湖南省长沙市2025-2026学年高一下学期期末数学自编模拟试卷（一）

**基本信息** 以Sora培训利润计算、频率分布直方图分析等真实情境为载体，综合考查立体几何证明、解三角形等核心知识，梯度设计合理，适配高一期末数学素养评估。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|充分条件、复数运算、立体几何位置关系|基础概念辨析，如第4题线面平行条件判断| |多选题|3/18|随机事件独立性、正三棱柱性质|多角度考查，如第11题结合空间距离与面面垂直| |填空题|3/15|分位数、方差计算、圆锥内切正方体体积|数据处理与空间想象，如第14题几何体体积最值| |解答题|5/77|统计图表应用、立体几何证明与距离、概率应用、解三角形综合|情境化与综合性，如17题Sora培训概率与利润决策，19题向量与解三角形结合|

《湖南省长沙市2025-2026学年下学期期末高一数学测试模拟试卷（一）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A A C B A C A AC BC 题号 11 答案 ACD 1．A 【分析】根据充分、必要条件的知识进行分析，从而确定正确答案. 【详解】当时，； 当时，可能为； 所以“”是"的充分不必要条件. 故选：A 2．A 【详解】. 【点睛】 3．A 【分析】利用空间向量加减运算与数乘运算的几何表示即可得解. 【详解】根据题意， . 故选：A 4．C 【分析】根据题意，由空间中线面关系以及线面平行的判定定理逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A，由可得或，故A错误； 对于B，由可得或，故B错误； 对于C，由可得，故C正确； 对于D，由可得相交或，故D错误； 故选：C 5．B 【详解】，， ， 由正弦定理得：， ． 6．A 【分析】本题考查向量模的几何意义，先建立平面直角坐标系，有两种方法可以解决本问题，方法一几何法：不妨假设单位向量方向与轴正方向同向，利用非零向量与的夹角为构造出向量，由于，根据向量减法以及向量数量积的几何意义知的终点运动轨迹，最后再表示出，求解的最小值；方法二代数法：不妨假设单位向量方向与轴正方向同向，假设，利用非零向量与的夹角为，且，找出的关系，最后把用表示出来求解最小值. 【详解】法一：如图，，， 设的起点为原点，终点为的起点为原点，则， 由题意得的终点在射线或射线上，不妨假设的起点为原点，终点为点, 那么， 所以，, 根据向量减法以及向量数量积的几何意义知的终点的运动轨迹是以线段为直径的圆， 所以的最小值为圆心到射线或射线的距离减去半径1，即. 法二：设， 由，得，则， 所以. 由，得， 即， 所以，点在以为圆心，半径为1的圆上运动 即圆上的点到直线的距离， 所以的最小值即为圆心到直线的距离减去半径1， 即. 7．C 【分析】先应用正弦定理结合余弦定理化简得出为锐角，再分当和时，计算求解判断三角形形状. 【详解】由正弦定理得，得，得，且为锐角. 由，得，得. 当时，由，得，得，得. 当时，，由，得，得. 综上，的形状是钝角三角形. 8．A 【分析】根据全概率公式及条件概率公式，结合第三次取出的球为白球的概率列出关于的方程，求出的值，再根据条件概率公式求解即可. 【详解】设“取出第个袋子”为事件，“从袋子中连续取出三个球，第三次取出的球为白球”为事件， 则，且两两互斥，， ，， 所以， 所以 . 令，解得. 所以第1个袋子：1红4白；第2个袋子：2红3白； 第3个袋子：3红2白；第4个袋子：4红1白； 第5个袋子：5红. 设前两次取出白球为事件，第三次取出白球为事件，则. . . 所以. 故在前两次取出的球是白球的条件下，第三次取出的球是白球的概率是. 9．AC 【详解】因为，所以，故A正确； 复数的共轭复数为，故B错误； 为实数，故C正确； 在复平面内对应的点为，位于第四象限，故D错误. 10．BC 【分析】由题设结合独立事件、互斥事件的定义、概率公式与性质逐项判断即可. 【详解】选项A：因为，所以，与不可能为互斥事件，A说法错误； 选项B：因为，所以若，则与相互独立，B说法正确； 选项C：若，则，C说法正确； 选项D：若与相互独立，则与也相互独立，证明如下： 因为与互斥，且， 所以， 所以，即与也相互独立， 所以， 因为，所以， 代入得，D说法错误； 故选：BC 11．ACD 【分析】A.通过线面垂直证明线线垂直；B.等体积法求点到面的距离；C.通过面面垂直的判定定理证明；D.逐个分析棱与球面的交点. 【详解】连接交于点，因为侧面是正方形，所以是和的中点， 又是中点，故是的中位线，因此且 正三棱柱中底面，底面，故, 又，且，平面， 因此平面,平面，所以, 在矩形中，由勾股定理得：， ，， ， 故为直角三角形，，即, 因为，且平面，所以平面, 又平面，故, 又，得， 所以A正确； 由平面，知是三棱锥的高，， 底面是直角三角形，面积， 因此； 由勾股定理得，，又， 由余弦定理：，故， 因此 设点到平面的距离为，则， 联立体积相等：，解得，所以B错误； 由题意得，，，，，， 则，，， 所以，则， 因为在正三棱柱中，平面，平面，所以， 又为棱的中点，所以，又，平面， 所以， 又，平面，所以平面，又平面， 所以平面平面，所以 C正确； 球面是以M为球心，半径为2的球， 侧棱：在上，，，线段上所有点到的距离均小于 2，无交点； 侧棱：到的距离等于（矩形对边相等），恰好等于球半径，垂足在线段上，1 个交点； 侧棱：同理，到的距离等于，垂足在线段上，1 个交点； 底面棱：到的距离，到的距离，线段上有且仅有 1 个点到的距离为 2，1 个交点； 底面棱：到的距离，到的距离，线段上有且仅有 1 个点到的距离为 2，1 个交点； 底面棱：到的距离均为，但到的最小距离，故线段上有 2 个点到的距离为 2，2 个交点； 顶面棱：到的距离，到的距离，线段上有且仅有 1 个点到的距离为 2，1 个交点； 顶面棱：到的距离，到的距离，线段上有且仅有 1 个点到的距离为 2，1 个交点； 顶面棱：到的最小距离，线段上所有点到的距离均大于 2，无交点； 总计交点数：个，所以 D正确. 12．102 【分析】将所给数据按从小到大的顺序排列，根据百分位数的定义求解. 【详解】样本数据从小到大排列为：96，98，99，100，102，105. 因为，所以70%分位数为第5个数，即102. 故答案为：102. 13．54.55 【分析】利用均值公式求得全体学生身高均值，应用方差公式及原男女生的身高方差求全体学生的身高方差. 【详解】由题意，全体学生的身高均值为， 若表示男生数据，表示女生数据， 所以，， 则全体学生的身高方差为 . 故答案为： 14．/ 【分析】根据给定条件求出圆锥的内切球半径，再求出此球的内接正方体的棱长即可作答. 【详解】正方体木块可以在一个圆锥形容器内任意转动，则当正方体棱长a最大时，正方体的外接球恰为圆锥的内切球， 设圆锥的母线长为，底面半径为，则， 所以 如图圆锥轴截面为等边三角形，其内切圆O是该圆锥的内切球O大圆截面，   的高，则内切圆O的半径即球半径， 于是得球O的内接正方体棱长a满足：，解得：， 所以的最大值为. 故答案为：. 15．(1)(2)(3)92分； 【分析】（1）根据频率分布直方图中各组的频率之和为1，即可求解； （2）根据分层抽样确定两组抽取的人数，再根据古典概型的概率公式，即可求解； （3）先求出第80%分位数，即可确定答案. 【详解】（1）根据题意可得，解得； （2）因为，两组的频率之比为， 所以在，两组中分别抽人，人， 所以再从这5人中随机挑出两人进行卷面问题分析， 则两人中至少有一人成绩来自的概率为； （3）因为各组的频率依次为0.1，0.15，0.2，0.3，0.25， 故第80%分位数位于内， 所以第80%分位数为； 所以拟将排在前20%的学生成绩，定为优胜成绩，则估计优胜成绩的分数线为92分； 16．(1)证明见解析(2) 【分析】（1）连接DE，推导四边形BEDF是平行四边形，从而得到，再得到，从而平面BFG，平面BFG，进而得到平面平面BFG，因此得证平面； （2）根据平行线的性质，利用等积法进行求解即可. 【详解】（1）连接， ∵是正方形，，分别是棱，的中点， ∴，， ∴四边形是平行四边形，∴， ∵是的中点，∴， ∵平面，平面， ∴平面，平面， ∵，直线平面， ∴平面平面，∵平面， ∴平面．    （2）设点到平面的距离为， 因为分别是的中点， 所以， 因为底面， 所以底面，因为底面， 所以， 因为底面为正方形，，分别是的中点 所以，，     因为， 所以， . 17．(1)(2)23 【分析】（1）利用独立事件的乘法公式计算可得结果； （2）设视频部调人至其他部门，，由二项分布可知培训后视频部门能应用Sora的人数，求出期望值再根据利润大小解不等式可求得结果. 【详解】（1）根据题意员工经过培训能应用Sora，即有两轮及以上获得“优秀”， 其概率为； 因此员工经过培训能应用Sora的概率为； （2）设视频部调人至其他部门，， 为培训后视频部门能应用Sora的人数， 则，则， 调整后视频部门的年利润为； 令，解得， 因为，所以， 因此视频部最多可以调23人到其他部门. 18．(1)在直三棱柱中，平面，由平面，得， 由为的中点，，得，又，平面， 所以平面 (2)①；②. 【分析】（1）利用线面垂直的性质、判定推理得证. （2）①建立空间直角坐标系，利用面面角的法向量列式求出，再利用线面角的向量法求解；②利用三棱锥体积求出点到平面的距离，再由向量法求距离求出轨迹方程，进而求出轨迹长度. 【详解】（1）略 （2）①在直三棱柱中，，则直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，设， 则，， 设平面的法向量，则，取，得， 而平面的法向量，由二面角的平面角为， 得，解得，，， 设与平面所成角为，则， 所以与平面所成角的正弦值为. ②由（1）得，则， 由三棱锥的体积为，得到平面的距离为， 由点在侧面上，设，则， 因此到平面的距离为， 点轨迹方程为，而， 则在侧面上的轨迹是线段，所以的轨迹长度为. 19．(1)(2)(3) 【分析】（1）根据向量的数量积，结合三角函数性质求解即可. （2）根据正弦定理、辅助角公式及正弦函数性质求解即可. （3）根据三角形面积公式得到，根据为中点得到，结合向量数量积的运算律得到，代入余弦公式求解即可. 【详解】（1）由题意， 又，所以． 又，所以或，所以. （2）因为，， 由正弦定理得：，则，． 易知， 所以． 因为为锐角三角形，所以，解得． 所以，所以，则． 所以的取值范围是． （3）由题意知，，所以． 因为为中点，所以， 两边平方得：， 代入并整理：， 由余弦定理：， 所以． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省长沙市2025-2026学年下学期期末高一数学测试模拟试卷（一） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．“”是"的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．计算：（     ） A． B． C．1 D．0 3．如图，在空间四边形中，，，，且，，则等于（    ） A． B． C． D． 4．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 5．在中，角A，B，C的对边分别为，则（   ） A． B．2 C． D． 6．已知为平面向量，为单位向量.若非零向量与的夹角为，且，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 7．已知的内角的对边分别为的外接圆半径为，且，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定的 8．现有个相同的袋子，里面均装有个除颜色外其他无区别的小球，第个袋中有个红球，个白球.现将这些袋子混合后，任选其中一个袋子，并且从中连续取出三个球（每个球取后不放回），若第三次取出的球为白球的概率是，则在前两次取出的球是白球的条件下，第三次取出的球是白球的概率是（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若复数，则下列选项正确的有（    ） A． B．的共轭复数为 C．为实数 D．在复平面内对应的点位于第二象限 10．已知是随机事件，且，则下列说法正确的有（    ） A．与可能为互斥事件 B．若，则与相互独立 C．若，则 D．若与相互独立，则 11．已知正三棱柱的棱长均为2，为棱上靠近点的四等分点，为棱的中点，则（    ） A．直线直线 B．点到平面的距离为 C．平面平面 D．以为球心，2为半径的球面与该棱柱的棱公共点的个数为8 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12．样本数据：100，99，102，105，98，96的70%分位数为____________. 13．某班共有40名学生，其中22名男生的身高平均数为173cm，方差为28；18名女生的身高平均数为163cm，方差为32；则该班级全体学生的身高方差为______. 14．已知圆锥的底面半径为，侧面积是，在其内部有一个正方体可以任意转动，则正方体的体积的最大值是__________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．(13分)某校高一年级对一个教学单元进行阶段测试，满分为100分．现通过简单随机抽样，从中抽取100名学生的成绩作为样本进行质量分析，进行适当分组后，画出如下图所示的频率分布直方图． (1)请根据频率分布直方图，求出图中t的值； (2)在按比例分配分层随机抽样中，从成绩在内的学生中抽取5人，再从这5人中随机挑出两人进行卷面问题分析，求两人中至少有一人成绩来自的概率； (3)在本次测试中，拟将排在前20%的学生成绩，定为优胜成绩，试估计优胜成绩的分数线． 16．(15分)如图，在四棱锥中，底面，且底面为正方形，分别是的中点．    (1)证明：平面； (2)若，求点到平面的距离． 17．(15分)人工智能中的文生视频模型Sora(以下简称Sora)，能够根据用户的文本提示创建最长60秒的逼真视频.某公司视频部现有员工100人，公司拟开展Sora培训，分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到优秀”的概率分别为.每轮相互独立，有两轮及以上获得“优秀”的员工才能应用Sora. (1)求员工经过培训能应用Sora的概率 (2)已知开展Sora培训前员工每人每年平均为公司创造利润6万元：开展Sora培训后，能应用Sora的员工每人每年平均为公司创造利润10万元：Sora培训平均每人每年成本为1万元.根据公司发展需要，计划先将视频部的部分员工随机调至其他部门，然后对剩余员工开展Sora培训，现要求培训后视频部的年利润不低于员工调整前的年利润，则视频部最多可以调多少人到其他部门? 18．(17分)如图，在直三棱柱中，为的中点，，且． (1)证明：平面； (2)若，二面角的平面角为． ①求与平面所成角的正弦值； ②点在面内，且三棱锥的体积为，求点轨迹的长度． 19．(17分)在中，角，，的对边分别为，，，已知向量，，且． (1)求角的大小； (2)若为锐角三角形，，求的取值范围； (3)设的面积为，边上的中线长为2，求的长． 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $