第五章 课时1 平面向量的概念与线性运算讲义-2027届高三数学一轮复习

课时1  平面向量的概念与线性运算

一、课标要求

1. 通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义，理解平面向量的几何表示和基本要素.

2. (1) 借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加、减运算及运算规则，理解其几何意义.

(2) 通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算规则，理解其几何意义，理解两个平面向量共线的含义.

(3) 了解平面向量的线性运算性质及其几何意义.

二、知识梳理

1. 平面向量的相关概念

2. 向量的线性运算

（1）向量的加法、减法、数乘运算及其几何意义、运算律

向量运算

定义

法则(或几何意义)

运算律

加法	求两个向量的和的运算	三角形法则    平行四边形法则	(1)  加法交换律: (2)  加法结合律: (a+b)+c=a+(b+c)
减法	求a与b的相反向量－b的和的运算	法则	a－b=a+(－b)
数乘	求实数λ与向量a的积的运算	(1)  (2) 当＞0时,的方向与a的方向           ;当时,λa的方向与a的方向          ;当时, λa=0	λ(μa)=(λμ)a (λ+μ)a=λa+μa λ(a+b)=λa+λb

（2）共线向量定理

名称	内容	注意事项
共线定理	向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一的一个实数，使得	限定a≠0的目的是保证实数λ的存在性和唯一性

【拓展知识】

1.首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量．

2.若P为线段AB的中点,O为平面内任意一点,则.

3.(λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1.

4．若G为△ABC的重心，则有

(1) ＋＋＝0；

(2) ＝(＋)．

5．对于任意两个向量a，b，都有

(1) ||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|；

(2) |a＋b|2＋|a－b|2＝2(|a|2＋|b|2)．

三、基础回顾

1. 判断正误.(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1) 若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．(　　)

(2) 两个单位向量一定是相等向量．(　　)

(3) 若两个共线向量模相等，则这两个向量相等．(　　)

(4) 当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．(　　)

2. (教材改编)已知平面内一点P及△ABC，若＋＋＝，则点P与△ABC的位置关系是(　　)

A．点P在线段AB上

B．点P在线段BC上

C．点P在线段AC上

D．点P在△ABC外部

 

3.在△ABC中，D为边BC的中点，则－＝(　 　)

A． B．

C． D．

 

4. 已知e1，e2为平面内两个不共线的向量，＝2e1－3e2，＝λe1＋6e2.若M，N，P三点共线，则λ＝________.

 

四、考点扫描

考点一  平面向量的概念

例1 （1） 在矩形ABCD中，已知AB＝2AD，M，N分别为边AB与CD的中点，则在以A，B，C，D，M，N为起点与终点的所有向量中，相等向量的对数为 (　 　)

A．9 B．11 C．18 D．24

 

（2）(多选)下列说法正确的有(　　)

A．若a＝b，b＝c，则a＝c

B．若四边形ABCD满足＝，则四边形ABCD是平行四边形

C．若两个向量都与同一个向量共线，则这两个向量共线

D．与非零向量a共线的单位向量为±