4.9 正弦定理与余弦定理的综合应用 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦正弦定理与余弦定理综合应用，覆盖三角形面积公式应用、平面图形计算、最值（范围）问题三大高考核心考点，按“基础公式—图形转化—综合应用”逻辑架构知识，通过考点梳理、方法总结、真题精讲（如2024新高考Ⅰ卷15题）、分层练习（练1-3及60分钟限时训练）四环节，帮助学生构建解题框架，突破边角转化难点。 资料以真题为导向，创新采用“问题类型+策略工具”教学法，如平面图形计算中引导学生分拆多边形为三角形，用正余弦定理建立边角关系，培养数学眼光与逻辑推理能力。设置基础巩固、能力提升、综合应用分层练习，配合即时方法反馈，确保高效突破考点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支撑。

第9节　正弦定理与余弦定理的综合应用 1.理解三角形的面积公式并能应用. 2.能够利用正弦定理、余弦定理求解平面图形中的计算问题. 3.结合基本不等式、三角形恒等变换求解三角形中的最值（范围）问题. 　　 三角形面积 （2024·新高考Ⅰ卷15题）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin C＝cos B，a2＋b2－c2＝ab. （1）求B； （2）若△ABC的面积为3＋，求c. 三角形面积公式的应用原则 （1）对于面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式； （2）与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化. 练1 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠A为钝角，a＝7，sin 2B＝bcos B. （1）求∠A； （2）若csin A＝，求△ABC的面积. 平面图形中的计算问题 如图所示，四边形ABCD为圆O的内接四边形，其中AB＝，BC＝3，CD＝2，DA＝1. （1）求sin D的值； （2）求四边形ABCD的面积及圆O的半径. 利用正、余弦定理解决平面多边形问题的策略 （1）将所给平面多边形分拆成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正、余弦定理建立边角关系进行求解； （2）注意各个三角形之间的联系，特别是公共边、邻角之间的等量关系，交叉使用公共条件进行求解； （3）注意三角形相似、平行四边形性质等几何结论的应用； （4）注意方程思想的灵活运用，通过设出未知变量，建立方程进行求解. 练2 （2026·广东梅州模拟）如图，在四边形ABCD中，AB2＋BC2＋AB·BC＝AC2. （1）若AB＝3BC＝3，求△ABC的面积； （2）若CD＝BC，∠CAD＝30°，∠BCD＝120°，求∠ACB的值. 三角形中的最值（范围）问题 记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos C＋（cos B－2sin B）·cos A＝0. （1）求cos A的值； （2）若b＋c＝1，求a的取值范围. 三角形中的最值（范围）问题的解题策略 （1）定基本量：根据题意画出图形，找出三角形中的边、角，利用正弦、余弦定理求出相关的边、角，并选择边、角作为基本量，确定基本量的范围； （2）构建函数：根据正弦、余弦定理或三角恒等变换，将所求范围的变量表示成函数形式； （3）求最值：利用基本不等式或函数的单调性、有界性等求函数的最值. 练3 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos 2A＋cos 2B－cos 2C＝1－2sin Asin B. （1）求角C的大小； （2）求sin A＋sin B＋sin C的取值范围. 第9节　正弦定理与余弦定理的综合应用 （时间：60分钟，满分：89分） [备注：单选、填空题5分，多选题6分] 1.在△ABC中，BC＝8，AC＝10，cos∠BAC＝，则△ABC的面积为（　　） A.6 B.8 C.24 D.48 2.（2026·安徽宿州模拟）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为，且b＝1，C＝，则边c＝（　　） A. B.3 C.7 D. 3.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝c－1，b＝c＋1，若△ABC为钝角三角形，则c的取值范围为（　　） A.（2，4） B.（1，3） C.（0，3） D.（3，4） 4.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2＝3（b＋c），A＝，则△ABC周长的最大值为（　　） A.6 B.12 C.18 D.24 5.（2026·江西部分学校联考）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若cos B＝，且△ABC的周长和面积分别是10和2，则b＝（　　） A. B.3 C.5 D.2 6.〔多选〕在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝，b＝4，则下列说法正确的是（　　） A.若A＝，则a＝4 B.若a＝1，则c＝ C.△ABC周长的最大值为12 D.△ABC面积的最大值为12 7.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知A＝60°，b＋c＝6，且△ABC的面积为2，则△ABC内切圆的半径为　　　　. 8.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＋4b2＝6c2，则的最小值为　　　　. 9.（2026·山西太原调研）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2C－cos2B＋sin2A＝sin Asin B＝，且△ABC的面积为，则边c的值为　　　　. 10.（13分）如图，在平面四边形ABCD中，BC＝，BE⊥AC于点E，BE＝，且△ACD的面积为△ABC面积的2倍. （1）求AD·sin∠DAC的值； （2）当CD＝3时，求线段DE的长. 11.（15分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足＝. （1）求角A； （2）若a＝2，求△ABC面积的最大值. 12.（15分）（2026·贵州贵阳模拟）已知△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足cos C＝. （1）证明：△ABC为等腰三角形； （2）若△ABC的外接圆直径为1，试求△ABC周长的取值范围 学科网（北京）股份有限公司 $ 第9节　正弦定理与余弦定理的综合应用 三角形面积 （2024·新高考Ⅰ卷15题）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin C＝cos B，a2＋b2－c2＝ab. （1）求B； （2）若△ABC的面积为3＋，求c. 解：（1）由余弦定理有a2＋b2－c2＝2abcos C， 对比已知a2＋b2－c2＝ab， 可得cos C＝＝＝， 因为C∈（0，π），所以C＝， 又sin C＝cos B，所以＝cos B， 即cos B＝，又B∈（0，π），所以B＝. （2）由（1）可得A＝， 则sin A＝sin＝sin（＋）＝×＋×＝，由正弦定理有＝， 从而a＝·c＝c， 又S△ABC＝acsin B＝3＋，即ac＝4（＋1）， 将a＝c代入，解得c＝2. 规律方法 三角形面积公式的应用原则 （1）对于面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式； （2）与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化. 练1 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠A为钝角，a＝7，sin 2B＝bcos B. （1）求∠A； （2）若csin A＝，求△ABC的面积. 解：（1）由题知，2sin Bcos B＝bcos B. 又A为钝角，所以B为锐角， 故cos B≠0，所以2sin B＝b. 又＝＝＝，所以sin A＝. 又A为钝角，所以A＝. （2）由题知c·＝，所以c＝5. 由a2＝b2＋c2－2bccos A得，49＝b2＋25＋5b，即（b＋8）（b－3）＝0， 解得b＝3（负值舍去）. 所以S△ABC＝bcsin A＝×3×5×＝. 平面图形中的计算问题 如图所示，四边形ABCD为圆O的内接四边形，其中AB＝，BC＝3，CD＝2，DA＝1. （1）求sin D的值； 解： 连接AC（图略），因为四边形ABCD为圆内接四边形，所以B＋D＝π， 所以cos B＝－cos D.在△ABC中，由余弦定理AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B， 可得AC2＝2＋9＋2××3cos D＝11＋6cos D. 在△ADC中，由余弦定理AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos D， 可得AC2＝1＋8－2×1×2cos D＝9－4cos D. 所以11＋6cos D＝9－4cos D，得cos D＝－， 又D∈（0，π），所以sin D＝＝. （2）求四边形ABCD的面积及圆O的半径. 解：由（1）知，sin D＝，因为B＋D＝π，所以sin B＝sin D＝， 所以S△ABC＝AB·BCsin B＝××3×＝， S△ADC＝AD·DCsin D＝×1×2×＝， 所以四边形ABCD的面积S＝S△ABC＋S△ADC＝＋＝. 结合（1）得，AC2＝11＋6cos D＝11＋6×（ －）＝，所以AC＝， 设圆O的半径为R， 可得2R＝＝＝，所以圆O的半径R＝. 规律方法 利用正、余弦定理解决平面多边形问题的策略 （1）将所给平面多边形分拆成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正、余弦定理建立边角关系进行求解； （2）注意各个三角形之间的联系，特别是公共边、邻角之间的等量关系，交叉使用公共条件进行求解； （3）注意三角形相似、平行四边形性质等几何结论的应用； （4）注意方程思想的灵活运用，通过设出未知变量，建立方程进行求解. 练2 （2026·广东梅州模拟）如图，在四边形ABCD中，AB2＋BC2＋AB·BC＝AC2. （1）若AB＝3BC＝3，求△ABC的面积； （2）若CD＝BC，∠CAD＝30°，∠BCD＝120°，求∠ACB的值. 解：（1）在△ABC中，cos B＝＝＝－， 因为0°＜B＜180°，所以B＝120°. 因为AB＝3BC＝3，所以AB＝3，BC＝1， S△ABC＝AB·BCsin 120°＝×3×1×＝. （2）由（1）知B＝120°，设∠ACB＝θ， 则∠ACD＝120°－θ，D＝30°＋θ， ∠BAC＝60°－θ. 在△ACD中，由＝， 得AC＝CD. 在△ABC中，由＝， 得AC＝BC. 联立上式，并由CD＝BC得sin（30°＋θ）sin（60°－θ）＝， 所以sin（60°＋2θ）＝， 由题可知0°＜θ＜60°， 所以60°＜60°＋2θ＜180°， 所以60°＋2θ＝150°，解得θ＝45°，即∠ACB＝45°. 三角形中的最值（范围）问题 记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos C＋（cos B－2sin B）cos A＝0. （1）求cos A的值； 解： 因为cos C＋（cos B－2sin B）cos A＝0，cos C＝－cos（A＋B）＝－cos Acos B＋sin Asin B， 所以－cos Acos B＋sin Asin B＋cos Acos B－2sin Bcos A＝0， 即sin Asin B－2sin Bcos A＝0. 又0＜B＜π，0＜A＜π，所以sin B≠0，sin A＝2cos A＞0，A为锐角， 所以9cos2A＝1，cos A＝. （2）若b＋c＝1，求a的取值范围. 解：由余弦定理知，a2＝b2＋c2－2bccos A＝（b＋c）2－bc. 因为bc≤（ ）2，所以a2≥（b＋c）2＝，所以a≥， 当且仅当b＝c＝时，等号成立. 又a＜b＋c＝1，所以a的取值范围为［，1）. 规律方法 三角形中的最值（范围）问题的解题策略 （1）定基本量：根据题意画出图形，找出三角形中的边、角，利用正弦、余弦定理求出相关的边、角，并选择边、角作为基本量，确定基本量的范围； （2）构建函数：根据正弦、余弦定理或三角恒等变换，将所求范围的变量表示成函数形式； （3）求最值：利用基本不等式或函数的单调性、有界性等求函数的最值. 练3 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos 2A＋cos 2B－cos 2C＝1－2sin Asin B. （1）求角C的大小； （2）求sin A＋sin B＋sin C的取值范围. 解：（1）因为cos 2A＋cos 2B－cos 2C＝1－2sin Asin B， 所以1－2sin2A＋1－2sin2B－（1－2sin2C）＝1－2sin Asin B， 整理得sin2A＋sin2B－sin2C＝sin Asin B. 由正弦定理得a2＋b2－c2＝ab， 由余弦定理得cos C＝＝， 因为C∈（0，π），所以C＝. （2）sin A＋sin B＋sin C＝sin A＋sin（ －A）＋＝sin A＋sincos A－cos sin A＋＝sin A＋cos A＋＝sin（ A＋）＋. 在△ABC中，因为C＝，所以0＜A＜， 所以＜A＋＜，所以＜sin（ A＋）≤1， 所以＜sin（ A＋）＋≤， 所以sin A＋sin B＋sin C的取值范围为（ ，］. （时间：60分钟，满分：89分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分] 1.在△ABC中，BC＝8，AC＝10，cos∠BAC＝，则△ABC的面积为（　　） A.6 B.8 C.24 D.48 解析：C　由题意得，a＝8，b＝10，cos∠BAC＝＝＝，解得c＝6，则∠ABC＝90°，所以S△ABC＝ac＝×8×6＝24. 2.（2026·安徽宿州模拟）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为，且b＝1，C＝，则边c＝（　　） A.　　　　B.3 C.7　　　　D. 解析：A　由S△ABC＝absin C＝a×1×sin＝a＝得a＝3，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝32＋12－2×3×1×cos＝7，所以c＝.故选A. 3.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝c－1，b＝c＋1，若△ABC为钝角三角形，则c的取值范围为（　　） A.（2，4）　　B.（1，3） C.（0，3）　　D.（3，4） 解析：A　由a＝c－1，b＝c＋1，则b＞c＞a，所以c＋c－1＞c＋1，故c＞2，由△ABC为钝角三角形，则cos B＜0，即＜0，得c2－4c＜0，故0＜c＜4，故c的取值范围为（2，4）. 4.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2＝3（b＋c），A＝，则△ABC周长的最大值为（　　） A.6 B.12 C.18 D.24 解析：C　因为A＝，且a2＝3（b＋c），由余弦定理可得，a2＝3（b＋c）＝b2＋c2－bc，所以（b＋c）2－3（b＋c）＝3bc≤（b＋c）2，当且仅当b＝c时，等号成立，所以b＋c≤12，所以a＝≤6，即△ABC周长的最大值为12＋6＝18. 5.（2026·江西部分学校联考）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若cos B＝，且△ABC的周长和面积分别是10和2，则b＝（　　） A. B.3 C.5 D.2 解析：B　因为cos B＝，所以sin B＝，所以acsin B＝ac＝2，所以ac＝16.因为a＋b＋c＝10，所以a＋c＝10－b，所以a2＋c2＋2ac＝100－20b＋b2，所以a2＋c2－b2＝68－20b.由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2accos B，即b2＝a2＋c2－8，所以a2＋c2－b2＝8，则68－20b＝8，解得b＝3. 6.〔多选〕在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝，b＝4，则下列说法正确的是（　　） A.若A＝，则a＝4 B.若a＝1，则c＝ C.△ABC周长的最大值为12 D.△ABC面积的最大值为12 解析：ACD　由正弦定理，＝，代入数据解得a＝4，故A正确；由余弦定理，b2＝a2＋c2－2accos B＝c2－c＋1＝48，解得c＝或c＝（舍去），故B错误；由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac＝48，因为a2＋c2－ac＝（a＋c）2－3ac≥（a＋c）2－3＝，当且仅当a＝c＝4时，等号成立，所以a＋c≤8，故△ABC周长的最大值为12，故C正确；由C选项分析可知a2＋c2－ac＝48，因为a2＋c2－ac≥2ac－ac＝ac，所以ac≤48，所以△ABC的面积S△ABC＝acsin B＝ac≤×48＝12，当且仅当a＝c＝4时等号成立，故D正确. 7.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知A＝60°，b＋c＝6，且△ABC的面积为2，则△ABC内切圆的半径为　－1　. 解析：因为△ABC的面积为2，A＝60°，所以bcsin A＝2，解得bc＝8.又b＋c＝6，由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccos A＝（b＋c）2－3bc＝12，所以a＝2，所以△ABC的周长为a＋b＋c＝2＋6.设△ABC内切圆的半径为r，则S△ABC＝（a＋b＋c）r＝×（2＋6）r＝2，解得r＝－1. 8.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＋4b2＝6c2，则的最小值为　　. 解析：因为a2＋4b2＝6c2≥2＝4ab，当且仅当a＝2b时，等号成立，即≥.由正弦定理可得＝≥，当且仅当a＝2b时，等号成立，所以的最小值为. 9.（2026·山西太原调研）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2C－cos2B＋sin2A＝sin Asin B＝，且△ABC的面积为，则边c的值为　　. 解析：因为cos2C－cos2B＋sin2A＝sin A·sin B，所以1－sin2C－（1－sin2B）＋sin2A＝sin Asin B，即sin2B＋sin2A－sin2C＝sin Asin B，由正弦定理，得b2＋a2－c2＝ab，所以cos C＝＝＝，又C∈（0，π），所以C＝，由正弦定理＝＝得＝，即＝，即c2＝ab.又△ABC的面积S△ABC＝absin C＝，所以ab＝4，则c2＝6，解得c＝. 10.（13分）如图，在平面四边形ABCD中，BC＝，BE⊥AC于点E，BE＝，且△ACD的面积为△ABC面积的2倍. （1）求AD·sin∠DAC的值； （2）当CD＝3时，求线段DE的长. 解：（1）因为S△ACD＝·AC·AD·sin∠DAC，S△ABC＝·AC·BE，S△ACD＝2S△ABC， 所以·AC·AD·sin∠DAC＝AC·BE. 所以AD·sin∠DAC＝2·BE＝2. （2）由题可得CE＝1.在△ACD中，＝， 所以AD·sin∠DAC＝CD·sin∠ACD＝2. 又CD＝3，所以sin∠ACD＝， 所以cos∠ACD＝±＝±. 在△CDE中，DE2＝CE2＋CD2－2·CE·CD·cos∠ACD. 当cos∠ACD＝时，DE2＝12＋32－2×1×3×＝8，所以DE＝2. 当cos∠ACD＝－时，DE2＝12＋32－2×1×3×（ －）＝12，所以DE＝2. 综上，DE＝2或2. 11.（15分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足＝. （1）求角A； （2）若a＝2，求△ABC面积的最大值. 解：（1）由＝，结合正弦定理＝，得＝＝， 所以tan A＝，又因为A∈（0，π），所以A＝. （2）由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得4＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc， 即bc≤4，当且仅当b＝c＝2时等号成立， 所以S△ABC＝bcsin A≤×4×＝， 即当b＝c＝2时，△ABC面积的最大值为. 12.（15分）（2026·贵州贵阳模拟）已知△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足cos C＝. （1）证明：△ABC为等腰三角形； （2）若△ABC的外接圆直径为1，试求△ABC周长的取值范围. 解：（1）证明：因为cos C＝，由正弦定理可得sin Acos C＋sin Ccos A＝sin C，即sin（A＋C）＝sin C， 在△ABC中，sin（A＋C）＝sin B，所以sin B＝sin C，又因为B，C均为△ABC的内角，即B＝C， 即证得△ABC为等腰三角形. （2）由（1）可得C＝B∈（ 0，）， 由正弦定理可得＝＝＝2R，而2R＝1， 所以a＝sin A＝sin（π－2B）＝sin 2B，b＝sin B，c＝sin C＝sin B， 所以a＋b＋c＝sin 2B＋2sin B， 设f（x）＝sin 2x＋2sin x，x∈（ 0，）， 则f'（x）＝2cos 2x＋2cos x＝（2cos x－1）（2cos x＋2）， 当x∈（ 0，）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增， 当x∈（ ，）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减. 所以f（x）max＝f（ ）＝， f（0）＝0，f（ ）＝2，所以f（x）∈（ 0，］. 所以△ABC周长的取值范围是（ 0，］ 学科网（北京）股份有限公司 $