第五章 课时4 平面向量的综合运用讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦平面向量综合运用，覆盖向量与平面几何、三角函数交汇、最值问题及三角形特殊点向量表示等高考核心考点，按“知识梳理-基础回顾-考点扫描”逻辑架构，通过课标要求解读、方法步骤归纳、真题案例分析等环节，帮助学生构建向量应用的知识网络与解题体系。 讲义突出“数学思维”与“数学语言”培养，创新采用坐标法与基向量法双路径解决几何问题，如例2通过建立坐标系将动点问题转化为向量运算，训练学生逻辑推理与运算能力。设置基础判断、选择填空及分层对点训练，配合真题演练与即时反馈，助力教师精准把控复习节奏，有效提升学生综合应用与应考能力。

课时4 平面向量的综合运用 一、课标要求 1. 会用向量方法解决某些简单的平面几何问题. 2. 会用向量方法解决一些实际问题. 二、知识梳理 1．向量与平面几何综合问题的解法与步骤： (1) 向量与平面几何综合问题的解法 ① ；② . (2) 用向量解决平面几何问题的步骤 ① 建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； ② 通过向量运算研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； ③ 把运算结果“翻译”成几何关系. 2．利用向量求解三角函数问题的一般思路： (1) 求三角函数值，一般利用已知条件将向量关系转化为三角函数关系式．利用同角三角函数关系式及三角函数中常用公式求解． (2) 求角时通常由向量转化为三角函数问题，先求值再求角． (3) 解决与向量有关的三角函数问题的思想方法是转化与化归的数学思想，即通过向量的相关运算把问题转化为三角函数问题． (4) 解三角形．利用向量的坐标运算，把向量垂直或共线转化为相应的方程，在三角形中利用内角和定理或正弦定理、余弦定理解决问题. 3．常见的向量表示形式： (1) 重心．若点G是的重心，则 或 (其中P为平面内任意一点)．反之，若 ，则点G是的重心． (2) 垂心．若H是的垂心，则 .反之，若 ，则点H是的垂心． (3) 内心．若点I是的内心，则 .反之，若 ，则点I是的内心． (4) 外心．若点O是的外心，则 或 .反之，若 ，则点O是的外心. 三、基础回顾 1．判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）两个非零向量a,b满足|a-b|=|a|+|b|，则a与b共线且反向. （ ） （2） 能作为平面内所有向量的一组基底. （ ） （3） 若a,b共线，b,c共线，则a,c共线. （ ） （4）在△ABC中，，则△ABC为等腰三角形. （ ） 2． 已知O是△ABC内部一点，且满足＋＋＝0.若·＝2， ∠BAC＝60°，则△OBC的面积为(　 　) A． B．3 C．1 D．2 3. （多选题）已知与均为单位向量，其中夹角为.则下列命题为真命题的有（ ） A.∈ B.∈ C.∈ D.∈ 4．已知向量a与b的夹角为，|a|＝|b|＝1，且a⊥(a－λb)，则实数λ＝________． 四、考点扫描 考点一 向量与三角函数的交汇 例1 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cos A＝. (1)若△ABC的面积为3，求·的值； (2)设m＝，n＝，且m∥n，求sin(B－2C)的值. 对点训练 设向量a＝(cosα，λsinα)，b＝(cosβ，sinβ)，其中λ＞0,0＜α＜β＜，且a＋b与a－b相互垂直． (1)求实数λ的值； (2) 若a·b＝，且tanβ＝2，求tanα的值． 考点二 向量的最值（范围）问题 例2(1) (2025·河南开封市模拟)已知等边三角形ABC的边长为，P为△ABC所在平面内的动点，且||＝1，则·的取值范围是(　　) A. B. C．[1,4] D．[1,7] (2) （2024·天津卷）在边长为1的正方形中，为线段的三等分点，且 ， ，则______；若为线段上的动点，为的中点，则的最小值为______． 规律方法： 对点训练 （1）已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是( ) A． B． C． D． （2）（2025·上海普陀区期中）已知正方形ABCD的边长为1，E是边AB上的动点，则·＝ ，·的最大值为 ． 考点三 　平面向量在平面几何中的应用 例3 (1)△ABC的外心O满足＋＋＝0，||＝，则△ABC的面积为(　　) A. B. C. D．2 （2）在△ABC中，＝a，＝b，D是边AC的中点，＝2，试用a，b表示为________；若⊥，则∠ACB的最大值为________. 对点训练 （1）(2025·广西南宁市模拟)在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2，点E满足2＝3，则·＝(　　) A.－14 B.14 C.－16 D.－14 （2）在△ABC中，AC＝9，A＝60°，点D满足＝2，AD＝，则BC的长为(　　) A.3 B.3 C.3 D.6 课时4 平面向量的综合运用参考答案 二、知识梳理 1．（1）①坐标法 ②基向量法 3．（1） (2) (3) (4) 三、基础回顾 1．（1） √ 【解析】若，所以，即， 所以，即与共线且反向. （2）×【解析】由，所以，共线向量不能作为平面内所有向量的一组基底. （3） × 【解析】反例：. （4） √ 【解析】过点作，由，可得， 即，则△ABC为等腰三角形，故正确． 2． C【解析】由·＝2，∠BAC＝60°，可得·＝||·||cos ∠BAC＝||·||＝2，所以||·||＝4，所以S△ABC＝||·||sin ∠BAC＝3.又＋＋＝0，所以O为△ABC的重心，所以S△OBC＝S△ABC＝1.故选C. 3. AD 【解析】 由得，，即＞，即=＞. 因为∈[0，]，所以∈.由得，，即＜，即=＜.因为∈[0，]，所以∈.故选AD． 4．2【解析】由题意，得a·b＝|a||b|cos ＝.因为a⊥(a－λb)，所以a·(a－λb)＝|a|2－λa·b＝1－＝0，所以λ＝2. 四、考点扫描 例1 【解】(1) 因为cos A＝，0<A<π，所以sin A>0，所以sin A＝＝. 因为S△ABC＝bcsin A＝ ·bc·＝3，所以bc＝，所以·＝cbcos A＝×＝. (2)因为m∥n，所以2sin cos ＝cos B，即sin B＝cos B，所以tan B＝1. 因为0<B<π，所以B＝， 所以sin 2C＝sin＝sin＝－cos 2A＝1－2cos2A＝1－2×＝， cos 2C＝cos＝cos＝－sin 2A＝－2sin Acos A＝－2××＝－， 所以sin(B－2C)＝sin＝(cos 2C－sin 2C)＝×＝－. 对点训练【解】(1)由a＋b与a－b互相垂直，可得(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0， 所以cos2α＋λ2sin2α－1＝0．又因为sin2α＋cos2α＝1，所以(λ2－1)sin2α＝0． 因为0＜α＜，所以sin2α≠0，所以λ2－1＝0．又因为λ＞0，所以λ＝1． (2)由(1)知，a＝(cosα，sinα)，由a·b＝，得cosαcosβ＋sinαsinβ＝， 即cos(α－β)＝. 因为0＜α＜β＜，所以－＜α－β＜0， 所以sin(α－β)＝－＝－. 所以tan(α－β)＝＝－， 因此tanα＝tan(α－β＋β)＝＝. 例2 (1) B【解析】方法一：　如图，建立平面直角坐标系， 设P(cos θ，sin θ)，θ∈[0,2π]，所以B(，0)，C， 所以＝(－cos θ，－sin θ)，＝， 所以·＝(－cos θ)－sin θ＝－cos θ－sin θ＝－3sin.因为θ∈[0,2π]，所以sin∈[－1,1]，所以·∈. 方法二：　如图，建立平面直角坐标系，则A，B，C， 设P(x，y)，则点P在以A为圆心，1为半径的圆上， 即点P的轨迹方程为2＋y2＝1， 而＝，＝， 故·＝x2－x＋y2－y＝＋－. 综上，只需求出定点到圆＋y2＝1上点的距离的平方的范围即可， 而圆心A与定点的距离d＝＝， 故定点与圆上点的距离的范围是，所以·∈.故选B (2) ； 【解析】方法一：因为，即，则， 可得，所以.由题意可知：. 因为为线段上的动点，设， 则. 又因为为中点，则， 可得 .又因为，可知：当时，取到最小值. 方法二：以B为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示， 则， 可得. 因为，则，所以. 因为点在线段上，设 且为中点，则， 可得， 则， 且，所以当时，取到最小值为. 对点训练 （1） B 【解析】 方法一（几何法）：设点为中点，可得，再设中点为，这样用极化恒等式可知：，在等边三角形ABC中，，故取最小值当且仅当取最小，即，故 . 方法二（坐标法）：以中点为坐标原点，由于，，． 设，，，， 故，则其最小值为，此时，． （2） 1；1 【解析】方法一： 因为＝＋且⊥，所以·＝(＋)·＝||2＝1，·＝(＋)·＝·＝||||＝||，所以要使·最大，只要||最大即可，显然随着点E在边AB上移动，||max＝1，故(·)max＝1． 方法二：以D为坐标原点，DC与DA所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图所示，由图可知E(x,1)，0≤x≤1，所以＝(x,1).又＝(1,0)，所以·＝x．因为0≤x≤1，所以(·)max＝1． 例3 (1) B 【解析】　设AB的中点为D，则＋＋＝0可化为2＋＝0， 即为＝－，所以O，D，C三点共线且CD⊥AB，所以△ABC为等腰三角形， 由垂径定理得||2＝||2＋||2，设△ABC外接圆的半径为R，则R2＝＋，解得R＝1，CD＝1＋，所以S△ABC＝AB·CD＝××＝.故选B. （2）　b－a； 【解析】　＝－＝b－a，＝－＝b－a， 由⊥得(3b－a)·(b－a)＝0，即3b2＋a2＝4a·b， 所以cos ∠ACB＝＝≥＝，当且仅当|a|＝|b|时取等号， 而0<∠ACB<π，所以∠ACB∈. 对点训练 （1）　A 【解析】　由题意，以A为坐标原点，，的方向分别为x，y轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系， 则A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，D(0，2)， 所以＝(2，0)，＝(－2，2). 因为2＝3，设E(x，y)， 则2(x，y－2)＝3(2，0)， 解得E(3，2)，所以＝(3，2)， 所以·＝(3，2)·(－2，2)＝－14.故选A. （2）　A 【解析】　因为＝2，所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋. 设AB＝x，则2＝， 得37＝x2＋·x·9cos 60°＋×92，即2x2＋9x－126＝0. 因为x>0，故解得x＝6，即AB＝6， 所以||＝|－|＝＝＝3.故选A. . 学科网（北京）股份有限公司 $