湖南张家界市2025-2026学年高一下学期期末考试数学自编试卷（人教A版）

**基本信息** 高一下期末数学自编卷，以“鳖臑”文化情境、立体几何动态探究、统计实际应用为载体，考查数学眼光（空间观念）、数学思维（推理能力）、数学语言（模型意识），适配高一学段核心知识综合检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|复数（题1）、概率（题2）、三角函数（题3）、立体几何（题5）|题5结合《九章算术》“鳖臑”，渗透文化传承| |填空题|3/15|复数运算（题12）、托勒密定理应用（题13）、正四棱台（题14）|题13以古希腊数学定理为背景，体现数学史价值| |解答题|5/77|向量（题15）、立体几何证明（题16）、统计（题17）、解三角形（题18）、函数图像（题19）|题17通过频率分布直方图考查数据分析，题18综合几何证明与三角运算，体现跨模块整合|

湖南省张家界市2025-2026学年高一下学期期末考试自编试卷 数学试题（解析版） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C D C C A B C BD ABD 题号 11 答案 ACD 1．A 【分析】根据共轭复数的定义及复数虚部的定义求解. 【详解】已知复数，则, 所以的虚部为3 . 2．C 【分析】利用列举法列出所有可能结果，再由古典概型的概率公式计算可得. 【详解】掷出两枚骰子，设得到向上的点数分别为，， 则基本事件总数为，，，，，， ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，，共36种情况， 其中点数和为的有、、、共种情况， 所以点数和为的概率. 故选：C 3．D 【分析】由角终边经过的点坐标即可求得，进而可求的值. 【详解】因为角的终边经过点， 则，， 则 故选：D. 4．C 【分析】由指数函数的单调性以及判断的范围，即可得解. 【详解】由的图象可知， 由知， 所以函数的两个零点分别在和上，且开口向上. 故选：C. 5．C 【详解】设，则，，，要使三棱锥恰好是一个“鳖臑”， 则有，，由，，可得二面角的平面角 为，在中，． 6．A 【详解】如图所示，取的中点，连接，．   ，， 为二面角的平面角， 根据已知条件可得，，． 在中，由余弦定理， ， ． 7．B 【分析】将所给的三角函数式展开变形，然后再逆用两角和的正弦公式即可求得三角函数式的值. 【详解】由题意可得：， 则：，， 从而有：， 即. 故选：B. 【点睛】本题主要考查两角和与差的正余弦公式及其应用，属于中等题. 8．C 【分析】取CD的中点E，连接BE，过点A作，垂足为H，可求得P在以H为圆心，为半径的圆上，进而计算即可得答案. 【详解】如图1，取CD的中点E，连接BE，过点A作，垂足为H，由， 知，所以，又， 所以，所以点P在以H为圆心，为半径的圆上. 如图2，由，得， 解得（结合图形舍去），所以四边形BGHF是菱形，， 所以点P的轨迹的长度为. 故选：C. 9．BD 【分析】根据给定条件，求出，再逐项计算、判断作答. 【详解】因为，因此不妨令方程的复数解， 对于A，，A错误； 对于B，与互为共轭复数，B正确； 对于C，，由，得， 则复数z在复平面内对应的点在第四象限，C错误； 对于D，设，由，得，显然有，由选项A知， 因此，当且仅当，即时取等号，D正确. 故选：BD 10．ABD 【解析】利用函数图象求出函数的解析式，可判断A选项的正误；解方程可判断B选项的正误；利用三角函数图象的平移规律可判断C选项的正误；由求出的取值范围，结合题意求出的取值范围，可判断D选项的正误. 【详解】对于A选项，由图可知， 设函数的最小正周期为，则，，，则， 由得，解得， 又，，，A正确； 对于B选项，由，得，B正确； 对于C选项，将函数的图象向左平移个单位长度， 得的图象，C错误； 对于D选项，由得， 由的图象可知，要使函数在区间上的值域为， 则，解得，D正确. 故选：ABD. 【点睛】思路点睛：根据三角函数的部分图象求函数解析式的步骤如下： （1）求、，； （2）求出函数的最小正周期，进而得出； （3）取特殊点代入函数可求得的值. 11．ACD 【分析】对A，利用面面垂直的判定定理即可判断；对B，当点为的中点时，证明面面平行，即可判断；对C，当点为线段上靠近的四等分点时，利用线线角的定义求解判断；对D，当点为线段的中点时，此时平面截正方体所得的截面为正三角形. 【详解】对于A，因为在正方体中，平面， 又平面与平面是同一个平面，平面， 所以无论点在线段（不含端点）上任何位置都有平面平面，故A正确； 对于B，当点为的中点时，有，平面，平面，所以平面， 同理，平面，且，平面， 所以平面平面，故B错误； 对于C，当点为线段上靠近的四等分点时，如图，连接， 过点作，交于，则， 又正方体中，，所以，则直线与所成角为， 又，， 所以为等边三角形，所以，故C正确； 对于D，如图，当点为线段的中点时，此时平面截正方体所得的截面为正三角形，故D正确. 故选：ACD. 12． 【分析】根据复数的乘法运算求解. 【详解】. 故答案为：. 13．/1.5 【分析】由圆内接四边形性质结合正弦定理可得到，再利用托勒密定理得，结合整理得，求得答案. 【详解】根据圆内接四边形的性质可知; , 所以， 即， 在中，,故， 由题意可知： , 则，所以， 故， 当且仅当时等号取得， 又，所以， 则 ，则实数的最小值为， 故答案为： 14． 【分析】求出正四棱台的上下底的边长以及斜高，作出二面角的平面角，求出相关线段长，利用余弦定理即可求得答案. 【详解】由正四棱台内切球半径为，可知棱台的高为， 设，则，故侧面的高即斜高为， 正四棱台侧面为等腰梯形，棱台侧面积为，故， 解得，即棱台上底长为1，下底长为2，斜高为， 设上底边中点为E，中点为F，中点为G， 连接，由于正四棱台侧面为等腰梯形，为侧面的中位线， 则；又， 故，且在正四棱台中，有， 故四边形为等腰梯形，故， 则即为二面角的平面角， 在等腰梯形中，， 则，即， 故在中，， 则在等腰梯形中，，； 设分别为的中点，则四边形为等腰梯形，， 则， 在中，， 在中，，，， 求得， 则二面角的余弦值为， 故答案为. 15．(1) (2)①；②. 【分析】（1）由可得，化简变形可求出； （2）①给两边平方化简变形可求得，②由可求出，令，则，求出，然后可求得. 【详解】（1）因为，， 所以， 所以； （2）①因为，，所以， 因为， 所以，即， 即； ②因为， 所以由得， 因为，所以， 所以， 令，则，，， 所以， ， 所以 . 16．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）设，交于点，证明即可得线面平行； （2）证明平面，即可得． 【详解】证明：（1）设，交于点. ∵四边形为菱形，∴是的中点， ∵是的中点，连接，∴， ∵平面，平面， ∴平面； （2）∵四边形为菱形， ∴， ∵底面，平面， ∴， ∵平面，平面， ， ∴平面， ∵平面， ∴平面平面. 【点睛】本题考查证明线面平行，证明面面垂直．解题方法是几何法，即应用线面平行和面面垂直的判定定理证明．空间线面间的位置关系还可用空间向量法证明． 17．(1) (2)93 (3)792 【分析】（1）有两种方法计算a的值，方法一是根据总体均值和加权平均数计算公式，直接计算出在之间的频率，进而求出a的值，方法二也是根据加权平均数计算公式，计算之间每一组的频率，求出a的值. （2）根据频率分布直方图计算总体百分位数的方法，计算第60百分位数，求出优胜成绩. （3）根据方差的计算公式，根据已有的两组样本方差和各组的频率，计算出总体的方差. 【详解】（1）解法一：设成绩在[90，150]的频率为p，则成绩在的频率为，根据题目，平均成绩， 有，解得； 则根据频率分布直方图有， 解得 解法二：根据频率分布直方图以及， 得， 解得． （2）设获得优胜奖的成绩为Y分，易计算得频率分布直方图成绩在的频率分别为0.28、0.24、0.12； 则优胜奖成绩Y位于中， 由此有，解得， 故以样本估计总体，估计获得优胜奖的成绩为93分． （3）样本方差， 代入有， 则样本的方差． 18．(1) (2)， (3)证明见解析 【分析】（1）由，得为角的角平分线，由即可求解； （2）由，利用正弦定理得，利用三角恒等变换得，利用二倍角的余弦公式得，进而得，在中，利用余弦定理解得，进而求得； （3）先证，即，同理，，最后利用基本不等式即可得证. 【详解】（1）因为，所以为角的角平分线， 因为，所以， 因为， 所以， 解得； （2）因为，， 所以，， 因为，所以， 可得， 即， 即，因为， 所以， 可得，所以， 在中，， 所以； （3）因为 ， 所以， 当且仅当时，等号成立，- 同理，当且仅当时，等号成立， ，当且仅当时，等号成立， 所以， 因为 ， 当且仅当时，等号成立， 所以， 当且仅当且时，等号成立．- 19．(1) (2) 【分析】（1）根据图象确定及的周期，从而求得，再利用特殊点坐标代入中，进而求出，即可得出的解析式； （2）将函数在区间上恰好有二个零点，转化为与在区间上恰好有二个交点，再根据正弦型函数的性质求的单调区间及对应的值域，进而利用数形结合即可求解． 【详解】（1）由，则根据图象可得， 又，解得， 所以， 又， 则，，又，得， 故． （2）由，则， 又在上单调递增，对应的值域为； 在上单调递减，对应的值域为， 又函数在区间上恰好有二个零点， 即与在区间上恰好有二个交点，如下图： 所以，即． 故实数k的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省张家界市2025-2026学年高一下学期期末考试自编试卷 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知复数，则的虚部为（　　） A． B． C． D． 2．某人一次掷出两枚骰子，点数和为的概率是（　　） A． B． C． D． 3．若角的始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（    ） A．2 B． C． D． 4．已知函数，且的图象如图所示.则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 5．我国古代数学专著《九章算术》中将四个面均为直角三角形的三棱锥称为“鳖臑”.如图1，在中，，，CD是AB边上的高，将沿直线CD折起，使点B到点P的位置，如图2，此时三棱锥恰好是一个“鳖臑”，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在三中，，二面角的余弦值为，则的长为（   ）    A．1 B．2 C． D． 7．已知，则（    ） A． B． C． D． 8．已知三棱锥的棱长均为2，点P在内，且，则点P的轨迹的长度（    ） A． B． C． D．π 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分） 9．关于x的方程的复数解为，，则（    ） A． B．与互为共轭复数 C．若，则满足的复数z在复平面内对应的点在第二象限 D．若，则的最小值是3 10．函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B．函数图象的对称轴为直线 C．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象 D．若在区间上的值域为，则实数的取值范围为 11．在正方体中，为线段上的动点（不包含端点），则（    ） A．存在点，使得平面平面 B．不存在点，使得平面平面 C．存在点，使得直线与所成角为 D．平面截正方体所得的截面可能是等腰三角形 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．已知是虚数单位，则_______. 13．古希腊数学家托勒密于公元150年在他的名著《数学汇编》里给出了托勒密定理，即圆的内接凸四边形的两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．已知AC，BD为圆的内接四边形ABCD的两条对角线，且，若，则实数的最小值为_________． 14．已知正四棱台中，，其侧面积为，为侧面的中位线，若该棱台内切球半径为，则二面角的余弦值为_______. 四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．已知向量，. (1)若，求； (2)若， ①求； ②已知，求. 16．如图，在四棱柱中，底面是菱形，底面，点是的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面. 17．七彩联盟组织学生参加数学知识竞赛活动，现从中抽取500名学生的竞赛成绩为样本，按照分成6组，制作出如图所示数据不完整的频率分布直方图，并计算出：成绩在内的学生的平均成绩为分，方差为；成绩在内的学生的平均成绩为分，方差为；样本的学生的平均成绩为分． (1)求频率分布直方图中a的值； (2)成绩位列前60%的学生将获得优胜奖，以样本估计总体，估计获得优胜奖的成绩为多少分？（取整数分） (3)求样本的方差． 18．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，P是内一点，且，，，E，F，G为垂足，记，，． (1)若，，，，AP的延长线交BC于点D，求AD； (2)若，，，求及PB； (3)证明：，当且仅当且时，等号成立． 19．已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式； (2)若函数在区间上恰好有二个零点，求实数k的取值范围． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $