5.2 平面向量基本定理及坐标表示【题型突破】-2027届高三数学一轮复习讲义

该高中数学讲义聚焦平面向量基本定理及坐标表示核心考点，涵盖向量分解、坐标运算、共线判定及线性关系转化，结合几何图形综合考查。按考向预测、双基自测、核心梳理、题型突破、限时训练逻辑架构，通过考点梳理夯实基础，方法指导突破基底拆分等难点，真题训练提升解题能力，体现复习的系统性与针对性。 资料特色在于以核心素养为导向，通过“双基自测”培养数学眼光，“题型突破”中例1基底判断训练数学思维，例2帆船风速问题强化数学语言表达。设置分层限时训练，结合2025模拟题及新高考真题，确保高效突破高频考点，助力学生提升转化推理能力，为教师把控复习节奏提供清晰教学路径。

第五章 平面向量与复数 §5.2　平面向量基本定理及坐标表示 【高考考向预测】 平面向量基本定理与坐标表示，核心考查向量分解、坐标运算、共线判定及线性关系转化，常结合几何图形综合出题；近三年是选择填空题常规高频考点，考查稳定；预测2027 年仍以小题为主，侧重基底拆分、坐标参数计算，融合几何场景考查转化推理能力。 【双基自测●明考向】 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内的任何两个向量都可以作为一个基底. (　　) (2)设{a，b}是平面内的一个基底，若实数λ1，μ1，λ2，μ2满足λ1a+μ1b=λ2a+μ2b，则λ1=λ2，μ1=μ2. (　　) (3)设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，当且仅当x2y2≠0时，a∥b与=等价.(　　) (4)若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a=b⇔x1=x2且y1=y2. (　　) 【答案】（1）×（2）√（3）√（4）√ 2.已知a=(2，1)，b=(-3，4)，则3a+4b的坐标是(　　) A.(6，19) B.(6，-13) C.(-6，19) D.(-6，-13) 【答案】C 【解析】因为a=(2，1)，b=(-3，4)，所以3a=(6，3)，4b=(-12，16)， 则3a+4b=(-6，19). 3.已知向量a=(m，m+3)，b=(4，m)，则“m=6”是“a与b共线”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】向量a=(m，m+3)，b=(4，m)， 则a∥b⇔m2-4(m+3)=0，解得m=-2或m=6， 所以“m=6”是“a与b共线”的充分不必要条件. 4.已知平行四边形ABCD的顶点A(-1，-2)，B(3，-1)，C(5，6)，则顶点D的坐标为　　　　　　.  【答案】(1，5) 【解析】设D(x，y)，则=， 得(3-(-1)，-1-(-2))=(4，1)=(5-x，6-y)， 即解得即D(1，5). 【核心梳理●明考点】 1.平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2. 若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 2.平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解. 3.平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模 设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则 a+b=(x1+x2，y1+y2)，a-b=(x1-x2，y1-y2)，λa=(λx1，λy1)，|a|=. (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标. ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则=(x2-x1，y2-y1)，||=. 4.平面向量共线的坐标表示 设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔x1y2-x2y1=0. 1.熟记以下常用结论 (1)如果对于一个基底{e1，e2}，有a=λ1e1+λ2e2=μ1e1+μ2e2，那么可以得到即基底给定，同一向量的分解形式唯一.特别地，若λ1e1+λ2e2=0，则λ1=λ2=0. (2)已知△ABC的重心为G，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则G点坐标为. 2.谨防三个易误点 (1)基底{e1，e2}必须是同一平面内的两个不共线向量.因为零向量平行于任意向量，所以不能作为基底中的向量. (2)a∥b的充要条件不能表示为=，因为x2，y2有可能为0. (3)向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的. 【题型突破●明方向】 题型一　平面向量基本定理的应用 例1　(1)(多选)(2025·三门峡模拟)下列选项正确的是(　　) A.若e1=(2，-3)，e2=，则e1与e2能作为一个基底 B.e1=(-1，2)，e2=(5，7)，则e1与e2能作为一个基底 C.3e1+e2与e2可以作为一个基底 D.若e1，e2不共线，则2e1与-e2可以作为一个基底 【答案】BD 【解析】选项A，因为e1=(2，-3)，e2=， 2×=-3×，所以e1与e2共线，不能作为一个基底，A选项错误； 选项B，因为e1=(-1，2)，e2=(5，7)， 2×5≠-1×7，所以e1与e2不共线，能作为一个基底，B选项正确； 选项C，设3e1+e2=λe2，可得3e1=(λ-1)e2. 若e1与e2不共线，则不存在这样的实数λ使得3e1=(λ-1)e2成立； 若e1与e2共线，则3e1+e2与e2共线. 由于题目未明确e1与e2是否共线，所以无法确定3e1+e2与e2是否能作为一个基底，C选项错误； 选项D，设2e1=λ(-e2)，即2e1+λe2=0. 因为e1，e2不共线，所以不存在实数λ，使得2e1+λe2=0成立， 所以2e1与-e2不共线，可以作为一个基底，D选项正确. (2)如图，在直角梯形ABCD中，=，=2，且=r+s，则2r+3s=　　　　.  【答案】3 【解析】方法一　由题图可得 =+=+ =+++) =++) =+=+. 因为=r+s，所以r=，s=， 则2r+3s=1+2=3. 方法二　因为=2， 所以-=2(-)， 整理，得=+=++)=+=+， 以下同方法一. 方法三　如图，建立平面直角坐标系，A(0，0)， 依题意可设点B(4m，0)，D(3m，3h)，E(4m，2h)，其中m>0，h>0.由=r+s， 得(4m，2h)=r(4m，0)+s(3m，3h)， 所以解得 所以2r+3s=1+2=3. 【思维升华】(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算. (2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决. 【跟踪训练】1　(1)(2022·新高考全国Ⅰ)在△ABC中，点D在边AB上，BD=2DA.记=m，=n，则等于(　　) A.3m-2n B.-2m+3n C.3m+2n D.2m+3n 【答案】B 【解析】因为BD=2DA，所以=3， 所以=+=+3=+3(-)=-2+3=-2m+3n. (2)(2025·合肥模拟)在△ABC中，=λ，=μ，=μ，其中λ，μ∈(0，1)，若=，则(　　) A.λ=μ B.λ+μ=1 C.-=1 D.-=1 【答案】C 【解析】=+=+μ=+μ(+)=+μ(+λ)=+μ[+λ(-)]=λμ+(μ-λμ-1)， =++=-λ-+μ =-λ(-)-+μ =(λ-1)+(μ-λ)， 因为=，所以 所以λμ=μ-λ，又λ，μ∈(0，1)， 则-=1. 题型二　平面向量的坐标运算 例2　(1)在平行四边形ABCD中，=(3，7)，=(-2，3)，对角线AC与BD交于点O，则的坐标为(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为在平行四边形ABCD中，=(3，7)，=(-2，3)，对角线AC与BD交于点O，所以=-=-+)=. (2)(2025·全国Ⅰ卷)帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.表格给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图所示(线段长度代表速度大小，单位：m/s)，则该时刻的真风为(　　) 级数 名称 风速大小(单位：m/s) 2 轻风 1.6~3.3 3 微风 3.4~5.4 4 和风 5.5~7.9 5 劲风 8.0~10.7 A.轻风 B.微风 C.和风 D.劲风 【答案】A 【解析】由题意及题图得，视风风速对应的向量为n=(0，2)-(3，3)=(-3，-1)， 视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和， 船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反， 设真风风速对应的向量为n1，船行风风速对应的向量为n2， ∴n=n1+n2，n2=-[(3，3)-(2，0)]=(-1，-3)， ∴n1=n-n2=(-3，-1)-(-1，-3)=(-2，2)， ∴|n1|==2≈2.828， 由表格可得，该时刻的真风为轻风. 【思维升华】(1)利用向量的坐标运算解题，主要是利用加法、减法、数乘运算法则，然后根据“两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相等”这一原则，化归为方程(组)进行求解. (2)向量的坐标表示使向量运算代数化，成为数与形结合的载体，可以使很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算. 【跟踪训练】2　(1)(2025·天津模拟)设点A(-1，3)，B(2，4)，C(3，-2)，且=2-3，则点D的坐标为(　　) A.(3，20) B.(-2，-23) C.(2，23) D.(-4，-17) 【答案】C 【解析】设D(x，y)，由=2-3可得，(x+1，y-3)=2(3，1)-3(1，-6)=(3，20)， 即解得即D(2，23). (2)(2025·成都模拟)在正方形ABCD中，M是BC的中点.若=λ+μ(λ，μ∈R)，则λ+μ的值为(　　) A. B. C. D.2 【答案】B 【解析】在正方形ABCD中，以点A为原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系，如图， 令AB=2，则B(2，0)，C(2，2)，D(0，2)，M(2，1)，=(2，2)，=(2，1)，=(-2，2)，λ+μ=(2λ-2μ，λ+2μ)， 因为=λ+μ，所以 解得λ=，μ=，λ+μ=， 所以λ+μ的值为. 题型三　向量共线的坐标表示 例3　(1)(2025·遵义模拟)已知向量a=(3，2)，b=(λ，4)，c=(1，λ+1)，若(a+2b)∥c，则正数λ等于(　　) A. B. C.1 D. 【答案】C 【解析】由题意得a+2b=(3+2λ，10)， 因为(a+2b)∥c，所以(3+2λ)(λ+1)=10， 即2λ2+5λ-7=0， 解得λ=1或λ=-(舍去). (2)已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，O为坐标原点，则AC与OB的交点P的坐标为　　　　　.  【答案】(3，3) 【解析】方法一　=(4，0)，=(4，4)，=(2，6)， 由O，P，B三点共线，可设=λ=(4λ，4λ)，λ∈R，则=-=(4λ-4，4λ). 又=-=(-2，6)， 由与共线，得(4λ-4)×6-4λ×(-2)=0，解得λ=，所以==(3，3)， 所以点P的坐标为(3，3). 方法二　设点P(x，y)，则=(x，y)，因为=(4，4)，且与共线，所以=，即x=y.又=(x-4，y)，=(-2，6)，且与共线，所以(x-4)×6-y×(-2)=0，解得x=y=3，所以点P的坐标为(3，3). 【思维升华】平面向量共线的坐标表示问题的解题策略 (1)若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b的充要条件是x1y2=x2y1. (2)在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R). 【跟踪训练】3　(1)(多选)已知两点A(2，-1)，B(3，1)，与平行且方向相反的向量a可能是(　　) A.a=(-1，-2) B.a=(9，3) C.a=(-1，2) D.a=(-4，-8) 【答案】AD 【解析】由题意可得=(1，2). A选项，a=(-1，-2)=-，故满足题意； D选项，a=(-4，-8)=-4，故满足题意； B，C选项中的a不能用表示，故不满足题意. (2)(2026·景德镇模拟)已知向量a=(2，3)，b=(2，sin α-3)，c=(2，cos α)，若(a+b)∥c，则tan α的值为(　　) A.2 B.-2 C. D.- 【答案】A 【解析】因为a=(2，3)，b=(2，sin α-3)， 所以a+b=(4，sin α)， 又c=(2，cos α)且(a+b)∥c， 所以=，即tan α=2. 定比分点坐标公式 (链接教材，人教A版必修第二册P33)定比分点是中点、三等分点的延伸拓展，在解决平面向量和解析几何题目中都有应用. 如图，线段P1P2的端点P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，点P是直线P1P2上异于P1，P2的点，当=λ(λ≠0且λ≠-1)时，=+，点P的坐标是，当λ>0时，点P在线段P1P2上，称为内分点；当λ<0且λ≠-1时，点P在线段P1P2的延长线上，称为外分点. 【典例】　(1)若过两点P1(-1，2)，P2(5，6)的直线与x轴相交于点P，则点P分有向线段所成的比λ的值为(　　) A.- B.- C. D. 【答案】A 【解析】设P(x，0)，则λ==-. (2)已知M(-2，7)，N(10，-2)，点P是线段MN上的点，且=-2，则P点的坐标为(　　) A.(-14，16) B.(22，-11) C.(6，1) D.(2，4) 【答案】D 【解析】由=2，可知P分有向线段所成的比是λ=2，设O为坐标原点， 所以=+， 则P，即(2，4). 【限时训练】 （40分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.已知a=(5，-2)，b=(-4，-3)，若a-2b+3c=0，则c等于(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】∵a-2b+3c=0， ∴c=-(a-2b). ∵a-2b=(5，-2)-(-8，-6)=(13，4)， ∴c=-(a-2b)=. 2.(2026·重庆模拟)已知平面向量a=(1，k+1)，b=(2k-1，2k2)，若a∥b，则k等于(　　) A.-1 B.1 C.2 D.3 【答案】B 【解析】根据题意，平面向量a=(1，k+1)，b=(2k-1，2k2)，且a∥b， 所以1×2k2=(k+1)(2k-1)，解得k=1. 3.已知向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，以a，b为基底，则c可表示为(　　). A.c=-2a+3b B.c=-3a+2b C.c=3a-2b D.c=2a+3b 【答案】C 【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，O(0，0)，A(1，0)，B(2，1)，C(0，4)，D(7，1)，则a==(1，1)，b==(-2，3)，c==(7，-3)， 设c=xa+yb，则解得故c=3a-2b. 4.(2025·齐鲁名校联考)在△ABC中，AB=2，AC=3，=，=2.若+=λ+μ(λ，μ∈R)，则λ+μ的值为(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为=，所以D为BC的中点，所以=+). 又=2，所以=，所以=+=-， 所以+=+)+-=-， 所以λ=，μ=-，所以λ+μ=. 5.在△ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN=2NC，AM与BN交于点P，若AM=5.5，则AP的长是(　　) A.3.8 B.4 C.4.2 D.4.4 【答案】D 【解析】方法一　设=e1，=e2， 则=+=-3e2-e1， =+=2e1+e2， 因为点A，P，M和点B，P，N分别共线， 所以存在实数λ，μ，使=λ=-λe1-3λe2，=μ=2μe1+μe2， 所以=-=(λ+2μ)e1+(3λ+μ)e2， 又=+=2e1+3e2， 所以解得 所以=， 所以AP=AM=4.4. 方法二　设=λ，λ∈R， 因为M是BC的中点，AN=2NC， 则=+)=+， =λ=λ+λ， 又B，P，N三点共线，所以λ+λ=1， 解得λ=，所以AP=AM=4.4. 6.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=1，以AC为直径的半圆上有一点M，=λ+λ，则实数λ等于(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】以B为原点，BC，BA所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系. 则A(0，1)，C(1，0)，||=， 则以AC为直径的圆的圆心为AC的中点D. 则以AC为直径的圆的方程为 +=， 设M(x，y)， 则=(x，y)，=(1，0)，=(0，1)， =λ+λ=(λ，λ)， 所以 由点M在圆+=上， 可得+=， 即4λ2-(1+)λ=0， 解得λ=或λ=0(舍去). 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.下列说法正确的是(　　) A.向量a=(-1，3)，b=(2，4)可以作为平面向量的一个基底 B.已知点A(1，5)，B(4，-7)，点P是线段AB的三等分点，则点P的坐标可以为 C.若D为△ABC的边AB的中点，则=2- D.若向量=(1，6)，=(1，-1)，=(m，m+1)，且A，C，D三点共线，则m= 【答案】AC 【解析】对于A，∵-1×4-3×2=-10≠0，∴a，b不共线， 即向量a=(-1，3)，b=(2，4)可以作为平面向量的一个基底，故A正确； 对于B，点P是线段AB的三等分点，设P(x，y)， 若=，即(x-1，y-5)=(3，-12)，解得x=2，y=1，∴P(2，1)； 若=，即(x-1，y-5)=(3，-12)，解得x=3，y=-3，∴P(3，-3)， 则点P的坐标不可能为，故B错误； 对于C，如图所示， ∵D为△ABC的边AB的中点， ∴+=2， ∴=2-，故C正确； 对于D，由A，C，D三点共线，得∥， 又=(2，5)，=(m，m+1)，得2(m+1)-5m=0，解得m=，故D错误. 8.(2025·娄底模拟)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，=(5，-3)，=(2，3)，点P在直线AB上，且||=||，则点P的坐标可能为(　　) A.(8，-9) B.(4，-1) C. D.(5，-6) 【答案】AB 【解析】设P(x，y)，由题意得A(5，-3)，B(2，3)，且点P在直线AB上，故||=||可得以下两种情况： ①=2， 此时有(x-2，y-3)=2(5-x，-3-y)， 可得解得 ②=-2， 此时有(x-2，y-3)=-2(5-x，-3-y)， 可得解得 综上所述，点P的坐标为(4，-1)或(8，-9). 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.已知向量=(3，4)，=(6，-3)，=(5-m，-3-m)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m应满足的条件是　　　　　　　　　　.  【答案】m≠- 【解析】因为=-=(3，-7)， =-=(2-m，-7-m)， 又点A，B，C能构成三角形， 所以点A，B，C不共线，即与不共线， 所以3(-7-m)-(-7)(2-m)≠0， 解得m≠-. 10.(2025·新余模拟)已知平面直角坐标系Oxy中，A(-2，-2)，B(1，2)，=λ+(3-λ)，若∥，则点P的坐标为　　　　　　　.  【答案】(0，2) 【解析】=(-2λ，-2λ)+(3-λ，6-2λ)=(3-3λ，6-4λ)， =-=(5-3λ，8-4λ)， 因为∥，所以2(5-3λ)=8-4λ⇒λ=1， 故=(0，2)，所以点P的坐标为(0，2). 四、解答题(共28分) 11.(13分)平面内给定三个向量a=(3，2)，b=(-1，2)，c=(4，1). (1)若(a+kc)∥(2b-a)，求实数k；(6分) (2)若d满足(d-c)∥(a+b)，且|d-c|=，求d的坐标.(7分) 【解析】(1)a+kc=(3+4k，2+k)，2b-a=(-5，2)， 由题意得2×(3+4k)-(-5)×(2+k)=0， 解得k=-. (2)设d=(x，y)，则d-c=(x-4，y-1)， 又a+b=(2，4)，(d-c)∥(a+b)， |d-c|=， ∴ 解得或 ∴d的坐标为(3，-1)或(5，3). 12.(15分)如图所示，已知矩形ABCD中，AB=2，AD=1，=，=，AC与MN相交于点E. (1)若=λ+μ，求实数λ和μ的值；(7分) (2)用向量，表示.(8分) 【解析】(1)如图，以A点为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(0，0)，D(0，1)，B(2，0)，M，N， 所以=，=(2，0)，=(0，1)， 所以==λ+μ=(2λ，μ)， 所以解得 (2)设=t，=m+n，t，m，n∈R， 因为=，=， 又C(2，1)，则=(2，1)， 所以=(2，1)=. 即解得 即=+， 所以=t=t+t， 又因为M，E，N三点共线， 所以t+t=1，则t=， 所以=+. [每小题5分，共10分] 13.我国数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”.它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，若=λ，=+，则实数λ等于(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】B 【解析】以点F为原点，BF，CF所在直线分别为x，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 设BF=m，EF=n， 则F(0，0)，A(-n，m)，B(-m，0)，C(0，n-m)， =(m，0)，=(m，n-m)，=(m-n，m)， 所以=+ =， 所以解得m=4n， 又=λ，与同向，则λ>0， 所以λ====3. 14.(2025·昆明模拟)已知{e1，e2}是平面α内的一个基底，O为α内的定点.对于α内任意一点P，若=xe1+ye2(x，y∈R)，则称有序实数对(x，y)为点P的广义坐标.若点A，B的广义坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则下列命题正确的是(　　) A.点M(1，2)关于点O的对称点不一定为M'(-1，-2) B.A，B两点间的距离为 C.若向量平行于向量，则x1y2-x2y1的值不一定为0 D.若线段AB的中点为C，则点C的广义坐标为 【答案】D 【解析】对于A，=e1+2e2，设M(1，2)关于点O的对称点为M'(x，y)，则=-=-e1-2e2=xe1+ye2，因为e1，e2不共线，所以A错误； 对于B，因为=-=x2e1+y2e2-x1e1-y1e2=(x2-x1)e1+(y2-y1)e2，所以||==， 当向量e1，e2是相互垂直的单位向量时，A，B两点间的距离为，否则距离不为，B错误； 对于C，当与中至少一个是0时，x1y2-x2y1=0；当与都不为0时，设=λ(λ≠0)，有x1e1+y1e2=λx2e1+λy2e2， 即所以x1y2=x2y1，C错误； 对于D，=+)=(x1e1+y1e2+x2e1+y2e2)=e1+e2，所以线段AB中点C的广义坐标为，D正确. 第 1 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 平面向量与复数 §5.2　平面向量基本定理及坐标表示 【高考考向预测】 平面向量基本定理与坐标表示，核心考查向量分解、坐标运算、共线判定及线性关系转化，常结合几何图形综合出题；近三年是选择填空题常规高频考点，考查稳定；预测2027 年仍以小题为主，侧重基底拆分、坐标参数计算，融合几何场景考查转化推理能力。 【双基自测●明考向】 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内的任何两个向量都可以作为一个基底. (　　) (2)设{a，b}是平面内的一个基底，若实数λ1，μ1，λ2，μ2满足λ1a+μ1b=λ2a+μ2b，则λ1=λ2，μ1=μ2. (　　) (3)设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，当且仅当x2y2≠0时，a∥b与=等价.(　　) (4)若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a=b⇔x1=x2且y1=y2. (　　) 2.已知a=(2，1)，b=(-3，4)，则3a+4b的坐标是(　　) A.(6，19) B.(6，-13) C.(-6，19) D.(-6，-13) 3.已知向量a=(m，m+3)，b=(4，m)，则“m=6”是“a与b共线”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知平行四边形ABCD的顶点A(-1，-2)，B(3，-1)，C(5，6)，则顶点D的坐标为　　　　　　.  【核心梳理●明考点】 1.平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2. 若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 2.平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解. 3.平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模 设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则 a+b=(x1+x2，y1+y2)，a-b=(x1-x2，y1-y2)，λa=(λx1，λy1)，|a|=. (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标. ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则=(x2-x1，y2-y1)，||=. 4.平面向量共线的坐标表示 设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔x1y2-x2y1=0. 1.熟记以下常用结论 (1)如果对于一个基底{e1，e2}，有a=λ1e1+λ2e2=μ1e1+μ2e2，那么可以得到即基底给定，同一向量的分解形式唯一.特别地，若λ1e1+λ2e2=0，则λ1=λ2=0. (2)已知△ABC的重心为G，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则G点坐标为. 2.谨防三个易误点 (1)基底{e1，e2}必须是同一平面内的两个不共线向量.因为零向量平行于任意向量，所以不能作为基底中的向量. (2)a∥b的充要条件不能表示为=，因为x2，y2有可能为0. (3)向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的. 【题型突破●明方向】 题型一　平面向量基本定理的应用 例1　(1)(多选)(2025·三门峡模拟)下列选项正确的是(　　) A.若e1=(2，-3)，e2=，则e1与e2能作为一个基底 B.e1=(-1，2)，e2=(5，7)，则e1与e2能作为一个基底 C.3e1+e2与e2可以作为一个基底 D.若e1，e2不共线，则2e1与-e2可以作为一个基底 (2)如图，在直角梯形ABCD中，=，=2，且=r+s，则2r+3s=　　　　.  【跟踪训练】1　(1)(2022·新高考全国Ⅰ)在△ABC中，点D在边AB上，BD=2DA.记=m，=n，则等于(　　) A.3m-2n B.-2m+3n C.3m+2n D.2m+3n (2)(2025·合肥模拟)在△ABC中，=λ，=μ，=μ，其中λ，μ∈(0，1)，若=，则(　　) A.λ=μ B.λ+μ=1 C.-=1 D.-=1 题型二　平面向量的坐标运算 例2　(1)在平行四边形ABCD中，=(3，7)，=(-2，3)，对角线AC与BD交于点O，则的坐标为(　　) A. B. C. D. (2)(2025·全国Ⅰ卷)帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.表格给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图所示(线段长度代表速度大小，单位：m/s)，则该时刻的真风为(　　) 级数 名称 风速大小(单位：m/s) 2 轻风 1.6~3.3 3 微风 3.4~5.4 4 和风 5.5~7.9 5 劲风 8.0~10.7 A.轻风 B.微风 C.和风 D.劲风 【跟踪训练】2　(1)(2025·天津模拟)设点A(-1，3)，B(2，4)，C(3，-2)，且=2-3，则点D的坐标为(　　) A.(3，20) B.(-2，-23) C.(2，23) D.(-4，-17) (2)(2025·成都模拟)在正方形ABCD中，M是BC的中点.若=λ+μ(λ，μ∈R)，则λ+μ的值为(　　) A. B. C. D.2 题型三　向量共线的坐标表示 例3　(1)(2025·遵义模拟)已知向量a=(3，2)，b=(λ，4)，c=(1，λ+1)，若(a+2b)∥c，则正数λ等于(　　) A. B. C.1 D. (2)已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，O为坐标原点，则AC与OB的交点P的坐标为　　　　　. 【跟踪训练】3　(1)(多选)已知两点A(2，-1)，B(3，1)，与平行且方向相反的向量a可能是(　　) A.a=(-1，-2) B.a=(9，3) C.a=(-1，2) D.a=(-4，-8) (2)(2026·景德镇模拟)已知向量a=(2，3)，b=(2，sin α-3)，c=(2，cos α)，若(a+b)∥c，则tan α的值为(　　) A.2 B.-2 C. D.- 定比分点坐标公式 (链接教材，人教A版必修第二册P33)定比分点是中点、三等分点的延伸拓展，在解决平面向量和解析几何题目中都有应用. 如图，线段P1P2的端点P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，点P是直线P1P2上异于P1，P2的点，当=λ(λ≠0且λ≠-1)时，=+，点P的坐标是，当λ>0时，点P在线段P1P2上，称为内分点；当λ<0且λ≠-1时，点P在线段P1P2的延长线上，称为外分点. 【典例】　(1)若过两点P1(-1，2)，P2(5，6)的直线与x轴相交于点P，则点P分有向线段所成的比λ的值为(　　) A.- B.- C. D. (2)已知M(-2，7)，N(10，-2)，点P是线段MN上的点，且=-2，则P点的坐标为(　　) A.(-14，16) B.(22，-11) C.(6，1) D.(2，4) 【限时训练】 （40分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.已知a=(5，-2)，b=(-4，-3)，若a-2b+3c=0，则c等于(　　) A. B. C. D. 2.(2026·重庆模拟)已知平面向量a=(1，k+1)，b=(2k-1，2k2)，若a∥b，则k等于(　　) A.-1 B.1 C.2 D.3 3.已知向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，以a，b为基底，则c可表示为(　　). A.c=-2a+3b B.c=-3a+2b C.c=3a-2b D.c=2a+3b 4.(2025·齐鲁名校联考)在△ABC中，AB=2，AC=3，=，=2.若+=λ+μ(λ，μ∈R)，则λ+μ的值为(　　) A. B. C. D. 5.在△ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN=2NC，AM与BN交于点P，若AM=5.5，则AP的长是(　　) A.3.8 B.4 C.4.2 D.4.4 6.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=1，以AC为直径的半圆上有一点M，=λ+λ，则实数λ等于(　　) A. B. C. D. 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.下列说法正确的是(　　) A.向量a=(-1，3)，b=(2，4)可以作为平面向量的一个基底 B.已知点A(1，5)，B(4，-7)，点P是线段AB的三等分点，则点P的坐标可以为 C.若D为△ABC的边AB的中点，则=2- D.若向量=(1，6)，=(1，-1)，=(m，m+1)，且A，C，D三点共线，则m= 8.(2025·娄底模拟)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，=(5，-3)，=(2，3)，点P在直线AB上，且||=||，则点P的坐标可能为(　　) A.(8，-9) B.(4，-1) C. D.(5，-6) 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.已知向量=(3，4)，=(6，-3)，=(5-m，-3-m)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m应满足的条件是　　　　　　　　　　.  10.(2025·新余模拟)已知平面直角坐标系Oxy中，A(-2，-2)，B(1，2)，=λ+(3-λ)，若∥，则点P的坐标为　　　　　　　.  四、解答题(共28分) 11.(13分)平面内给定三个向量a=(3，2)，b=(-1，2)，c=(4，1). (1)若(a+kc)∥(2b-a)，求实数k；(6分) (2)若d满足(d-c)∥(a+b)，且|d-c|=，求d的坐标.(7分) 12.(15分)如图所示，已知矩形ABCD中，AB=2，AD=1，=，=，AC与MN相交于点E. (1)若=λ+μ，求实数λ和μ的值；(7分) (2)用向量，表示.(8分) [每小题5分，共10分] 13.我国数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”.它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，若=λ，=+，则实数λ等于(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 14.(2025·昆明模拟)已知{e1，e2}是平面α内的一个基底，O为α内的定点.对于α内任意一点P，若=xe1+ye2(x，y∈R)，则称有序实数对(x，y)为点P的广义坐标.若点A，B的广义坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则下列命题正确的是(　　) A.点M(1，2)关于点O的对称点不一定为M'(-1，-2) B.A，B两点间的距离为 C.若向量平行于向量，则x1y2-x2y1的值不一定为0 D.若线段AB的中点为C，则点C的广义坐标为 第 1 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $