第四章 课时6 函数y＝Asin(ωx＋φ) 的图象及其应用讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦高考核心考点“函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用”，涵盖参数意义、图象变换、解析式求解、性质综合及ω范围问题等内容，按概念梳理-作图方法-变换规律-综合应用的逻辑架构组织知识点，通过知识梳理、基础回顾、分考向例题精讲与对点训练、拓展延伸及巩固提升环节，帮助学生系统突破三角函数图象与性质的难点。 资料以数学眼光、思维、语言为导向，创新设计“考点扫描+拓展延伸”模块，如用五点法作图培养几何直观，通过参数分析训练逻辑推理，结合奇偶性求ω最小值等实例构建模型意识。分层练习与即时反馈确保复习效果，助力教师精准把控节奏，有效提升学生的应考能力。

课时6 函数的图象及应用 一、课标要求 1. 结合具体实例，了解的实际意义. 2. 能借助图象理解参数的意义. 3. 了解参数的变化对函数图象的影响. 二、知识梳理 1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念 y＝Asin(ωx＋φ) (A＞0，ω＞0) 振幅 周期 频率 相位 初相 A T＝ f＝＝ 2．五点法作y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图 五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示： x － －＋ － ωx＋φ y＝Asin(ωx＋φ) 0 －A 0 3．由函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的两种方法 【拓展知识】 1．由y＝sinωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：图象向左平移个单位长度，而非φ个单位长度． 2．函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z确定；对称中心由ωx＋φ＝kπ，k∈Z确定其横坐标． 3．解决三角函数图象与性质的综合问题的一般步骤 第一步：(化简)将f(x)化为asinx＋bcosx的形式； 第二步：(用辅助角公式)构造f(x)＝； 第三步：(求性质)利用研究三角函数的性质； 第四步：(反思)反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范． 三、基础回顾 1.判断正误.(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数f(x)＝2sin(πx＋)的最小正周期为2.(　 　) (2)将函数y＝2sin 3x的图象向左平移个单位长度后所得图象的解析式为. (　 　) (3)将函数y＝3sin 2x的图象上各点的横坐标缩短为原来的，所得图象的函数解析式为y＝3sin x.(　 　) (4)如果y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为.(　 　) 2．已知函数的图象为，则为了得到函数的图象，只要把上所有的点的 (　　 A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 D．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 3．（多选题）已知奇函数f(x)＝2cos(ωx－φ)(ω>0，0<φ<π)图象的相邻两个对称中心的距离为2π，将f(x)的图象向右平移个单位长度得函数g(x)的图象，则g(x)的图象(　　) A.关于点对称 B.关于点对称 C.关于直线x＝对称 D.关于直线x＝对称 4．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式为 . 四、考点扫描 考点一 函数的图象 考向1 “五点法”作图 例1 (2025·云南曲靖市模拟）已知函数. (1)完善下面的表格并作出函数在上的图象： 0 1 (2)将函数的图象向右平移个单位长度后，再向上平移1个单位长度得到的图象，解不等式：. 对点训练 设函数. (1)列表并作出，的图象； (2)求函数在区间上的取值范围. 考向2 图象变换 例2 （1）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点的（    ） A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 D．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 (2)(2025·湖南岳阳市质量监测)已知函数f(x)＝sin x＋acos x的一个零点是，将函数y＝f(2x)的图象向左平移个单位长度后，得到图象对应的函数解析式为(　　) A.y＝2sin B.y＝2sin C.y＝－2cos 2x D.y＝2cos 2x 规律方法： 对点训练 （1）函数的图象与x轴的两个相邻交点间的距离为，则要得到函数g(x)＝Acos ωx的图象，只需将函数f(x)的图象(　　) A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 （2）将函数的图象上每一点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（    ） A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增 C．在区间上单测递减 D．在区间上单调递增 考点二 求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 例3 （1）函数的图象如图所示，点.将的图象向右平移2个单位长度，得到函数的图象，则的解析式为（    ） A． B． C． D． （2）若a，b，c，d为实数，且＝ad－bc，定义函数.现将f(x)的图象先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则g(x)的解析式为___ _____. 规律方法： 对点训练 （1）(2024·河南新乡市模拟)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的部分图象如图所示，则f＝(　　) A.0 B.2 C.1－ D.－1 （2）将函数f(x)＝sin的图象上每个点的横坐标扩大为原来的2倍(纵坐标保持不变)，再向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，则函数g(x)在x∈[0，π]上的取值范围是________. 考点三 三角函数的图象和性质的综合问题 例4 （1）若将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，且为奇函数，则的最小值是（    ） A． B． C． D． （2）（多选题）声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数，则有（     ） A．函数图象的一个对称中心为 B．函数图象的一条对称轴为直线 C．函数在区间上单调递增 D．将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称 规律方法： 对点训练 已知函数f(x)＝2sin，且关于x的方程f(x)＝t(t∈R)在区间上有唯一解，则t的取值范围是________. 拓展与延伸10 三角函数中有关ω的范围问题 一、 考情分析 求ω的范围或最值是近几年高考的一个热点内容，题型主要有：根据三角函数的对称性、周期性、单调性、最值、零点或极值点等，求ω的范围或最值，具体求法复杂，涉及到三角函数的多种性质，历来是复习中的难点． 二、知识梳理 1. 已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)在给定区间上的单调性求ω的取值范围，注意以下几点：(1) 根据题意可知区间[x1，x2]的长度不大于该函数最小正周期的一半，即x2－x1≤T，求得0＜ω≤；(2) 以单调递增为例，利用[ωx1＋φ，ωx2＋φ]⊆(k∈Z)，解得ω的范围；(3) 结合第二步求出的ω的范围对k进行赋值，从而求出ω(不含参数)的取值范围． 2. 极值、最值与“ω”结合的问题，可以画出简图，利用三角函数的最值或周期，列出关于ω的不等式，通过解不等式求参数的最值或范围． 3. 已知零点个数求ω的取值范围：对于区间长度为定值的动区间，若区间上至少含有k个零点，需要确定含有k个零点的区间长度，一般和周期相关；若在区间上至多含有k个零点，需要确定包含k＋1个零点的区间长度的最小值． 4. 若已知三角函数的对称性(奇偶性)，则根据三角函数的对称性(奇偶性)研究其周期性，进而运用整体代换的思想，建立关于ω的不等式组，进而求出ω的取值范围． 三、 考点扫描 考点一 由三角函数的对称性确定ω的范围（最值） 例1 已知（），若函数f(x)的图象在区间内不存在对称轴，则的取值范围是（      ） A． B． C． D． 规律方法： 对点训练 已知函数的图象在区间上恰有两条对称轴，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点二 由三角函数的单调性确定ω的范围（最值） 例2 (2025·江苏南京市模拟)若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 规律方法： 对点训练 (2025·江西宜昌市模拟)若直线x＝是曲线y＝sin(ω>0)的一条对称轴，且函数y＝sin在区间上不单调，则ω的最小值为(　　) A．9 B．7 C．11 D．3 考点三 由三角函数的最值确定ω的范围（最值） 例3（2025·江西鹰潭市模拟）已知函数.若且，则的最小值为（    ） A．11 B．5 C．9 D．7 规律方法： 对点训练 已知函数的最小正周期为.若，且当时，函数取得最大值，则 ，的最小值为 . 　 考点四 由三角函数的零（极值）点确定ω的范围（最值） 例4 （1） (2025·云南大理市模拟)已知函数在上有且只有5个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． （2）（2025·北京高考）设函数.若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（   ） A．8 B．6 C．4 D．3 规律方法： 对点训练 （1） (2025·浙江杭州市模拟)已知函数在区间上恰有6个零点.若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． （2）(2025·广东东莞市模拟)已知将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象.若g(x)在(0，π)上有3个极值点，则ω的取值范围是(　　) A. B. C. D. 三、巩固提升 1.（2025·四川成都市模拟）若函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2. (2025·黑龙江大庆市模拟)若函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)的图象在区间上仅有一条对称轴及一个对称中心，则ω的取值范围是(　　) A．(5,8) B．(5,8] C．(5,11] D．[5,11) 3. 已知函数（，）满足，且在区间上有且仅有3个零点，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 4. （多选题）已知，则下列判断正确的有(　　) A．若f(x1)＝1，f(x2)＝－1，且|x1－x2|min＝π，则ω＝2 B．存在ω∈(0,2)，使得将f(x)的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称 C．若f(x)在[0,2π]上恰有7个零点，则ω的取值范围是 D．若f(x)在上单调递增，则ω的取值范围是 5. (2025·河南郑州市模拟)记函数的最小正周期为T．若为的极小值点，则的最小值为__________． 课时6 函数的图象及其应用参考答案 2、 知识梳理 1. ωx＋φ φ 2． 2π A 0 三、基础回顾 1.（1）√ （2）× （3）× （4）√ 2．B 【解析】把函数的图象横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，可得到函数的图象.故选B． 3.　BC 【解析】　相邻两个对称中心的距离为2π，则＝2π，T＝，则ω＝＝. 已知f(x)为奇函数，根据0<φ<π可知φ＝， 则f(x)＝2sin x，g(x)＝2sin＝2sin. 令x－＝kπ(k∈Z)，解得x＝2kπ＋(k∈Z)，故A错误，B正确； 令x－＝＋kπ(k∈Z)，解得x＝2kπ＋(k∈Z)，故C正确，D错误.故选BC. 4．f(x)＝2sin 【解析】　由图可得A＝2，又T＝2×[6－(－2)]＝16，故ω＝，故×6＋φ＝2kπ(k∈Z)， 得φ＝2kπ－(k∈Z)，又|φ|＜π，得φ＝－，所以f(x)＝2sin. 四、考点扫描 例1【解】（1）表格如下： 0        0         0 1 0         函数在上的图象如下： （2）将函数的图象向右平移个单位长度后再向上平移1个单位长度得到的图象，则， 所以，即， 则， 得， 所以不等式的解集为. 对点训练 【解】（1）列表： 0 x 1 4 7 10 y 0 2 0 0 作图： （2）由已知 . 由已知，所以， 所以， 所以函数在区间上的值域是. 例2 （1） B 【解析】因为把函数的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，就能得到函数的图象.故选B. （2）　D 【解析】　依题意，f＝sin ＋acos ＝＋a＝0，解得a＝－， 所以f(x)＝sin x－cos x＝2sin.将f(2x)＝2sin的图象向左平移个单位长度得到y＝2sin＝2sin＝2cos 2x的图象.故选D. 对点训练 （1）　C 【解析】　f(x)＝Asin(ω>0)的图象与x轴的两个相邻交点间的距离为， 则T＝2×＝＝，所以ω＝3， 所以f(x)＝Asin＝Acos＝Acos＝Acos， 所以只需将函数f(x)的图象向左平移个单位长度即可得函数g(x)＝Acos ωx的图象.故选C. （2） B 【解析】把函数的图象上每一点的横坐标变为原来的得， 再向右平移个单位长度得， 即. 由，得增区间为，． 当时，一个增区间为，而，所以B正确. 故选B. 例3 （1） D 【解析】由题意可知的周期满足，得， 即，得，所以， 因为点是图象的一个点， 所以，， 则.又，所以， 所以. 将的图象向右平移2个单位长度， 得到函数的图象.故选D. （2）　g(x)＝2cos 2x 【解析】　由题意，f(x)＝＝2sin xcos x－2cos2x ＝sin 2x－(cos 2x＋1)＝2sin－， 则g(x)＝f＋＝2sin－＋＝2cos 2x. 对点训练 （1）　C 【解析】　由题图可知A＝＝2，b＝＝1，所以f(x)＝2sin(ωx＋φ)＋1. 因为T＝＝－＝π，解得ω＝2，将代入f(x)＝2sin(2x＋φ)＋1得 0＝2sin＋1，结合|φ|<及函数图象，解得φ＝，所以f(x)＝2sin＋1， 故f＝2sin＋1＝1－.故选C. （2）　 【解析】　将函数f(x)的图象上每个点的横坐标扩大原来的2倍(纵坐标保持不变)， 得到y＝sin的图象，再向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象， 则g(x)＝sin＝sin. 因为x∈[0，π]，所以x＋∈，所以sin∈， 故函数g(x)在x∈[0，π]上的值域为. 例4 （1） D 【解析】因为， 则. 因为为奇函数，所以， 所以， 即， 所以，所以， 所以最小值为.故选D. （2）AC 【解析】， ，A正确； 当时，，故的图象不关于对称，B错误； ，函数在区间上单调递增，C正确； 将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，D错误.故选AC. 对点训练 　[－1，1)∪{2} 【解析】　因为x∈，所以2x－∈， 所以2sin∈[－1，2]且当x＝时，f＝1， 所以其函数图象如图所示. 因为y＝f(x)与y＝t只有一个交点，即关于x的方程f(x)＝t(t∈R)在区间上有唯一解，结合函数图象可知－1≤t<1或t＝2. 拓展与延伸10 三角函数中有关ω的范围问题 三、考点扫描 例1 C 【解析】函数化简得， 由，可得函数的对称轴为. 由题意知，且，即，. 若使该不等式组有解，则需满足，即. 又，故，即，所以. 又，所以或，所以．故选C. 对点训练 D 【解析】， 令，，则，， 函数在区间[0，]上的图象有且仅有2条对称轴， 即有2个整数k符合， ，得，则， 即，所以.故选D. 例2 A 【解析】当时，， 若函数在区间上单调递增， 则，，解得， 又，当时,可得.故选A. 对点训练 C 【解析】　因为直线x＝是曲线y＝sin(ω>0)的一条对称轴，则ω－＝kπ＋，k∈Z，即ω＝4k＋3，k∈Z，当x∈时，ωx－∈. 因为f(x)在上不单调，所以π－>，解得ω>9，所以ω的最小值为11.故选C. 例3 D 【解析】由可知，在取得最小值， 所以函数图象的一条对称轴为， 又，因此，即， 所以. 又在取得最小值，可知， 解得. 又，所以时，取得最小值为7.故选D. 对点训练 ； 【解析】函数的最小正周期为， 若，由，得， 所以. 因为时函数有最大值，所以， 故，所以. 因为，则的最小值为. 例4 （1）C 【解析】因为， 令，即， 所以在上有且只有5个零点. 因为，所以， 所以如图，由正弦函数图象，要使在上有且只有5个零点， 则，即， 所以实数的范围是.   故选C. （2）C 【解析】函数， 设函数的最小正周期为，由可得， 所以，即. 又函数在上存在零点，且当时，， 所以，即.综上，的最小值为4.故选C. 对点训练 （1） C 【解析】函数. 由，得或， 解得的正零点为或， 则函数从左到右的零点依次为. 为了使得在区间恰有6个零点，只需，解得， 所以实数的取值范围是.故选C. （2）C 【解析】f(x)＝2sin ＝2sin cos －2sin2 ＝sin ωx－(1－cos ωx)＝sin ωx＋cos ωx－＝2sin－. 令g(x)＝f ＝2sin－＝－2cos－. 因为ω>0，所以当x∈(0，π)时，ωx＋∈.又因为g(x)在(0，π)上有3个极值点，则由余弦函数的性质可得3π<ωπ＋≤4π，解得<ω≤.故选C. 四、巩固提升 1. D 【解析】函数在上单调递增， 当时，，则，解得.故选D. 2. B 【解析】　由题意，函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝2sin，ω>0. 因为x∈，所以<ωx＋<(1＋ω)， 要使得函数f(x)的图象在区间上仅有一条对称轴及一个对称中心， 则需满足π<(1＋ω)≤，解得5<ω≤8，所以ω的取值范围是(5,8]．故选B. 3.　C 【解析】， ，因为，，则. 因为在区间上有且仅有3个零点， 且在零点0之前的三个零点依次为， 则，解得.故选C. 4.　CD 【解析】　因为f(x)＝1－2cos2＝－cos＝sin， 所以周期T＝＝. 对于选项A，由条件知，周期为2π，所以＝2π，解得ω＝，故A错误； 对于选项B，将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数y＝sin的图象，若其关于y轴对称，则－＋＝＋kπ(k∈Z)，解得ω＝－1－3k(k∈Z)， 故对任意整数k，ω∉(0,2)，故B错误； 对于选项C，由条件得7π≤2ω·2π＋<8π，解得≤ω<，故C正确； 对于选项D，由条件得解得ω≤，又ω>0，所以0<ω≤，故D正确． 故选CD. 5.　14 【解析】 因为，所以最小正周期，. 又，所以，即. 又为的极小值点，所以，解得. 因为，所以当时. . 学科网（北京）股份有限公司 $