第五章 课时3 平面向量数量积讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦平面向量数量积高考核心考点，涵盖概念、投影、垂直关系及坐标表示等内容，按“概念-运算律-应用”逻辑架构知识体系，结合拓展知识深化理解。通过知识梳理、基础回顾、考点扫描（含例题精讲与规律方法）、拓展延伸等环节，帮助学生系统突破难点，体现复习的系统性与针对性。 资料以新课标核心素养为导向，创新采用投影法、极化恒等式等策略突破数量积问题，如利用极化恒等式将数量积转化为几何长度运算，培养学生数学思维与逻辑推理能力。精选最新高考真题与模拟题，设置分层练习，确保复习效果，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

课时3 平面向量的数量积 一、课标要求 1．理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积. 2．了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义. 3．会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 4. 能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 二、知识梳理 1．向量的夹角 (1) 条件：平移两个非零向量a和b至 ，结论：∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫作a与b的夹角． (2)范围：0°≤θ≤180°. 特殊情况：当θ＝0°时，a与b ；当θ＝180°时，a与b ；当θ＝90°时，a与b ． 2．向量的数量积 (1)条件：两个向量a与b，夹角θ，结论：数量 叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝ ． (2) 数量积的几何意义 条件：a的长度|a|，b在a方向上的投影 (或b的长度|b|，a在b方向上的投影 )，结论：数量积a·b等于|a|与 的乘积(或|b|与 的乘积)． (3)投影向量 设a,b是两个非零向量，如图，表示向量a，表示向量b，过点A作所在直线的垂线，垂直为.我们将上述由向量a得到向量的变换称为向量a向向量b投影，向量称为向量a在向量b上的投影向量. 图① 图② 3．平面向量数量积的运算律 (1) a·b＝b·a(交换律)． (2) λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)． (3) (a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)． 4．平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉． 结论 几何表示 坐标表示 向量的模 |a|＝ |a|＝ 夹角余弦 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b充要条件 a·b＝ |a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| |x1x2＋y1y2|≤ 【拓展知识】 1．求平面向量的模的公式 (1) a2＝ ＝ 或|a|＝ ＝ ； (2) |a±b|＝＝ ； (3) 若a＝(x，y)，则|a|＝ . 2．有关向量夹角的两个结论 (1) 两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立(因为夹角为0时不成立)； (2) 两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b<0，反之不成立(因为夹角为π时不成立)． 3．平面向量数量积运算的常用公式 (1) (a＋b)·(a－b)＝a2－b2； (2) (a±b)2＝a2±2a·b＋b2. 三、基础回顾 1．判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）一个向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量． （ ） （2） 由a·b＝0可得a＝0或b＝0. （ ） （3）(a·b)·c＝a·(b·c). （ ） （4）若a·b>0，则a和b的夹角为锐角；若a·b<0，则a和b的夹角为钝角． （ ） 2.（2024·全国新课标I卷）已知向量.若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 3．（多选题）已知向量a＝(1，－2)，b＝(－2，4)，则有 (　 　) A．a∥b B．(a＋b)·a＝－5 C．b⊥(a－b) D．2|a|＝|b| 4.（2025·山东淄博市统考）已知向量满足，且，则在上的投影向量为 . 四、考点扫描 考点一 　平面向量数量积的运算 例1 （1）（2025·八省联考）已知向量，则（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. （2）（2025·天津高考）在△中，为边的中点，，，则　 （用，表示）；若，且，则 ． 规律方法： 对点训练 （1）设向量a，b夹角的余弦值为，且|a|＝1，|b|＝3，则(2a＋b)·b＝ __ __． （2）在梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝AB＝2DC＝2，E为边BC的中点，F为AE的中点，则·=(　　) A. B. C. D. 考点二 平面向量数量积的应用 考向1 求向量的模 例2 （2025·新高考Ⅱ卷）已知平面向量若，则___________. 规律方法： 考向2 求两向量的夹角 例3 （2025·湖北部分市州1月联考）已知单位向量满足，则a与b的夹角为（ ） A. B. C. D. 规律方法： 考向3 利用向量垂直求参数 例4 （2025·广东深圳市一模）已知向量.若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 规律方法： 考向4 求投影向量 例5 （2025·山东青岛市一模）已知，，则a在b上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 对点训练 （1）(2024·全国新课标Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a|＝1，|a＋2b|＝2，且(b－2a)⊥b，则|b|＝(　 　) A． B． C． D．1 （2） （2025·江苏南京市期初）已知，.若，则（ ） A. B. C. D. （3）（2025·安徽安庆市二模）已知平面向量，则“”是“在方向上的投影向量为”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 （4）(多选题)已知向量a＝(m，－1)，b＝(－2,1)，则下列说法正确的有(　　) A．若m＝1，则|a－b|＝ B．若a⊥b，则m＝2 C．“m<－”是“a与b的夹角为锐角”的充要条件 D．若m＝－1，则b在a上的投影向量的坐标为 考点三 　向量数量积的实际应用 例6 (多选题)在日常生活中，我们会看到两个人共提一个行李包的情况．假设行李包所受的重力为G，所受的两个拉力分别为F1，F2.若|F1|＝|F2|，且F1与F2的夹角为θ，则下列结论正确的有(　　) A．|F1|的最小值为|G| B．θ的范围是[0，π] C．当θ＝时，|F1|＝|G| D．当θ＝时，|F1|＝|G| 对点训练 在如图所示的天平中，左、右两个秤盘均被3根细绳均匀地固定在横梁上．在其中一个秤盘中放入重量为60 N的物品，在另一个秤盘中放入重量60 N的砝码，天平平衡.3根细绳通过秤盘分担对物品的拉力(拉力分别为F1，F2，F3)，若3根细绳两两之间的夹角均为，不考虑秤盘和细绳本身的重量，则F1的大小为________ N. 拓展与延伸12 利用向量的投影和极化恒等式求数量积 一、考情分析 平面向量的数量积是新高考考查的高频考点之一，通常为求值或求范围问题，常涉及三种方法：投影法、基底法和坐标法，其中不少试题若能借助向量的投影和极化恒等式求解，则会更直观、简单、高效. 二、知识梳理 1． 数量积的投影定义：向量a,b的数量积等于其中一个向量的模乘以另一个向量在该向量上的投影，即（记为a在b上的投影，即） 适用情形： （1）图形中出现与所求数量积相关的垂直条件，如：直角三角形、菱形对角线、三角形的外心等； （2）若所求数量积中的向量中有一个模是定值，则可以考虑利用投影，从而将求数量积的取值范围问题转化为投影的取值范围问题. 2. 极化恒等式：a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2] 如：在平行四边形PMQN中，O是对角线交点，则①·＝[||2－||2](平行四边形模式)；②·＝||2－||2(三角形模式). 适用范围：极化恒等式经常处理“共起点”的数量积问题，利用极化恒等式求数量积的关键在于已知（或易求）向量所在三角形的中线长和中线所在边的边长，把数量积运算转化为几何长度的运算. 三、考点扫描 考点一 利用向量的投影计算向量的数量积 例1（1）（2025·湖南校联考模拟）已知向量a，b满足，且，则b在a方向上的投影为（ ） A．3 B． C． D． （2）（2024·湖南联考模拟）如图，为△ABC的外心，为钝角，是边的中点，则=（ ） A.　4　　　 B.　 　　 　 C.　 　　 　 D. 对点训练 （2024·广东佛山市模拟）如图所示，两个半径分别为的圆,公共弦长为3，则__________. 考点二 利用向量的投影求数量积的最值和范围 例2 (2025·湖北武汉市调研)若P是边长为1的正六边形ABCDEF边上的动点，则·的最大值为(　 　) A．2 B． C．3 D． 对点训练 正八边形上存在一动点（点与A，不重合），已知正八边形的边长为2，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 考点三 利用极化恒等式求数量积问题 例3 （1）如图，在四边形ABCD中，M为边AB的中点，且,． 若点N在线段CD（端点除外）上运动，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． （2）如图，在△ABC中，D是边BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点．且，，则的值为__________． 规律方法： 对点训练 （1）（2025·天津模拟）已知点.若动点满足，则的最大值是（    ） A．18 B．9 C．3 D． （2）（2025·河北石家庄市模拟）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝1，AD＝2，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，AD的中点，则________. 四、巩固提升 1.（2025·河南商丘市联考）如图，在中，，是边上的高，则的值为（ ） A．0 B．4 C．8 D． 2.已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3.如图，这是古希腊数学家特埃特图斯用来构造无理数的图形，已知是平面四边形内一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4.(多选题）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，则下列结论正确的有（     ） A．恒成立 B．若，，，则平行四边形ABCD的面积为 C．恒有成立 D．若，，则 5.如图，在等腰直角三角形ABC中，，分别是边的中点，是内（包括边界）任一点，则的取值范围是____________. 课时3 平面向量的数量积参考答案 二、知识梳理 1．（1）同一起点 （2）共线同向 共线反向 互相垂直 2．（1）|a||b|cosθ |a||b|cosθ (2) |b|cosθ |a|cosθ |b|cosθ |a|cosθ 4. 0 【拓展知识】 1．(1) a·a |a|2 (2) (3) 三、基础回顾 1．（1）√【解析】向量在另一个向量方向上的投影为数量. （2）×【解析】反例：a⊥b. （3）×【解析】向量数量积不满足向量结合律. （4）×【解析】a·b>0，则a和b的夹角为锐角或者同向共线；若a·b<0，则a和b的夹角为钝角或者反向共线. 2.D 【解析】 因为，所以，所以， 即，故.故选D. 3. ABD 【解析】 因为1×4＝－2×(－2)，所以a∥b.又a＋b＝(－1，2)， 所以(a＋b)·a＝－5.a－b＝(3，－6)，b·(a－b)≠0，C错误， |a|＝，|b|＝2，2|a|＝|b|.故选ABD. 4.【解析】因为向量，且，那么， 所以向量在向量上的投影向量为. 四、考点扫描 例1（1） B 【解析】，，， .故选B. （2）　； 【解析】因为为边中点，，所以 . 因为，所以 ①， 因为，且， 所以 ②. 由①②可得，， 因为， 所以 ． 对点训练 （1） 11 【解析】 (2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝2|a||b|cos〈a，b〉＋|b|2＝2×1×3×＋32＝11． （2）B【解析】以A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则A(0,0)，B(2,0)，C(1,2)，D(0,2)，E，F， 所以＝，＝，所以·＝－×＋×＝.故选B. 例2 【解析】，因为，则，则，解得.则，则. 例3 C 【解析】， 所以，则. 例4 B 【解析】由于，则， 则.故选B. 例5 A 【解析】在上的投影向量为 .故选A. 对点训练 （1）B 【解析】 因为(b－2a)⊥b，所以(b－2a)·b＝0，即b2＝2a·b．又因为|a|＝1，|a＋2b|＝2，所以1＋4a·b＋4b2＝1＋6b2＝4，从而|b|＝．故选B. （2） A 【解析】因为，所以.又， 所以，所以.故选:A （3） C 【解析】由于在方向上的投影向量， 若，则，故， 若，则.故选C. （4）　ACD 【解析】　对于选项A，因为m＝1，所以a＝(1，－1)，又b＝(－2,1)，所以a－b＝(3，－2)，故|a－b|＝＝，所以选项A正确. 对于选项B，因为a⊥b，所以－2m－1＝0，解得m＝－，所以选项B错误. 对于选项C，当a与b的夹角为锐角时，由cos〈a，b〉＝>0，得a·b>0， 即－2m－1>0，得m<－； 当m<－时，可得cos〈a，b〉＝>0，而〈a，b〉∈[0，π]， 又当a∥b时，m－2＝0得m＝2，此时a＝(2，－1)，b＝(－2,1)，a，b反向共线， 所以〈a，b〉∈，即“m<－”可以得出“a与b的夹角为锐角”，所以选项C正确. 对于选项D，当m＝－1时，a＝(－1，－1)，b＝(－2,1)，b在a上的投影向量为·＝×(－1，－1)＝，所以选项D正确．故选ACD. 例6 　ACD 【解析】　由题意知，F1＋F2＋G＝0，可得F1＋F2＝－G，两边同时平方得 |G|2＝|F1|2＋|F2|2＋2|F1||F2|cos θ＝2|F1|2＋2|F1|2cos θ，所以|F1|2＝. 当θ＝0时，|F1|min＝|G|；当θ＝时，|F1|＝|G|；当θ＝时，|F1|＝|G|，故A，C，D正确. 当θ＝π时，竖直方向上没有分力与重力平衡，不成立，所以θ∈[0，π)，故B错误．故选ACD. 对点训练 10 【解析】　依题意，|F1|＝|F2|＝|F3|且|F1＋F2＋F3|＝60， 所以|F1＋F2＋F3|2＝|F1|2＋|F2|2＋|F3|2＋2F1·F2＋2F2·F3＋2F3·F1＝3 600，即3|F1|2＋3×2|F1|2×＝3 600，解得|F1|＝10. 拓展与延伸12 利用向量的投影和极化恒等式求数量积 三、考点扫描 例1（1）B【解析】考虑在上的投影为，所以只需求出即可.由可得，所以，进而.故选B. （2）B 【解析】外心在上的投影恰好为它们的中点，分别设为，所以在上的投影为，而恰好为BC中点，故考虑，所以.故选B. 对点训练 9【解析】取中点，连接.由圆的性质得，. 所以，所以， 所以. 例2 C【解析】 如图，分别取AB，DE中点Q，R，连接PQ，QR，则由题知QA＝，BD2＝DC2＋BC2－2DC×BC×cos∠BCD＝1＋1－2×1×1×cos120°＝3，即BD＝，所以QD＝＝＝．由图可知当点P运动到点D或点E时PQ最大，所以·＝(＋)·(＋)＝(＋)·(－)＝2－2＝2－≤2－＝3，所以·的最大值为3． 对点训练 D【解析】，由平面向量数量积的几何意义知，当最大，即在方向上投影最大时，最大；由图可知，当点运动到点时，在方向上投影取得最大.如图，建立平面直角坐标系， 则，，，所以，.所以的最大值为.故选D. 例3 （1）A【解析】连接，如图，点N在线段CD（端点除外）上运动，    因为，即是正三角形，于是.而M为AB的中点，且，所以.故选A. （2） 【解析】设BD＝DC＝m，AE＝EF＝FD＝n，则AD＝3n.根据向量的极化恒等式，有，，解得n2＝，m2＝. 因此 对点训练（1）A【解析】设，因为，所以，化简得. 方法一：因为，，所以.又，所以，即的最大值为. 方法二：设线段的中点为，则，因为，又，所以的最大值为.故选A. （2）【解析】连接EG，FH，交于点O(图略)，则，＝1－＝，因此. 四、巩固练习 1.B【解析】由图中垂直可得，在上的投影为，所以，由已知得，所以.故选B. 2.A【解析】画出图形如图，，它的几何意义是的长度与在上的投影的乘积，显然，在处时，取得最大值，，可得，最大值为6；在处取得最小值，，最小值为，是边长为2的正六边形内的一点，所以的取值范围是．故选A． 3. D 【解析】如图，延长，过点作，交的延长线于点. 因为，，,所以.由图可知:当在点A处时，在上的投影有最大值1；当在点处时，在上的投影有最小值，又因为，所以的取值范围是.故选D. 4.ABC【解析】设，以其为基底，，则，A正确；由，所以，，B正确；因为所以，C正确；由C项可得，，D错误.故选ABC. 5.【解析】如图，过作的垂线，则点的投影为，当在点时， 在上的投影最大且为线段的长，当在点时， 在上的投影最小，为，分别计算相关模长即可. 在图中有条件可得,，所以.则，所以.由，为中点可得,为中点，从而在方向上的投影分别为，由即可求得的范围是. . 学科网（北京）股份有限公司 $