专题4.4 函数y=Asin（ωx+φ）求ω值讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦三角函数求值核心考点，涵盖已知最值点或对称中心求参数、对称轴与对称中心间距求参数、区间单调性分析三类高频问题，按“核心知识点梳理-原理阐释-例题精析-分层练习”逻辑架构，通过考点分类整合、解题步骤归纳、真题实战训练，帮助学生构建系统知识网络，突破解题难点。 讲义突出数学思维与数学语言培养，如归纳“代入列式-整理表达式-求最小正数”标准化解题流程，设计基础到综合分层练习，结合典型例题变式训练，助力学生快速掌握高考命题规律。为教师提供精准复习素材，有效把控复习节奏，提升学生推理能力与应试技巧，实现高效备考。

专题4.4 函数求值 4.4.1 已知一个最值点、对称中心求、 以为例，设为已知点，： （1）时取函数最大值（时）：，原理： 在，，取最大值. （2）时取函数最小值（时）：，，原理：在，，取最小值. （3）是函数对称中心：，，原理：零点位置，，正弦对称中心都在图像与轴交点处. （4）解题步骤：①代入列式；②整理出表达式；③根据取整数，求最小正数. 例1.已知，处取得最大值，，求满足条件的最小正数. 解：由最大值知识点可得：， 代入已知：，解得， 限定，：时，；时（舍去负数）. 满足条件的最小正数为2. 例2.，是对称中心，求最小正数. 解：由正弦对称中心公式：则，，解得：， ∵，∴，；舍去. 所以最小正数. 例3.已知，取最小值，且，求最小正数. 解：由余弦的对称性可得：，，变形：， 因为，去掉绝对值得：， 解得：， 因为，取：，在区间内取满足原式的最小正数值. 例4.，为对称中心，，求最小正数. 解：有正切的对称中心公式：，， 因为，试取整数，时不等式有有效正数解：， 解得：，所以最小正数. 1.在处取最小值，求最小正值. 解：由正弦取最小值对应公式：，，解得：，， ∵，逐个试整数：：（舍去）；：， ∴最小正值为. 2.已知，处取最大值，求最小正数. 解：根据余弦最大值公式可得：，，解得：，， 因为，取，得最小正数，结果为负舍去.所以最小正数. 3.已知，点是函数对称中心，求最小正数. 解：由余弦函数对称中心可列方程：，，解得：，， 所以当时，为最小正数. 4.已知，取最大值，且，求最小正数. 解：根据余弦最大值公式可得：，， 因为，取：， ，结合原式整数规律，满足条件的最小正数. 5.，取最大值，，求满足条件最小正数. 解：由正弦函数最大值可得：，， 因为，取（可求出最小），代入范围：， 同除以拆分不等式：， 所以满足条件的最小正数. 6.已知，是对称中心，求最小正数. 解：由正切函数的对称中心公式得：，， 解得：，所以当时，，为最小正值.最小正数为10. 7.已知，、均为对称中心，求最小正数. 解：因为、均为对称中心， 计算两点间距：，同方向对称中心间距满足： 则：，当时，为最小正值.最小正数为2. 8.，取最小值，是对称中心，求最小正数. 解：由题意可得：，化简得：， 当时，带回原式计算，经检验，符合约束条件. 所以最小正数. 9.，是对称中心，求. 解：由正弦函数的对称中心公式可得：，， 解得： 当时，结果为负舍去.所以为. 4.4.2 已知两条对称轴、两个对称中心、两个最值点间距求 以为例： 1.已知两条对称轴或两个对称中心或一条对称轴、一个对称中心 （1）已知，是函数的两条对称轴，则. 原理：相邻对称轴间距为，隔段就是. （2）已知，是函数的两个对称中心，则. 原理：相邻对称中心间距为，隔段就是. （3）已知是函数的对称轴，是函数的对称中心，则. 原理：对称轴到最近对称中心最短距离，奇数倍 2.当时函数取最大值、当时函数取最小值：. 原理：相邻最值间距，奇数倍. 例1.，、都是对称轴，则的最小值为 . 解：计算两点间距： 同对称轴公式：，，可得：.解得：. ∵，∴取最小正整数：.所以的最小值为.故答案为：. 例2.，是对称轴，是对称中心，则的最小值 为 . 解：距离： 由一轴一中心公式得：， ∴，解得：. 所以当时，的最小值为.故答案为：. 例3.已知正弦型函数，图像上两个相邻的对称中心分别为和，该函数的正数为 . 解：半周期长度： 周期：，.故答案为：. 例4.，取最大值，取最小值，则的最小值为 . 解：间距： 最值间距公式：，则， 解得：， 所以当时，的最小值为.故答案为：. 1.已知正数对应的正弦型函数，其图像存在两条相邻的对称轴，分别为直线和直线，则正数的值为 . 解：由相邻对称轴间距公式得：，解得最小正周期：， 代入周期公式：.故答案为：. 2.已知函数，直线与直线均为该函数图像的对称轴，且两条对称轴之间的水平距离等于个最小正周期，正数的值为 . 解：根据题意列方程：，即， 解得最小正周期：，代入公式计算：.故答案为：. 3.已知函数，直线和直线是该函数图像的两条对称轴（非相邻），且的取值范围为，则所有符合条件的正实数有 . 解：计算两条对称轴间距：，代入通用公式：，化简得， 结合范围，即， 为正整数，可取、，对应、.故答案为：、. 4.已知正数的正弦函数，图像上存在两个相邻的对称中心，坐标分别为和，则正数的值为 . 解：相邻对称中心间距：，得周期：，计算：.故答案为：. 5.已知函数，点和点为函数图像的两个对称中心（非相邻），且的取值范围为，则所有满足条件的正实数有 . 解：对称中心间距：，代入公式化简：， 结合范围，正整数，，对应得：，.故答案为：，. 6.已知正数的正弦型函数，该函数图像的两个对称中心横坐标分别为和，且函数在区间上恰好有5个零点，则正数的值为 . 解：由零点个数得：，解得，计算：.故答案为：. 7.已知函数，点是函数图像的一个对称中心，距离该点最近的对称中心的横坐标为，且的取值范围为，则所有符合条件的正整数有 . 解：半周期：，周期范围：，则范围为：， 所以区间内正整数：，.故答案为：，. 8.已知正数的正弦函数，直线是函数图像的一条对称轴，点是距离该对称轴最近的一个对称中心，则正数的值为 . 解：间距等于四分之一周期：，得，解得，计算：. 故答案为：. 9.已知函数，直线是函数图像的一条对称轴，点是距离该对称轴最近的对称中心，则正数的值为 . 解：水平间距：，即，则. 故答案为：. 10.已知正数的正弦型函数，函数在处取得最高点（该直线为对称轴），点为函数的对称中心，且在区间上恰好存在2个最低点，则正数的值为 . 解：两点水平间距：，由图像特征得：，计算：. 故答案为：. 11.已知正数的正弦函数，函数在处取得最大值，在相邻位置处取得最小值，则正数的值为 . 解：，则.故答案为：. 12.已知函数，函数在处取得最大值，在处取得最小值（非相邻最值），且的取值范围为，则所有符合条件的正实数有 . 解：最值点间距：，代入公式：，化简得：， 结合，得、，对应，.故答案为：，. 13.已知函数，函数在处取得最大值，距离该最大值点最近的最小值点横坐标为，且的取值范围为，则所有符合条件的正整数为 . 解：半周期范围：，周期范围：，则范围：， 区间内正整数：、、、、.故答案为：、、、、. 4.4.3 区间单调性 以为例，区间或，区间长度： 1.区间全部单调递增：，. 2.区间全部单调递减：，. 3.区间不单调：区间跨过最值线，存在整数k对称轴（）落在之间：，. 例1.已知函数在单调递增，求的取值范围. 解：因为函数在单调递增， ∵，则， ∴结合题意可得：，解得：. ∴的取值范围为. 例2.因为函数在单调递减，求的最大值. 解：因为函数在单调递减， ∵，则， 递减区间：，，取（最小区间） ∴结合题意可得：，解得：， ∴的最大值为. 例3.在不单调，求最小取值范围. 解：不单调：对称轴落在区间内，，， 优先取（最近对称轴）：， 拆成两个不等式：且， 所以当时，，对应取值更大，题目最小取值范围：. 1.已知，函数解析式为，若该函数图像在自变量取值区间上是连续单调递增函数，请求出正数的取值范围. 解：区间长度，由得：； 令，，则； 需满足，列不等式：，解得：； 结合.所以正数的取值范围是：. 2.已知，余弦型函数，若函数在区间上单调递增，求正数的取值范围. 解：区间长度，由得； 令，；余弦增区间，只需； 解得：；又因为.所以正数的取值范围是：. 3.已知，函数，若函数在区间上单调递增，求出满足条件的全部正数的取值范围. 解：区间长度，由得； 令，； 列不等式组：，整理得：； 由得唯一整数解；得. 所以所以的取值范围是：. 4.已知，在单调递减，求的取值范围. 解：区间长度，由得； 令，； 列不等式组：，解得：； 又因为.所以的取值范围是：. 5.已知，在单调递减，求的取值范围. 解：区间长度，由得； 令，； 列不等式组：，解得：.所以的取值范围是：. 6.已知，余弦函数在区间上单调递减，求的取值范围. 解：区间长度，由得； 令，； 余弦减区间，列不等式组：，解得：； 综上所述：的取值范围是：. 7.已知，在不单调，且，求范围. 解：令，； 因为在不单调，所以； 解得：；又因为，∴， 综上所述：的取值范围是：. 8.已知，余弦函数在区间上不单调，求正数的取值范围. 解：令，； 余弦不单调条件：区间内含极值点，取：； 化简不等式：；解得：. 综上所述：正数的取值范围是：. 9.，在上不单调，求取值范围. 解：令，； 不单调满足：； 化简不等式得：，解得. 综上所述：的取值范围是：. 10.已知，余弦函数在区间上单调递增，求正数的取值范围. 解：区间长度，由得； 令，； 余弦增区间，取：； 列不等式组： 解得：； 综上所述：正数的取值范围是：. 11.，，函数在上单调递减，求取值范围. 解：区间长度，由得； 令，； 正弦减区间，得； 解得：； 综上所述：的取值范围是：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.4 函数求值 4.4.1 已知一个最值点、对称中心求、 以为例，设为已知点，： （1）时取函数最大值（时）：，原理： 在，，取最大值. （2）时取函数最小值（时）：，，原理：在，，取最小值. （3）是函数对称中心：，，原理：零点位置，，正弦对称中心都在图像与轴交点处. （4）解题步骤：①代入列式；②整理出表达式；③根据取整数，求最小正数. 例1.已知，处取得最大值，，求满足条件的最小正数. 例2.，是对称中心，求最小正数. 例3.已知，取最小值，且，求最小正数. 例4.，为对称中心，，求最小正数. 1.在处取最小值，求最小正值. 2.已知，处取最大值，求最小正数. 3.已知，点是函数对称中心，求最小正数. 4.已知，取最大值，且，求最小正数. 5.，取最大值，，求满足条件最小正数. 6.已知，是对称中心，求最小正数. 7.已知，、均为对称中心，求最小正数. 8.，取最小值，是对称中心，求最小正数. 9.，是对称中心，求. 4.4.2 已知两条对称轴、两个对称中心、两个最值点间距求 以为例： 1.已知两条对称轴或两个对称中心或一条对称轴、一个对称中心 （1）已知，是函数的两条对称轴，则. 原理：相邻对称轴间距为，隔段就是. （2）已知，是函数的两个对称中心，则. 原理：相邻对称中心间距为，隔段就是. （3）已知是函数的对称轴，是函数的对称中心，则. 原理：对称轴到最近对称中心最短距离，奇数倍 2.当时函数取最大值、当时函数取最小值：. 原理：相邻最值间距，奇数倍. 例1.，、都是对称轴，则的最小值为 . 例2.，是对称轴，是对称中心，则的最小值 为 . 例3.已知正弦型函数，图像上两个相邻的对称中心分别为和，该函数的正数为 . 例4.，取最大值，取最小值，则的最小值为 . 1.已知正数对应的正弦型函数，其图像存在两条相邻的对称轴，分别为直线和直线，则正数的值为 . 2.已知函数，直线与直线均为该函数图像的对称轴，且两条对称轴之间的水平距离等于个最小正周期，正数的值为 . 3.已知函数，直线和直线是该函数图像的两条对称轴（非相邻），且的取值范围为，则所有符合条件的正实数有 . 4.已知正数的正弦函数，图像上存在两个相邻的对称中心，坐标分别为和，则正数的值为 . 5.已知函数，点和点为函数图像的两个对称中心（非相邻），且的取值范围为，则所有满足条件的正实数有 . 6.已知正数的正弦型函数，该函数图像的两个对称中心横坐标分别为和，且函数在区间上恰好有5个零点，则正数的值为 . 7.已知函数，点是函数图像的一个对称中心，距离该点最近的对称中心的横坐标为，且的取值范围为，则所有符合条件的正整数有 . 8.已知正数的正弦函数，直线是函数图像的一条对称轴，点是距离该对称轴最近的一个对称中心，则正数的值为 . 9.已知函数，直线是函数图像的一条对称轴，点是距离该对称轴最近的对称中心，则正数的值为 . 10.已知正数的正弦型函数，函数在处取得最高点（该直线为对称轴），点为函数的对称中心，且在区间上恰好存在2个最低点，则正数的值为 . 11.已知正数的正弦函数，函数在处取得最大值，在相邻位置处取得最小值，则正数的值为 . 12.已知函数，函数在处取得最大值，在处取得最小值（非相邻最值），且的取值范围为，则所有符合条件的正实数有 . 13.已知函数，函数在处取得最大值，距离该最大值点最近的最小值点横坐标为，且的取值范围为，则所有符合条件的正整数为 . 4.4.3 区间单调性 以为例，区间或，区间长度： 1.区间全部单调递增：，. 2.区间全部单调递减：，. 3.区间不单调：区间跨过最值线，存在整数k对称轴（）落在之间：，. 例1.已知函数在单调递增，求的取值范围. 例2.因为函数在单调递减，求的最大值. 例3.在不单调，求最小取值范围. 1.已知，函数解析式为，若该函数图像在自变量取值区间上是连续单调递增函数，请求出正数的取值范围. 2.已知，余弦型函数，若函数在区间上单调递增，求正数的取值范围. 3.已知，函数，若函数在区间上单调递增，求出满足条件的全部正数的取值范围. 4.已知，在单调递减，求的取值范围. 5.已知，在单调递减，求的取值范围. 6.已知，余弦函数在区间上单调递减，求的取值范围. 7.已知，在不单调，且，求范围. 8.已知，余弦函数在区间上不单调，求正数的取值范围. 9.，在上不单调，求取值范围. 10.已知，余弦函数在区间上单调递增，求正数的取值范围. 11.，，函数在上单调递减，求取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $