5.4 平面向量中的综合问题【题型突破】-2027届高三数学一轮复习讲义-

该高中数学高考复习讲义聚焦平面向量综合问题，整合线性运算、数量积、坐标运算与几何图形性质，围绕几何应用、范围最值两大核心考点构建知识网络。通过考向预测明确命题趋势，题型突破（含典例与跟踪训练）拆解解题方法，微拓展深化四心问题向量特征，限时训练强化实战能力，形成系统复习闭环。 讲义以数形结合思想为主线，创新融入“奔驰定理”推导四心向量特征，通过动态最值问题培养学生数学思维与几何直观。设置基础到综合分层练习，配合真题情境训练，帮助学生用数学语言构建向量模型，有效提升解题效率，为教师把控复习节奏、突破高频难点提供精准指导。

第五章 平面向量与复数 §5.4　平面向量中的综合问题 【高考考向预测】 平面向量综合问题融合线性运算、数量积、坐标运算与几何图形性质，常结合最值、夹角、共线、投影求解；近三年高频出现在选择填空题，难易跨度适中；预测2027 年仍以小题为主，侧重几何模型结合、动态最值与参数范围计算，注重数形结合思想的运用。 重点解读平面向量中以平面几何为载体的向量问题，平面向量中的范围、最值问题是热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识的交汇组合.其基本题型是结合平面几何的已知条件(如：边长、角度、图形、形状等)将几何关系转化为向量关系或根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围等. 【题型突破●明方向】 题型一　平面向量在几何中的应用 例1　(1)设P是△ABC所在平面内一点，若·(+)=2·，且=-2·，则点P是△ABC的(　　) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 (2)如图所示，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=3，点D在线段BC上，且DC=2BD.则AD的长为　　　　；∠DAC的大小为　　　　.  【跟踪训练】1　(1)在△ABC中，若·=·=·，则点O是△ABC的(　　) A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心 (2)在△ABC中，A=，O为△ABC的外心，若·=·=2，则·的值为　　　　.  题型二　和向量有关的最值(范围)问题 命题点1　与平面向量基本定理有关的最值(范围)问题 例2　给定两个长度为3的平面向量和，它们的夹角为，如图所示，点C在以O为圆心的上运动，若=x+y，其中x，y∈R，则x+y的最大值是　　　　；2x+y的最大值是　　　　.  命题点2　与数量积有关的最值(范围)问题 例3　(2025·北京昌平区模拟)在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，P为矩形ABCD所在平面内的动点，且PA=1，则·的最大值是(　　) A.9 B.10 C.11 D.12 命题点3　与模有关的最值(范围)问题 例4　(2025·白城期末)在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB=2BC=2CD=2，P是腰AD上的动点，则|2-|的最小值为　　　　.  【跟踪训练】2　(1)在△ABC中，D是AB边上的点，满足AD=2DB，E在线段CD上(不含端点)，且=x+y(x，y∈R)，则的最小值为(　　) A.3+2 B.4+2 C.8+4 D.8 (2)△ABC是边长为2的正三角形，P为△ABC所在平面内任意一点，则·(+)的最小值为(　　) A.- B.- C.- D.-2 (3)已知正三角形ABC的边长为2，平面ABC内的动点P，M满足||=1，=，则的最大值是(　　) A. B. C. D. 四心问题 一、引理(“奔驰”定理)　 如图1，O是△ABC内一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为SA，SB，SC，则SA+SB+SC=0. 图1与奔驰汽车的标志(图2)类似，故该引理又称为“奔驰”定理. 证明　如图，延长AO与BC相交于点D， =====， 记=λ，则=λ， 即-=λ(-)， 所以-(1+λ)++λ=0， 又=-=-， 所以++=0， 从而SA+SB+SC=0. 推论　若O是△ABC内的一点，且x+y+z=0，则SA∶SB∶SC=x∶y∶z. 二、三角形“四心”的定义、几何性质和向量特征 1.重心 (1)定义：三角形三条中线的交点. (2)几何性质：三角形的重心是中线的三等分点，它到顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍. (3)向量特征： 定理1　G是△ABC的重心⇔++=0. 证明　由引理得G是△ABC的重心⇔SA=SB=SC⇔++=0. 推论1　P是△ABC所在平面内任意一点，=++)⇔G是△ABC的重心. 证明　G是△ABC的重心⇔++=0⇔-+-+-=0⇔ =++). 2.外心 (1)定义：三角形三条边的中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心. (2)几何性质：三角形的外心到三个顶点的距离相等. (3)向量特征： 定理2　O是锐角△ABC的外心⇔sin 2A+sin 2B+sin 2C=0. 证明　由O是锐角△ABC的外心， 得||=||=||， 则∠AOB=2∠ACB，∠BOC=2∠BAC， ∠COA=2∠ABC， 于是SA∶SB∶SC=sin 2A∶sin 2B∶sin 2C， 根据引理，得到sin 2A+sin 2B+sin 2C=0. 反之亦然(证明略). 推论2　P是锐角△ABC所在平面内任意一点， =⇔O是锐角△ABC的外心. 推论2可仿照推论1进行证明. 3.内心 (1)定义：三角形三条内角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心. (2)几何性质：三角形的内心到三边的距离相等. (3)向量特征： 定理3　O是△ABC的内心⇔a+b+c=0.(其中a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边长) 证明　设△ABC的内切圆半径为r，O是△ABC的内心，则SA∶SB∶SC=∶∶=a∶b∶c. 根据引理得，O是△ABC的内心⇔a+b+c=0. 推论3　P是△ABC所在平面内任意一点，O是△ABC的内心⇔=. 推论3可仿照推论1进行证明. 4.垂心 (1)定义：三角形三条高所在直线的交点. (2)几何性质：三角形的垂心分每条高线所得的两条线段长的乘积相等. (3)向量特征： 定理4　O是△ABC(非直角三角形)的垂心⇔tan A+tan B+tan C=0. 证明　O是△ABC(非直角三角形)的垂心 ⇔·=·=· ⇔||·||cos(π-C)=||·||cos(π-A) =||·||cos(π-B) ⇔||∶||∶||=cos A∶cos B∶cos C ⇔SA∶SB∶SC=tan A∶tan B∶tan C， 由引理得，O是△ABC(非直角三角形)的垂心⇔tan A+tan B+tan C=0. 推论4　P是△ABC(非直角三角形)所在平面内任意一点，O是△ABC(非直角三角形)的垂心⇔=. 推论4可仿照推论1进行证明. 【典例】奔驰定理与三角形四心(重心、内心、外心、垂心)有着神秘的关联.它的具体内容是：已知M是△ABC内一点，△BMC，△AMC，△AMB的面积分别为SA，SB，SC，则SA·+SB·+SC·=0.以下命题错误的是(　　) A.若SA∶SB∶SC=1∶1∶1，则M为△ABC的重心 B.若M为△ABC的内心，则BC·+AC·+AB·=0 C.若∠BAC=45°，∠ABC=60°，M为△ABC的外心，则SA∶SB∶SC=∶2∶1 D.若M为△ABC的垂心，3+4+5=0，则cos∠AMB=- 【限时训练】 （30分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.(2025·昆明模拟)设x>0，向量=(x2，-2x)在向量=(1，2)上的投影向量为λ(λ∈R)，则实数λ的最小值为(　　) A.- B.- C.- D.- 2.已知非零向量与满足·=0且·=，则△ABC的形状是(　　) A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 3.已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a-c)·(b-c)=0，则|c|的最大值是(　　) A.1 B.2 C. D. 4.在△ABC中，A=，·=8，其外接圆的圆心为O，则·+2·的最小值为(　　) A.4 B.4 C.16 D.16 5.在△ABC中，AC=9，∠A=60°，点D满足=2，AD=，则BC的长为(　　) A.3 B.3 C.3 D.6 6.(2023·全国乙卷)已知⊙O的半径为1，直线PA与⊙O相切于点A，直线PB与⊙O交于B，C两点，D为BC的中点，若|PO|=，则·的最大值为(　　) A. B. C.1+ D.2+ 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.设点D是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的有(　　) A.若=+)，则点D是边BC的中点 B.若=，则直线AD过△ABC的垂心 C.若=2-，则点D在BC的延长线上 D.若=x+y，且x+y=，则△BCD是△ABC面积的一半 8.(2025·北京顺义区模拟)八卦是中国传统文化中的一部分，八个方位分别象征天、地、风、雷、水、火、山、泽八种自然现象.八卦模型如图1所示，其平面图形为正八边形，如图2所示，点O为该正八边形的中心，设||=1，下列结论中正确的是(　　) A.·=- B.|-|=|| C.在上的投影向量为-e(其中e为与同向的单位向量) D.若点P为正八边形边上的一个动点，则·的最大值为4 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.(2025·杭州模拟)如图，在大三角形中共有10个网格点，相邻网格点间的距离均为1，从中选取三个不同的网格点A，B，C，则·的最大值与最小值的和为　　　　.  10.(2024·天津)在边长为1的正方形ABCD中，点E为线段CD的三等分点， CE=DE，=λ+μ，则λ+μ=　　　　；若F为线段BE上的动点，G为AF的中点，则·的最小值为　　　　.  第 1 页 共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 平面向量与复数 §5.4　平面向量中的综合问题 【高考考向预测】 平面向量综合问题融合线性运算、数量积、坐标运算与几何图形性质，常结合最值、夹角、共线、投影求解；近三年高频出现在选择填空题，难易跨度适中；预测2027 年仍以小题为主，侧重几何模型结合、动态最值与参数范围计算，注重数形结合思想的运用。 重点解读平面向量中以平面几何为载体的向量问题，平面向量中的范围、最值问题是热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识的交汇组合.其基本题型是结合平面几何的已知条件(如：边长、角度、图形、形状等)将几何关系转化为向量关系或根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围等. 【题型突破●明方向】 题型一　平面向量在几何中的应用 例1　(1)设P是△ABC所在平面内一点，若·(+)=2·，且=-2·，则点P是△ABC的(　　) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 【答案】A 【解析】由·(+)=2·， 得·(+-2)=0， 即·[(-)+(-)]=0， 所以·(+)=0. 设D为AB的中点，则·2=0， 故·=0. 由=-2·， 得(+)·(-)=-2·， 即(+-2)·=0. 设E为BC的中点，则(2-2)·=0， 则2·=0，故·=0. 所以P为AB与BC的垂直平分线的交点， 所以P是△ABC的外心. (2)如图所示，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=3，点D在线段BC上，且DC=2BD.则AD的长为　　　　；∠DAC的大小为　　　　.  【答案】　90° 【解析】设=a，=b， 则=+=+=+-)=+=a+b， ∴||2==a2+2×a·b+b2=×9+2××3×3×cos 120°+×9=3， ∴AD=. 设∠DAC=θ，则向量与的夹角为θ. ∵cos θ=====0， ∴θ=90°，即∠DAC=90°. 【思维升华】用向量方法解决平面几何问题的步骤 平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题. 【跟踪训练】1　(1)在△ABC中，若·=·=·，则点O是△ABC的(　　) A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心 【答案】C 【解析】∵·=·， ∴·(-)=0，∴·=0， ∴OB⊥CA， 即OB为△ABC边CA上的高所在的直线. 同理·=0，·=0， ∴OA⊥BC，OC⊥AB， 故点O是△ABC的垂心. (2)在△ABC中，A=，O为△ABC的外心，若·=·=2，则·的值为　　　　.  【答案】2 【解析】取AB，AC的中点分别为D，E，连接OD，OE，如图，∵O为△ABC的外心，∴OD⊥AB，OE⊥AC，·=||·||cos∠OAD=||||=||2=2， ∴||=2，同理||=2， ∴·=||||cos∠BAC=2×2×=2. 题型二　和向量有关的最值(范围)问题 命题点1　与平面向量基本定理有关的最值(范围)问题 例2　给定两个长度为3的平面向量和，它们的夹角为，如图所示，点C在以O为圆心的上运动，若=x+y，其中x，y∈R，则x+y的最大值是　　　　；2x+y的最大值是　　　　.  【答案】2　 【解析】方法一　建立如图所示的平面直角坐标系， 则A(3，0)，B， 设C(3cos α，3sin α)，α∈， 由=x+y⇒(3cos α，3sin α)=x(3，0)+y=， 则 化简得x=sin α+cos α，y=sin α. 则x+y=sin α+cos α+sin α =sin α+cos α=2sin， 则当sin=1，即α=时， x+y取得最大值2. 2x+y=2+sin α =sin α+2cos α=sin(α+φ)， 其中tan φ=且φ为第一象限角， 则当sin(α+φ)=1时，2x+y取得最大值. 方法二　(利用等和线定理) 在△AOB中，取AB的中点E(图略)，点O到AB的距离d=OE=3sin 30°=， 由等和线定理得(x+y)max===2. 取OA的中点A'(图略)，=x+y=2x·+y·=2x·+y， ∵OA=OB=3，∴OA'=， ∴A'B2=OA'2+OB2-2OA'·OBcos =+32-2××3×=， ∴A'B=， 由等面积法得点O到A'B的距离h==， 由等和线定理得(2x+y)max===. 命题点2　与数量积有关的最值(范围)问题 例3　(2025·北京昌平区模拟)在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，P为矩形ABCD所在平面内的动点，且PA=1，则·的最大值是(　　) A.9 B.10 C.11 D.12 【答案】B 【解析】如图，建立平面直角坐标系，设P(x，y)，BC的中点为H， 因为AB=2，AD=3，所以A(0，0)，B(2，0)，C(2，3)，H， 得=(2-x，-y)，=(2-x，3-y)， 所以·=(x-2)2+y2-3y =(x-2)2+-， 又因为PA=1，所以x2+y2=1， 即点P在以点A为圆心，1为半径的圆上， 又PH=≤AH+AP=+1=，当且仅当H，A，P三点共线(P在HA的延长线上)时取等号， 所以·=(x-2)2+-≤-=10. 命题点3　与模有关的最值(范围)问题 例4　(2025·白城期末)在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB=2BC=2CD=2，P是腰AD上的动点，则|2-|的最小值为　　　　.  【答案】 【解析】如图，过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥AB于点F， ∵AB=2，BC=CD=1， ∴AE=， ∴cos∠EAD==，故∠EAD=60°， 以A为坐标原点，射线AB为x轴非负半轴建立平面直角坐标系， 则B(2，0)，C， 设P(a，a)，其中0≤a≤，则=(2-a，-a)，=， ∴2-=， ∴|2-|= ==， 又0≤a≤， ∴当a=时，|2-|取得最小值. 【思维升华】向量求最值(范围)的常用方法 (1)利用三角函数求最值(范围). (2)利用基本不等式求最值(范围). (3)建立坐标系，设变量构造函数求最值(范围). (4)数形结合，应用图形的几何性质求最值. 【跟踪训练】2　(1)在△ABC中，D是AB边上的点，满足AD=2DB，E在线段CD上(不含端点)，且=x+y(x，y∈R)，则的最小值为(　　) A.3+2 B.4+2 C.8+4 D.8 【答案】B 【解析】∵=x+y(x，y∈R)， AD=2DB，∴=+y， 又E在线段CD上(不含端点)， ∴+y=1，且x>0，y>0， ∴=+= =4++≥4+2， 当且仅当=，即x=，y=时，等号成立，∴的最小值为4+2. (2)△ABC是边长为2的正三角形，P为△ABC所在平面内任意一点，则·(+)的最小值为(　　) A.- B.- C.- D.-2 【答案】B 【解析】设BC的中点为D，AD的中点为E， 则有+=2， 则·(+)=2·， 而·=(+)·(+) =(+)·(-)=-， 而||=，-=-， 故当点P与点E重合时， -有最小值-， 所以·(+)的最小值为-. (3)已知正三角形ABC的边长为2，平面ABC内的动点P，M满足||=1，=，则的最大值是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】以△ABC的重心D为原点，直线DA为x轴建立平面直角坐标系，如图， 则A(2，0)，B(-1，-)，C(-1，). 设P(x，y)，则=(x-2，y)，由||=1，得(x-2)2+y2=1， 即点P在以点A为圆心，1为半径的圆上， 又=，即M为PC的中点， ∴M，∴=， ∴||2=，它表示点P(x，y)与点E(-1，-3)距离平方的， ∴|=(AE+AP)2=×(+1)2=. 四心问题 一、引理(“奔驰”定理)　 如图1，O是△ABC内一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为SA，SB，SC，则SA+SB+SC=0. 图1与奔驰汽车的标志(图2)类似，故该引理又称为“奔驰”定理. 证明　如图，延长AO与BC相交于点D， =====， 记=λ，则=λ， 即-=λ(-)， 所以-(1+λ)++λ=0， 又=-=-， 所以++=0， 从而SA+SB+SC=0. 推论　若O是△ABC内的一点，且x+y+z=0，则SA∶SB∶SC=x∶y∶z. 二、三角形“四心”的定义、几何性质和向量特征 1.重心 (1)定义：三角形三条中线的交点. (2)几何性质：三角形的重心是中线的三等分点，它到顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍. (3)向量特征： 定理1　G是△ABC的重心⇔++=0. 证明　由引理得G是△ABC的重心⇔SA=SB=SC⇔++=0. 推论1　P是△ABC所在平面内任意一点，=++)⇔G是△ABC的重心. 证明　G是△ABC的重心⇔++=0⇔-+-+-=0⇔ =++). 2.外心 (1)定义：三角形三条边的中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心. (2)几何性质：三角形的外心到三个顶点的距离相等. (3)向量特征： 定理2　O是锐角△ABC的外心⇔sin 2A+sin 2B+sin 2C=0. 证明　由O是锐角△ABC的外心， 得||=||=||， 则∠AOB=2∠ACB，∠BOC=2∠BAC， ∠COA=2∠ABC， 于是SA∶SB∶SC=sin 2A∶sin 2B∶sin 2C， 根据引理，得到sin 2A+sin 2B+sin 2C=0. 反之亦然(证明略). 推论2　P是锐角△ABC所在平面内任意一点， =⇔O是锐角△ABC的外心. 推论2可仿照推论1进行证明. 3.内心 (1)定义：三角形三条内角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心. (2)几何性质：三角形的内心到三边的距离相等. (3)向量特征： 定理3　O是△ABC的内心⇔a+b+c=0.(其中a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边长) 证明　设△ABC的内切圆半径为r，O是△ABC的内心，则SA∶SB∶SC=∶∶=a∶b∶c. 根据引理得，O是△ABC的内心⇔a+b+c=0. 推论3　P是△ABC所在平面内任意一点，O是△ABC的内心⇔=. 推论3可仿照推论1进行证明. 4.垂心 (1)定义：三角形三条高所在直线的交点. (2)几何性质：三角形的垂心分每条高线所得的两条线段长的乘积相等. (3)向量特征： 定理4　O是△ABC(非直角三角形)的垂心⇔tan A+tan B+tan C=0. 证明　O是△ABC(非直角三角形)的垂心 ⇔·=·=· ⇔||·||cos(π-C)=||·||cos(π-A) =||·||cos(π-B) ⇔||∶||∶||=cos A∶cos B∶cos C ⇔SA∶SB∶SC=tan A∶tan B∶tan C， 由引理得，O是△ABC(非直角三角形)的垂心⇔tan A+tan B+tan C=0. 推论4　P是△ABC(非直角三角形)所在平面内任意一点，O是△ABC(非直角三角形)的垂心⇔=. 推论4可仿照推论1进行证明. 【典例】奔驰定理与三角形四心(重心、内心、外心、垂心)有着神秘的关联.它的具体内容是：已知M是△ABC内一点，△BMC，△AMC，△AMB的面积分别为SA，SB，SC，则SA·+SB·+SC·=0.以下命题错误的是(　　) A.若SA∶SB∶SC=1∶1∶1，则M为△ABC的重心 B.若M为△ABC的内心，则BC·+AC·+AB·=0 C.若∠BAC=45°，∠ABC=60°，M为△ABC的外心，则SA∶SB∶SC=∶2∶1 D.若M为△ABC的垂心，3+4+5=0，则cos∠AMB=- 【答案】C 【解析】对于A，取BC的中点D，连接MD，如图， 由SA∶SB∶SC=1∶1∶1， 则++=0， 所以2=+=-， 所以A，M，D三点共线，且=， 设E，F分别为AB，AC的中点， 同理可得=，=，所以M为△ABC的重心，故A正确； 对于B，由M为△ABC的内心，则可设其内切圆半径为r， 则有SA=BC·r， SB=AC·r，SC=AB·r， 所以r·BC·+r·AC·+r·AB·=0，即BC·+AC·+AB·=0，故B正确； 对于C，由M为△ABC的外心，则可设△ABC的外接圆半径为R， 又∠BAC=45°，∠ABC=60°， 则有∠BMC=2∠BAC=90°，∠AMC=2∠ABC=120°， ∠AMB=2∠ACB=150°， 所以SA=R2·sin ∠BMC =R2·sin 90°=R2， SB=R2·sin ∠AMC=R2·sin 120°=R2， SC=R2·sin ∠AMB=R2·sin 150°=R2， 所以SA∶SB∶SC=2∶∶1，故C错误； 对于D，如图，延长AM交BC于点D，延长BM交AC于点F，延长CM交AB于点E， 由M为△ABC的垂心， 3+4+5=0， 则SA∶SB∶SC=3∶4∶5， 又S△ABC=SA+SB+SC， 则=4，=3， 设MD=x，MF=y，x，y>0， 则AM=3x，BM=2y， 所以cos∠BMD==cos∠AMF=， 即3x2=2y2，=，所以cos∠BMD=， 所以cos∠AMB=cos(π-∠BMD)=-，故D正确. 【限时训练】 （30分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.(2025·昆明模拟)设x>0，向量=(x2，-2x)在向量=(1，2)上的投影向量为λ(λ∈R)，则实数λ的最小值为(　　) A.- B.- C.- D.- 【答案】A 【解析】向量在向量上的投影向量为·=， 则λ==≥-， 当且仅当x=2时，等号成立， 所以λ的最小值为-. 2.已知非零向量与满足·=0且·=，则△ABC的形状是(　　) A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 【答案】C 【解析】由·=0，得角A的平分线垂直于BC， 所以AB=AC，设，的夹角为θ， 而·=cos θ=， 又θ∈[0，π]，所以θ=，∠A=π-=，故△ABC为等腰三角形. 3.已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a-c)·(b-c)=0，则|c|的最大值是(　　) A.1 B.2 C. D. 【答案】C 【解析】由于a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，不妨设a=(1，0)，b=(0，1)，c=(x，y)，则a-c=(1-x，-y)，b-c=(-x，1-y)，(a-c)·(b-c)=x2+y2-x-y=0，表示圆心为，半径为的圆，|c|=表示圆上的点(x，y)到原点(0，0)的距离，因此|c|的最大值为+=. 4.在△ABC中，A=，·=8，其外接圆的圆心为O，则·+2·的最小值为(　　) A.4 B.4 C.16 D.16 【答案】D 【解析】因为A=，·=8， 所以||||cos A=8， 故||||=16，所以||=， 因为O为△ABC的外接圆圆心，过O作OD⊥AB于D，则D为AB的中点， 所以·=||·||·cos∠OAB =||·||=||2， 同理可得·=||2， 所以·+2·=||2+||2=+||2≥2=16， 当且仅当=||2，即||2=8，||2=16时，等号成立，故·+2·的最小值为16. 5.在△ABC中，AC=9，∠A=60°，点D满足=2，AD=，则BC的长为(　　) A.3 B.3 C.3 D.6 【答案】A 【解析】因为=2， 所以=+=+ =+-)=+， 设AB=x，x>0， 则||2=， 得37=x2+×x×9cos 60°+×92， 即2x2+9x-126=0， 解得x=6(舍负)，即AB=6， 所以||=|-| = ==3. 6.(2023·全国乙卷)已知⊙O的半径为1，直线PA与⊙O相切于点A，直线PB与⊙O交于B，C两点，D为BC的中点，若|PO|=，则·的最大值为(　　) A. B. C.1+ D.2+ 【答案】A 【解析】连接OA(图略)，由题可知|OA|=1，OA⊥PA，因为|PO|=， 所以由勾股定理可得|PA|=1，则∠POA=. 设直线PO绕点P按逆时针旋转θ后与直线PD重合，则-<θ<，∠APD=+θ， 且|PD|=cos θ. 所以·=||||cos =cos θcos=cos θ =cos2θ-sin θcos θ=+cos 2θ-sin 2θ =+cos， 所以当θ=-时，·取得最大值，为. 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.设点D是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的有(　　) A.若=+)，则点D是边BC的中点 B.若=，则直线AD过△ABC的垂心 C.若=2-，则点D在BC的延长线上 D.若=x+y，且x+y=，则△BCD是△ABC面积的一半 【答案】ABD 【解析】对于A，∵=+)， 即-=-，即=， 即点D是边BC的中点，故A正确； 对于B，· = =(-||+||)=0，即AD⊥BC， 故直线AD过△ABC的垂心，故B正确； 对于C，∵=2-， 即-=-，即=， 即点D在CB的延长线上，故C错误； 对于D，∵=x+y，且x+y=， 设=2， 则=2=2x+2y，且2x+2y=1， 故M，B，C三点共线，且||=2||， 即△BCD是△ABC面积的一半，故D正确. 8.(2025·北京顺义区模拟)八卦是中国传统文化中的一部分，八个方位分别象征天、地、风、雷、水、火、山、泽八种自然现象.八卦模型如图1所示，其平面图形为正八边形，如图2所示，点O为该正八边形的中心，设||=1，下列结论中正确的是(　　) A.·=- B.|-|=|| C.在上的投影向量为-e(其中e为与同向的单位向量) D.若点P为正八边形边上的一个动点，则·的最大值为4 【答案】BC 【解析】由题意可知∠BOE=， ∴·=||||cos=1×1×=-，故A不正确； ∵|-|=||=，||=2， ∴|-|=||，故B正确； 在上的投影向量为·=-e，故C正确； 如图，当点P在线段CD上时，此时||cos∠BAP=||最大， 在△AOB中，OA=OB=1，∠AOB=， ∴BC=AB==， ∴AM=AB+MB=+=， ·=||||cos∠BAP=||||=)2=×(2-)=1，即·的最大值为1，故D不正确. 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.(2025·杭州模拟)如图，在大三角形中共有10个网格点，相邻网格点间的距离均为1，从中选取三个不同的网格点A，B，C，则·的最大值与最小值的和为　　　　.  【答案】 【解析】取||最大同时||cos〈，〉最大，则·取得最大值， 如图所示，当A，C分别是最大的正三角形底边的端点， B点是C点上方且紧靠C的一点时，||最大，且||cos〈，〉也达到最大值， 所以此时·取得最大值， 最大值为3×=. 当B，C分别是最大的正三角形底边的端点，且A点是B，C之间的一点时，〈，〉=180°， 此时·取得最小值，为1×2×(-1)=-2. 综上所述，·的最大值与最小值的和为-2=. 10.(2024·天津)在边长为1的正方形ABCD中，点E为线段CD的三等分点， CE=DE，=λ+μ，则λ+μ=　　　　；若F为线段BE上的动点，G为AF的中点，则·的最小值为　　　　.  【答案】　- 【解析】方法一　因为CE=DE， 即=， 则=+=+， 可得λ=，μ=1， 所以λ+μ=； 由题意可知，==1， ·=0， 因为F为线段BE上的动点， 设=k=k+k，k∈， 则=+=+k =+k， 又因为G为AF的中点， 则=+=-+ =+， 可得·=· =+k =-， 又由k∈可知， 当k=1时，·取到最小值为-. 方法二　以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示， 则A(-1，0)，B(0，0)， C(0，1)，D(-1，1)， E， 可得=(-1，0)，=(0，1)，=， 因为=λ+μ=(-λ，μ)， 则所以λ+μ=； 因为点F在线段BE：y=-3x，x∈上， 设F(a，-3a)，a∈， 且G为AF的中点，则G， 可得=(a+1，-3a)， =， 则·=+(-3a) =5-， 且a∈， 所以当a=-时， ·取到最小值为-. 第 1 页 共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 $