第五章 课时2 平面向量的基本定理与坐标表示讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦平面向量基本定理与坐标表示，整合基本定理、正交分解、坐标运算及共线判定等核心考点，按课标要求-知识梳理-基础回顾-考点扫描的逻辑展开，通过考点梳理、规律方法指导、真题与模拟题训练，帮助学生构建知识体系，突破向量分解与坐标运算难点。 讲义突出数学思维与数学语言培养，如在向量共线判定教学中，通过例3结合坐标条件判断充要关系，引导学生掌握逻辑推理与符号表达；设置基础判断、选择及综合解答题分层练习，配合规律方法总结，确保高效突破考点。助力学生提升向量应用能力，为教师提供系统复习框架，把控复习节奏。

课时2 平面向量的基本定理与坐标表示 一、课标要求 1．理解平面向量基本定理及其意义. 2．借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示. 3．会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算. 二、知识梳理 1．平面向量的基本定理 如果是同一平面内的 　　　 　 向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且 　　　 　 ,使得　　　　　　，其中不共线的向量叫作表示这一平面内所有向量的一组基底. 2.平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个 　　　　　 的向量，叫作把向量正交分解. 3.平面向量的坐标运算 (1) 向量加法、减法、数乘运算及向量的模 设，则 　　　， 　　　， 　　　 ，　　　　　. (2) 向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标. ② 设点则 　　　　　　，　　　　　. 4.平面向量共线的坐标表示 设，则a∥b⇔ 　　　　　　 . 【拓展知识】 1．若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则 . 2．已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则点P的坐标为　　　　　. 3．已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标 为 　　　　　 . 三、基础回顾 1．判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）平面内的任何两个向量都可以作为一组基底. （ ） （2） 同一向量在不同基底下的表示是相同的． （ ） （3）若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可表示成＝. （ ） （4）若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2. （ ） 2．已知点，，则与同方向的单位向量为 （ ） A． B． C． D． 3．（多选题）设向量e1，e2为平面内所有向量的一组基底，且向量a＝3e1－4e2与b＝6e1＋ke2能作为一组基底，则实数k的值可以为(　　) A．8　　 B．－8 C．4　　 D．－4 4．已知▱ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，则顶点D的坐标为________． 四、考点扫描 考点一 平面向量基本定理的应用 例1（1）下列各组向量中，可以作为基底的是(　 　) A．e1＝(0,0)，e2＝(1，－2) B．e1＝(－1,2)，e2＝(5,7) C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10) D．e1＝(2，－3)，e2＝ （2）如图，在△OCB中，已知A是边CB的中点，D是将分成2∶1的一个内分点，DC和OA交于点E，设＝a，＝b. (1) 用a和b分别表示，； (2) 若＝λ，求实数λ的值． 规律方法： 对点训练 （1）（多选题）(2025·安徽宣城市期末)设O是平行四边形ABCD的两条对角线AC，BD的交点.下列各组向量可作为这个平行四边形所在平面的一个基底的有( 　) A．{，} B．{，} C．{，} D．{，} （2）（2025·广东广州市一模）在平行四边形中，是边上的点，且，是线段的中点.若，则（ ） A. B. 1 C. D. 考点二 平面向量的坐标运算 例2 （1）已知向量a＝(3,2)，b＝(0，－1)，则－2a＋4b＝__ __，4a＋3b＝__ __． (2) 已知点O(0,0)，＝(2,3)，＝(6，－3)，P是线段AB的三等分点，则点P的坐标为 ． 规律方法： 对点训练 （1）已知向量a＝(5，－2)，b＝(－4，－3).若a－2b＋3c＝0，则c=(　　) A. B. C. D. （2）（2025·河北石家庄市联考）古希腊数学家帕波斯在其著作《数学汇编》的第五卷序言中，提到了蜂巢，称蜜蜂将它们的蜂巢结构设计为相同并且拼接在一起的正六棱柱结构，从而储存更多的蜂蜜，提升了空间利用率，体现了动物的智慧，得到世人的认可.已知蜂巢结构的平面图形如图所示，则（   ） A． B． C． D． 考点三 向量共线的坐标表示 例3 (1)（2025·江苏苏州市调研）已知向量，，则“”是“”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 (2) (多选题)已知向量a＝(x，3)，b＝(－3，x)，则下列叙述不正确的有(　　) A．存在实数x，使得a∥b B．存在实数x，使得(a＋b)∥a C．存在实数x，m，使得(ma＋b)∥a D．存在实数x，m，使得(ma＋b)∥b （3）在梯形ABCD中，AB∥CD，且CD＝2AB.若点A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为 ． 规律方法： 对点训练 （1）（2025春·上海高考）已知向量，.若，则 ． （2）已知向量，，. ① 分别求，的坐标； ② 若向量，且n与向量平行，求实数k的值． 课时2 平面向量的基本定理与坐标表示参考答案 二、知识梳理 1． 不共线 只有一对实数λ1，λ2 2. 相互垂直 3. (1) (x1＋x2，y1＋y2) (x1－x2，y1－y2) (λx1，λy1) (2) ② (x2－x1，y2－y1) 4. x1y2－x2y1＝0 【拓展知识】 1．λ＝μ＝0 2． 3． 三、基础回顾 1. （1）×【解析】平面内的任何两个不共线向量都可以作为一组基底. （3） ×【解析】同一向量在不同基底下的表示是不同的. （3） ×【解析】反例：a＝(1，0)，b＝(2，0). （4） √ 【解析】由平面向量的基本定理可知本命题正确. 2.A【解析】，所以， 所以同方向的单位向量是．故选A . 3．ACD【解析】若a与b能作为一组基底，得a与b不共线，故≠，即k≠－8.故选ACD. 4． (1,5) 【解析】设D(x，y)，则由＝，得(4,1)＝(5－x,6－y)，即解得 四、考点扫描 例1（1） B【解析】 对于选项A，因为零向量与任何向量平行，所以选项A中的两个向量不可以作为基底； 对于选项B，e1＝(－1,2)与e2＝(5,7)对应坐标不成比例，两向量不共线，可以作为基底； 对于选项C，e1＝(3,5)，e2＝(6,10)，e1＝e2，两向量共线，不可以作为基底； 对于D，e1＝(2，－3)，e2＝，e1＝4e2，两向量共线，不可以作为基底．故选B. （2）【解】① 由题意知，A是BC的中点，且＝，由平行四边形法则，得＋＝2，所以＝2－＝2a－b，＝－＝(2a－b)－b＝2a－b. ②由题意知，∥，故设＝x.因为＝－＝(2a－b)－λa ＝(2－λ)a－b，＝2a－b.所以(2－λ)a－b＝x 因为a与b不共线，由平面向量基本定理，得解得故λ＝. 对点训练 （1）AC 【解析】平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底，如图. 对于选项A，与不共线，可作为基底； 对于选项B，与为共线向量，不可作为基底； 对于选项C，与是两个不共线的向量，可作为基底； 对于选项D，与在同一条直线上，是共线向量，不可作为基底．故选AC. （2） C 【解析】因为点是线段的中点， 所以. 又， 所以，所以.故选C. 例2（1） (－6，－8)； (12,5) 【解析】 因为a＝(3,2)，b＝(0，－1)，所以－2a＋4b＝－2(3,2)＋4(0，－1)＝(－6，－4)＋(0，－4)＝(－6，－8)，4a＋3b＝4(3,2)＋3(0，－1)＝(12,8)＋(0，－3)＝(12,5)． （2）或【解析】 因为＝(2,3)，＝(6，－3)， 所以＝－＝(4，－6)．因为点P是线段AB的三等分点， 所以＝＝或＝＝， 所以＝＋＝＋＝(2,3)＋＝或＝＋＝＋＝(2,3)＋＝，故点P的坐标为或． 对点训练 （1）D 【解析】因为a－2b＋3c＝0，所以c＝－(a－2b)． 因为a－2b＝(5，－2)－(－8，－6)＝(13,4)，所以c＝－(a－2b)＝.故选D. （2）B 【解析】以D为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系.    不妨设，则，，，，. 故，，. 设，则，解得， 所以.故选B. 例3 (1) A 【解析】由，，若，则，解得或， 故“”是“”的充分不必要条件.故选A. (2) ABC 【解析】 由a∥b，得x2＝－9，无实数解，A错误． 因为a＋b＝(x－3，3＋x)，又(a＋b)∥a，所以3(x－3)－x(3＋x)＝0，即x2＝－9，无实数解，B错误． 由已知，得ma＋b＝(mx－3，3m＋x)．又(ma＋b)∥a，所以x(3m＋x)－3(mx－3)＝0， 即x2＝－9，无实数解，C错误． 由(ma＋b)∥b，得－3(3m＋x)－x(mx－3)＝0，即m(x2＋9)＝0，所以m＝0，x∈R，D正确．故选ABC. （3）(2,4)【解析】因为在梯形ABCD中，CD＝2AB，AB∥CD，所以＝2. 设点D的坐标为(x，y)，则＝(4－x,2－y)，又＝(1，－1)，所以(4－x,2－y)＝2(1，－1)， 即所以所以点D的坐标为(2,4)． 对点训练 （1） 【解析】 ，，，则，解得． （2）【解】① 依题意，， . ② 由①知，而， 由与向量平行，得，解得， 所以实数k的值是. . 学科网（北京）股份有限公司 $