第四章 课时3 两角和与差的三角函数讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦两角和与差及二倍角三角函数公式，按“公式推导-内在联系-应用拓展”逻辑架构知识，通过课标要求解读、知识梳理填空、基础判断选择、分考点（公式应用/逆用/二倍角/角的变换）真题精讲与对点训练，帮助学生系统构建三角公式网络，突破公式逆用、角的拆分等难点。 讲义采用“问题驱动-规律提炼-分层突破”教学策略，如在辅助角公式教学中，通过例2“sinx-2cosx最大值”引导学生用数学语言构建√5sin(x-φ)模型，培养符号意识与推理能力。设置从基础判断到高考真题的梯度训练，配合即时答案解析，确保学生高效掌握关键技能，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供实用教学工具。

课时3 两角和与差的三角函数 一、课标要求 1. 经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义. 2. 能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系. 二、知识梳理 1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式 cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ，(C(α－β)) cos(α＋β)＝ ，(C(α＋β)) sin(α－β)＝ ，(S(α－β)) sin(α＋β)＝ ，(S(α＋β)) tan(α－β)＝，(T(α－β)) tan(α＋β)＝.(T(α＋β)) 2.二倍角公式 sin 2α＝ ，(S2α) cos 2α＝ ＝ ＝ ，(C2α) tan 2α＝. (T2α) 【拓展知识】 两角和与差的公式的常用变形： (1)sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β. (2)cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β. (3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)． (4). 三、基础回顾 1.判断正误.(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)存在α，β∈R，使得sin(α－β)＝sin α－sin β成立． (　　) (2)对于任意α，β∈R，sin(α＋β)＝sin α＋sin β都不成立． (　　) (3)存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立． (　 ) (4)sin2－cos2＝. (　　) 2. 若cosθ＝－且θ∈，则sin的值为(　 　) A． B．－ C． D． 3. （多选题）下列等式成立的有(　 　) A．sin＝cos2 B．cos73°cos28°＋sin73°sin28°＝ C．tan15°＝2－ D．sin40°＋cos40°＝sin70° 4. 若cos α＝－，且α是第三象限角，则sin= . 四、考点扫描 考点一 两角和与差的三角函数公式 例1 （1）(2024·新课标I卷)已知，则 （ ） A. B. C. D. (2)（2025·广东广州市一模）已知，则_______． 规律方法： 对点训练 （1）（2025·广东佛山市高三10月联考）已知且，则（ ） A. B. C. D. （2） (2025·江西上饶市模拟)若sin(2α－β)＝，sin(2α＋β)＝，则sin 2αcos β=(　　) A. B. C. D. 考点二 两角和与差的三角函数公式的逆用（辅助角公式） 例2 （1）求值：sin 220°(tan 10°－)＝ . （2）已知函数f(x)＝sin x－2cos x，设当x＝θ时，f(x)取得最大值，则cos θ＝ . 规律方法： 对点训练 （1）(2024·江西九江市三模）若，则（    ） A． B． C． D． （2）已知3cosα－sin α＝2cos (α＋φ)，其中－π<φ<π，则φ＝ ． 考点三 二倍角公式的应用 例3 （1）(2025·福建厦门市二模)已知，若，则（ ） A. B. C. D. （2）（2025·新高考Ⅱ卷） 已知，，则（ ） A. B. C. D. 对点训练 （1）(2025·广东一模)已知是锐角，若，则__________． （2）(2025·山东德州市高三期末)若θ∈，且tan 2θ＝，则sin＝(　 ) A． B． C． D． 考点四 角的变换 例4 （1）若sin＝，则cos＝(　　) A．－ B．－ C． D． （2）已知cos＝－，且α∈，则sin＝ . 规律方法： 对点训练 （1）已知sin α＝，且α为钝角，tan(α－β)＝，则tan β=(　　) A．1 B．－1 C．2 D．－2 （2）(2025·山东临沂市模拟)已知 ，则的值为（     ） A． B． C． D． 课时3 两角和与差的三角函数参考答案 二、知识梳理 1. cos αcos β－sin αsin β sin αcos β－cos αsin β sin αcos β＋cos αsin β 2.2sin αcos α cos2α－sin2α 2cos2α－1 1－2sin2α 三、基础回顾 1.（1）√ （2）× （3）√ （4）× 2. A【解析】 因为θ∈，所以sinθ＞0．因为cosθ＝－，所以sinθ＝＝，所以sin＝sinθcos＋cosθsin＝×－×＝．故选A. 3. ABC【解析】 sin＝cos2，故A正确； cos73°cos28°＋sin73°sin28°＝cos(73°－28°)＝cos45°＝，故B正确； tan15°＝tan(60°－45°)＝＝2－，故C正确； sin40°＋cos40°＝sin40°cos60°＋cos40°sin60°＝sin(40°＋60°)＝sin100°＝sin80°，故D错误．故选ABC. 4.－ 【解析】因为α是第三象限角，所以sin α<0， 所以sin α＝－＝－＝－， 所以sin＝sin αcos ＋cos αsin ＝×＋×＝－. 四、考点扫描 例1（1）A【解析】因为，所以， 而，所以，故即，从而，故.故选A. （2） 【解析】由， 得， 则，所以. 对点训练（1）A 【解析】因为60°<α<150°，所以90°<30°+α<180°，所以cos(30°+α)=－， 所以cosα=cos[(30°+α)－30°]=cos(30°+α)cos30°+sin(30°+α)sin30° =.故选A. （2）C【解析】由sin(2α－β)＝，sin(2α＋β)＝，可得sin 2αcos β－cos 2αsin β＝ ①， sin 2αcos β＋cos 2αsin β＝ ②. 由①＋②得，2sin 2αcos β＝，所以sin 2αcos β＝.故选C. 例2（1）1【解析】原式＝－sin 40°＝－sin 40°· ＝－sin 40°·＝＝＝＝1. （2）－【解析】f(x)＝sin x－2cos x＝sin(x－φ)，其中cos φ＝，sin φ＝， 则f(θ)＝sin(θ－φ)＝，因此θ－φ＝＋2kπ，k∈Z， 则cos θ＝cos＝－sin φ＝－. 对点训练 （1） C 【解析】令，则，所以由， 得，即， 即，得，所以.故选C. （2）【解析】因为3cos α－sin α＝2 ＝2＝2cos， 又因为3cos α－sin α＝2cos (α＋φ)，且－π<φ<π，所以φ＝. 例3 （1） C 【解析】因为，所以，即， 所以. 因为，所以，所以，故. 因为，所以， 所以. 故选C. （2） D【解析】. 因为，则，则， 则.故选D. 对点训练（1） 【解析】由，得. 因为是锐角，所以，所以， 整理得，解得或（舍）. （2） D 【解析】因为tan 2θ＝＝＝， 化简可得2sin θ(2－sin θ)＝cos2θ－sin2θ＝1－2sin 2θ，即sin θ＝，且θ∈， 则sin ＝cos 2θ＝1－2sin 2θ＝1－2×＝.故选D. 例4（1）A【解析】cos＝cos＝－cos ＝－＝－＝－.故选A. （2） 【解析】因为cos＝－，α∈，所以α∈，sin＝， 所以sin＝sin＝sincos －cossin ＝×－×＝. 对点训练 （1） B 【解析】因为sin α＝，α为钝角，所以cos α＝－＝－， 所以tan α＝＝－.又tan(α－β)＝，则tan β＝tan[α－(α－β)]＝＝＝－1.故选B. （2） A 【解析】. 因为，所以，则在第二或第三象限. 因为，当在第三象限时，由于. 又在上递增，且，所以当在第三象限时，，与矛盾，所以在第二象限，因为，所以． 因为，所以，则．因为，所以．所以， 即．故选A． . 学科网（北京）股份有限公司 $