4.5　函数y＝A sin (ωx＋φ) 专题讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦函数y=A sin(ωx+φ)高考核心考点，涵盖图象与变换、解析式求解及综合应用，按“基础概念—图象变换—性质应用—实际建模”逻辑架构知识体系。通过考点梳理（如参数A,ω,φ意义）、方法指导（五点法作图、图象变换规则）、真题训练（例题及变式题）等环节，帮助学生突破图象平移、解析式确定等难点，体现复习的系统性与针对性。 资料以“一题多变”“母题探究”创新教学，如通过函数图象平移变换的多角度变式，培养学生逻辑推理与直观想象能力。设置分层练习（A级基础到C级拓广），配合考点突破策略（如由图象求解析式的“零点代入法”），确保高效复习。助力学生构建三角函数问题解题框架，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

4．5　函数y＝A sin (ωx＋φ) 课标要求 考情分析 1．了解y＝A sin (ωx＋φ)的实际意义，能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象变化的影响． 2．会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型． ◎考点考法：y＝A sin (ωx＋φ)的图象、图象变换以及由图象求解析式，尤其是y＝A sin (ωx＋φ)的图象与性质的综合应用是考查的热点，题型多以选择题为主，难度中等． ◎核心素养：逻辑推理、直观想象、数学建模． 1．三角函数图象的平移规则是“左加右减”“上加下减”． 2．由y＝sin ωx到y＝sin (ωx＋φ)(ω＞0，φ＞0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度． 3．在函数y＝A sin (ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)中，若其最大值、最小值分别为M，m，则A＝，b＝. 1．用五点法作y＝2sin 3x的图象时，首先应描出的五点的横坐标可以是(　　) A．0，，π，，2π B．0，，，， C．0，π，2π，3π，4π D．0，，，， 2．为了得到函数y＝3sin 的图象，只需把函数y＝3sin 的图象上所有的点(　　) A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 D．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 3．为了得到函数y＝2sin 3x的图象，只要把函数y＝2sin 图象上所有的点(　　) A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 4．函数y＝sin 的振幅为________，周期为________，初相为________． 5．如图为函数y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的图象的一段，则φ＝________． 考点一　函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象与变换　一题多变　母题探究 已知函数f(x)＝2sin . (1)作出f(x)在[0，π]上的图象(要列表)； (2)函数y＝f(x)的图象可由函数y＝sin x的图象经过怎样的变换得到？ 1．(变条件、变结论)若将本例中函数f(x)的图象向左平移个单位长度，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，则g(x)＝________． 2．(变结论)在本例条件下，将函数y＝2cos 2x的图象向右平移________个单位长度得到y＝f(x)的图象． 三角函数图象变换的关键点 三角函数图象的平移变换问题类型多、情况复杂、技巧性强，在解题时容易出现错误，破解此类题的关键如下： (1)定函数：一定要看准是将哪一个函数的图象变换得到哪一个函数的图象． (2)变同名：变换前后函数的名称要一样． (3)选方法：即选择变换方法．要注意：对于函数y＝sin ωx(ω＞0)的图象，向左平移|φ|个单位长度得到的是函数y＝sin [ω(x＋|φ|)]的图象，而不是函数y＝sin (ωx＋|φ|)的图象． 考点二　由图象确定y＝A sin (ωx＋φ)的解析式　重难考点　师生共研 (1)(多选)已知函数f(x)＝A sin (A>0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，则下列判断正确的是(　　) A．ω＝ B．φ＝ C．点是函数f(x)图象的一个对称中心 D．直线x＝－是函数f(x)图象的一条对称轴 (2)函数f(x)＝2sin ＋1的部分图象如图所示，则φ＝________． 根据图象求函数解析式的解法要点 已知f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，关键是求ω和φ，常用如下两种方法： (1)由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ. (2)代入图象中已知点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图象解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的取值范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求． 1．如图，函数y＝tan 的部分图象与坐标轴分别交于点D，E，F，则△DEF的面积为(　　) A． B． C．π D．2π 2．已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)，如图，A，B是直线y＝与曲线y＝f(x)的两个交点，若|AB|＝，则f(π)＝________． 考点三　函数y＝A sin (ωx＋φ)的综合应用　多维探究　发散思维 角度1　三角函数图象与性质的综合 (多选)已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示．则下列结论正确的是(　　) A．f(x)在[0，π]上有两个极值点 B．f＝1 C．函数y＝f的图象关于y轴对称 D．若＝4，则的最小值为π 破解有关三角函数图象与性质的综合应用问题的关键：一是转化思想的应用，如将函数转化为“一角一函数”的形式；二是见数思形，熟悉正、余弦及正切函数的图象，并能适时应用；三是整体思想的应用，会用整体换元的思想研究函数的性质． 角度2　函数的零点(方程根)问题 函数y＝f(x)的图象由函数y＝cos 的图象向左平移个单位长度得到，则y＝f(x)的图象与直线y＝x－的交点个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 巧用图象解决三角函数中的零点(方程根)问题 解决三角函数中的零点(方程根)问题的关键是根据条件作出对应函数的图象，然后再将方程根的问题转化为图象的交点问题，利用数形结合思想解决． 角度3　三角函数模型的应用 (多选)如图所示，某摩天轮最高点离地面高度128米，转盘直径为120米，设置若干个座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时针匀速旋转t分钟，当t＝15时，游客随舱旋转至距离地面最远处．以下关于摩天轮的说法中正确的为(　　) A．摩天轮离地面最近的距离为4米 B．若旋转t分钟后，游客距离地面的高度为h米，则h＝－60cos t＋68 C．若在t1，t2时刻，游客距离地面的高度相等，则t1＋t2的最小值为30 D．∃t1，t2∈[0，20]，使得游客在该时刻距离地面的高度均为90米 利用三角函数模型解决实际问题的步骤 (1)寻找与角有关的信息，确定选用正弦、余弦还是正切型函数模型． (2)寻找数据，建立函数解析式并解题；最后将所得结果“翻译”成实际答案，要注意根据实际作答． 解题思路如下： 1．若函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)的最小正周期为π，且其图象向左平移个单位长度后所得图象对应的函数g(x)为偶函数，则f(x)的图象(　　) A．关于直线x＝对称 B．关于点对称 C．关于直线x＝－对称 D．关于点对称 2．已知函数f(x)＝2sin ，且关于x的方程f(x)＝t(t∈R)在区间上有唯一解，则t的取值范围是________． A级　基础过关 1．函数y＝sin 在区间上的简图是(　　) 2．要得到函数y＝cos 2x的图象，只需将函数y＝sin 的图象(　　) A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 3．已知函数f(x)＝4sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，其中A(0，2)，B，则f(x)＝(　　) A．4sin B．4sin C．4sin D．4sin 4．方程2sin ＝1在区间[－2π，2π)上的解的个数是(　　) A．4 B．6 C．8 D．9 5．(多选)若将函数f(x)＝cos 的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的是(　　) A．g(x)的最小正周期为π B．g(x)在上的最大值为1 C．x＝是函数g(x)图象的对称轴 D．g(x)在区间上单调递减 6．去年某地的月平均气温y(℃)与月份x(月)近似地满足函数y＝a＋b sin (a，b为常数).若6月份的月平均气温约为22 ℃，12月份的月平均气温约为4 ℃，则该地8月份的月平均气温约为________ ℃. 7．将函数y＝3sin 的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是________． 8．函数y＝cos (2x＋φ)(0＜φ＜π)的图象向右平移个单位长度后，与函数y＝sin 的图象重合，则φ＝________． 9．已知f(x)＝sin ωx－cos ωx，ω＞0. (1)若函数f(x)图象的两条相邻对称轴之间的距离为，求f的值； (2)若函数f(x)的图象关于对称，且函数f(x)在上单调，求ω的值． 10．已知函数f(x)＝A cos (ωx＋φ)(A＞0，0＜φ＜π)，同时满足下列四个条件中的三个：①最小正周期T＝π；②f(x)的图象可以由y＝sin x＋cos x的图象平移得到；③函数f(x)的最大值为2；④f(0)＝. (1)请先选出这三个条件并说明理由，再求出函数f(x)的解析式； (2)若曲线y＝f(x)的图象只有一个对称中心落在区间[0，a]内，求实数a的取值范围． B级　能力提升 11．已知函数f(x)＝的最小正周期为2π，直线x＝是f(x)图象的一条对称轴，则f(x)的单调递减区间为(　　) A． B． C． D． 12．如图，在函数f(x)＝sin 的部分图象中，若＝，则点A的纵坐标为(　　) A． B． C．－ D．2－ 13．已知函数f(x)＝sin2＋sin·cos －. (1)求f(x)的单调递增区间； (2)若函数y＝|f(x)|－m在区间上恰有两个零点x1，x2，求m的取值范围． C级　拓广探索 14．函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，图象与x轴的交点为M，与y轴的交点为N，最高点P(1，A)，且满足NM⊥NP.则下列说法正确的是(　　) A．f(π)>f(5) B．函数f(x)在(4，7)上单调递减 C．若f(x1)＝f(x2)＝(x1≠x2)，则|x1－x2|的最小值是1 D．把y＝A sin ωx的图象向左平移1个单位长度，得到y＝f(x)的图象 15．(多选)已知函数f(x)＝M sin (M>0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，A，B为f(x)的图象与x轴的交点，C为f(x)图象上的最高点，△ABC是边长为1的等边三角形，＝2，则(　　) A．f(0)＝ B．直线x＝是f(x)图象的一条对称轴 C．f(x)的单调递减区间为 D．f(x)的单调递增区间为(k∈Z) 学科网（北京）股份有限公司 $ 4．5　函数y＝A sin (ωx＋φ) 课标要求 考情分析 1．了解y＝A sin (ωx＋φ)的实际意义，能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象变化的影响． 2．会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型． ◎考点考法：y＝A sin (ωx＋φ)的图象、图象变换以及由图象求解析式，尤其是y＝A sin (ωx＋φ)的图象与性质的综合应用是考查的热点，题型多以选择题为主，难度中等． ◎核心素养：逻辑推理、直观想象、数学建模． 1．三角函数图象的平移规则是“左加右减”“上加下减”． 2．由y＝sin ωx到y＝sin (ωx＋φ)(ω＞0，φ＞0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度． 3．在函数y＝A sin (ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)中，若其最大值、最小值分别为M，m，则A＝，b＝. 1．用五点法作y＝2sin 3x的图象时，首先应描出的五点的横坐标可以是(　　) A．0，，π，，2π B．0，，，， C．0，π，2π，3π，4π D．0，，，， 答案　B 2．为了得到函数y＝3sin 的图象，只需把函数y＝3sin 的图象上所有的点(　　) A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 D．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 解析　将函数y＝3sin 图象上所有点的横坐标缩短到原来的， 可得函数y＝3sin 的图象． 答案　B 3．为了得到函数y＝2sin 3x的图象，只要把函数y＝2sin 图象上所有的点(　　) A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 解析　因为y＝2sin ＝2sin ，所以要得到函数y＝2sin 3x的图象，只要把函数y＝2sin 的图象上所有的点向右平移个单位长度．故选D. 答案　D 4．函数y＝sin 的振幅为________，周期为________，初相为________． 答案　　　 5．如图为函数y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的图象的一段，则φ＝________． 解析　由图象可得A＝.又T＝2＝π，所以ω＝2.又图象过点，因此2×＋φ＝2kπ(k∈Z)，解得φ＝2kπ－(k∈Z).又|φ|＜π，所以φ＝－. 答案　－ 考点一　函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象与变换　一题多变　母题探究 已知函数f(x)＝2sin . (1)作出f(x)在[0，π]上的图象(要列表)； (2)函数y＝f(x)的图象可由函数y＝sin x的图象经过怎样的变换得到？ [解析]　(1)因为x∈[0，π]， 所以2x＋∈. 列表如下： 2x＋ π 2π x 0 π f(x) 1 2 0 －2 0 1 描点、连线得图象． (2)将y＝sin x的图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数y＝sin 的图象，再将y＝sin 的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝sin 的图象，再将y＝sin 上的所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到f(x)＝2sin 的图象． 1．(变条件、变结论)若将本例中函数f(x)的图象向左平移个单位长度，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，则g(x)＝________． 解析　f(x)的图象向左平移个单位长度后得到y＝2sin ＝2sin 的图象， 再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到g(x)＝2sin 的图象，即g(x)＝2sin . 答案　2sin 2．(变结论)在本例条件下，将函数y＝2cos 2x的图象向右平移________个单位长度得到y＝f(x)的图象． 解析　将函数y＝2cos 2x的图象向右平移个单位长度，可得函数y＝2sin 2x的图象，再将y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，可得函数y＝2sin 的图象，综上可得，函数y＝2sin 的图象可以由函数y＝2cos 2x的图象向右平移个单位长度得到． 答案　 三角函数图象变换的关键点 三角函数图象的平移变换问题类型多、情况复杂、技巧性强，在解题时容易出现错误，破解此类题的关键如下： (1)定函数：一定要看准是将哪一个函数的图象变换得到哪一个函数的图象． (2)变同名：变换前后函数的名称要一样． (3)选方法：即选择变换方法．要注意：对于函数y＝sin ωx(ω＞0)的图象，向左平移|φ|个单位长度得到的是函数y＝sin [ω(x＋|φ|)]的图象，而不是函数y＝sin (ωx＋|φ|)的图象． 考点二　由图象确定y＝A sin (ωx＋φ)的解析式　重难考点　师生共研 (1)(多选)已知函数f(x)＝A sin (A>0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，则下列判断正确的是(　　) A．ω＝ B．φ＝ C．点是函数f(x)图象的一个对称中心 D．直线x＝－是函数f(x)图象的一条对称轴 (2)函数f(x)＝2sin ＋1的部分图象如图所示，则φ＝________． [解析]　(1)根据图象和题目条件可知A＝1，＝2π－＝，所以T＝＝，解得ω＝，A正确；将x＝代入，可得×＋φ＝，解得φ＝，B正确； 所以f(x)＝sin ，令x＝得，f＝sin ＝sin ≠0，C错误；令x＝－得，f＝sin ＝－sin ＝－1，故x＝－是函数f(x)的一条对称轴，D正确，故选ABD. (2)令f(x)＝2sin (2x＋φ)＋1＝0，则sin ＝－， 根据图象得x＝－为函数零点，零点左右函数为上升趋势，则2×＋φ＝2kπ－，k∈Z，则φ＝2kπ＋，k∈Z，因为<π，则k＝0，φ＝. [答案]　(1)ABD　(2) 根据图象求函数解析式的解法要点 已知f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，关键是求ω和φ，常用如下两种方法： (1)由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ. (2)代入图象中已知点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图象解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的取值范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求． 1．如图，函数y＝tan 的部分图象与坐标轴分别交于点D，E，F，则△DEF的面积为(　　) A． B． C．π D．2π 解析　在y＝tan 中，令x＝0，可得y＝1，所以D(0，1)；令y＝0，解得x＝－(k∈Z)，故E，F.所以△DEF的面积为××1＝. 答案　A 2．已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)，如图，A，B是直线y＝与曲线y＝f(x)的两个交点，若|AB|＝，则f(π)＝________． 解析　设A，B，则x2－x1＝， ωx2＋φ－(ωx1＋φ)＝－＝，ω(x2－x1)＝，∴ω＝4，f＝sin ＝0，＋φ＝kπ(k∈Z)，φ＝－＋kπ(k∈Z)，k＝2时，φ＝－，f(x)＝sin 满足条件．∴f(π)＝sin ＝－. 答案　－ 考点三　函数y＝A sin (ωx＋φ)的综合应用　多维探究　发散思维 角度1　三角函数图象与性质的综合 (多选)已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示．则下列结论正确的是(　　) A．f(x)在[0，π]上有两个极值点 B．f＝1 C．函数y＝f的图象关于y轴对称 D．若＝4，则的最小值为π [解析]　由题图知A＝2，T＝－＝⇒T＝π， ∴ω＝＝2，所以f(x)＝2sin ， 由图象可知f(x)在x＝时取得极大值，则在x＝＋＝时取得极小值， 所以上有两个极值点，A正确； 又f＝2sin ＝2，所以＋φ＝2kπ＋，k∈Z，所以φ＝2kπ－，k∈Z. 因为|φ|<，所以令k＝0，即φ＝－. 所以f(x)＝2sin .所以f＝2sin ＝，B错误； 因为函数f(x)的周期为π，将y＝f(x)图象上的所有点沿x轴向右平移个单位长度后得到y＝f＝2sin ＝－2cos 2x的图象，为偶函数， 所以函数y＝f的图象关于y轴对称，C正确； 若＝4，则的最小值为，D错误．故选AC. [答案]　AC 破解有关三角函数图象与性质的综合应用问题的关键：一是转化思想的应用，如将函数转化为“一角一函数”的形式；二是见数思形，熟悉正、余弦及正切函数的图象，并能适时应用；三是整体思想的应用，会用整体换元的思想研究函数的性质． 角度2　函数的零点(方程根)问题 函数y＝f(x)的图象由函数y＝cos 的图象向左平移个单位长度得到，则y＝f(x)的图象与直线y＝x－的交点个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 [解析]　将函数y＝cos 的图象向左平移个单位长度得到函数y＝f(x)＝cos ＝cos ＝－sin 2x的图象，则y＝f(x)＝－sin 2x.在同一坐标系中分别画出函数y＝－sin 2x的图象与直线y＝x－，如图．由图可得y＝f(x)的图象与直线y＝x－有3个交点．故选C. [答案]　C 巧用图象解决三角函数中的零点(方程根)问题 解决三角函数中的零点(方程根)问题的关键是根据条件作出对应函数的图象，然后再将方程根的问题转化为图象的交点问题，利用数形结合思想解决． 角度3　三角函数模型的应用 (多选)如图所示，某摩天轮最高点离地面高度128米，转盘直径为120米，设置若干个座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时针匀速旋转t分钟，当t＝15时，游客随舱旋转至距离地面最远处．以下关于摩天轮的说法中正确的为(　　) A．摩天轮离地面最近的距离为4米 B．若旋转t分钟后，游客距离地面的高度为h米，则h＝－60cos t＋68 C．若在t1，t2时刻，游客距离地面的高度相等，则t1＋t2的最小值为30 D．∃t1，t2∈[0，20]，使得游客在该时刻距离地面的高度均为90米 [解析]　由题意知，摩天轮离地面最近的距离为128－120＝8(米)，故A不正确；t分钟后，转过的角度为t，则h＝60－60cos t＋8＝－60cos t＋68，故B正确；h＝－60cos t＋68，周期为＝30，由余弦型函数的性质可知，若t1＋t2取最小值，则t1，t2∈[0，30]，又高度相等，则t1，t2关于t＝15对称，则＝15，则t1＋t2＝30，故C正确；令0≤t≤π，解得0≤t≤15，令π≤t≤2π，解得15≤t≤30，则h在t∈[0，15]上单调递增，在t∈[15，20]上单调递减，当t＝15时，hmax＝128，当t＝20时，h＝－60cos ＋68＝98＞90，所以h＝90在t∈[0，20]上只有一个解，故D不正确． [答案]　BC 利用三角函数模型解决实际问题的步骤 (1)寻找与角有关的信息，确定选用正弦、余弦还是正切型函数模型． (2)寻找数据，建立函数解析式并解题；最后将所得结果“翻译”成实际答案，要注意根据实际作答． 解题思路如下： 1．若函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)的最小正周期为π，且其图象向左平移个单位长度后所得图象对应的函数g(x)为偶函数，则f(x)的图象(　　) A．关于直线x＝对称 B．关于点对称 C．关于直线x＝－对称 D．关于点对称 解析　依题意可得ω＝＝2，所以f(x)＝2sin (2x＋φ)，所以f(x)的图象向左平移个单位长度后所得图象对应的函数为g(x)＝2sin ，又函数g(x)为偶函数，所以＋φ＝＋kπ，k∈Z，解得φ＝＋kπ，k∈Z，又|φ|＜，所以φ＝，所以f(x)＝2sin ，由2x＋＝＋kπ，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，所以f(x)图象的对称轴为直线x＝＋，k∈Z，排除A、C；由2x＋＝kπ，k∈Z，得x＝－＋，k∈Z，则f(x)图象的对称中心为(k∈Z)，排除B；当k＝1时，－＋＝，故D正确． 答案　D 2．已知函数f(x)＝2sin ，且关于x的方程f(x)＝t(t∈R)在区间上有唯一解，则t的取值范围是________． 解析　因为x∈，所以2x－∈，所以2sin ∈[－1，2]，且当x＝时，f＝1，所以其函数图象如图所示．因为关于x的方程f(x)＝t(t∈R)在区间上有唯一解，所以y＝f(x)与y＝t只有一个交点，结合函数图象可知－1≤t＜1或t＝2. 答案　[－1，1)∪{2} A级　基础过关 1．函数y＝sin 在区间上的简图是(　　) 解析　令x＝0，得y＝sin ＝－，排除B、D.令x＝，得y＝sin ＝0，排除C. 答案　A 2．要得到函数y＝cos 2x的图象，只需将函数y＝sin 的图象(　　) A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 解析　y＝cos 2x＝sin ＝sin ，y＝sin ＝sin ，所以y＝sin 的图象向左平移个单位长度可得到函数y＝cos 2x的图象． 答案　A 3．已知函数f(x)＝4sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，其中A(0，2)，B，则f(x)＝(　　) A．4sin B．4sin C．4sin D．4sin 解析　由题意得，＝－0，则T＝，∴ω＝＝3，∴f(x)＝4sin (3x＋φ).∵f(0)＝4sin φ＝2，∴sin φ＝，又|φ|＜，∴φ＝，∴f(x)＝4sin . 答案　D 4．方程2sin ＝1在区间[－2π，2π)上的解的个数是(　　) A．4 B．6 C．8 D．9 解析　原方程化为sin ＝，在同一坐标系内作出函数y＝sin ，x∈[－2π，2π)与直线y＝的图象，如图，观察图象知：在x∈[－2π，2π)时函数y＝sin 的图象与直线y＝有8个公共点，所以方程2sin ＝1在区间[－2π，2π)上有8个解．故选C. 答案　C 5．(多选)若将函数f(x)＝cos 的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的是(　　) A．g(x)的最小正周期为π B．g(x)在上的最大值为1 C．x＝是函数g(x)图象的对称轴 D．g(x)在区间上单调递减 解析　由题意可知g(x)＝cos ＝cos ，所以g(x)的最小正周期为π，A正确；当x∈时，2x－∈，g(x)的最大值为1，故B正确；当x＝时，2x－＝0，为函数g(x)的图象的对称轴，故C正确；当x∈时，2x－∈，g(x)不单调，故D错误．故选ABC. 答案　ABC 6．去年某地的月平均气温y(℃)与月份x(月)近似地满足函数y＝a＋b sin (a，b为常数).若6月份的月平均气温约为22 ℃，12月份的月平均气温约为4 ℃，则该地8月份的月平均气温约为________ ℃. 解析　将(6，22)，(12，4)代入函数，解得a＝13，b＝－18，所以y＝13－18sin .当x＝8时，y＝13－18sin ＝31. 答案　31 7．将函数y＝3sin 的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是________． 解析　将函数y＝3sin 的图象向右平移个单位长度后所得图象对应的函数解析式为y＝3sin ＝3sin .令2x－＝＋kπ，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，当k＝－1时，对称轴方程为x＝－，故平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是x＝－. 答案　x＝－ 8．函数y＝cos (2x＋φ)(0＜φ＜π)的图象向右平移个单位长度后，与函数y＝sin 的图象重合，则φ＝________． 解析　把函数y＝cos (2x＋φ)(0＜φ＜π)的图象向右平移个单位长度后，得到y＝cos (2x－π＋φ)的图象，与函数y＝sin 的图象重合，则cos (2x－π＋φ)＝sin ，即sin ＝sin ，又知－＜－＋φ＜，所以－＋φ＝－，则φ＝. 答案　 9．已知f(x)＝sin ωx－cos ωx，ω＞0. (1)若函数f(x)图象的两条相邻对称轴之间的距离为，求f的值； (2)若函数f(x)的图象关于对称，且函数f(x)在上单调，求ω的值． 解析　(1)f(x)＝sin ωx－cos ωx＝2＝2sin ， 因为函数f(x)图象的两条相邻对称轴之间的距离为，所以T＝，则T＝π，所以T＝＝π，解得ω＝2，所以f(x)＝2sin ， 所以f＝2sin ＝2sin ＝2×＝. (2)由(1)知f(x)＝2sin ，因为函数f(x)的图象关于点对称，所以－＝kπ，k∈Z，所以ω＝3k＋1，k∈Z. 由x∈，ω＞0， 得ωx－∈， 因为f(x)在上单调，所以 解得0＜ω≤，所以取k＝0，ω＝1. 10．已知函数f(x)＝A cos (ωx＋φ)(A＞0，0＜φ＜π)，同时满足下列四个条件中的三个：①最小正周期T＝π；②f(x)的图象可以由y＝sin x＋cos x的图象平移得到；③函数f(x)的最大值为2；④f(0)＝. (1)请先选出这三个条件并说明理由，再求出函数f(x)的解析式； (2)若曲线y＝f(x)的图象只有一个对称中心落在区间[0，a]内，求实数a的取值范围． 解析　(1)满足条件①③④. 由题意知条件②，y＝sin x＋cos x＝sin ， 最大值为，与③矛盾，故②③不能同时成立，则①④必满足，所以T＝π，所以ω＝＝2，故排除②， 所以f(x)＝A cos (ωx＋φ)(A＞0，0＜φ＜π)同时满足①③④. 所以A＝2，ω＝2，此时f(x)＝2cos (2x＋φ)， 因为f(0)＝，所以2cos φ＝，即cos φ＝， 因为0＜φ＜π，所以φ＝，所以f(x)＝2cos . (2)令2x＋＝kπ＋，k∈Z， 解得x＝＋，k∈Z， 所以f(x)的对称中心是(k∈Z)， 因为曲线y＝f(x)只有一个对称中心落在区间[0，a]内，所以≤a＜， 所以实数a的取值范围是. B级　能力提升 11．已知函数f(x)＝的最小正周期为2π，直线x＝是f(x)图象的一条对称轴，则f(x)的单调递减区间为(　　) A． B． C． D． 解析　由于f(x)＝|tan (ωx＋φ)|的图象是将y＝tan 的图象在x轴下方部分翻折到x轴上方， 且y＝tan 仅有单调递增区间， 故f(x)＝和y＝tan 的最小正周期相同，均为2π， 则＝2π，∴ω＝，即f(x)＝， 又直线x＝是f(x)图象的一条对称轴， 则×＋φ＝kπ，k∈Z， 即φ＝kπ－，k∈Z，结合0<φ<，得φ＝， 故f(x)＝，令kπ－<x＋≤kπ，k∈Z，则2kπ－<x≤2kπ－，k∈Z， 即f(x)的单调递减区间为，故选B. 答案　B 12．如图，在函数f(x)＝sin 的部分图象中，若＝，则点A的纵坐标为(　　) A． B． C．－ D．2－ 解析　由题意令ωx＋φ＝，则x＝－， 所以T， 设A，B，因为＝， 所以解得 所以2y1＝y2＝f(x2)＝f ＝sin ＝cos ＝1－2sin2＝1－2y， 所以2y＋2y1－1＝0，又由图可知y1>0，所以y1＝.故选B. 答案　B 13．已知函数f(x)＝sin2＋sin·cos －. (1)求f(x)的单调递增区间； (2)若函数y＝|f(x)|－m在区间上恰有两个零点x1，x2，求m的取值范围． 解析　(1)f(x)＝sin2＋sin·cos －＝＋sin －＝－cos 2x＋sin 2x＋cos 2x－＝sin 2x＋cos 2x＝sin . 结合正弦函数的图象与性质，可得当－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z， 即－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z时，函数单调递增， 所以函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z). (2)令t＝2x＋， 当x∈时，t∈，sin t∈， 所以y＝∈(如图). 所以要使y＝|f(x)|－m在区间上恰有两个零点，则＜m＜或m＝0，所以m的取值范围为∪{0}． C级　拓广探索 14．函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，图象与x轴的交点为M，与y轴的交点为N，最高点P(1，A)，且满足NM⊥NP.则下列说法正确的是(　　) A．f(π)>f(5) B．函数f(x)在(4，7)上单调递减 C．若f(x1)＝f(x2)＝(x1≠x2)，则|x1－x2|的最小值是1 D．把y＝A sin ωx的图象向左平移1个单位长度，得到y＝f(x)的图象 解析　函数f(x)的周期T＝4＝6，即＝6，解得ω＝， 由f(1)＝A，得＋φ＝＋2kπ，k∈Z，而|φ|<，则k＝0，φ＝，f(x)＝A sin ， 则点N，由NM⊥NP，得NP2＋MN2＝MP2，即1＋A2＋＋A2＝＋A2， 解得A＝，因此f(x)＝sin . 对于A，由f(4)＝－，得函数f(x)的图象关于x＝4对称，则f(5)＝f(3)， 由图象知，函数f(x)在[1，4]上单调递减，则f(3)>f(π)，因此f(π)<f(5)，A错误； 对于B，由于函数f(x)的图象关于x＝4对称，且在[1，4]上单调递减，则f(x)在(4，7)上单调递增，B错误； 对于C，由f(x)＝，得sin ＝，则x1＋＝＋2k1π，k1∈Z， x2＋＝＋2k2π，k2∈Z，两式相减得(x2－x1)＝＋2(k2－k1)π，k1，k2∈Z， 即x2－x1＝1＋6(k2－k1)，k1，k2∈Z， 所以|x2－x1|min＝1，C正确； 对于D，把y＝sin x图象向左平移1个单位长度，得y＝sin ＝sin ≠f(x)，D错误．故选C. 答案　C 15．(多选)已知函数f(x)＝M sin (M>0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，A，B为f(x)的图象与x轴的交点，C为f(x)图象上的最高点，△ABC是边长为1的等边三角形，＝2，则(　　) A．f(0)＝ B．直线x＝是f(x)图象的一条对称轴 C．f(x)的单调递减区间为 D．f(x)的单调递增区间为(k∈Z) 解析　对于A，由图可得：f(x)的最小正周期为2，所以＝2，即ω＝π， 易得M＝，所以f(x)＝sin ， 因为＝2， 所以A，B，C， 由五点作图法可得＋φ＝，即φ＝，所以f(x)＝sin ，所以f(0)＝，故A不正确； 对于B，由于f＝sin ＝，为最大值， 所以直线x＝是f(x)图象的一条对称轴，故B正确； 对于C，令2kπ＋<πx＋<2kπ＋，k∈Z，解得＋2k<x<＋2k，k∈Z， 所以f(x)的单调递减区间为，故C正确； 对于D，令2kπ－<πx＋<2kπ＋，k∈Z，解得－＋2k<x<＋2k，k∈Z， 所以f(x)的单调递增区间为，故D不正确，故选BC. 答案　BC 学科网（北京）股份有限公司 $