第五章 课时5 复数讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义围绕复数专题，覆盖复数的概念、运算、几何意义及性质等核心考点，按“课标要求-知识梳理-基础回顾-考点扫描”逻辑架构，通过考点梳理构建知识网络，方法指导提炼解题规律，真题训练强化应用能力，助力学生系统突破复数难点。 讲义采用分层教学策略，基础回顾设判断、选择巩固概念，考点扫描结合2025年新高考真题及模拟题，如复数几何意义中通过复平面向量求两点距离，培养数学眼光与几何直观。规律方法总结运算技巧，对点训练分基础与提升层，保障复习效率，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

课时5 复 数 一、课标要求 1.通过方程的解，认识复数. 2.理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义. 3.掌握复数的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义． 二、知识梳理 1．复数的有关概念 (1) 复数的定义 形如a＋bi(a，b∈R)的数叫作复数，其中实部是 ，虚部是 . (2) 复数的分类 (3) 复数相等 a＋bi＝c＋di⇔ (a，b，c，d∈R)． (4) 共轭复数 a＋bi与c＋di共轭⇔ (a，b，c，d∈R)． (5) 复数的模 的模叫作复数z＝a＋bi的模，记作 或 ，即|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，a，b∈R)． 2. 复数的运算 (1) 复数的加、减、乘、除运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ① 加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝ ； ② 减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝ ； ③ 乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝ ； ④ 除法：＝＝＋i(c＋di≠0)． (2) 复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝ ，(z1＋z2)＋z3＝ . 3． 复数的模和共轭复数的运算性质 (1)一般地，对任意复数，复数的模的运算有以下性质： ； ； ； ． (2) 对于复数，则，因为 ，又，所以 ． 4. 复数与复数的加法、减法的几何意义 (1) 复数的几何意义 ①复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)． ②复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量. (2) 复数加法、减法的几何意义 设，分别与复数，对应，且，不共线，以，为两条邻边画平行四边形，则对角线所表示的向量就是复数对应的向量（即平行四边形法则）． 根据复数减法的定义和复数加法的几何意义，可以得到复数减法的几何意义. 设，，则 ． 由此可得：两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点之间的距离. 【拓展知识】 1．(1±i)2＝ ；＝ ；＝ . 2．i4n＝ ，i4n＋1＝ ，i4n＋2＝ ，i4n＋3＝ (n∈N*)． 3. 关于共轭复数，还有以下一些常用的运算性质：对任意复数， ，，，，． 三、基础回顾 1．判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi. (　　) （2）复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小． (　　) （3） 若复数满足，则 . (　　) （4）已知复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为直线. (　　) 2.（2025·广东深圳市一模）已知（i为虚数单位），则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 3.(多选题)下列命题正确的有 (　　) A．若复数z1，z2的模相等，则z1，z2是共轭复数 B．z1，z2都是复数，若z1＋z2是虚数，则z1不是z2的共轭复数 C．复数z为实数的充要条件是 D．已知复数z＝x＋yi(x，y∈R)，且|z－2|＝，则的最大值为 4．如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1，点A，B对应的复数分别是z1，z2，则|z1－z2|＝ . 四、考点扫描 考点一 复数的有关概念 例1（1）（2025·八省联考）计算：（ ） A. 2 B. 4 C. D. 6 （2）（2025·湖北部分市州1月联考）若复数是纯虚数，则的值可以为（ ） A. B. C. D. (3)(多选题) 若复数z＝，其中i为虚数单位，则下列结论正确的有( 　 ) A．z的虚部为－1 B．|z|＝ C．z2为纯虚数 D．z的共轭复数为－1－i 规律方法： 对点训练 （1）若复数z＝，则 (　　) A．z的共轭复数为1＋i　　 B．z的虚部为－i C．|z|＝2 D．z的实部为－1 　 （2）（2025·新高考Ⅰ卷）的虚部为　　 A． B．0 C．1 D．6 （3）（2025春·上海高考）已知复数，其中i为虚数单位，则 　　． 考点二 复数的运算 例2 (1) （2025·新高考Ⅱ卷）已知，则（ ） A. B. C. D. 1 （2）（2025·湖北武汉市二调）若复数z满足，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. （3）(多选题)(2025·山西忻州市模拟)下列关于非零复数z1，z2的结论正确的有(　　) A．若z1，z2互为共轭复数，则z1·z2∈R B．若z1·z2∈R，则z1，z2互为共轭复数 C．若z1，z2互为共轭复数，且z2≠0，则＝1 D．若＝1，则z1，z2互为共轭复数 规律方法： 对点训练 （1）(2025·山东济宁市模拟)已知复数z满足z·i3＝1－2i，则的虚部为(　　) A．1 B．－1 C．2 D．－2 （2）（2025·山东青岛市一模） 若，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 （3）复数是关于的方程的一个根，则_________． 考点三 复数的几何意义 例3(1)（2025·安徽蚌埠市二模）已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 (2)（2025·河北石家庄市一模） 已知为虚数单位，下列结论正确的有（ ） A. 若，则的充要条件是 B. 若复数满足，则 C. D. 若复数满足，则的最大值为6 规律方法： 对点训练 (1) 在复平面内，O为坐标原点，复数z1＝i(－4＋3i)，z2＝7＋i对应的点分别为Z1，Z2，则∠Z1OZ2的大小为(　　) A. B. C. D. (2)（2025秋·上海高考）已知复数满足，，则的最小值是　 　． 考点四 复数的性质 例4（1）（多选题）(2025·山西太原市模拟)已知复数满足，则下列结论正确的有（     ） A．若，则 B． C．若，则 D． （2）（多选题）已知非零复数在复平面内对应的点分别为为坐标原点，则下列结论正确的有 (     ) A. 当时， B. 当时， C. 若，则存在实数t，使得 D. 若，则 对点训练 （多选题） 设z1，z2，z3为复数，且z1≠0，则下列命题正确的有(　　) A．若|z2|＝|z3|，则z2＝±z3 B．若z1z2＝z1z3，则z2＝z3 C．若＝z3，则|z1z2|＝|z1z3| D．若z1z2＝|z1|2，则z1＝z 课时5 复数参考答案 二、知识梳理 1．(1) a b (2) 实数 纯虚数 非纯虚数 (3) a＝c且b＝d (4) a＝c且b＝－d (5) |z| |a＋bi| 2.(1)① (a＋c)＋(b＋d)i ② (a－c)＋(b－d)i ③ (ac－bd)＋(ad＋bc)i (2) z2＋z1 z1＋(z2＋z3) 3． (1) （2）a2+b2 |z|2 4. (2) 【拓展知识】 1．±2i i －i 2．1 i －1 －i 三、基础回顾 1．（1）×　【解析】 复数的虚部是一个实数. （2）× 【解析】 一般情况下复数不能比较大小，只有当它们均为实数才可以比较大小. （3）×【解析】反例. （4）√【解析】由两个复数差的模的几何性质可知正确. 2. A 【解析】依题意，，所以.故选A. 3. BCD　【解析】对于选项A，z1和z2可能是相等的复数，A错误. 对于选项B，若z1和z2是共轭复数，则相加为实数，不会为虚数，B正确. 对于选项C，由a＋bi＝a－bi得b＝0，C正确. 对于选项D，因为|z－2|＝＝，所以(x－2)2＋y2＝3.由图可知的最大值为＝.D正确.故选BCD. 4．2【解析】由图象可知z1＝i，z2＝2－i，故|z1－z2|＝|－2＋2i|＝ 2. 四、考点扫描 例1（1） C 【解析】由题意，.故选C. （2） C 【解析】由题意可知，，， 得，根据选项可知，只有满足条件.故选C. （3）ABC　【解析】由题意，得z＝＝＝1－i. 对于选项A，由z＝1－i得复数z的虚部为－1，A正确； 对于选项B，|z|＝|1－i|＝，B正确； 对于选项C，由于z2＝(1－i)2＝－2i，所以z2为纯虚数，C正确； 对于选项D，z＝1－i的共轭复数＝1＋i，D错误．故选ABC. 对点训练 （1）D　 【解析】 因为z＝＝＝＝－1－i，z的实部为－1.故选D. （2） C 【解析】 令，则，所以的虚部为1．故选C． （3） 【解析】，故． 例2 (1) A 【解析】因为，所以.故选A. （2） A 【解析】因为，所以， 所以.故选A. (3) AC 【解析】设z1＝a＋bi(a，b∈R)，由z1，z2互为共轭复数，得z2＝a－bi， 则z1·z2＝a2＋b2∈R，故A正确； 当z1＝2＋2i，z2＝1－i时，z1·z2＝4∈R，此时z1，z2不是共轭复数，故B错误； 由z1，z2互为共轭复数，得|z1|＝|z2|，又z2≠0，从而＝1，即＝1，故C正确； 当z1＝2＋i，z2＝1－2i时，|z1|＝|z2|，即＝1，此时z1，z2不是共轭复数，故D错误． 故选AC. 对点训练（1）　B 【解析】因为z·i3＝1－2i，所以－zi＝1－2i，所以z＝＝＝2＋i， 所以＝2－i，所以的虚部为－1.故选B. （2） C 【解析】， 所以，所以.故选C. （3）3 【解析】由题意，可得将代入方程，可得 ，整理得. 由复数概念可得，解得，所以. 例3(1) A 【解析】因为复数满足，所以， 所以在复平面内对应的点为，位于第一象限.故选A. （2）ACD 【解析】对于选项A，因，则等价于， 等价于，即，故A正确； 对于选项B，由可得， 当时，等式成立，但与不一定相等，故B错误； 对于选项C，因对于， ， 则， 于是，故C正确； 对于选项D，由可理解为复平面内以原点为圆心的单位圆， 而可看成点到该圆上点的距离， 易得的最大值即，故D正确.故选ACD. 对点训练（1）　C 【解析】　因为z1＝i(－4＋3i)＝－3－4i，z2＝7＋i，所以＝(－3，－4)，＝(7,1)， 所以·＝－21－4＝－25，所以cos∠Z1OZ2＝＝＝－. 又∠Z1OZ2∈[0，π]，所以∠Z1OZ2＝.故选C. （2） 【解析】设，则，. 因为，所以，即， 又，所以在复平面内对应的点的轨迹为或， 表示点到点的距离. 由点的轨迹可知，当，时，有最小值， 最小值为． 例4（1）BD 【解析】对于选项A，C设则 不满足，也不满足，A，C错误. 对于选项B，设在复平面内对应的向量分别为，且， 由向量加法的几何意义知，故.B正确. 对于D，设，则 ， 所以， ，D正确.故选BD. （2）AC  【解析】对于选项A，，即， 两边平方可得，A正确； 对于选项B，取，则，但，B错误； 对于选项C，，即， 两边平方可得，故， 故，因此存在实数t，使得，C正确； 对于选项D，取，则，但，D错误.故选AC. 对点训练 BC　 【解析】设＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i，＝a3＋b3i，若||＝||，则 ＝，此时＝±不一定成立，A错误； 若＝，则(－)＝0，又因≠0，所以＝，B正确； 若＝，则a2＝a3，b2＝－b3， 所以||＝＝， ||＝＝ ＝， 所以||＝||，C正确； 当＝时，＝||2，此时＝不一定成立，D错误．故选BC. . 学科网（北京）股份有限公司 $