已知数列{an}的通项公式是an＝，且前n项和为9，则n=(　　) A．9 B．99 C．10 D．100 3．（多选题）若数列的前项和是，且，数列满足，则下列结论正确的有(　　) A．数列是等差数列 B． C．数列的前项和为 D．设数列的前项和为，则 4.观察如下规律： ，该组数据的前项和为 . 四、考点扫描 考点一 分组、并项转化求和 例1（1）若数列的通项公式是(　　) A．15 B．12 C． D． （2）设数列{an}的通项公式为an＝2n－7，则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝(　 　) A．153 B．210 C．135 D．120 规律方法： 对点训练 (2025·浙江宁波市质检)已知数列{an}的前n项和为Sn，且4Sn＝5an－2． (1) 证明：{an}是等比数列，并求其通项公式； (2) 设bn＝(－1)n·log5，求数列{bn}的前100项和T100． 考点二 裂项相消法求和 例2 （1）记数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若{an}是等差数列，且S6＝S5＋25＝90，anbnan＋1＝1，则T10＝(　 　) A． B． C． D． （2）已知数列的各项均为正数，，，若数列的前项和为，则（ ） A． B． C． D． 规律方法： 对点训练 (2025·河北邯郸市调研)已知正项数列{an}的前n项和为Sn，a2＝3，且＝＋． (1) 求数列{an}的通项公式； (2) 若bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn． 考点三 错位相减法求和 例3 已知在等差数列中，公差大于0，，且，，成等比数列，数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 规律方法： 对点训练 (2024·全国甲卷)记Sn为数列{an}的前n项和，且4Sn＝3an＋4． (1) 求数列{an}的通项公式； (2) 设bn＝(－1)n－1nan，求数列{bn}的前n项和Tn． 课时4 数列求和参考答案 二、知识梳理 【拓展知识】 1. 2. 3. － 4. loga(n＋1)－logan 三、基础回顾 1．(1)×　 (2) × (3)√　 (4)√ 2．B【解析】因为an＝＝－，所以Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(－)＋(－)＋…＋(－)＋(－)＝－1.令－1＝9，得n＝99.故选B． 3．BD【解析】当时，，当时，由，得，两式相减得，又，所以数列是以2为首项，以2为公比的等比数列， 所以，，数列的前项和为， ，所以，所以.故选BD. 4．45【解析】设数列是等差数列，且，则题中数列的和可以看成，又因为题中数列的项数等于数列的前项和，所以，故题中数列的前项的和为. 四、考点扫描 例1（1）A【解析】 ．故选A. （2）A【解析】 令an＝2n－7≥0，解得n≥，所以从第4项开始大于0，所以|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝－a1－a2－a3＋a4＋a5＋…＋a15＝5＋3＋1＋1＋3＋…＋(2×15－7)＝9＋＝153．故选A. 对点训练【解】（1）因为4Sn＝5an－2，所以当n≥2时，4Sn－1＝5an－1－2，两式相减得an＝5an－1，又a1＝S1＝a1－，解得a1＝2，所以数列{an}是首项为2，公比为5的等比数列，则an＝2×5n－1． （2）由(1)知bn＝(－1)n·log5＝(－1)n·log5＝(－1)n·(2n＋1)，所以T100＝(b1＋b2)＋(b3＋b4)＋…＋(b99＋b100)＝(－3＋5)＋(－7＋9)＋…＋(－199＋201)＝2×50＝100． 例2 （1）A【解析】 设等差数列{an}的公差为d．由S6＝S5＋25＝90，可得解得所以an＝5＋4(n－1)＝4n＋1．由anbnan＋1＝1，得bn＝＝＝，则Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＝，所以T10＝×＝×＝．故选A. （2）C【解析】依题意，有，即数列是以首项，公差为的等差数列，故，，所以，前项和，所以，所以．故选C. 对点训练 【解】（1）当n＝1时，由＝＋，即＝2，且a2＝3，解得a1＝1，所以－＝＝1，则数列{}是首项为1，公差为1的等差数列，所以＝n，则Sn＝n2．当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，当n＝1时，a1＝1也满足此式，所以{an}的通项公式为an＝2n－1(n∈N*)． （2）由(1)知bn＝＝，所以bn＝＝1＋＝1＋＝1＋，故Tn＝n＋＝n＋＝n＋，即Tn＝n＋． 例3 【解】（1）设等差数列的公差为.因为，，成等比数列，得.又因为，则，解得（舍去）或，则数列的通项公式为. （2）由（1）得，所以①， 则②. ①-②得 ， 所以. 对点训练【解】（1）当n＝1时，4S1＝4a1＝3a1＋4，解得a1＝4．当n≥2时，4Sn－1＝3an－1＋4，所以4Sn－4Sn－1＝4an＝3an－3an－1，即an＝－3an－1，而a1＝4≠0，故＝－3，所以数列{an}是以4为首项，－3为公比的等比数列，所以an＝4·(－3)n－1． （2） 由(1)知bn＝(－1)n－1·n·4·(－3)n－1＝4n·3n－1，所以Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝4×30＋8×31＋12×32＋…＋4n·3n－1，故3Tn＝4×31＋8×32＋12×33＋…＋4n·3n，两式相减得－2Tn＝4＋4×31＋4×32＋…＋4·3n－1－4n·3n＝4＋4·－4n·3n＝4＋2×3·(3n－1－1)－4n·3n＝(2－4n)·3n－2，所以Tn＝(2n－1)·3n＋1． . 学科网（北京）股份有限公司 $