4.2同角三角函数的基本关系式与诱导公式讲义——2027届高考数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦同角三角函数基本关系式（平方关系、商数关系及变形）与诱导公式两大核心考点，按“同角关系（知一求二、弦切互化、和差积转换）—诱导公式（公式表、应用）—综合应用”逻辑架构知识，通过考点梳理（表格呈现公式）、方法指导（解题策略总结）、真题训练（2026年模拟题）等环节，帮助学生突破难点，体现复习的系统性和针对性。 讲义采用“口诀记忆+转化策略”创新教学，如用“奇变偶不变，符号看象限”理解诱导公式，通过（sinα±cosα）²=1±2sinαcosα实现和差积转换，培养数学思维与应用意识。设置分层练习（基础练、综合练）与即时反馈，确保高效复习，助力学生构建解题框架，提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

第2节　同角三角函数的基本关系式与诱导公式 课标要求 1.理解同角三角函数的基本关系式sin2α＋cos2α＝1，＝tan α（α≠＋kπ，k∈Z）. 2.掌握诱导公式，并会简单应用. 同角三角函数的基本关系式 1.平方关系：sin2α＋cos2α＝　1　（α∈R）. 2.商数关系：tan α＝　　（ α≠kπ＋，k∈Z）. 提醒：平方关系对任意角都成立，而商数关系中α≠kπ＋（k∈Z）. 3.同角三角函数关系式的常见变形 （1）sin2α＝1－cos2α＝（1＋cos α）（1－cos α）； （2）cos2α＝1－sin2α＝（1＋sin α）（1－sin α）； （3）（sin α±cos α）2＝1±2sin αcos α； （4）sin α＝tan αcos α（α≠＋kπ，k∈Z）； （5）sin2α＝＝；cos2α＝＝. 角度1　知一求二 （2026·陕西榆林模拟）已知cos θ＝－，θ∈（0，π），则tan θ＝（　　） A. B. C.－ D.－ 解析：D　由θ∈（0，π），可得sin θ＝＝.则tan θ＝＝－. 规律方法 　　利用sin2α＋cos2α＝1可实现角α的正弦、余弦的互化，对于sin α，cos α，tan α三个量可知一求二.（角α象限不确定时需分类讨论） 角度2　弦切互化 （1）已知tan α＝－，且α为第二象限角，则cos α＝（　A　） A.－ B. C.－ D. 解析： 因为tan α＝－，所以sin α＝－cos α，又sin2α＋cos2α＝1，所以＋cos2α＝1，所以cos2α＝.又α为第二象限角，所以cos α＝－. （2）若sin 2α＋cos2α＝－，α∈，则tan α＝　－3　. 解析：由sin 2α＋cos2α＝－，得＝－，即＝－，所以tan2α＋4tan α＋3＝0，解得tan α＝－1或tan α＝－3，因为α∈，所以tan α＝－3. 规律方法 　　利用＝tan α可实现角α的弦切互化，当分式中分子与分母是关于sin α，cos α的齐次式时，往往转化为关于tan α的式子求解. 角度3　“和（差）”“积”转换 〔多选〕已知θ∈（0，π），sin θ＋cos θ＝，则（　　） A.θ∈（，π） B.cos θ＝－ C.tan θ＝－ D.sin θ－cos θ＝ 解析：ABD　∵sin θ＋cos θ＝　①，∴（sin θ＋cos θ）2＝1＋2sin θcos θ＝，∴2sin θcos θ＝－，∵θ∈（0，π），∴sin θ＞0，cos θ＜0，∴θ∈（，π），故A正确；（sin θ－cos θ）2＝1－2sin θcos θ＝，∴sin θ－cos θ＝　②，故D正确；由①②得sin θ＝，cos θ＝－，故B正确；tan θ＝＝－，故C错误. 规律方法 　　正弦、余弦“sin α±cos α，sin αcos α”的相互转化：sin α±cos α与sin αcos α通过平方关系联系到一起，即（sin α±cos α）2＝1±2sin αcos α，sin αcos α＝，sin αcos α＝. 练1 （1）已知＝2，则tan α＝（　B　） A. B. C.－ D.－ 解析： 因为＝2，所以cos α＋2sin α＝2，且cos α≠0，所以cos2α＋4sin αcos α＋4sin2α＝4，即4sin αcos α＝3cos2α，cos α≠0，所以tan α＝.故选B. （2）若θ∈（0，π），tan θ＋＝6，则sin θ＋cos θ＝（　A　） A. B.－ C.± D. 解析：因为tan θ＋＝＋＝＝＝6，所以sin θcos θ＝，所以（sin θ＋cos θ）2＝1＋2sin θcos θ＝.又θ∈（0，π），sin θcos θ＝＞0，sin θ＞0，则cos θ＞0，所以sin θ＋cos θ＝.故选A. 三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α （k∈Z） π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan α tan α －tan α －tan α 提醒：诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限.“奇”“偶”指的是“k·＋α（k∈Z）”中的k是奇数还是偶数；“变”与“不变”是指函数的名称的变化；“符号看象限”指的是在“k·＋α（k∈Z）”中，将α看成锐角时，“k·＋α（k∈Z）”的终边所在的象限. 结论：（1）sin（kπ＋α）＝（－1）ksin α（k∈Z）； （2）cos（kπ＋α）＝（－1）kcos α（k∈Z）. （1）化简＝（　C　） A.－1 B.1 C.tan α D.－tan α 解析： 由诱导公式得，原式＝＝＝tan α，故选C. （2）已知cos（－θ）＝a（｜a｜≤1），则cos（＋θ）＋sin（－θ）＝　0　. 解析：由题知cos（ ＋θ）＝cos＝－cos（ －θ）＝－a，sin（ －θ）＝sin［＋（ －θ）］＝cos（ －θ）＝a，∴cos（ ＋θ）＋sin（ －θ）＝0. 规律方法 1.利用诱导公式解题的一般思路 （1）化绝对值大的角为锐角； （2）角中含有加减的整数倍时，用公式去掉的整数倍. 2.常见的互余和互补的角 （1）互余的角：－α与＋α；＋α与－α；＋α与－α等； （2）互补的角：＋θ与－θ；＋θ与－θ等. 练2 （1）化简求值：＝　　； 解析： ＝＝＝＝. （2）已知A＝＋（k∈Z），求A的值构成的集合. 解：由结论得A＝＋， ①当k为偶数时，A＝＋＝2； ②当k为奇数时，A＝－＝－2. ∴A的值构成的集合是{－2，2}. 同角关系与诱导公式的综合应用 （1）（2026·山东泰安模拟）已知sin（ ＋α）＝且＜α＜π，则tan α＝（　B　） A.－ B.－ C. D.3 解析： 由诱导公式得sin（ ＋α）＝sin（ π＋＋α）＝－sin（ ＋α）＝－cos α＝，所以cos α＝－.又因为α∈（ ，π），所以sin α＝，所以tan α＝＝－. （2）（2026·上饶清源学校段考）已知0＜α＜，且sin（ α－）＝，则sin（ －α）＝（　C　） A.－ B.－ C. D. 解析：因为0＜α＜，所以－＜α－＜，又sin（ α－）＝，所以cos（ α－）＝＝，sin（ －α）＝sin（ ＋－α）＝cos（ －α）＝cos（ α－）＝.故选C. 规律方法 　　利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.注意角的范围对三角函数符号的影响. 练3 （1）（2026·河北衡水模拟）已知sin（－α）＋cos（π－α）＝sin α，则2sin2α－sin αcos α＝（　D　） A. B. C. D.2 解析： 由诱导公式可得sin α＝sin（－α）＋cos（π－α）＝－2cos α，所以tan α＝－2.因此，2sin2α－sin αcos α＝＝＝＝2. （2）已知sin（ ＋α）＝，那么tan（ －α）＝（　　B） A.－ B.±2 C. D.2 解析：因为sin（ ＋α）＝，所以cos（ －α）＝cos＝sin（ ＋α）＝，则sin（ －α）＝±＝±，所以tan（ －α）＝＝±2. （时间：60分钟，满分：90分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分] 1.sin 600°＝（　　） A.－ B. C.－ D. 解析：C　sin 600°＝sin（240°＋360°）＝sin 240°＝sin（180°＋60°）＝－sin 60°＝－. 2.（2026·贵州黔西模拟）已知tan α＝1，则＝（　　） A.6 B.4 C.3 D.2 解析：A　＝＝＝6，故选A. 3.（2026·四川乐山模拟）若sin（ α＋）＝，则cos（ α＋）＝（　　） A. B.－ C. D.± 解析：B　由sin（ α＋）＝，得cos（ α＋）＝cos［（ α＋）＋］＝－sin（ α＋）＝－，故选B. 4.已知α为第二象限角，则＋＝（　　） A.3 B.－3 C.1 D.－1 解析：C　由题意，得＋＝＋，因为α为第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0，所以＋＝＋＝2－1＝1. 5.已知sin2（π－θ）＝cos（ ＋θ），0＜｜θ｜＜，则θ＝（　　） A.－ B.－ C. D. 解析：D　由题意知sin2θ＝sin θ，所以sin θ＝或sin θ＝0.又因为0＜｜θ｜＜，所以θ＝. 6.（2026·山东日照模拟）已知α是第一象限角，且sin α＋cos α＝3cos αtan α，则sin（ α＋）＝（　　） A.－ B.－ C. D. 解析：D　因为sin α＋cos α＝3cos αtan α，所以sin α＋cos α＝3sin α，所以cos α＝2sin α，左右两侧平方得cos2α＝4sin2α＝4（1－cos2α），所以5cos2α＝4，又因为α是第一象限角，所以cos α＝，则sin（ α＋）＝cos α＝.故选D. 7.〔多选〕在△ABC中，下列结论正确的是（　　） A.sin（A＋B）＝sin C B.sin ＝cos C.tan（A＋B）＝－tan C（ C≠） D.cos（A＋B）＝cos C 解析：ABC　在△ABC中，有A＋B＋C＝π，则sin（A＋B）＝sin（π－C）＝sin C，A正确；sin ＝sin（ －）＝cos ，B正确；tan（A＋B）＝tan（π－C）＝－tan C（ C≠），C正确；cos（A＋B）＝cos（π－C）＝－cos C，D错误. 8.（2026·黑龙江佳木斯调研）已知sin（53°－α）＝，且－270°＜α＜－90°，则sin（37°＋α）＝　　－　　. 解析：∵－270°＜α＜－90°，∴143°＜53°－α＜323°，又sin（53°－α）＝，∴143°＜53°－α＜180°，则sin（37°＋α）＝cos[90°－（37°＋α）]＝cos（53°－α）＝－. 9.已知cos α＝，α是第一象限角，且角α，β的终边关于y轴对称，则tan β＝　　－　　. 解析：∵α是第一象限角，且角α，β的终边关于y轴对称，∴β＝π－α＋2kπ，k∈Z，∴tan β＝tan（π－α＋2kπ）＝tan（π－α）＝－tan α＝－＝－＝－. 10.（13分）已知函数f（α）＝. （1）化简f（α）； （2）若α∈（ －，），f（ α＋）＝，求cos（ ＋α）＋2cos（ －α）的值. 解：（1）f（α）＝＝＝sin α. （2）因为f（α）＝sin α， 所以f（ α＋）＝sin（ α＋）＝，cos（ ＋α）＝cos＝－sin（ α＋）＝－， cos（ －α）＝cos＝－cos（ α＋）. 因为α∈（ －，），所以α＋∈（ 0，）， cos（ α＋）＝，故cos（ －α）＝－， 因此cos（ ＋α）＋2cos（ －α）＝－. 11.在△ABC中，sin（ －A）＝3sin（π－A），cos A＝－cos（π－B），则△ABC为（　　） A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 解析：B　由sin（ －A）＝3sin（π－A）可得cos A＝3sin A，即tan A＝，又0＜A＜π，所以A＝，再由cos A＝－cos（π－B）可得cos A＝cos B，所以cos B＝，又0＜B＜π，所以B＝，所以C＝，所以△ABC为直角三角形.故选B. 12.已知α∈（ 0，），β∈（ ，π），且sin（ ＋α）＝cos（ β－），sin（π＋α）＝sin（ －β），则β－α＝（　　） A. B. C. D. 解析：C　由题意得由①2＋3×②2得，cos2α＋9sin2α＝3，又cos2α＋sin2α＝1，所以sin2α＝，又α∈（ 0，），所以sin α＝，则α＝.将α＝代入①，得sin β＝，因为β∈（ ，π），所以β＝，则β－α＝. 13.〔多选〕已知＝3，－＜α＜，则（　　） A.tan α＝2 B.sin α－cos α＝－ C.sin4α－cos4α＝ D.＝ 解析：ACD　因为＝＝3，所以tan α＝2＞0，又－＜α＜，所以0＜α＜，所以sin α＞0，cos α＞0，由＝3＞0，可得sin α－cos α＞0，故A正确，B错误；sin4α－cos4α＝（sin2α－cos2α）·（sin2α＋cos2α）＝sin2α－cos2α＝＝＝＝，故C正确；＝＝＝，故D正确. 14.（15分）已知sin（－θ）cos（＋θ）＝，且0＜θ＜. （1）求tan θ的值； （2）求［cos（＋θ）＋sin（θ－）］·[sin（3π－θ）－2cos（π＋θ）]的值. 解：（1）∵sin（－θ）cos（＋θ）＝cos θsin θ＝， ∴＝＝， ∴12tan2θ－25tan θ＋12＝0， 即（3tan θ－4）（4tan θ－3）＝0. ∵0＜θ＜，∴0＜tan θ＜1，∴tan θ＝. （2） ［cos（＋θ）＋sin（θ－）］·[sin（3π－θ）－2cos（π＋θ）]＝（sin θ－cos θ）（sin θ＋2cos θ）＝＝＝＝－ 学科网（北京）股份有限公司 $第2节同角三角函数的基本关系式与诱导公式 。课标要求 1.理解同角三角函数的基本关系式sin2a十cos2a=l,器=tana(a≠号+m,k∈Z)· 2.掌握诱导公式，并会简单应用. 考点一 同角三角函数的基本关系式 1.平方关系：sin2a十cos2a=（a∈R) 2.商数关系：tana=—(a≠km+受，k∈Z). 提醒：平方关系对任意角都成立，而商数关系中α≠m十号(k∈Z)· 3.同角三角函数关系式的常见变形 (1)sin2a=1-cos2a=(1+cos a)(1-cos a); (2)cos2a=1-sin2a=(1+sin a.)(1-sin a) (3)(sina±cosa)2=1±2 sin acos; (4)sina=-tan acos(a≠5+m,k∈Z)； sina tana cosa (5)sin2a=sinatcosatan:cos2a=sin-aecostan1 角度1知一求二 圆卫(2026·陕西输林模拟)已知c0s0=-鲁，0∈(0，)，则an0=() A昌 B. c-昌 D.- 听课记录， 金规律方法 利用sina十cos2a=1可实现角u的正弦、余弦的互化，对于sin,cosa,tan三个量可知一求二.（角a象限 不确定时需分类讨论) 角度2弦切互化 圆2(1)已知ana=一是，且a为第二象限角，则cosa=（） A.- B. c.- D (2)若sin2a十cos2a=-克，a∈(5，要)，则tana 听课记录 金规律方法 利用器=tana可实现角a的弦切互化，当分式中分子与分母是关于sina,cosa的齐次式时，往往转化为关 于tanc的式子求解. 角度3“和（差)”“积”转换 例3〔多选]己知0∈(0，元)，sin0十cos0=青，则() A.6∈（受，元） B.cos6=-胃 C.an0=-星 D.sn0-cos0=号 听课记录」 金规律方法 正弦、余弦“sin士cosu,sin acos a.”的相互转化：sina士cosa与sin acos a通过平方关系联系到一起，即(sin a±cosa)2=1±2 sin acos a,sin acos a= (m sin co( 练1(1)已知品 =2,则tana=( A青 B. c.-青 D.- (2)若θ∈(0，元)，an9+=6,则sin6+cos0=（) A.6 3 B.-23 3 C.±25 3 D. 考点二 三角函数的诱导公式 公式 三 四 五 六 2kn+a 角 元十a 元- (k∈Z) 受-a 晋+a 正弦 sin a -sin a sin a cos a 余弦 cos a cos a -cos a sin a -sin a 正切 tan d tan a -tan a 提醒：诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限.“奇”“偶”指的是“k·十α(k∈Z)”中的k是奇数还是偶 数；“变”与“不变”是指函数的名称的变化；“符号看象限”指的是在k·受十α(k∈Z)”中，将看成锐角时，k·受 十a(k∈Z)”的终边所在的象限. 结论：(1)sin(km十a)=(-1)sina(k∈Z); (2)cos (ka+a)=(-1)kcos a (kEZ). 例4(1)化简 cosr+a）cos(停+a）cos(乎-a】 cosc-a)n(m-a】in停+a)=（) A.-1 B.1 C.tan a D.-tan c. (2)已知cos(晋-0)=a(1a1≤1)，则cos(钙+0)十sin(等-0)= 听课记录 金规律方法 1.利用诱导公式解题的一般思路 (1)化绝对值大的角为锐角： (2)角中含有加减号的整数倍时，用公式去掉号的整数倍。 2.常见的互余和互补的角 (1)互余的角：号-一a与+：号+a与若-a;十a与登-a等； (2)互补的角： 号+与晋-0：景+与琴-0等 tam乎+sing 练2(1)化简求值：os【马)tm要 = (2)已知A=血a+oskl(k∈Z),求A的值构成的集合. sina coSa 提能点 同角关系与诱导公式的综合应用 例5(1) (2026·山东泰安模拟)已知sm(受+a)=号且受<a<元，则ana=（) A.-5 B.-9 as D.3 (2)(2026·上饶清源学校段考)已知0<a<受，且sin(a-晋)=主，则sin(晋-a)=() A四 B.- c耍 D. 听课记录」 金规律方法 利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变 形.注意角的范围对三角函数符号的影响， 练3(1)(2026·河北衡水模拟)已知sin(钙-a)十cos(元-m)=sina,则2sn2a-sin acos=() A器 B.号 a D.2 (2)已知sin(孪+a)=青，那么tan(晋-)=() A自 B.±2V6 cs D.26 第2节同角三角函数的基本关系式与诱导公式 (时间：60分钟，满分：90分) [备注：单选、填空题5分，多选题6分] A级基础达标 1.sin600°=() A-支B克C-5D9 2.(2026·责州黔西楼拟)已知ama=1,则器 () A.6 B.4 C.3 D.2 3.(2026·四川乐山模拟)若sin(a+晋)=青，则cos(a+弯)=() A B-青 c D.±号 2sina 4已知a为第二象限角，则。+ =() COSa A.3 B.-3 C.1 D.-1 5已2（红-》=号s(要+0），0<101<5，则期0-=(） A.-晋 B.-晋 c. D.号 6.(2026·山东日照模拟)已知a是第一象限角，且sina十cosa=3 cos atan,则sin(a+号)=() 5 B.-35 5 7.〔多选]在△ABC中，下列结论正确的是() A.sin (+B)=sin C B.smg=cos号 C.an(A+B)=-tanC(C≠号) D.cos (A+B)=cos C 8.(2026·黑龙江佳木斯调研)已知sin(53°-a)=青，且-270°<a<-90°，则sin(37°十a)= 9.己知cosa= ，a是第一象限角，且角a,的终边关于y轴对称，则tanB=_ 10.(13分)已知函数f(a)= sin (2n-a os (ita an (2nt-a) n(呼+a )tan-a） (1)化简f(a): (2)若a∈(-晋，晋)，f(a+晋)=青，求cos(等+a)+2cos(晋-a)的值. B级综合应用 11.在△ABC中，V5sin(号-A)=3sin(元-A),cosA=-V5cos(元-B),则△ABC为() A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 12.已知a∈(0,5)，B∈（受，x),且sinm(号+a)=5cos(B-受），V5sin(元+a)=sin(是-B),则 B-a=( A胃 B.晋C. D.平 13.〔多选]已知器8"8器=3，-受<a<受，则() A.tan a=2 B.sin a-cos a=- 5 C.sina-costa- D.12gnacosa sna-cosa 14.(15分)已知sin(变-0)cos(受+0)=号，且0<0<晋 (1)求tan的值； (2)求[cos(钙+0)+sin(0-号)]·[sin(3元-0)-2cos(元+0)]的值