湖南省长沙市2025-2026学年高一下学期数学期末测试模拟试卷（二）

**基本信息** 湖南省长沙市高一下学期数学期末模拟卷，覆盖三角函数、复数、立体几何、概率统计等核心知识，通过AI测评、慈善活动等情境设计，梯度考查数学眼光（空间观念、数据意识）、数学思维（推理能力）及数学语言（模型意识），适配期末综合能力检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|三角函数定义、复数运算、立体几何向量表示|以平行六面体中点向量考查空间观念| |多选题|3/18|复数性质、概率互斥独立、直四棱柱体积表面积|结合慈善活动情境辨析事件独立性| |填空题|3/15|百分位数、样本方差、圆锥侧面积最值|通过射击成绩方差比较数据意识| |解答题|5/77|立体几何证明、频率分布直方图、解三角形、概率方案、直三棱柱综合|AI知识测评直方图分析数据，招聘方案概率模型考查应用意识|

《湖南省长沙市2025-2026学年高一下学期数学期末测试模拟试卷（二）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A A B A B C B BC BC 题号 11 答案 ABD 1．A 【分析】根据正弦函数二倍角公式，结合特殊角的正余弦函数值进行求解即可. 【详解】由， 因为，所以， 所以由， 因为，所以. 故选：A 2．A 【详解】因为，所以． 3．A 【分析】由向量的线性运算可得结果. 【详解】. 故选：A. 4．B 【详解】如果，此时也能找到且，但并不平行于，而是在内，所以充分性不成立； 根据线面平行的性质定理：如果直线平行于平面，那么过作一个平面与相交，交线就满足，且，所以必要性成立. 即“存在直线，使”是“”的必要不充分条件. 5．A 【分析】根据同角三角函数关系求，再根据结合两角和差公式运算求解. 【详解】因为，，则， 可得， 所以. 6．B 【详解】由面积公式，解得． 由余弦定理，代入，得，即． 于是，所以． 7．C 【分析】根据可得，再利用平方关系和三角形面积公式求解. 【详解】根据题意，， 则，即， 则，又，所以， 所以. 8．B 【详解】由题意可得，，， 对于A，表示向下的面同时有数字1和2，即面4，所以，故A错误； 对于B，的情况只有面4，故， 又，满足，故B正确； 对于C，表示同时有数字1、2和3，即面4，所以，故C错误； 对于D，表示向下的面有数字2或3，包含面2、面3、面4，共3个面， 故，表示向下的面有数字1，且有数字2或3，即面4， 故，所以， 不满足独立事件定义，故D错误． 9．BC 【分析】利用复数的概念及运算即可判断. 【详解】对于A，z的虚部为，故A错误； 对于B，z的共轭复数为，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 10．BC 【分析】由互斥事件的定义即可判断A，由相互独立的定义若，则事件 相互独立即可判断BCD. 【详解】若选到第一张卡片，则小林同时参加3场活动，故A错误. “小林参加A场活动”的概率为，“小林参加B场活动”的概率为， “小林同时参加A场和B场活动”的概率为，因为， 所以“小林参加场活动”与“小林参加场活动”相互独立，故B正确. “小林不参加A场活动”的概率为，“小林不参加B场活动”的概率为， “小林同时不参加A场与B场活动”的概率为，因为， 所以“小林不参加场活动”与“小林不参加场活动”相互独立，C正确. “小林参加场或场活动”的概率为，“小林不参加场活动，参加场或场活动”的概率为， 因为，所以“小林不参加场活动”与“小林参加场或场活动”不相互独立， 故D错误. 故选：BC. 11．ABD 【分析】记棱柱的高为,根据题意，列出方程组，求得，结合体积公式，可判定A正确；利用侧面积和三角形的面积公式，求得棱柱的表面积，可判定B正确；设点到平面的距离为，利用等体积法，列出方程，可判定C错误；结合异面直线所成角的定义，可判定D正确. 【详解】对于A，记棱柱的高为,即直四棱柱的侧棱长都为， 因为， 可得， 又因为是菱形，可得，所以是等边三角形，所以， 可得，联立方程组，解得， 故棱柱的体积，所以A正确； 对于B，棱柱表面积，所以B正确； 对于C，记点到平面的距离为， 由，可得， 由余弦定理得， 因为，可得， 所以，所以，所以C错误； 对于D，由，所以直线与所成角，即为直线与所成角， 即所求角为的补角，由C项知， 所以直线与所成角的余弦值为，所以D正确. 12．3 【分析】第50百分位数为数据的中位数，即得. 【详解】数据：1，2，3，3，5的第50百分位数是3. 故答案为：3 13． 小于 甲 【分析】分别计算甲乙运动员射击成绩的平均数及方差即可得出结论. 【详解】甲成绩的平均数， 方差， 乙成绩的平均数， 方差， 由以上数据可知，甲的方差小于乙的方差，甲运动员的成绩更稳定. 故答案为：小于；甲 14． 【分析】设圆锥的底面圆半径为，，根据题意得到，而圆锥的侧面积转化为，最后利用换元法求解最小值即可. 【详解】设圆锥的底面圆半径为，， 设球与侧面相切于点，在中，． 因为，则， 即，所以． 在中，， 故圆锥的侧面积 令，，则， 故 当且仅当，即，时，取等号，所以圆锥侧面积的最小值为． 【一题多解】解法一：设，在中， ，． 因为， 则，即， 所以，， 于是圆锥的侧面积 ， 令，则，则， 当且仅当，即时取等号，所以圆锥侧面积的最小值为． 解法二：设，． ，且， 即， ，， 圆锥的侧面积 当且仅当时等号成立，故圆锥侧面积的最小值为． 故答案为：. 【点睛】本题考查圆锥的内切球、圆锥中相关量的计算，考查运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，考查数学运算直观想象核心素养． 15．(1)证明见详解(2)证明见详解 【分析】（1）设，连接，利用中点关系，得到，满足线面平行判定定理的条件，从而得出证明； （2）由正棱柱侧棱垂直底面，进而得到，又正方形对角线互相垂直，从而得到满足线面垂直判定定理的条件，得出证明. 【详解】（1）证明：设，连接， 在正四棱柱中，四边形为正方形， ，又是的中点，， ，又平面，平面， 平面. （2）在正四棱柱中，平面， 又平面，， 在正方形中，， 又，平面，平面， 平面. 16．(1)，众数为75分，中位数为64(2) 【分析】（1）结合频率分布直方图的性质，通过矩形面积和为1求，再依据众数、中位数的定义进行求解； （2）先确定相关区间人数，再利用古典概型概率公式计算概率. 【详解】（1）因为 所以 参加这次测评学生成绩的众数为75分 由所给频率分布直方图知 100名学生成绩在的频率为0.4，在的频率为0.65， 所以参加这次问卷调查学生成绩的中位数在内 设中位数为，则， 解得 所以参加这次问卷调查学生成绩的中位数为64. （2）在抽查的100名学生中，成绩在中的学生有人， 成绩在中的学生有人， 记［80,90）中的3人为， 记［90,100］中的2人为 所有基本事件有： 共10种， 来自同一组的有：，共4种情况， 故恰好来自同一组的概率. 17．(1)(2) 【分析】（1）采用边化角结合内角和恒等变换，利用余弦型三角式求解内角； （2）联立面积公式与余弦定理构造方程组，直接求解边长. 【详解】（1）由， 结合正弦定理可得， 展开右侧三角式得， 消去同类项后化简为， 整理得， 由，得，解得. （2）由三角形面积公式， 代入，得， 由余弦定理， 代入、，得， 联立，解得. 18．(1)(2) 【分析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式及互斥事件的加法公式直接计算即可； （2）分情况结合乘法公式即互斥事件加法公式即可得解． 【详解】（1）记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为，，， 则，，， 应聘者用方案一考试通过的概率： ； （2）应聘者用方案二选择任意两科的概率为， 考试通过的概率： . 19．(1)(2)(3) 【分析】（1）根据相似三角形的性质求的值. （2）先根据题中条件建立空间直角坐标系，再求出平面的法向量，进而求得与平面所成角的正弦值. （3）根据相似三角形的性质先判断出来几何体 为三棱台，并求出其体积，再利用直三棱柱的体积与三棱台 的体积之差求它们公共部分的体积. 【详解】（1）在直三棱柱中，， 则 ，所以．   因为，，， 所以，所以． （2）取的中点，连接． 因为，所以．   在直三棱柱中，，因为， 所以平面．   作，交于点， 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，   则，，，，，   所以，，．   设平面的一个法向量为， 则 ， ，   令，得．   故与平面所成角的正弦值为 （3）设交于点，交于点，连接． 因为 ，所以，同理可得，   所以几何体 为三棱台， 其下底面面积，上底面面积， 故其体积．   四棱锥与直三棱柱的公共部分为几何体，   其体积为直三棱柱的体积与三棱台 的体积之差， 即， 故四棱锥与直三棱柱公共部分的体积为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省长沙市2025-2026学年高一下学期数学期末测试模拟试卷（二） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知，则（   ） A． B． C． D． 2．已知复数，则（   ） A． B． C． D． 3．在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（   ） A． B． C． D． 4．已知平面，两条不重合的直线，则“存在直线，使”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．若，，则（   ） A． B． C． D． 6．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，且，若的面积为，则的值为（    ） A．6 B．8 C． D． 7．在中，已知，．为的中点，且，则的面积是 （    ） A． B． C． D． 8．某同学制作了一个质地均匀的正四面体形骰子，在其中三个面分别写上一个数字1、2、3，第四个面写了三个数字1，2，3，随机抛掷一次，事件表示向下的面上有数字1，事件表示向下的面上有数字2，事件表示向下的面上有数字3，则（    ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件互斥 D．事件与事件相互独立 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若复数，则下列结论正确的是（   ） A．z的虚部为 B．z的共轭复数为 C． D． 10．某省开展慈善文化进机关、进企业、进乡村、进社区、进家庭活动，通过讲座、公益市集、志愿服务等形式，重点帮扶特殊困难群体.现有，，共3场慈善知识竞赛和慰问活动需要安排志愿者，小林从右图中四张同样大小的卡片中随机抽取一张，卡片上的字母代表小林参加的活动场次，例如抽到写有字母的卡片代表小林参加场活动，若抽到写有3个字母的卡片代表小林参加3场活动，则（     ） A．“小林参加场活动”与“小林参加场活动”互斥 B．“小林参加场活动”与“小林参加场活动”相互独立 C．“小林不参加场活动”与“小林不参加场活动”相互独立 D．“小林不参加场活动”与“小林参加场或场活动”相互独立 11．在直四棱柱中，四边形是菱形，，则（    ） A．四棱柱的体积为162 B．四棱柱的表面积为 C．点到平面的距离为 D．直线与所成角的余弦值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12．数据：1，2，3，3，5的第50百分位数是______． 13．两名射击运动员在10次测试中的成绩分别如下（单位：环）： 甲 8 9 10 9 7 9 9 10 9 10 乙 9 10 8 10 9 9 10 9 6 10 则甲的样本方差______乙的样本方差，可以估计______运动员的成绩更加稳定．（前面一空选填“大于”或“小于”，后面一空选填“甲”或“乙”） 14．如图圆锥内的球与圆锥的侧面与底面都相切，且球的半径为，则圆锥侧面积的最小值为________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．(13分)如图，在正四棱柱中，，，是的中点． (1)求证：平面； (2)证明：平面． 16．(15分)某校进行“AI知识”讲座，讲座之后对所有参加学习的学生进行学习效果测评，通过简单随机抽样，获得了100名学生的测评成绩作为样本数据，分成，，，，，六组，整理得到如下频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图求a的值，并估计众数和中位数； (2)在抽取的100名学生中，选取2名测评成绩在的学生作为座谈代表，求这两名学生的测评成绩恰好在同一组的概率. 17．(15分)已知分别为三个内角的对边，且 (1)求；(2)若，且△ABC的面积为，求. 18．(17分)某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案． 方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过； 方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过． 假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是，，，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．求：(1)该应聘者用方案一考试通过的概率；(2)该应聘者用方案二考试通过的概率． 19．(17分)如图，在直三棱柱中，D，E分别为棱，上一点，，，延长交于点F，且，，． (1)求的值； (2)求与平面所成角的正弦值； (3)求四棱锥与直三棱柱公共部分的体积． 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $