第二章课时4 函数性质的综合应用讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦函数性质综合应用专题，涵盖奇偶性与单调性、对称性、周期性的交叉考查，按考点逻辑分层设计，通过考情分析明确方向，例题精讲提炼方法，规律总结提升能力，对点训练强化巩固，构建系统复习路径。 讲义创新采用构造函数（如例1设g(x)=f(x)-4x²）、图象变换（例2平移奇函数g(x)=xf(x)）等策略，培养数学思维与抽象能力，精选模拟题和联考真题，分层训练保障效果，助力学生高效突破难点，为教师把控复习节奏提供实用指导。

课时4 函数性质的综合应用 一、考情分析 函数性质的综合应用是历年高考、模考的一个热点内容，经常以选择题、填空题形式出现，通过分析函数的性质特点，结合图象研究函数的性质，往往多种性质结合在一起进行考查． 二、考点扫描 考点一 函数的奇偶性与单调性 例1 (2026·辽宁大连市模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且∀x1，x2∈[0，+∞)，当x1>x2时，f(x1)－f(x2)>4(x1+x2)(x1－x2)恒成立，f(2)=16，则满足f(m)≤4m2的实数m的取值范围是　　　　　.  对点训练 (2026·山东济宁市检测)已知定义在R上的函数f(x)在(－∞，2)上单调递减，且f(x+2)为偶函数，则f(－1)，f(4)，f的大小关系为(　　) A.f(4)<f(－1)<f B.f(－1)<f(4)<f C.f<f(4)<f(－1) D.f(－1)<f<f(4) 考点二 函数的奇偶性与对称性 例2 (2026·湖南长沙市模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数，则下列函数的图象一定关于点(－1,0)成中心对称的是(　　) A．y＝(x－1)f(x－1) B．y＝(x＋1)f(x＋1) C．y＝xf(x)＋1 D．y＝xf(x)－1 规律方法： 对点训练 已知定义在R上的偶函数y=f(x)，其图象关于点对称，且当x∈[0，1]时，f(x)=－x+则f=(　　) A.－1 B.0 C.1 D. 考点三 函数的奇偶性与周期性 例3 （多选题）(2026·浙江温州市高三校联考期末)已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(2－x)+f(x)=0，则下列命题成立的有(　　) A.f(x)的图象关于点(－1，0)对称 B.f(3)=0 C.函数f(x+4)为奇函数 D.函数f(x+1)为奇函数 规律方法： 对点训练 已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=－f(x)，且当x∈[0，1]时，f(x)单调递增，则(　　) A.f(6)<f(－7)<f  B.f(6)<f <f(－7) C.f(－7)<f<f(6) D.f <f(－7)<f(6) 考点四 函数的对称性与周期性 例4 (多选题)(2026·江苏徐州市期末)已知非常数函数f(x)为R上的奇函数，g(x)＝f(x＋1)为偶函数.下列说法正确的有(　　) A．f(x)的图象关于直线x＝－1对称 B．g(2 025)＝0 C．g(x)的最小正周期为4 D．对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(x) 规律方法： 对点训练 （多选题）(2026·湖北襄阳市模拟)已知函数f(x)的定义域为R，且满足以下三个条件： ①f(－x)+f(x)=0； ②f(x)=f(2－x)； ③f(1)=2. 则下列说法正确的有(　　) A.f(x)的图象关于直线x=－1对称 B.f(x)的图象关于点(2，0)对称 C.f(x+4)=f(x) D.f(1)+f(2)+f(3)+…+f(17)=10 课时4 函数性质的综合应用参考答案 二、考点扫描 例1 　[－2，2] 【解析】　因为∀x1，x2∈[0，+∞)，当x1>x2时，f(x1)－f(x2)>4(x1+x2)(x1－x2)恒成立， 即f(x1)－f(x2)>4(－)恒成立，所以f(x1)－4>f(x2)－4， 令g(x)=f(x)－4x2，则当x1>x2≥0时，g(x1)>g(x2)， 所以函数g(x)在[0，+∞)上单调递增. 因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(－x)=f(x)， 所以对任意的x∈R，g(－x)=f(－x)－4(－x)2=f(x)－4x2=g(x)， 所以函数g(x)为R上的偶函数，且g(2)=f(2)－4×22=16－16=0， 由f(m)≤4m2，可得f(m)－4m2≤0，即g(m)≤g(2)， 即|m|≤2，解得－2≤m≤2，所以实数m的取值范围是[－2，2]. 对点训练 　A 【解析】　函数y=f(x+2)为偶函数， 则函数y=f(x+2)的图象关于y轴对称，函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称， 则f=ff(4)=f(0). 因为f(x)在(－∞，2)上单调递减，－<－1<0， 所以f>f(－1)>f(0)，即f(4)<f(－1)<f.故选A. 例2 B 【解析】　构造函数g(x)＝xf(x)，该函数的定义域为R， 所以g(－x)＝－xf(－x)＝－xf(x)＝－g(x)， 函数g(x)为奇函数，故函数g(x)图象的对称中心为坐标原点． 对于选项A，函数y＝(x－1)f(x－1)的图象由函数g(x)的图象向右平移1个单位长度得到， 故函数y＝(x－1)f(x－1)图象的对称中心为(1,0)； 对于选项B，函数y＝(x＋1)f(x＋1)的图象由函数g(x)的图象向左平移1个单位长度得到， 故函数y＝(x＋1)f(x＋1)图象的对称中心为(－1,0)； 对于选项C，函数y＝xf(x)＋1的图象由函数g(x)的图象向上平移1个单位长度得到， 故函数y＝xf(x)＋1图象的对称中心为(0,1)； 对于选项D，函数y＝xf(x)－1的图象由函数g(x)的图象向下平移1个单位长度得到， 故函数y＝xf(x)－1图象的对称中心为(0，－1)．故选B. 对点训练 　B 【解析】　因为y=f(x)的图象关于点对称， 所以f+f=0，即f(1+x)+f(－x)=0. 又因为y=f(x)为偶函数，所以f(－x)=f(x)，所以f(1+x)+f(x)=0，即f(1+x)=－f(x)， 所以f=－f=0.故选B. 例3 ABD 【解析】　因为f(2－x)+f(x)=0，所以f(2－x)=－f(x)，所以函数f(x)的图象关于点(1，0)对称，又f(x)为定义在R上的偶函数，所以函数f(x)的图象关于点(－1，0)对称，且f(－1)=0，A选项正确； 因为函数f(x)为偶函数，所以函数f(x)的图象关于y轴对称，又函数f(x)的图象关于点(1，0)对称，所以f(x)的一个周期为4，所以f(3)=f(－1)=0，B选项正确； 因为偶函数f(x)的一个周期为4，所以f(x+4)=f(x)，所以f(x+4)为偶函数，C选项错误； f(x+1)的图象可以由f(x)的图象向左平移一个单位长度得到，则f(x+1)的图象关于点(0，0)对称，f(x+1)为奇函数，D选项正确.故选ABD. 对点训练 B 【解析】　因为f(x+2)=－f(x)，所以f(x+4)=f((x+2)+2)=－f(x+2)=f(x)， 所以函数f(x)是一个周期为4的周期函数， 所以f(6)=f(2)=－f(0)=f(0)，f(－7)=f(1)，f =f =－f =f . 又当x∈[0，1]时，f(x)单调递增，所以f(0)<f <f(1)，即f(6)<f <f(－7).故选B. 例4 　ABD 【解析】因为f(x)为R上的奇函数，且g(x)＝f(x＋1)为偶函数， 所以f(x)的图象关于(0,0)中心对称，且直线x＝1为对称轴， 所以直线x＝－1也是对称轴，所以f(x)的图象关于直线x＝－1对称， 所以f(x)＝f(2－x)，A，D正确； 由A分析知f(x)＝f(2－x)＝－f(－x)，故f(2＋x)＝－f(x)， 所以f(4＋x)＝－f(2＋x)＝f(x)， 所以f(x)是一个周期为4的周期函数， 则g(2 025)＝f(2 026)＝f(2)＝f(0)＝0，B正确； 但不能说明g(x)的最小正周期为4，C错误．故选ABD. 对点训练 　ABC 【解析】　因为f(－x)+f(x)=0，f(x)的定义域为R，所以f(x)为奇函数， 又因为f(x)=f(2－x)，所以f(x)图象的对称轴为直线x=1. 对于选项A，因为f(x)=f(2－x)，所以－f(x)=－f(2－x)，所以f(－x)=f(x－2)， 所以f(x)的图象关于直线x=－1对称，故A正确； 对于选项B，因为f(－x)+f(x)=0，所以f(－x)+f(4+x)=0， 所以f(x)的图象关于点(2，0)对称. 对于选项C，由A选项分析可知，f(x－2)=－f(x)，所以f(x－4)=f(x)， 所以f(x+4)=f(x)，故C正确； 对于选项D，因为f(1)=2，f(2)=f(0)=0，f(3)=f(－1)=－f(1)=－2，f(4)=f(0)=0， 所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(17)=4(f(1)+f(2)+f(3)+f(4))+f(1)=2，故D错误.故选ABC. . 学科网（北京）股份有限公司 $