第四章 课时7 正弦定理与余弦定理(1)讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义围绕正弦定理与余弦定理核心考点，按课标要求梳理内角和定理、正余弦定理多种形式、面积公式及解的情况，通过知识梳理、基础回顾、考点扫描（含真题训练）等环节，帮助学生构建从基础到应用的知识体系，突破解三角形难点。 资料采用分层教学策略，如考点二判断三角形形状时，引导学生用正余弦定理推理培养数学思维，考点四结合角平分线模型训练数学眼光。设置规律方法总结与分层练习，确保高效复习，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

课时7 正弦定理与余弦定理（1） 一、课标要求 借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理、正弦定理． 二、知识梳理 1．内角和定理：在△ABC中，； , ；， ． 2．正弦定理： ． 形式一：＝＝＝2R，其中R为△ABC的外接圆半径． 形式二：(1) a∶b∶c＝ ； (2) a＝2Rsin A，b＝ ，c＝ ； (3) sinA＝，sinB＝ ，sinC＝ ． 3．余弦定理： ． 形式一：a2＝ ；b2＝ ；c2＝ ． 形式二：cosA＝；cosB＝ ；cosC＝ ． 4．射影定理：在△ABC中，， ， ． 5．三角形面积公式：（1） ； （2），R为△ABC的外接圆半径； （3）（r为△ABC的内接圆半径）； （4）． 6．在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下： A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＝bsin A bsinA<a<b a≥b a>b 解的个数 三、基础回顾 1．判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”） 在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c. （1）． （ ） （2）若，则△ABC为钝角三角形． （ ） （3）若，则或． （ ） （4）若cosAcosBcosC>0，则△ABC为锐角三角形． （ ） 2．在△ABC中，AB＝2，AC＝3，B＝60°，则cos C=(　　) A. B. C. D. 3．在△ABC中，已知2sin Acos B＝sin C，那么△ABC一定是(　　) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.正三角形 4．在△ABC中，内角ABC所对的边分别为a，b，c，且a＝1，b＝2，cos C＝，则c＝ ；cos A＝ . 四、考点扫描 考点一 应用正弦定理、余弦定理解三角形 例1（1）（2025·新高考Ⅱ卷）在△ABC中，，，，则（ ） A. B. C. D. （2）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若bsin 2A＝asin B，且c＝2b，则=(　　) A．2 B．3 C. D. 规律方法： 对点训练 （1）在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为，则BC的长为(　　) A. B． C．2 D．2 （2）(2025·陕西榆林市模拟)若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为(　　) A. B.8－4 C.1 D. 考点二 利用正弦定理、余弦定理判断三角形的形状 例2 (1) 在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边.若a＝2bcosC，则此三角形一定是(　　) A. 等腰直角三角形 B.直角三角形 C. 等腰三角形 D.等腰三角形或直角三角形 (2) (多选题) 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若＝＝(m∈N*)，则当m取不同值时，关于△ABC的形状，下列说法正确的有(　　) A.当m＝2时，△ABC为锐角三角形 B.当m＝4时，△ABC为钝角三角形 C.当m＝6时，△ABC为等腰三角形 D.当m＝10时，△ABC为直角三角形 规律方法： 对点训练 （多选题）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的有( 　) A．若a2＋b2－c2＞0，则△ABC一定是锐角三角形 B．若＝＝，则△ABC一定是等边三角形 C．若acosA＝bcosB，则△ABC一定是等腰三角形 D．若acosB＋bcosA＝a，则△ABC一定是等腰三角形 考点三 与三角形面积有关的问题 例3 （2025·八省联考）在△ABC中，，，，则△ABC的面积为　　 A．6 B．8 C．24 D．48 规律方法： 对点训练 (2024·新课标I卷)记△ABC内角A,B,C的对边分别为a，b，c，已知，. （1）求B的大小； （2）若△ABC的面积为，求c的长． 考点四 与中线、角平分线有关的问题 例4 (2025·广东梅州市模拟)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为，，，已知，. (1)求角的大小; (2)已知为的平分线，且与边交于点，若，求△ABC的周长. 规律方法： 对点训练 （2025·广东广州市调研）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为，，，已知. (1)求A的大小； (2)若点在边上，且，，求的值. 课时7 正弦定理与余弦定理（1）参考答案 二、知识梳理 1． 2．在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 （1） （2） （3） 3．三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与与它们夹角的余弦积的两倍 4． 5．（1） 6．一解 两解 一解 一解 三、基础回顾 1．（1） √ （2）√ （3） × （4）√ 2．　B 【解析】　由正弦定理，得＝， 即＝，解得sin C＝. 因为AB<AC，所以C<B，所以cos C＝＝.故选B. 3．　B 【解析】　由正弦定理和余弦定理，2sin Acos B＝sin C可化为 2a·＝c，即a2＋c2－b2＝c2，即a2＝b2，故a＝b.所以△ABC是等腰三角形.故选B. 4．　2； 【解析】　根据余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝12＋22－2×1×2×＝4，解得c＝2. 由a＝1，b＝2，c＝2，得cos A＝＝. 四、考点扫描 例1（1） A 【解析】由题意得， 又，所以.故选A. （2）D【解析】由正弦定理及bsin 2A＝asin B，得2sin Bsin Acos A＝sin Asin B， 又sin A≠0，sin B≠0，则cos A＝.又c＝2b，所以由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋4b2－4b2×＝3b2，得＝.故选D. 对点训练 （1）B【解析】因为S＝AB·AC sin A＝×2×AC＝，所以AC＝1，所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos A＝3.所以BC＝.故选B. （2）　A 【解析】　由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C＝(a＋b)2－2ab－2abcos C， 所以(a＋b)2－c2＝2ab(1＋cos C)＝2ab(1＋cos 60°)＝3ab＝4，所以ab＝.故选A. 例2 (1) C　【解析】　方法一：由余弦定理可得a＝2b·， 因此a2＝a2＋b2－c2，得b2＝c2，于是b＝c，从而△ABC为等腰三角形. 方法二：由正弦定理，可得sin A＝2sin Bcos C，因此sin(B＋C)＝2sin Bcos C， 即sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bcos C，于是sin(B－C)＝0，因此B－C＝0，即B＝C， 故△ABC为等腰三角形.故选C. (2)BCD 【解析】因为＝＝，可得sin A∶sin B∶sin C＝6∶8∶m，由正弦定理＝＝＝2R，可得a∶b∶c＝6∶8∶m. 对于选项A，m＝2时，可得a∶b∶c＝3∶4∶1，可得b－a＝c， 这样的三角形不存在，A错误； 对于选项B，m＝4时可得a∶b∶c＝3∶4∶2，可得B为最大角， 由余弦定理可得cos B＝＝－，可得△ABC是钝角三角形，B正确； 对于选项C，m＝6时，可得a∶b∶c＝3∶4∶3，可得a＝c，△ABC为等腰三角形，C正确； 对于选项D，m＝10时，可得a∶b∶c＝3∶4∶5，可得a2＋b2＝c2，△ABC为直角三角形，D正确.故选BCD. 对点训练 BD【解析】 对于选项A，若a2＋b2－c2＞0，则cosC＝＞0，则C为锐角，但是A，B两角无法判断其是否为锐角，如当a＝4，b＝2，c＝3时，a2＋b2－c2＞0，b2＋c2－a2＝－3＜0，△ABC为钝角三角形，故A错误； 对于选项B，因为＝＝，所以＝＝，所以tanA＝tanB＝tanC，且A，B，C∈(0，π)，所以A＝B＝C，所以△ABC为等边三角形，故B正确； 对于选项C，因为acosA＝bcosB，所以sinAcosA＝sinBcosB，所以sin2A＝sin2B，所以2A＝2B或2A＋2B＝π，所以A＝B或A＋B＝，所以△ABC是等腰三角形或直角三角形，故C错误； 对于选项D，因为acosB＋bcosA＝a，所以sinAcosB＋sinBcosA＝sinA，即sin(A＋B)＝sinA，则sinC＝sinA，又因为A，C∈(0，π)，所以A＝C或A＋C＝π(舍去)，所以△ABC为等腰三角形，故D正确．故选BD. 例3 C 【解析】设.根据余弦定理，得， 已知，，，代入可得， 即，解得.因为， 所以△为直角三角形，所以．故选C. 对点训练 【解】（1）由余弦定理有，对比已知， 可得.因为，所以， 从而.又因为，即， 注意到，所以. （2）由（1）可得，，，从而，， 而.由正弦定理有，从而. 由三角形面积公式可知，的面积可表示为 ，由已知面积为，可得，所以. 例4 【解】（1）由已知，得. 根据正弦定理，得， 即， 即. 由于，，所以，所以. （2）因为， 所以. 因为为的平分线，所以， 所以， 则，即. 由余弦定理，得，即， 所以， 解得或（舍），故的周长为. 对点训练【解】（1）因为， 由余弦定理可得， 化简可得.由余弦定理可得. 因为，所以. （2）因为，则为锐角，所以. 因为，所以， 所以， 设，则， 在和中，由正弦定理，得，， 因为，上面两个等式相除可得， 得，即， 所以. . 学科网（北京）股份有限公司 $