重庆市2025-2026学年八年级下学期期末数学自编模拟试卷三

**基本信息** 重庆市八年级下期末模拟卷，以世界杯、劳动教育等真实情境为载体，通过滑轮实验、利润计算等综合题，考查二次根式、勾股定理、统计、四边形、一次函数等核心知识，体现数学眼光、思维与语言的素养融合。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/40|最简二次根式、勾股数、箱线图分析等|结合世界杯知识竞赛考统计图表，培养数据意识| |填空题|6/24|二次根式意义、方差、一次函数性质等|设计“方佳数”新定义题，提升抽象能力| |解答题|9/86|勾股定理应用、菱形证明、利润函数等|滑轮实验题融合物理情境，考查模型观念；劳动竞赛统计题培养数据分析能力|

重庆市2025-2026学年八年级下期末自编模拟三 学校:___________姓名：___________班级：___________分数：___________ 一、单选题（共40分） 1．（本题4分）下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．（本题4分）下列四组数中，是勾股数的是（    ） A．3，4，5 B．，， C．6，8，15 D．5，10，13 3．（本题4分）某校为普及世界杯知识，举办了“激情世界杯・热血足球梦”知识竞赛．已知甲组和乙组人数相等，两班竞赛成绩的箱线图如图，则下列说法正确的是（   ） A．乙组成绩比甲组成绩集中 B．甲组成绩的上四分位数是70分 C．乙组有同学的成绩超过96分 D．乙组的中位数是80分 4．（本题4分）下列命题是真命题的是（   ） A．有一个角是直角的四边形是矩形 B．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．有一组邻边相等的矩形是正方形 5．（本题4分）勾股定理是一种用代数思想解决几何问题的重要工具.如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直.设绳索的长是，可列方程为（   ） A． B． C． D． 6．（本题4分）估计的值应在（     ） A．5和6之间 B．4和5之间 C．3和4之间 D．2和3之间 7．（本题4分）如图，在四边形中，，，连接，M为的中点，连接．若的面积为，则的长为（   ） A．12 B． C． D．16 8．（本题4分）将一次函数的图象向下平移2个单位后，下列对得到的新图象描述正确的是（   ） A．y随x的增大而减小 B．图象与直线平行 C．点在函数图象上 D．图象经过第一、二、三象限 9．（本题4分）如图，在正方形中，为边中点，为边上任意一点，且，连接、相交于点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 10．（本题4分）已知整式：，其中为自然数，n，，，…，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的所有整式中有且仅有1个单项式； ②当时，满足条件的所有整式的和为； ③满足条件的所有二次三项式中，当取任意实数时，其值一定是非负数的整式共5个． 其中正确的个数是（     ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题（共24分） 11．（本题4分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是________． 12．（本题4分）甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数都是环，方差分别为，则射击成绩最稳定的是___________． 13．（本题4分）一次函数和的图象如图所示，则关于的一元一次不等式的解集是______． 14．（本题4分）一次函数的图象经过第一、三、四象限，则的取值范围是________． 15．（本题4分）如图，是将矩形沿着折叠得到的，点B的对应点为，交于点O，若，，则_____________；点O到直线的距离为_____________． 16．（本题4分）如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“方佳数”．例如：四位数4385，因为，所以4385是“方佳数”；四位数4238，因为，所以4238不是“方佳数”．若是“方佳数”，则这个数最大是_________；若四位自然数是“方佳数”，将“方佳数”的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调，得到新数，若能被33整除，则满足条件的的最小值_________． 三、解答题（共86分） 17．（本题8分）计算： (1) (2) 18．（本题8分）先化简，再求值：，其中． 19．（本题10分）科学课上，科技小组进行了一个关于滑轮的物理实验．获得如下信息： 素材1 将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，可通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降． 素材2 实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上位置，滑块B在直轨道上位置，物体C到滑块B的水平距离是，物体C到定滑轮A的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计．） 问题解决 任务1 求绳子的总长度．（即的长度） 任务2 如图2所示，滑块B从位置向左移动，当绳子与地面的夹角等于时，物体C升高了多少？ 任务3 如图3所示，滑块B从位置向左移动，当物体C升高，求滑块B向左滑动的距离． 20．（本题10分）在学习了特殊四边形的相关知识后，小明进行了拓展性研究： 如图，在四边形中，． (1)尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：作的角平分线，交于点E；过点C作的垂线，垂足为O，交直线于点F，连接． (2)补全证明： 求证：四边形是菱形． 证明：， ， 平分， ， ∴① ， ， ， ， 在和中， ， ， ∴② ， ∴四边形是平行四边形， 又∵③ ， ∴平行四边形是菱形． 21．（本题10分）“寓教于劳，育才于勤”，劳动教育是德智体美教育实践的基本途径．某校为了增强学生对劳动教育的认识开展劳动实践知识竞赛，现从七年级和八年级参与竞赛的学生中各随机抽取10名的成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息． 七年级10名学生的成绩是：92，80，76，93，80，74，80，68，83，94． 八年级10名学生的成绩在C组中的数据是：82，83，84． 八年级抽取的学生成绩扇形统计图 七年级、八年级抽取的学生比赛成绩统计表 组别 七年级 八年级 平均数 82 82 中位数 80 m 众数 b 78 (1)上述图表中　，　　，　　； (2)根据以上数据，你认为哪个年级的成绩较好些？请说明理由（一条理由即可）； (3)该校七、八年级共有1200名学生参加的竞赛，请估计七八年级中成绩等级为D的共有多少人？ 22．（本题10分）2022卡塔尔世界杯期间，某网店看准商机，从工厂购进A、B两款吉祥物“拉伊卜”纪念品售卖，进货价和销售价如下表：（注：利润销售价进货价） 类别价格 A款 B款 进货价（元／件） 30 25 销售价（元／件） 45 37 (1)网店第一次用8500元购进A、B两款纪念品共300件，求两款纪念品分别购进的件数； (2)第一次购进的两款纪念品售完后，该网店计划再次购进A、B两款纪念品共800件（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于22000元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？ 23．（本题10分）如图，在矩形中，．动点P从点A出发，沿折线运动（运动路线不包含点A、点C），当它到点C时停止，设点P运动的路程为x，连接．设的面积为y．    (1)求出y与x的函数关系式，并注明x的取值范围，在x的取值范围内画出该函数图象； (2)根据函数图象，写出该函数的一条性质； (3)若直线与该函数图象有两个交点，直接写出k的取值范围． 24．（本题10分）如图1，在平面直角坐标系中直线：交坐标轴于A、B两点，直线：过点B交y轴于点C，且． (1)求直线的解析式； (2)点H为线段上一动点，连接，且，点P，Q为y轴上的两个动点，点P在点Q的上方，且，G为线段的中点，连接，，求最小值； (3)如图2，在（2）的条件下，将直线沿着水平方向向右平移2个单位长度得到直线，交直线于点E，交y轴于点F，点M为上一动点，连接，当时，请直接写出点M的坐标，并写出其中一种情况的求解过程． 25．（本题10分）已知，在正方形中，点为对角线上的一点，过点作，且，连接，，延长交于，交于． (1)求证：； (2)如图2，连接DE，若为的平分线，求证：； (3)在第（2）问的条件下，在上取一点，使得，连接，，当时，请直接写出四边形面积的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市2025-2026学年八年级下期末自编模拟三参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A A D D A D B D D 1．B 【分析】根据最简二次根式的定义判断，最简二次根式需满足两个条件，被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断选项即可得到答案． 【详解】解：∵ ，被开方数含能开得尽方的因数， ∴A不是最简二次根式； ∵满足最简二次根式的两个条件， ∴B是最简二次根式； ∵ 的被开方数含分母， ∴C不是最简二次根式； ∵ ，被开方数含分母， ∴D不是最简二次根式； 2．A 【分析】先明确勾股数的定义，勾股数需要同时满足两个条件，一是三个数都为正整数，二是两个较小数的平方和等于最大数的平方，据此对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A．，且都是正整数，A是勾股数． B．，，都不是正整数，不符合勾股数定义，排除． C．，，，C不是勾股数，排除． D．，，，D不是勾股数，排除． 3．A 【分析】本题主要考查了箱线图，解题的关键是掌握箱线图的定义． 根据箱线图数据，逐项进行判断即可． 【详解】解：A.由箱线图可得，乙组成绩比甲组成绩集中，该选项正确，符合题意； B. 由箱线图可得，甲组成绩的上四分位数是96分，该选项错误，不符合题意； C. 由箱线图可得， 乙组同学的成绩最高为96分，该选项错误，不符合题意； D. 由箱线图可得， 乙组的中位数是90分，该选项错误，不符合题意； 故选：A． 4．D 【分析】根据矩形、平行四边形、菱形、正方形的判定定理，逐一判断各选项即可得出答案． 【详解】解：A选项、有三个角是直角的四边形才是矩形，仅有一个角是直角的四边形不一定是矩形，故A选项是假命题； B选项、一组对边平行另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，故B选项是假命题； C选项、对角线互相垂直平分的平行四边形才是菱形，仅对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故C选项是假命题； D选项、矩形四个角都是直角，若一组邻边相等，则四条边都相等，因此有一组邻边相等的矩形是正方形，故D选项是真命题． 5．D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由题意可知，，，，设，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：由题意可知，，，， ∴ 设，则， 由勾股定理得：， ∴， 故选：D． 6．A 【分析】先利用二次根式乘法运算法则化简原式，再估算无理数的取值范围，即可得到原式的大小范围． 【详解】解：， ， ， ， ， 即的值在和之间． 7．D 【分析】由直角三角形斜边中线性质可得，利用外角性质推出，通过作高构造含角的直角三角形，利用面积公式建立方程求解，进而求得． 【详解】解：∵，为的中点， ，， ， ，， ，， ， ， ， 过点作于，如图 ，， ，， 设，则， 在中，， ∴， ， ， ， 解得（负值舍去）， ． 8．B 【分析】本题考查了函数的平移，一次函数的性质，熟练掌握一次函数的图象的平移和性质是解题的关键．先根据“上加下减”求出新的函数解析式，再根据一次函数的性质逐一判断即可． 【详解】解：将一次函数的图象向下平移2个单位后，新的函数解析式为， A、因为，则y随x的增大而增大，故该选项不符合题意； B、因为，所以图象与直线平行，故该选项符合题意；； C、当时，，因此点不在函数图象上，故该选项不符合题意； D、因为，，所以函数图象经过第一、三、四象限，故该选项不符合题意； 故选：B． 9．D 【分析】过点作于，先证和全等，得，进而可证，设，则，由勾股定理得，由三角形的面积公式可得，进而可求出，然后证和全等，得，进而得，由此得，据此可得，根据余角性质得出，根据三角形外角的性质得出，即可得出答案． 【详解】解：过点作于，如图所示： 四边形为正方形， ，， ∵， ∴， ∴，， 为的中点， ， ∵，， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 由三角形的面积公式得：， ， 在中，由勾股定理得：， ，， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， 为的垂直平分线， ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 10．D 【分析】①可通过分析单项式条件判断；②通过时列出所有符合的整式，然后计算它们的和即可验证；③通过时列出所有的二次三项式，得出非负数的整式的个数，即可求解． 【详解】解：①∵为自然数，n，，，…，为正整数， ∴当时，则有，即， ∴当，时，整式A为，当时，整式A不可能为单项式， 当时， ∵，，，为正整数， ∴整式A不可能为单项式， ∴满足条件的所有整式A有且仅有1个单项式，故①正确； ②当时，，即， 当时，， ∴的解为，，， ∴对应的整式A为，，， 当时，， ∴的解为， ∴对应的整式A为， ∵，，均为正整数， ∴， 而当时，，与，，…，为正整数矛盾，故不存在， ∴满足条件的所有整式A的和为，故②正确； ③∵多项式为二次三项式， ∴， ∴且， 当时，， ∴的解为，，， ∴对应的整式A为，，， ∵， ，不一定是非负数， ， ∴，两种都满足条件， 当时，， ∴的解为，， ∴对应的整式A为，， ∵，， ∴，都满足条件， 当时，， ∴的解为， ∴对应的整式A为， ∵， ∴满足条件， 当时，不存在符合条件的整式， 综上，当x取任意实数时，其值一定是非负数的整式A共有5个，故③正确， ∴正确的个数是3个． 11． 【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解． 【详解】解：根据意义可知：，且， 解得且， ∴． 12．丙 【分析】本题主要考查了方差的意义，要判断谁的射击成绩最稳定，根据方差的意义，比较四人成绩的方差大小，方差最小的成绩最稳定． 【详解】解：∵ ， ， ， ，且， ∴ 丙的方差最小，射击成绩最稳定． 故答案为：丙． 13． 【分析】根据函数图象即可确定不等式的解集． 【详解】解：由图可知，一次函数和的图象的交点横坐标为， 关于的一元一次不等式的解集是， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查根据一次函数经过的象限求参数的范围，求不等式组的解集，根据一次函数的图象过第一、三、四象限，得到，求不等式组的解集即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、三、四象限， ∴，解得； 故答案为：． 15． 【分析】根据矩形的性质得到，，由折叠的性质得到，，，，推导出，得到，求出的长，在中利用勾股定理求出的长即为的长；在中利用勾股定理求出的长，过点作于点，利用三角形面积公式求出的长即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， 由折叠的性质得，， ∴，，，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴； 在中，， 过点作于点， ∵，且， ∴， ∴点到直线的距离为． 16． 【分析】本题考查了新定义下的实数运算、一元一次方程的应用等知识点，理解新定义、正确推理计算是解题关键． 根据“方佳数”的定义可得，即，再确定的最大值及的值即可解答；设这个四位数，则，再结合“方佳数”的定义，得出， 再由能被整除可知 是整数，得到满足条件的的值为，进而得出满足条件的等式，即可得到的最小值． 【详解】解： 是“方佳数”， 即 ， ∴当 时，有最大值， ∴这个数最小是； 设这个四位数则 ， ∵四位数是“方佳数”， ， ， 能被整除， 是整数， 是整数且 ∴满足条件的的值为， ， ∵要求的最小值，则， ∴满足条件的的最小值是， 故答案为： ；． 17．(1) (2) 【分析】（1）根据二次根式的混合运算法则，进行计算，即可； （2）先根据二次根式的除法运算，再根据完全平方公式，平方差公式进行计算，最后根据二次根式的加减运算，进行计算，即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18． 化简结果为，值为 【详解】 解： ，且时分式有意义 当时，原式． 19．任务：绳子的总长度为；任务：物体升高了；任务：滑块向左滑动的距离为． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，直角三角形的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 任务：通过勾股定理求出长即可； 任务：由直角三角形性质可得，所以，然后通过线段和差即可求解； 任务：由物体升高，即，所以，则，然后通过勾股定理求出即可． 【详解】解：任务：∵， ∴， ∴绳子的总长度为； 任务：∵，， ∴， ∴， ∴物体升高了； 任务：∵物体升高， ∴； ∴， ∴， ∴， ∴滑块向左滑动的距离为． 20．(1)如图所示，即为的平分线，，的延长线交于点F； (2) ①；②；③． 【分析】（1）根据尺规作角平分线，尺规作垂线的方法作图即可； （2）根据平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边得到，再证明，得到，则四边形是平行四边形，结合一组邻边相等的平行四边形是菱形即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 21．(1)40；80；83.5 (2)七年级的成绩较好，理由见解析 (3)420人 【分析】（1）先计算八年级成绩在C组的占比，进而可得的值，根据众数、中位数的概念求； （2）根据平均数、中位数、众数判断即可； （3）利用样本估计总体即可． 【详解】（1）解：八年级10名学生的成绩在C组中的数据有3个， 占，故成绩在D组的数据占， ； 七年级10名学生的成绩中，出现次数最多的是80，则； 八年级10名学生成绩的中位数为从小到大第5、6位的平均值，则； （2）解：七年级的成绩较好，理由如下： 七年级的众数80大于八年级的众数78， 七年级学生对劳动知识的掌握情况更好； （3）解：人， 答：估计七八年级中成绩等级为D的共有420人． 22．(1)购进A、B两款纪念品分别为200件和100件 (2)当购进A款纪念品400件，B款纪念品400件时，利润最大为10800元 【分析】（1）设购进A、B两款纪念品分别为件和件，根据题意，列出方程组进行求解即可； （2）设购进A款纪念品件，则购进B款纪念品件，总利润为，根据题意，列出不等式求出的范围，列出一次函数解析式，求最值即可. 【详解】（1）解：设购进A、B两款纪念品分别为件和件， 由题意，得：， 解得， 答：购进A、B两款纪念品分别为200件和100件； （2）解：设购进A款纪念品件，则购进B款纪念品件， 由题意，得， 解得， 设总利润为，则， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当取最大值时，最大为元， 此时B款数量为件； 答：当购进A款纪念品400件，B款纪念品400件时，利润最大为10800元． 23．(1)，见解析 (2)见解析，（合理即可） (3) 【分析】（1）由题意知，当时，，则；当时，，则；然后作图象即可； （2）根据图象作答即可； （3）当时，，即为过的直线，如图3，将代入，可求；将代入，可求；结合图象进而可得取值范围． 【详解】（1）解：由题意知，当时，， ∴； 当时，， ∴； ∴； 作图如图2；    （2）解：由图象可知，当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小； （3）解：当时，， ∴为过的直线， 如图3，    将代入得，， 解得，； 将代入得，， 解得，； 由图象可知，当时，直线与该函数图象有两个交点． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，一次函数解析式，一次函数的图象与性质，两直线交点．熟练掌握一次函数的图象与性质并数形结合是解题的关键． 24．(1) (2) (3)，；求解过程见解析 【分析】本题考查了一次函数的图像与性质，一次函数解析式的求解，一次函数的图像平移，熟练掌握一次函数函数的性质是解决本题的关键． （1）先由直线：求出A、B两点的坐标，再根据可求解C点的坐标，将B、C两点代入即可求解； （2）构造辅助线，利用面积求解点H的坐标，当点，Q，G三点共线时，即可求得最小值； （3）先求解出直线的解析式，再根据点M在点E的右侧即可求解． 【详解】（1）解：∵直线：交坐标轴于A、B两点， 令，解得，即， 令，即，解得，即， ∵， ∴， ∵直线：过点B交y轴于点C， ∴，解得， ∴直线的解析式为：； （2）解：过点H作y轴平行线交直线BC于点K，如图， 设H点得坐标为，则K点坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴H点的坐标为， 将点H沿着y轴向下平移个单位得到点， 作点关于y轴的对称点，连接，， ∴点的坐标为， 由题意知点G坐标为， ∴， 当点，Q，G三点共线时取等号， ∴的最小值为，当点，Q，G三点共线时取得最小值． （3）解：， 由题意知：直线的解析式为：， 当点M在点E的右侧时， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴直线的解析式为：， 令：，得：， 解得， ∴． 25．(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的判定定理，等腰直角三角形的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理解直角三角形，同高三角形的面积与底的关系等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． （1）根据正方形的性质和垂直的性质，证出，依据全等三角形的性质得出相等的角，利用两个锐角互余的三角形是直角三角形即可得出垂直； （2）连接，交于点，根据正方形的性质和垂直的性质，得出为等腰直角三角形，根据三线合一，得出，再利用角平分线的性质和等量代换可得结论； （3）利用（2）中的结论，逐个求出线段的长度，求出相关三角形的面积，利用同高三角形面积比等于底的比，求出所需要的三角形面积，最后利用切割法求出四个三角形的面积之和即为四边形的面积． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，连接，交于点， 由（1）中正方形的性质和垂直的性质得出， 为等腰直角三角形，且， 根据三线合一得，，且， 又∵为的平分线， ， 又， ， ∴； （3）解：如图所示， 由（2）可得为等腰直角三角形， ∴由勾股定理得 ∴， ∴，，， ∴， ∴， ， ， ， ∵， ， ， ， ∴， ， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $