第五章 课时1 平面向量的概念与线性运算讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦平面向量的概念与线性运算核心考点，涵盖向量相关概念、线性运算及几何意义、共线向量定理，按“概念-运算-定理”逻辑架构知识体系。通过课标要求引领、知识梳理夯实基础、基础回顾检验理解、考点扫描分专题突破，配合例题精讲与真题训练，帮助学生系统构建知识网络，突破难点。 讲义突出数学思维与数学语言培养，如结合矩形、三角形模型分析向量关系，利用共线定理解决三点共线问题。设计基础判断、选择及分层对点训练，引导学生用数学眼光观察几何意义，发展推理能力，高效提升应考技能，为教师把控复习节奏提供清晰教学路径。

课时1 平面向量的概念与线性运算 一、课标要求 1. 通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义，理解平面向量的几何表示和基本要素. 2. (1) 借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加、减运算及运算规则，理解其几何意义. (2) 通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算规则，理解其几何意义，理解两个平面向量共线的含义. (3) 了解平面向量的线性运算性质及其几何意义. 二、知识梳理 1. 平面向量的相关概念 名称 定义 表示方法 注意事项 向量 既有 又有 的量叫作向量；向量的大小叫作向量的 或a；模或 平面向量是向量 零向量 长度等于 的向量， 方向是 记作0 零向量的方向是任意的 单位向量 长度等于 的向量 常用e表示 非零向量a的单位向量是 平行向量 方向 的非零向量 a与共线可记为 0与任一向量平行或共线 共线向量 又叫共线向量 相等向量 的向量 a=b 两向量只有相等或不等，不能比较大小 相反向量 的向量 a=－b 0的相反向量为0 2. 向量的线性运算 （1）向量的加法、减法、数乘运算及其几何意义、运算律 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量的和的运算 三角形法则 平行四边形法则 (1) 加法交换律: (2) 加法结合律: (a+b)+c=a+(b+c) 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算 法则 a－b=a+(－b) 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 (1) (2) 当＞0时,的方向与a的方向 ;当时,λa的方向与a的方向 ;当时, λa=0 λ(μa)=(λμ)a (λ+μ)a=λa+μa λ(a+b)=λa+λb （2）共线向量定理 名称 内容 注意事项 共线定理 向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一的一个实数，使得 限定a≠0的目的是保证实数λ的存在性和唯一性 【拓展知识】 1.首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量． 2.若P为线段AB的中点,O为平面内任意一点,则. 3.(λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1. 4．若G为△ABC的重心，则有 (1) ＋＋＝0； (2) ＝(＋)． 5．对于任意两个向量a，b，都有 (1) ||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|； (2) |a＋b|2＋|a－b|2＝2(|a|2＋|b|2)． 三、基础回顾 1. 判断正误.(正确的打“√”，错误的打“×”) (1) 若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．(　　) (2) 两个单位向量一定是相等向量．(　　) (3) 若两个共线向量模相等，则这两个向量相等．(　　) (4) 当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．(　　) 2. (教材改编)已知平面内一点P及△ABC，若＋＋＝，则点P与△ABC的位置关系是(　　) A．点P在线段AB上 B．点P在线段BC上 C．点P在线段AC上 D．点P在△ABC外部 3.在△ABC中，D为边BC的中点，则－＝(　 　) A． B． C． D． 4. 已知e1，e2为平面内两个不共线的向量，＝2e1－3e2，＝λe1＋6e2.若M，N，P三点共线，则λ＝________. 四、考点扫描 考点一 平面向量的概念 例1 （1） 在矩形ABCD中，已知AB＝2AD，M，N分别为边AB与CD的中点，则在以A，B，C，D，M，N为起点与终点的所有向量中，相等向量的对数为 (　 　) A．9 B．11 C．18 D．24 （2）(多选)下列说法正确的有(　　) A．若a＝b，b＝c，则a＝c B．若四边形ABCD满足＝，则四边形ABCD是平行四边形 C．若两个向量都与同一个向量共线，则这两个向量共线 D．与非零向量a共线的单位向量为± 规律方法： 对点训练 （1）如图，在等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则下列等式成立的为(　　) A.＝ B.＝ C.＝ D.＝ （2）（多选题）下列关于向量的说法正确的有(　　) A．若|a|＝0，则a＝0 B．若与是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一条直线上 C．对于任意向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b| D．若a∥b，则存在唯一实数λ，使得a＝λb 考点二 平面向量的线性运算 考向1 线性运算的几何意义 例2（1）（多选题）如图，四边形ABCD是平行四边形，点P在边CD上，则下列各式正确的有(　 　) A．＋＝ B．＋＋＝ C．＋＋＝ D．－＋＋＝0 （2）(2025·天津静海一中期末)已知O是△ABC内部一点，且满足，△AOB的面积为S1，△AOC的面积为S2，则 ． 考向2 线性运算 例3（1）(2024·江苏连云港市模拟)在等边三角形ABC中，O为重心，D是线段OB的中点，则＝(　 　) A．＋ B．＋ C．＋ D．＋ （2）(2025·河南安阳市模拟)已知矩形ABCD的对角线交于点O，E为AO的中点.若＝λ＋μ(λ，μ为实数)，则λ2－μ2＝(　 　) A．－ B． C． D． 对点训练 （1） (多选题)若P是△ABC所在平面内一点，且满足|－|－|＋－2|＝0，则△ABC不可能是(　 　) A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 （2）在△ABC中，＝.若＝a，＝b，则＝(　 　) A．a＋b B．a＋b C．a－b D．a－b （3）（多选题）(2025·山东聊城市模拟)设M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的有(　 　) A．若＝＋，则M是边BC的中点 B．若＝2－，则点M在边BC的延长线上 C．若＝－－，则点M是△ABC的重心 D．若＝x＋y，且x＋y＝，则△MBC的面积是△ABC的面积的 考向3 线性运算的应用 例4（1）已知O是正方形ABCD的中心．若，其中λ，μ∈R，则＝(　 　) A．－2 B．－ C．－ D． （2）(2025·云南玉溪市高三期末)赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”(以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成).类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形.设，若，则λ＋2μ的值为 ． （3）（2025·新高考Ⅰ卷）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反．如表给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系．已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图(风速的大小和向量的大小相同，单位：m/s)，则真风为　　 等级 风速大小m/s 名称 2 轻风 3 微风 4 和风 5 劲风 A．轻风 B．微风 C．和风 D．劲风 规律方法： 对点训练 （1）已知M是△ABC内的一点.若＝＋λ，＝＋μ，则λ＋μ=(　　) A. B．1 C. D. （2）飞机从甲地沿北偏西15°的方向飞行1 400 km到达乙地，再从乙地沿南偏东75°的方向飞行1 400 km到达丙地，画出飞机飞行的位移示意图，并说明丙地在甲地的什么方向，丙地距甲地多远. 考点三 向量共线定理的应用 例5 （1）（2025·山东济南市模拟）已知平面向量a，b不共线，＝4a＋6b，＝－a＋3b，＝a＋3b，则(　　) A．A，B，D三点共线 B．A，B，C三点共线 C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线 （2）(2025·江西赣州市高三期末)如图，在△ABC中，M是边BC的中点，N是线段BM的中点． ①用和分别表示和； ②若直线EF交AB于点E，交AM于点G，交AC于点F，且＝λ，＝μ(λ，μ均为正实数)，＝2，求λ＋2μ的最小值． 规律方法： 对点训练：（1）已知向量a，b不共线，向量8a－kb与－ka＋b共线，则k＝________. （2） 如图，在△ABC中，＝，P是线段BN的中点.若＝m＋，则实数m的值是________． 课时1 平面向量的概念与线性运算参考答案 二、知识梳理 1.方向 大小 模 0 任意的 1个单位长度 相同或者相反 平行向量 大小相等、方向相同 大小相等、方向相反 2.（1） 三角形 相同 相反 （2） 三、基础回顾 1.(1) × 【解析】 零向量和任何向量共线，零向量的方向是任意的. (2) × 【解析】 单位向量的模相等，但方向不一定相同. (3) × 【解析】 共线向量可能方向相反. (4) √ 2. C 【解析】由＋＋＝，得＋＋＝－，即＝－2，故点P在线段AC上．故选C. 3. D【解析】 因为在△ABC中，D为BC的中点，所以＝，所以－＝－＝．故选D. 4.－4【解析】因为M，N，P三点共线，所以存在实数k，使得， 即2e1－3e2＝k(λe1＋6e2).又e1，e2为平面内两个不共线的向量，可得解得λ＝－4. 四、考点扫描 例1 （1）　D【解析】　由题意，可得＝＝，有3对相等向量；＝＝＝，有6对相等向量；＝，有1对相等向量；＝，有1对相等向量，＝，有1对相等向量，总共12对．同理，与它们的方向相反的相等向量也有12对，总共24对.故选D. （2）ABD 【解析】对于选项A，由相等向量的定义知，A正确； 对于选项B，因为＝，所以AB∥DC且AB＝DC，则四边形ABCD是平行四边形，故B正确； 对于选项C，若该向量为零向量，无法得到这两个向量共线，故C错误； 对于选项D，由单位向量和共线向量定义可知与非零向量a共线的单位向量为±，故D正确．故选ABD. 对点训练 （1）D【解析】方法一(排除法)：，不共线，，不共线，故A，B错误；，方向相反，C错误. 故选D. 方法二：在等腰梯形ABCD中，，不平行，，不平行，故A，B错误； 因为AB∥CD，所以＝＝，所以＝，则，即＝，即＝，因为EF∥AB，所以＝＝＝，所以PE＝PF，即P为EF的中点， 所以＝，故C错误，D正确．故选D. （2）AC 【解析】对于选项A，若|a|＝0，则a＝0，故A正确. 对于选项B，若与是共线向量，则A，B，C，D四点不一定在一条直线上，故B错误. 对于选项C，若a，b方向相同，则|a＋b|＝|a|＋|b|，若a，b方向相反，则|a＋b|<|a|＋|b|， 若a，b不共线，根据向量加法的三角形法则及两边之和大于第三边可知|a＋b|<|a|＋|b|. 综上可知对于任意向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|，故C正确. 对于选项D，若a≠0，b＝0，则a∥b，此时不存在实数λ，使a＝λb，故D错误．故选AC. 例2（1） BD 【解析】 对于选项A，－＝，故A错误； 对于选项B，利用向量加法的三角形法则，知＋＋＝，故B正确； 对于选项C，＋＋＝，故C错误； 对于选项D，－＋＋＝＋＋＋＝＋＝0，故D正确．故选BD. （2） 【解析】因为＋2＋＝0，所以＋＝－2＝2，所以＝(＋).取AC的中点D，则＝(＋).所以＝，即O为BD的中点，如图所示.因为△AOB的面积为S1，△AOC的面积为S2，S△AOC＝2S△AOD，S△AOD＝S△AOB，所以S△AOC＝2S△AOB.所以＝. 例3（1）D 【解析】O为△ABC的重心，延长AO，交BC于点E，如图， E为BC中点，则有＝＝(＋)＝(＋).而D是OB的中点，所以＝＋＝＋(＋)＝＋.故选D. （2） A【解析】 如图，在矩形ABCD中，＝(＋).在△DAO中，＝(＋)，所以＝＝＋＝－，所以λ＝，μ＝－，所以λ2－μ2＝－＝－．故选A. 对点训练 （1）AD 【解析】 设D为边BC的中点，则＋＝2．由已知有||＝|2－2|＝2||，所以△ABC为直角三角形．故选AD. （2）A 【解析】方法一：如图，过点D分别作AC，AB的平行线，交AB，AC于点E，F，则四边形AEDF为平行四边形，所以＝＋.因为＝，所以＝，＝，所以＝＋＝a＋b.故选A. 方法二：＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b.故选A. 方法三：由＝，得－＝(－)，所以＝＋(－)＝＋＝a＋b.故选A. （3）ACD 【解析】 若＝＋，则M是边BC的中点，故A正确； 若＝2－，即有－＝－，即＝，则点M在边CB的延长线上，故B错误； 若＝－－，即＋＋＝0，则点M是△ABC的重心，故C正确； 如图，＝x＋y，且x＋y＝，可得2＝2x＋2y，设＝2，＝2x＋2y，2x＋2y＝1，所以B，N，C三点共线，则△MBC的面积是△ABC的面积的，故D正确．故选ACD. 例4（1）A 【解析】＝＋＝＋＝－＋＝－， 所以λ＝1，μ＝－，因此＝－2.故选A. （2）【解析】依题意，＝4，即－＝4(－)， 则＝＋，同理＝＋， 因此＝＋＝＋＝＋＋·， 即＝＋，整理得＝＋. 而＝λ＋μ，且，不共线，于是λ＝，μ＝， 所以λ＋2μ＝＋2×＝. （3）A【解析】如图：视风风速对应向量的坐标为， 船速对应向量的坐标为， 所以船行风速对应的向量坐标为， 设真风风速对应向量为v，则，所以， 所以，故真风为轻风．故选A． 对点训练 （1）D 【解析】由－＝，得＝＋μ－－λ， 所以＝μ－λ，即＝6μ－6λ＝6μ＋6λ. 又＝＋，故μ＝λ＝，故λ＋μ＝.故选D. (2) 【解】如图，丙地在甲地的北偏东45°方向，距甲地1 400 km. 设甲地为A，乙地为，丙地为，作出示意图， 则，，， ，是等边三角形， ，，， 即丙地在甲地北偏东，丙地距甲地. 例5 （1）　D 【解析】对于选项A，＝＋＝－a＋3b＋(a＋3b)＝6b，则，不共线，故A不正确； 对于选项B，与不共线，故B不正确； 对于选项C，与不共线，故C不正确； 对于选项D，＝＋＝4a＋6b＋(－a＋3b)＝3a＋9b＝3，即∥， 又与有公共点C，则A，C，D三点共线，故D正确．故选D. （2）【解】①由题意，＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，＝＋＝＋＝＋(－)＝＋. ② 由＝λ，＝μ(λ，μ均为正实数)，＝2，得＝，＝，＝＝＋＝＋.因为E，F，G三点共线，所以＋＝1，则λ＋2μ＝(λ＋2μ)＝1＋≥1＋2＝1＋，当且仅当，即λ＝μ＝时取等号，所以λ＋2μ的最小值为1＋. 对点训练 （1）±2 【解析】　因为向量a，b不共线，向量8a－kb与－ka＋b共线， 所以8a－kb＝t(－ka＋b)＝－kta＋tb，t∈R，故解得k＝±2. （2）【解析】因为＝，所以＝3.因为＝m＋＝m＋， 且B，P，N三点共线，所以m＋＝1，所以m＝. . 学科网（北京）股份有限公司 $