5.2 平面向量基本定理及坐标表示 专题讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义围绕平面向量基本定理及坐标表示，覆盖定理意义、正交分解、坐标运算及共线条件等高考核心考点，按“定理-坐标-运算-应用”逻辑构建知识体系。通过考点梳理、方法指导（如基底分解法则）、真题训练（分考点例题）等环节，帮助学生突破向量分解与坐标转化难点，体现复习系统性与针对性。 资料突出核心素养导向，以数学抽象（基底选择）、逻辑推理（共线条件推导）、数学运算（坐标方程求解）为抓手，设计“例题精讲-方法总结-分层练习（A级基础至C级拓广）”教学活动。如向量共线问题通过坐标条件转化参数方程，高效突破考点，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

5．2　平面向量基本定理及坐标表示 课标要求 考情分析 1．了解平面向量基本定理及其意义． 2．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示． 3．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算． 4．理解用坐标表示平面向量共线的条件． ◎考点考法：在考查其他知识点时，经常涉及平面向量基本定理及坐标表示，平面向量的坐标表示以及用坐标解决向量问题有可能成为考试热点． ◎核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学运算． 1．向量共线的充要条件的两种形式 (1)a∥b ⇔b＝λa(a≠0，λ∈R). (2)a∥b⇔x1y2－x2y1＝0(其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)). 2．已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为. 1．设O是平行四边形ABCD的两条对角线AC，BD的交点，则给出下列向量组：①与；②与；③与；④与.其中可构成这个平行四边形所在平面的一组基底的是(　　) A．①② B．①③ C．①④ D．③④ 2．已知向量a＝(4，2)，b＝(6，y)，且a∥b，则y＝(　　) A．－3 B．3 C．8 D．12 3．在平面直角坐标系中，向量＝(1，4)，＝(2，3)，＝(x，1)，若A，B，C三点共线，则x＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 4．在△OAB中，点P满足 ＝3，则(　　) A．＝＋ B．＝＋ C.＝－ D．＝－ 5．已知▱ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，则顶点D的坐标为________． 考点一　平面向量基本定理的应用　重难考点　师生共研 (1)如图所示，在△ABC中，＝3，＝2，＝a，＝b，则＝(　　) A．a－b B．a－b C．a－b D．a－b (2)如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，BC的中点，连接CE，DF，交于点G.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则＝________． 运算遵法则、基底定分解 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加法、减法或数乘运算．一般将向量“放入”相关的三角形中，利用三角形法则列出向量间的关系． (2)用向量基本定理解决问题的一般思路：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的． 1．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为边BC，CD的中点，若＝＋，＝λ，则λ＝(　　) A．　　　　　　　　B． C．　　　　　　　　D． 2．如图所示，平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为________． 考点二　平面向量的坐标运算　重难考点　师生共研 (1)已知A(－1，2)，B(3，0)，点P在直线AB上且||＝2||，则点P的坐标为(　　) A． B．(7，2) C．或(7，－2) D．(2，1)或(7，－2) (2)在正方形ABCD中，M是BC的中点．若＝λ＋μ，则λ＋μ的值为(　　) A． B． C． D．2 平面向量坐标运算的技巧 利用向量的坐标运算解题时，首先利用加法、减法、数乘运算法则进行运算，然后根据“两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相等”这一原则，转化为方程(组)进行求解． 1．已知a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若a－2b＋3c＝0，则c等于(　　) A． B． C． D． 2．已知向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，用基底{a，b}表示c，则(　　) A．c＝2a－3b B．c＝－2a－3b C．c＝－3a＋2b D．c＝3a－2b 考点三　向量共线的坐标表示　多维探究　发散思维 角度1　利用向量共线求参数 向量a＝(1，3)，b＝(3x－1，x＋1)，c＝(5，7)，若(a＋b)∥(a＋c)，且c＝ma＋nb，则m＋n的值为(　　) A．2 B． C．3 D． 利用两向量共线求参数时，如果已知两向量共线，求某些参数的取值，则利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”解题． 角度2　利用向量共线求向量或点的坐标 (1)已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，若A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，则点D的坐标为________． (2)已知O为坐标原点，点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，则AC与OB的交点P的坐标为________． 利用两向量共线的条件求向量坐标，一般地，求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量． 1．已知向量a＝(－3，2)，b＝(4，－2λ)，若(a＋2b)∥(a－b)，则实数λ的值为(　　) A． B． C． D． 2．在△ABC中，已知点O(0，0)，A(0，5)，B(4，3)，＝，＝，AD与BC交于点M，则点M的坐标为________． A级　基础过关 1．若P1(1，3)，P2(4，0)，且P是线段P1P2的一个三等分点(靠近点P1)，则点P的坐标为(　　) A．(2，2) B．(3，－1) C．(2，2)或(3，－1) D．(2，2)或(3，1) 2．若a＝(6，6)，b＝(5，7)，c＝(2，4)，则下列结论成立的是(　　) A．a－c与b共线 B．b＋c与a共线 C．a与b－c共线 D．a＋b与c共线 3．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，则角C的大小为(　　) A． B． C． D． 4．在正六边形ABCDEF中，对角线BD，CF相交于点P.若＝x＋y，则x＋y＝(　　) A．2 B． C．3 D． 5．(多选)已知λ，μ∈R，＝(λ，1)，＝(－1，1)，＝(1，μ)，那么(　　) A．＋＝(λ－1，1－μ) B．若∥，则λ＝2，μ＝ C．若A是BD中点，则B，C两点重合 D．若B，C，D三点不重合且共线，则μ＝1 6．(多选)如图所示，点A，B，C是圆O上的三点，线段OC与线段AB交于圆内一点P，若＝λ，＝μ＋3μ，则(　　) A．P为线段OC的中点时，μ＝ B．P为线段OC的中点时，μ＝ C．无论μ取何值，恒有λ＝ D．存在μ∈R，λ＝ 7．已知A(2，3)，B(4，－3)，点P在线段AB的延长线上，且||＝||，则点P的坐标为________． 8．若在△ABC中，AB＝，∠ABC＝，BC＝3，AD为BC边上的高，O为AD上靠近点A的三等分点，且＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ－2μ＝________． B级　能力提升 9．已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(m＋1，m－2)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m不可能是(　　) A．－2 B． C．1 D．－1 10．在△ABC中，D为BC边上的点，S△ABD＝2S△ADC，＝x＋y，则(　　) A．x＝3，y＝－2 B．x＝，y＝－ C．x＝－2，y＝3 D．x＝－，y＝ 11．已知△OAB中，＝，＝2，AD与BC相交于点M，＝x＋y，x，y∈R，则有序实数对(x，y)为(　　) A． B． C． D． 12．(多选)如图，在正方形ABCD中，E为AB中点，M为线段AD上的动点，＝λ＋μ，则下列结论正确的是(　　) A．当M为线段AD的中点时，λ＋μ＝ B．λμ的最大值为 C．μ的取值范围为[0，1] D．λ＋μ的取值范围为 13．在△ABC中，点M是BC的中点，点N为AB上一点，AM与CN交于点D，且＝，＝λ，则λ＝________． 14．给定两个长度为3的平面向量和，它们的夹角为，如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上运动，若＝x＋y，其中x，y∈R，则x＋y的最大值是________；2x＋y的最大值是________． C级　拓广探索 15．古希腊数学家特埃特图斯(Theaetetus)利用如图所示的直角三角形来构造无理数．已知AB＝BC＝CD＝1，AB⊥BC，AC⊥CD，AC与BD交于点O，若＝λ＋μ，则λ＋μ等于(　　) A．－1 B．1－ C．＋1 D．－－1 16．(多选)已知集合E是由平面向量组成的集合，若对任意a，b∈E，t∈(0，1)，均有ta＋(1－t)b∈E，则称集合E是“凸”的，则下列集合是“凸”的有(　　) A．{(x，y)|y≥ex} B．{(x，y)|y≥ln x} C．{(x，y)|x＋2y－1≥0} D．{(x，y)|x2＋y2≤1} 学科网（北京）股份有限公司 $ 5．2　平面向量基本定理及坐标表示 课标要求 考情分析 1．了解平面向量基本定理及其意义． 2．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示． 3．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算． 4．理解用坐标表示平面向量共线的条件． ◎考点考法：在考查其他知识点时，经常涉及平面向量基本定理及坐标表示，平面向量的坐标表示以及用坐标解决向量问题有可能成为考试热点． ◎核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学运算． 1．向量共线的充要条件的两种形式 (1)a∥b ⇔b＝λa(a≠0，λ∈R). (2)a∥b⇔x1y2－x2y1＝0(其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)). 2．已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为. 1．设O是平行四边形ABCD的两条对角线AC，BD的交点，则给出下列向量组：①与；②与；③与；④与.其中可构成这个平行四边形所在平面的一组基底的是(　　) A．①② B．①③ C．①④ D．③④ 解析　平面内任意两个不共线的向量都可以构成基底，如图， 对于①，与不共线，可构成基底；对于②，与为共线向量，不可构成基底；对于③，与是两个不共线的向量，可构成基底；对于④，与在同一条直线上，是共线向量，不可构成基底． 答案　B 2．已知向量a＝(4，2)，b＝(6，y)，且a∥b，则y＝(　　) A．－3 B．3 C．8 D．12 解析　∵向量a＝(4，2)，b＝(6，y)，且a∥b，故4y－2×6＝0，解得y＝3，故选B. 答案　B 3．在平面直角坐标系中，向量＝(1，4)，＝(2，3)，＝(x，1)，若A，B，C三点共线，则x＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 解析　因为A，B，C三点共线，则＝λ＋μ(λ＋μ＝1)，即(x，1)＝λ(1，4)＋μ(2，3)＝(λ＋2μ，4λ＋3μ)，则解得 故选C. 答案　C 4．在△OAB中，点P满足 ＝3，则(　　) A．＝＋ B．＝＋ C.＝－ D．＝－ 解析　如图所示，＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，故选A． 答案　A 5．已知▱ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，则顶点D的坐标为________． 解析　因为A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，由平行四边形可得＝＝(4，1)，设D(x，y)，则(5－x，6－y)＝(4，1)，所以x＝1，y＝5，即D的坐标为(1，5). 答案　(1，5) 考点一　平面向量基本定理的应用　重难考点　师生共研 (1)如图所示，在△ABC中，＝3，＝2，＝a，＝b，则＝(　　) A．a－b B．a－b C．a－b D．a－b (2)如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，BC的中点，连接CE，DF，交于点G.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则＝________． [解析]　(1)＝－＝－＝－＝＋－＝－＝a－b，故选B. (2)由题图可设＝x(0＜x＜1)，则＝x＝x＝＋x.因为＝λ＋μ，与不共线，所以λ＝，μ＝x，所以＝. [答案]　(1)B　(2) 运算遵法则、基底定分解 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加法、减法或数乘运算．一般将向量“放入”相关的三角形中，利用三角形法则列出向量间的关系． (2)用向量基本定理解决问题的一般思路：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的． 1．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为边BC，CD的中点，若＝＋，＝λ，则λ＝(　　) A．　　　　　　　　B． C．　　　　　　　　D． 解析　＝＋＝＋＋＝－－＋＋＝－＋. ＝＋＋＋＝－＋＝＝，故＝，所以λ＝.故选C. 答案　C 2．如图所示，平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为________． 解析　如图，以OA，OB所在射线为邻边，OC为对角线作平行四边形ODCE，则＝＋.在Rt△OCD中， 因为||＝2，∠COD＝30°，∠OCD＝90°，所以||＝4，||＝2，故＝4，＝2，所以＝4＋2，即λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6. 答案　6 考点二　平面向量的坐标运算　重难考点　师生共研 (1)已知A(－1，2)，B(3，0)，点P在直线AB上且||＝2||，则点P的坐标为(　　) A． B．(7，2) C．或(7，－2) D．(2，1)或(7，－2) (2)在正方形ABCD中，M是BC的中点．若＝λ＋μ，则λ＋μ的值为(　　) A． B． C． D．2 [解析]　(1)设点P的坐标为(x，y)， ∵A(－1，2)，B(3，0)， ∴＝(x＋1，y－2)，＝(3－x，－y). 由点P在直线AB上且||＝2||， 得＝2或＝－2. ∴或 解得或 ∴点P的坐标为或(7，－2). (2)在正方形ABCD中，以点A为原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系，如图， 令AB＝2，则B(2，0)，C(2，2)，D(0，2)，M(2，1)，＝(2，2)，＝(2，1)，＝(－2，2)， λ＋μ＝(2λ－2μ，λ＋2μ)， 因为＝λ＋μ，所以 解得λ＝，μ＝，λ＋μ＝，所以λ＋μ的值为. [答案]　(1)C　(2)B 平面向量坐标运算的技巧 利用向量的坐标运算解题时，首先利用加法、减法、数乘运算法则进行运算，然后根据“两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相等”这一原则，转化为方程(组)进行求解． 1．已知a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若a－2b＋3c＝0，则c等于(　　) A． B． C． D． 解析　∵a－2b＋3c＝0，∴c＝－(a－2b). ∵a－2b＝(5，－2)－(－8，－6)＝(13，4)， ∴c＝－(a－2b)＝. 答案　D 2．已知向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，用基底{a，b}表示c，则(　　) A．c＝2a－3b B．c＝－2a－3b C．c＝－3a＋2b D．c＝3a－2b 解析　如图，建立平面直角坐标系，设正方形网格的边长为1，a＝，b＝，c＝， 则A(1，0)，B(2，1)，C(0，4)，D(7，1)， 所以a＝(1，1)，b＝(－2，3)，c＝(7，－3)， 设向量c＝ma＋nb， 则c＝ma＋nb＝(m－2n，m＋3n)＝(7，－3)， 所以解得所以c＝3a－2b. 答案　D 考点三　向量共线的坐标表示　多维探究　发散思维 角度1　利用向量共线求参数 向量a＝(1，3)，b＝(3x－1，x＋1)，c＝(5，7)，若(a＋b)∥(a＋c)，且c＝ma＋nb，则m＋n的值为(　　) A．2 B． C．3 D． [解析]　由题意，得a＋b＝(3x，x＋4)， a＋c＝(6，10)， 因为(a＋b)∥(a＋c)， 所以30x＝6x＋24，解得x＝1， 所以b＝(2，2)， 则c＝ma＋nb＝(m＋2n，3m＋2n)＝(5，7)， 即解得 故m＋n＝3.故选C. [答案]　C 利用两向量共线求参数时，如果已知两向量共线，求某些参数的取值，则利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”解题． 角度2　利用向量共线求向量或点的坐标 (1)已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，若A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，则点D的坐标为________． (2)已知O为坐标原点，点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，则AC与OB的交点P的坐标为________． [解析]　(1)由题意得，＝2.设点D的坐标为(x，y)，则＝(4－x，2－y)，＝(1，－1)，所以(4－x，2－y)＝(2，－2)，即解得故点D的坐标为(2，4). (2)由O，P，B三点共线， 可设＝λ＝(4λ，4λ)， 则＝－＝(4λ－4，4λ). 又＝－＝(－2，6)， 由与共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0， 解得λ＝.所以＝＝(3，3)，所以点P的坐标为(3，3). [答案]　(1)(2，4)　(2)(3，3) 利用两向量共线的条件求向量坐标，一般地，求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量． 1．已知向量a＝(－3，2)，b＝(4，－2λ)，若(a＋2b)∥(a－b)，则实数λ的值为(　　) A． B． C． D． 解析　由已知得a＋2b＝(5，2－4λ)，a－b＝(－7，2＋2λ)，∵(a＋2b)∥(a－b)，∴5×(2＋2λ)－(－7)×(2－4λ)＝0，解得λ＝. 答案　B 2．在△ABC中，已知点O(0，0)，A(0，5)，B(4，3)，＝，＝，AD与BC交于点M，则点M的坐标为________． 解析　因为点O(0，0)，A(0，5)，B(4，3)， 所以点C，同理点D. 设M的坐标为(x，y)， 则＝(x，y－5)，＝. 因为A，M，D三点共线，所以与共线， 所以－x－2(y－5)＝0，即7x＋4y＝20. 而＝，＝＝， 因为C，M，B三点共线，所以与共线， 所以x－4＝0，即7x－16y＝－20. 由得 所以点M的坐标为. 答案　 A级　基础过关 1．若P1(1，3)，P2(4，0)，且P是线段P1P2的一个三等分点(靠近点P1)，则点P的坐标为(　　) A．(2，2) B．(3，－1) C．(2，2)或(3，－1) D．(2，2)或(3，1) 解析　设P(x，y)，由题意知＝， ∴(x－1，y－3)＝(4－1，0－3)＝(1，－1)，即∴即点P的坐标为(2，2). 答案　A 2．若a＝(6，6)，b＝(5，7)，c＝(2，4)，则下列结论成立的是(　　) A．a－c与b共线 B．b＋c与a共线 C．a与b－c共线 D．a＋b与c共线 解析　a－c＝(4，2)，因为4×7－5×2＝18≠0，所以a－c与b不共线，故A错误；b＋c＝(7，11)，因为7×6－6×11＝－24≠0，所以b＋c与a不共线，故B错误；b－c＝(3，3)，因为3×6－6×3＝0，所以a与b－c共线，故C正确；a＋b＝(11，13)，因为11×4－2×13＝18≠0，所以a＋b与c不共线，故D错误． 答案　C 3．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，则角C的大小为(　　) A． B． C． D． 解析　因为p∥q，所以(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0，所以c2－a2－b2＋ab＝0，所以a2＋b2－c2＝ab，所以2ab cos C＝ab，所以cos C＝，因为0＜C＜π，所以C＝.故选B. 答案　B 4．在正六边形ABCDEF中，对角线BD，CF相交于点P.若＝x＋y，则x＋y＝(　　) A．2 B． C．3 D． 解析　如图，记正六边形ABCDEF的中心为点O，连接OB，OD， 显然△OBC和△ODC均为等边三角形，所以OB＝OD＝CD＝BC，即四边形OBCD为菱形，且点P恰为其中心，则＝＝，所以＝＋＝＋， 所以x＝，y＝1，故x＋y＝.故选B. 答案　B 5．(多选)已知λ，μ∈R，＝(λ，1)，＝(－1，1)，＝(1，μ)，那么(　　) A．＋＝(λ－1，1－μ) B．若∥，则λ＝2，μ＝ C．若A是BD中点，则B，C两点重合 D．若B，C，D三点不重合且共线，则μ＝1 解析　因为＝(λ，1)，＝(－1，1)，＝(1，μ)，所以＝－＝(λ，1)－(－1，1)＝(λ＋1，0)，＝－＝(－1，1)－(1，μ)＝(－2，1－μ)，所以＋＝(λ－1，1－μ)，故A正确；若∥，则λμ＝1，当λ＝3，μ＝时也符合，故B错误；因为＝－＝(1，μ)－(λ，1)＝(1－λ，μ－1)，A是BD中点，所以＝＝＝－＝(－λ，－1)，所以解得λ＝－1，所以＝，B，C两点重合，故C正确；若B，C，D三点共线，则存在实数t，使得＝t，而＝－＝(－1－λ，0)，＝－＝(2，μ－1)，所以(－1－λ，0)＝t(2，μ－1)，所以t(μ－1)＝0，且2t＝－1－λ，则t＝0或μ＝1，而t＝0时，λ＝－1，此时B，C重合，所以μ＝1，故D正确． 答案　ACD 6．(多选)如图所示，点A，B，C是圆O上的三点，线段OC与线段AB交于圆内一点P，若＝λ，＝μ＋3μ，则(　　) A．P为线段OC的中点时，μ＝ B．P为线段OC的中点时，μ＝ C．无论μ取何值，恒有λ＝ D．存在μ∈R，λ＝ 解析　＝＋＝＋λ＝＋λ＝(1－λ)＋λ.因为与共线，所以＝，解得λ＝，故C正确，D错误；当P为OC的中点时，则＝＝μ＋×3μ，则解得μ＝，故A正确，B错误．故选AC. 答案　AC 7．已知A(2，3)，B(4，－3)，点P在线段AB的延长线上，且||＝||，则点P的坐标为________． 解析　因为点P在线段AB的延长线上，且||＝||，所以＝，所以＝＋2＝(4，－3)＋2×(2，－6)＝(8，－15)，所以点P的坐标为(8，－15). 答案　(8，－15) 8．若在△ABC中，AB＝，∠ABC＝，BC＝3，AD为BC边上的高，O为AD上靠近点A的三等分点，且＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ－2μ＝________． 解析　由题意可知， 在Rt△ABD中，AB＝，∠ABC＝， 所以BD＝1，所以BD＝BC， 所以＝＝ ＝＝＋ ＝＋，又因为＝λ＋μ， 所以λ＝，μ＝，所以λ－2μ＝－＝0. 答案　0 B级　能力提升 9．已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(m＋1，m－2)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m不可能是(　　) A．－2 B． C．1 D．－1 解析　各选项代入验证，若A，B，C三点不共线即可构成三角形．因为＝－＝(2，－1)－(1，－3)＝(1，2)，＝－＝(m＋1，m－2)－(1，－3)＝(m，m＋1).假设A，B，C三点共线，则1×(m＋1)－2m＝0，即m＝1.所以只要m≠1，A，B，C三点就可构成三角形． 答案　C 10．在△ABC中，D为BC边上的点，S△ABD＝2S△ADC，＝x＋y，则(　　) A．x＝3，y＝－2 B．x＝，y＝－ C．x＝－2，y＝3 D．x＝－，y＝ 解析　设点A到BC的距离为h，则×BD×h＝2××DC×h，所以BD＝2DC，故＝＋＝＋3＝＋3＝3－2.又＝x＋y，故x＝3，y＝－2.故选A． 答案　A 11．已知△OAB中，＝，＝2，AD与BC相交于点M，＝x＋y，x，y∈R，则有序实数对(x，y)为(　　) A． B． C． D． 解析　依题意得A，M，D三点共线，故＝λ，λ∈R，所以＝＋＝＋λ＝＋λ＝＋λ＝＋(1－λ)， 又C，M，B三点共线，故＝μ，μ∈R，则 ＝＋＝＋μ＝＋μ＝(1－μ)＋μ＝＋μ， 所以解得 所以＝＋，又＝x＋y， 所以所以有序实数对(x，y)为，故选D. 答案　D 12．(多选)如图，在正方形ABCD中，E为AB中点，M为线段AD上的动点，＝λ＋μ，则下列结论正确的是(　　) A．当M为线段AD的中点时，λ＋μ＝ B．λμ的最大值为 C．μ的取值范围为[0，1] D．λ＋μ的取值范围为 解析　根据题意建立平面直角坐标系，如图所示，设BC＝2，则B(0，0)，E(0，1)，D(2，2)，设M(t，2)，则0≤t≤2，由于＝λ＋μ，所以(t，2)＝λ(0，1)＋μ(2，2)，整理得2μ＝t，λ＋2μ＝2，则λ＝2－t，μ＝.对于A，当M为AD的中点时，t＝1，故λ＋μ＝2－＝，故A正确；对于B，λμ＝(2－t)·＝t－t2＝－(t－1)2＋，由于0≤t≤2，当t＝1时，λμ取最大值为，故B错误；对于C，由于μ＝，0≤t≤2，所以0≤μ≤1，故μ的取值范围为[0，1]，故C正确；对于D，λ＋μ＝2－，0≤t≤2，故λ＋μ的取值范围为[1，2]，故D错误． 答案　AC 13．在△ABC中，点M是BC的中点，点N为AB上一点，AM与CN交于点D，且＝，＝λ，则λ＝________． 解析　如图，因为点M是BC的中点，所以＝＝×＝＋，因为N，D，C三点共线，所以＝μ＋(1－μ)， 又＝λ，所以＋＝μ＋λ(1－μ)， 所以解得 答案　 14．给定两个长度为3的平面向量和，它们的夹角为，如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上运动，若＝x＋y，其中x，y∈R，则x＋y的最大值是________；2x＋y的最大值是________． 解析　建立如图所示的平面直角坐标系， 则A(3，0)，B， 设∠AOC＝α，则C(3cos α，3sin α)，α∈， 由＝x＋y⇒(3cos α，3sin α)＝x(3，0)＋y＝， 化简得x＝sin α＋cos α，y＝sin α. 则x＋y＝＋sin α ＝sin α＋cos α＝2sin ， 则当sin ＝1时，x＋y的最大值为2. 2x＋y＝2＋sin α ＝sin α＋2cos α＝sin (α＋φ)， 其中tan φ＝且φ为第一象限角， 则当sin (α＋φ)＝1时，2x＋y的最大值为. 答案　2　 C级　拓广探索 15．古希腊数学家特埃特图斯(Theaetetus)利用如图所示的直角三角形来构造无理数．已知AB＝BC＝CD＝1，AB⊥BC，AC⊥CD，AC与BD交于点O，若＝λ＋μ，则λ＋μ等于(　　) A．－1 B．1－ C．＋1 D．－－1 解析　以C为坐标原点，CD，CA所在直线分别为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，由题意得AC＝， 则A(0，)，B，C(0，0)，＝，＝(0，－). 因为CB＝CD＝1，∠DCB＝90°＋45°＝135°，故∠BDC＝22.5°， 因为tan 45°＝＝1， 所以tan22.5°＝－1， 所以OC＝DC·tan 22.5°＝－1， 故O(0，－1). 又D(－1，0)，则＝(1，－1)， 因为＝λ＋μ＝， 所以解得 所以λ＋μ＝－1. 答案　A 16．(多选)已知集合E是由平面向量组成的集合，若对任意a，b∈E，t∈(0，1)，均有ta＋(1－t)b∈E，则称集合E是“凸”的，则下列集合是“凸”的有(　　) A．{(x，y)|y≥ex} B．{(x，y)|y≥ln x} C．{(x，y)|x＋2y－1≥0} D．{(x，y)|x2＋y2≤1} 解析　设＝a，＝b，＝ta＋(1－t)b，则C为线段AB上一点，因此一个集合E是“凸”的就是E表示的平面区域上任意两点的连线上的点仍在该区域内，四个选项所表示的平面区域如图中阴影所示， 观察选项A、B、C、D所对应的图形知，B不符合题意，A、C、D符合题意． 答案　ACD 学科网（北京）股份有限公司 $