期末应用题 长方体和正方体（专项训练）-2025-2026学年五年级下册数学苏教版

**基本信息** 聚焦长方体和正方体表面积与体积的实际应用，通过多样化题型培养空间观念与几何直观，强化应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |核心概念应用|1-6、20|体积不变（锻造）、表面积计算（无盖/贴瓷砖）|从棱长到表面积、体积公式推导，体现概念生成与应用| |图形操作|4、7、9、11|切割/拼接表面积变化、组合体表面积体积|通过图形变换深化空间观念，理解面与体的关系| |实际问题解决|8-10、12-26|排水法测体积、容器容积、材料优化|结合生活情境，培养应用意识，体现数学与现实的联系|

期末应用题 长方体和正方体（专项训练）2026年五年级下册数学苏教版 1．将一块棱长是12米的正方体钢坯，锻成横截面面积是24平方米的长方体钢材．锻成的钢材有多长？（用方程解） 2．要挖一个长30米，宽20米，深2米的长方体游泳池。 （1）这个游泳池的占地面积是多少平方米？ （2）这个游泳池最多能蓄水多少立方米？ （3）如果在游泳池四周和底面贴瓷砖，那么贴瓷砖的面积是多少平方米？ 3．淘气用铁丝制作长方体的灯罩（如图①所示）再把一张纸裁成如图②的形状糊在灯罩上。这个灯罩的侧面积有多大？ 4．把这个长方体分成两个棱长为4厘米的正方体，两个正方体的总表面积比原长方体的表面积增加了多少？（只列式不计算） 5．学校的沙坑长6米，宽3.5米。运来8.4立方米的沙子铺在沙坑里，可以铺多厚？ 6．学校要粉刷阅览室，已知阅览室的长是20米，宽是12米，高是4.5米，扣除门窗面积48平方米。如果每平方米需要花16元费用（含涂料费和手工费），粉刷这间阅览室需要花费多少钱？ 7．有两个完全相同的长方体，每个长方体的长为12米，宽为6厘米，高为3厘米。把这两个长方体拼贴在一起变成一个大长方体，这个大长方体的表面积最大是多少平方厘米？大长方体的体积是多少立方厘米？ 8．一个长方体的表面积是210平方厘米，正好可以分成3个相同的正方体，每个小正方体的表面积是多少？ 9．下图是由棱长2厘米的正方体拼成的图形，求它的表面积和体积。 10．一个长方体无盖玻璃鱼缸，从外面量长61cm，宽31cm，高40.5cm，玻璃厚5mm。 （1）那么这个鱼缸的容积是多少L？ （2）制作这个鱼缸要用多少cm2的玻璃？ 11．下图是由棱长1分米的正方体拼摆而成的，这个拼摆而成的几何体的表面积是多少平方分米？体积是多少立方分米？至少要再摆上多少个这样的正方体就可以拼摆成一个棱长为4分米的大正方体？ 12．如下图所示，某智能生态鱼缸长12分米，宽8分米，高5分米，现水深3分米。为净化水质，竖直放入一个棱长3分米的立方体活性炭过滤块（完全浸没）。此时鱼缸中的水会溢出吗？请说明理由。 13．为了保护书籍，我们可以为图书做上封套，封套样式如下图所示： 这里是书脊。为了查阅书籍方便，书脊处不封口。 这就是一个长方体的封套，可以把除书脊外的所有面都包裹上。 奇思有一套《上下五千年》丛书，分上、中、下三册，这三册书的尺寸完全相同，每册书的长、宽、高如下图所示。他想做一个封套，把这套书都装进去。做这个封套至少需要多少cm2的硬纸板？（硬纸板的厚度及接缝处忽略不计） 14．一块长方形铁皮（如图），在它的四个角分别剪去一个边长是15厘米的正方形，然后焊成一只长方体容器。这只容器的容积是多少升（铁皮厚度忽略不计）？ 15．实践课上，老师布置了一个任务：已知一个长和宽均为8分米的长方体透明鱼缸（厚度忽略不计），鱼缸内水深5分米。聪聪将一个长6分米、宽4分米的长方体石块竖直立入鱼缸中（接触面之间无缝隙），并记录水位变化。石块放入后，水面迅速上升，聪聪惊呼：“现在水的高度是多少呢？”结合以前你所学知识，帮助聪聪解决这个问题。 16．某社区计划建造一个长10米、宽6米、深1.5米的长方体喷水池。若要在池子的内壁和底面刷防水涂层，每千克涂料可覆盖3平方米，一共需要多少千克涂料？ 17．学习完《长方体和正方体》后，小明充满了好奇心，和爸爸妈妈一起动手实践。他们准备了甲、乙两个长方体容器、一把直尺、一个土豆和一些水，甲长方体容器从里面量长和宽都是6厘米，高是16厘米，乙长方体容器从里面量长是9厘米，宽是8厘米，高是10厘米。 （1）先往甲长方体容器中倒入8厘米高的水，再将土豆放入甲长方体容器（完全浸没，没有水溢出），用直尺量得水面高度上升到12厘米。这个土豆的体积是多少？ （2）先往甲长方体容器倒满水，再把甲长方体容器中的水全部倒入乙长方体容器，这时乙长方体容器的水深是多少厘米？ 18．张老师准备用如图的纸箱给灾区的小朋友寄一些文具（如图）。 （1）她用胶带绕纸箱一周，用去了多长的胶带？ （2）做一个纸箱要用46平方分米的卡纸，至少需要多少张8平方分米的卡纸才能做一个这样的纸箱？ 19．一个正方体，它的高增加2厘米后就成了长方体，这个长方体的表面积比原正方体表面积增加了96平方厘米，求原正方体的表面积。 20．李师傅打算做一个棱长5分米的正方体有机玻璃鱼缸（无盖），至少需要有机玻璃多少平方分米？ 21．把一根长2米的长方体木料锯成两段后，表面积增加了100平方厘米，它的体积是多少平方厘米？ 22．婷婷的房间长5米，宽4米，高2.8米。如果在房间的四壁上贴墙布，除去门窗6平方米，已知每平方米墙布包工包料88元，这间房贴墙布需多少钱？ 23．一个长方体形状的蓄水池，长4.8米，宽3.8米，高2.5米，要给池底和四壁抹上水泥，如果每平方米用水泥18.4千克，一共要用水泥多少千克？ 24．用四块同样的长方形和两块同样的正方形纸板做成一个长方体的纸箱，它的表面积是266平方分米，长方体的长、宽、高的长度都是整数分米，并且使纸盒的容积尽可能大，这个纸箱的容积是多少？ 25．用丝带捆扎一种礼盒，如图，接头处长25厘米，要捆扎这种礼盒至少需要准备多少厘米的丝带？ 26．下图是一种长方体包装的饮料，广告宣传净含量为240毫升，贝贝从纸盒外面量得长6厘米，宽5厘米，高7厘米。请你通过计算判断广告宣传的真假。如果在它的四周围一圈宣传广告纸，至少需要多少纸？ 参考答案 1．72米 【详解】试题分析：设长方体钢材的长是x米，则钢材的体积就是24x立方米，又因为熔铸前后的体积不变，据此列出方程解决问题． 解：设长方体钢材的长是x米，则钢材的体积就是24x立方米，根据题意可得方程： 24x=12×12×12， 24x=1728， x=72， 答：锻成的钢材的长度是72米． 点评：此题考查了正方体与长方体的体积公式的计算应用，解答此题的关键是明确熔铸前后的体积不变． 2．（1）600平方米 （2）1200立方米 （3）800平方米 【分析】（1）求这个游泳池的占地面积，就是求长方体游泳池的底面积，根据长方体的底面积＝长×宽，代入数据计算求解； （2）求这个游泳池最多能蓄水的体积，就是求长方体游泳池的容积，根据长方体的体积（容积）＝长×宽×高，代入数据计算求解； （3）如果在游泳池四周和底面贴瓷砖，即贴瓷砖的是长方体的下面、前后面、左右面共5个面；根据“长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”求出这5个面的面积之和即可。 【详解】（1）30×20＝600（平方米） 答：这个游泳池的占地面积是600平方米。 （2）30×20×2 ＝600×2 ＝1200（立方米） 答：这个游泳池最多能蓄水1200立方米。 （3）30×20＋30×2×2＋20×2×2 ＝600＋120＋80 ＝800（平方米） 答：贴瓷砖的面积是800平方米。 3．2250平方厘米 【分析】这个长方体的灯罩的长是30厘米，宽是15厘米，高是25厘米，求灯罩的侧面积，根据长方体侧面积＝（长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答。 【详解】（30×25＋15×25）×2 ＝（750＋375）×2 ＝1125×2 ＝2250（平方厘米） 答：这个灯罩的侧面积有2250平方厘米。 4．4×4×2 【分析】把这个长方体竖着切开就分成了两个棱长为4厘米的正方体，那么会增加中间切开位置的两个面；也就是各增加了正方体的1个面，一共是增加了两个正方形面积；正方形面积＝边长×边长；据此解答。 【详解】4×4×2＝32（平方厘米） 答：两个正方体的总表面积比原长方体的表面积增加了32平方厘米。 【点睛】本题主要考查的是图形分割后增加了几个面。 5．0.4米 【分析】长方体的体积＝长×宽×高，则长方体的高＝长方体的体积÷长÷宽，把题目中的数据代入公式计算，即可求得。 【详解】8.4÷6÷3.5 ＝1.4÷3.5 ＝0.4（米） 答：可以铺0.4米厚。 6．7680元 【分析】用长×宽×长×高×2＋宽×高×2－门窗面积，求出粉刷面积，粉刷面积×每平方米费用＝需要的钱数，据此列式解答。 【详解】20×12＋20×4.5×2＋12×4.5×2－48 ＝240＋180＋108－48 ＝480（平方米） 480×16＝7680（元） 答：粉刷这间阅览室需要花费7680元钱。 【点睛】关键是掌握并灵活运用长方体表面积公式。 7．平方厘米；立方厘米 【分析】将两个长方体拼贴在一起变成一个大长方体，表面积最大时是将两个长方体最小的面，即宽、高组成的面拼贴，此时的表面积＝两个长方体表面积-2个宽、高组成面的面积，长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，可计算得到表面积；大长方体体积＝长×宽×高×2，据此计算得出答案。 【详解】表面积为： （平方厘米） 体积：（立方厘米） 答：这个大长方体的表面积最大是468平方厘米；大长方体的体积是432立方厘米。 8．90平方厘米 【分析】3个相同小正方体一共有18个面，因为切了两刀，所以有4个面是新增的，那原来的长方体的表面积等于14个面的面积，一个面的面积就可以用210除以14，再乘上6就可以算出小正方体的表面积。 【详解】3×6－（3－1）×2 ＝18－2×2 ＝18－4 ＝14（个） 正方体：210÷14×6 ＝15×6 ＝90（平方厘米） 答：每个小正方体的表面积是90平方厘米。 9．表面积：80平方厘米；体积：40立方厘米 【分析】可以把这个组合体看作两部分，一个长方体和一个正方体，分别求出表面积加在一起，由于拼在一起会减少两个接触面的面积，所以再减去正方体2个面的面积，就是组合体的表面积；长方体的长是2×2＝4厘米、宽是2×2＝4厘米、高是2厘米。根据长方体表面积公式：表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，正方体表面积公式：表面积＝棱长×棱长×6，代入数据，即可解答。 根据正方体体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长；代入数据，求出一个正方体的体积乘5即可。 【详解】长方体的长：2×2＝4（厘米），宽：2×2＝4（厘米），高：2厘米。 表面积： （4×4＋4×2＋4×2）×2＋2×2×6－2×2×2 ＝（16＋8＋8）×2＋4×6－4×2 ＝32×2＋24－8 ＝64＋24－8 ＝80（平方厘米） 体积：2×2×2×5 ＝4×2×5 ＝8×5 ＝40（立方厘米） 答：它的表面积是80平方厘米，体积是40立方厘米。 10．（1）72L；（2）9343cm2 【分析】（1）容积就是玻璃缸里面能装水的最大体积，长为原长减去两边玻璃的厚度，宽为原宽减去两边玻璃的厚度，高为原高减去一边玻璃的厚度，因为上面无盖，只需要减去下面的玻璃厚度，根据长方体的容积公式：V＝abh，求解即可； （2）根据长方体的表面积公式：S＝（a×b＋a×h＋b×h）×2，因为是无盖的玻璃鱼缸，要减掉一个底面积，把公式变换成：S＝a×b＋a×h×2＋b×h×2，然后代入从外面量出的长宽高的数据，计算即可。 【详解】（1）5mm＝0.5cm （61－0.5×2）×（31－0.5×2）×（40.5－0.5） ＝（61－1）×（31－1）×40 ＝60×30×40 ＝72000（cm3） ＝72（dm3） ＝72（L） 答：这个鱼缸的容积是72L。 （2）61×31＋61×40.5×2＋31×40.5×2 ＝1891＋4941＋2511 ＝9343（cm2） 答：制作这个鱼缸要用9343cm2的玻璃。 【点睛】此题的解题关键是找准长、宽、高的数据，灵活运用长方体的容积和长方体的表面积公式求解。 11．54平方分米；18立方分米；46个 【分析】（1）边长1分米的正方形面积是1平方分米，相对的面小正方形的个数相等，观察正面、上面和右面小正方形的个数，将正面、上面和右面小正方形的个数相加并乘2，是这个几何体表面小正方形总个数，即表面积； （2）棱长1分米的正方体体积是1立方分米，共有4层，确定每层小正方体个数并相加，是小正方体总个数，即体积； （3）根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，求出棱长4分米大正方体中小正方体的个数，减去现有小正方体的个数即可。 【详解】（10＋7＋10）×2×（1×1） ＝27×2×1 ＝54（平方分米） （1＋2＋5＋10）×（1×1×1） ＝18×1 ＝18（立方分米） 4×4×4－18 ＝64－18 ＝46（个） 答：这个拼摆而成的几何体的表而积是54平方分米，体积是18立方分米，至少要再摆上46个这样的正方体就可以拼摆成一个棱长为4分米的大正方体。 【点睛】关键是掌握并灵活运用正方体体积公式，具有一定的空间想象能力。 12．不会溢出；理由见详解 【分析】已知把一个立方体活性炭过滤块完全浸没在有水的生态鱼缸中，水面会上升，如果过滤块的体积超过鱼缸无水部分的容积，则水会溢出；反之，水不会溢出； 已知立方体活性炭过滤块的棱长是3分米，根据正方体的体积公式V＝a3，求出过滤块的体积； 已知鱼缸长12分米，宽8分米，无水部分高（5－3）分米，根据长方体的体积（容积）公式V＝abh，求出鱼缸无水部分的容积； 最后把过滤块的体积与鱼缸无水部分的容积进行比较即可得解。 【详解】3×3×3＝27（立方分米） 12×8×（5－3） ＝12×8×2 ＝192（立方分米） 27＜192 答：此时鱼缸中的水不会溢出。 13．848cm2 【分析】由图可知，三册书叠加起来后，大长方体的长是20cm，宽是14cm，高是2×3＝6cm，根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据计算出大长方体的表面积，然后用长方体的表面积减去三面书脊的面积即可求出做这个封套至少需要多少cm2的硬纸板。 【详解】2×3＝6（cm） （20×14＋20×6＋14×6）×2－20×6 ＝（280＋120＋84）×2－120 ＝484×2－120 ＝968－120 ＝848（cm2） 答：做这个封套至少需要848cm2的硬纸板。 【点睛】本题考查了长方体表面积计算的灵活应用。掌握长方体的表面积计算公式是解答本题的关键。 14．22.5升 【分析】根据长方体的体积＝长×宽×高，其中长＝长方形的长－边长×2，宽＝长方形的宽－边长×2，高＝边长，据此代入数据解答即可。 【详解】80－15×2 ＝80－30 ＝50（厘米） 60－15×2 ＝60－30 ＝30（厘米） 50×30×15 ＝1500×15 ＝22500（立方厘米） 22500立方厘米＝22.5立方分米＝22.5升 答：这只容器的容积是22.5升。 【点睛】此题考查长方体容积计算，找出长方体的长、宽、高是解题关键。 15．8分米 【分析】已知长方体鱼缸长和宽均为8分米，水深5分米，根据长方体的体积＝长×宽×高，求出水的体积； 将一个长6分米、宽4分米的长方体石块竖直立入鱼缸中，石块占据部分底面积，导致水的底面积变成（8×8－6×4）平方分米，水的体积不变，根据长方体的高＝体积÷底面积，求出此时水的高度。 【详解】8×8×5 ＝64×5 ＝320（立方分米） 8×8－6×4 ＝64－24 ＝40（平方分米） 320÷40＝8（分米） 答：现在水的高度是8分米。 16．36千克 【分析】根据题意，要在长方体池子的内壁和底面刷防水涂层，即刷防水涂层的是长方体的下面、前后面、左右面共5个面；根据“长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”求出这5个面的面积之和，再除以每千克涂料可覆盖的面积，即是一共需要涂料的总质量。 【详解】10×6＋10×1.5×2＋6×1.5×2 ＝60＋30＋18 ＝108（平方米） 108÷3＝36（千克） 答：一共需要36千克涂料。 17．（1）144立方厘米 （2）8厘米 【分析】（1）上升的水的体积就是土豆的体积，上升的水的长和宽都是6厘米，高是12－8＝4厘米，根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算即可解答。 （2）根据长方体的体积＝长×宽×高，求出甲长方体容器的体积，也就是乙容器内水的体积，用乙容器的体积除以乙容器的底面积即可解答。 【详解】（1）6×6×（12－8） ＝36×4 ＝144（立方厘米） 答：这个土豆的体积是144立方厘米。 （2）6×6×16÷（9×8） ＝36×16÷72 ＝576÷72 ＝8（厘米） 答：这时乙长方体容器的水深是8厘米。 18．（1）130厘米 （2）6张 【分析】（1）观察图形可知，绕纸箱一周的胶带长度＝2条长＋2条高，代入数据计算即可求解。 （2）根据题意，用做一个纸箱需用卡纸的面积除以每张卡纸的面积，求出卡纸的张数，如果商不是整数，需要采用“进一法”取整数。 【详解】（1）40×2＋25×2 ＝80＋50 ＝130（厘米） 答：用去了130厘米长的胶带。 （2）46÷8≈6（张） 答：至少需要6张8平方分米的卡纸才能做一个这样的纸箱。 19．864平方厘米 【分析】一个正方体如果它的高增加2厘米，就变成了长方体，表面积比原来增加96平方厘米，它的底面积没变，增加的是4个侧面的面积，增加部分每个面的面积是：96÷4＝24平方厘米，用24除以2就可以求出原来正方体的棱长；再根据：正方体的表面积＝6a2，将数据代入公式计算即可。 【详解】96÷4÷2 ＝24÷2 ＝12（厘米） 12×12×6 ＝144×6 ＝864（平方厘米） 答：原正方体的表面积是864平方厘米。 【点睛】此题解答关键是求出正方体的棱长，然后根据正方体的表面积公式解答即可。 20．125平方分米 【分析】根据题意，鱼缸是无盖的正方体，因此计算所需玻璃面积时只需计算 5 个面的面积。正方体每个面的面积等于棱长乘棱长，总面积等于棱长乘棱长再乘 5，代入数据计算即可。 【详解】5×5×5 ＝25×5 ＝125（平方分米） 答：至少需要有机玻璃 125 平方分米。 21．10000立方厘米 【详解】2米=200厘米  100÷2×200=10000（立方厘米） 22．3907.2元 【分析】结合长方体的表面积公式，先求出房间前、后、左、右四个面的面积，再减去门窗的面积，求出需要贴墙布的面积。用贴墙布的面积乘88，求出这间房贴墙布需多少钱。 【详解】5×2.8×2＋4×2.8×2－6 ＝28＋22.4－6 ＝44.4（平方米） 44.4×88＝3907.2（元） 答：这间房贴墙布需3907.2元钱。 【点睛】本题考查了长方体的表面积，解题关键是要明确求哪几个面的面积。 23．1126.816千克 【分析】抹水泥的面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，抹水泥的面积×每平方米用水泥质量＝要用的水泥总质量，据此列式解答。 【详解】4.8×3.8＋4.8×2.5×2＋3.8×2.5×2 ＝18.24＋24＋19 ＝61.24（平方米） 61.24×18.4＝1126.816（千克） 答：一共要用水泥1126.816千克。 24．294立方分米 【详解】试题分析：根据长方体的表面积的意义，长方体的表面积是指6个面的总面积，要使这个纸箱的容积最大，也就是长方体的长、宽、高的差越小体积就越大．因此，可以设长方体的长（长和宽相等）为a分米，长方体的高为h分米，根据长方体的表面积公式：s=（ab+ah+bh）×2，已知它的表面积是266平方分米，由此可以求出长、宽、高；再根据长方体的体积（体积）公式： v=abh，把数据代入公式解答． 解：设长方体的长（长和宽相等）为a分米，长方体的高为h分米， 由表面积公式得： a×a×2+a×h×4=266，利用乘法分配律 2（a×a+2ah）=266， 2（a×a+2ah）÷2=266÷2， a×a+2ah=133， a（a+2h）=133， 把133分解质因数133=7×19，19=7+2×6， 所以，a=7，h=6． 这个纸箱的容积是： 7×7×6=294（立方分米）． 答：这个纸箱的容积是294立方分米． 点评：此题解答关键是根据长方体的表面积公式，列分解求出长、宽、高，再根据长方体的容积（体积）公式解答． 25．225厘米 【分析】根据题图可知，丝带捆扎的长度为4条高，2条长、2条宽，再加上接头处的长度，据此解答即可。 【详解】25×4＋30×2＋20×2＋25 ＝100＋60＋40＋25 ＝160＋40＋25 ＝200＋25 ＝225（厘米） 答：要捆扎这种礼盒至少需要准备225厘米的丝带。 26．广告是假的，至少需要154平方厘米的纸。 【分析】根据长方体体积＝长×宽×高，可求得这个纸盒的体积，再和这个纸盒的容积进行比较即可真假。在它的四周围一圈宣传广告纸，就是求纸盒的前后左右面积的和，再利用（长×高＋宽×高）×2，将数据代入可求得这个纸盒的表面积。 【详解】6×5×7 ＝30×7 ＝210（立方厘米） ＝210毫升 210毫升＜240毫升 答：广告宣传是假的。 （6×7＋5×7）×2 ＝77×2 ＝154（平方厘米） 答：至少需要154平方厘米的纸。 【点睛】灵活运用长方体的体积计算公式和表面积计算公式是解答的关键。 学科网（北京）股份有限公司 $