第四章 课时4 三角恒等变换讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦三角恒等变换高考核心考点，涵盖和差倍角公式应用、三角函数式化简求值及证明等内容，按课标要求构建知识梳理（公式变形）、基础回顾、考点扫描的递进式架构，通过考点梳理、方法指导（规律总结）、真题训练（2025年模拟题）等环节，帮助学生突破角、名称、次数变换难点，体现复习系统性与针对性。 资料突出“多角度转化”教学策略，如例4“给值求角”中结合角的范围分析与三角函数值计算，培养数学思维（推理能力），辅助角公式应用（例5函数最值）渗透模型观念。设置分层练习（基础判断、综合应用）与即时反馈，确保高效突破考点，助力学生提升三角变换应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

课时4 三角恒等变换 一、课标要求 1．能利用和差倍角公式进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式的证明. 2． 能运用公式进行简单的恒等变换（包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆），会从角的变换、名称的变换、次数的变换等多个角度进行等价转化，提升三角变换的能力． 二、知识梳理 常用的公式变形 1.半角公式（降幂公式）：cos2α＝ ，sin2α＝ . 2.升幂公式：1＋cos 2α＝ ，1－cos 2α＝ . 3.辅助角公式：asin x＋bcos x＝ ，其中sin φ＝，cos φ＝. 4.(sin α±cos α)2＝sin2α＋cos2α±2sin αcos α＝1±sin2α． (sin α±cos α)2＝1±sin2α⇒ 5.tan α±tan β＝ . 6.sin α±cos α＝ ． 【拓展知识】 几个常用的恒等变换 1.万能代换：sin α＝；cos α＝；tan α＝． 2.恒等式： tan ＝＝． 三、基础回顾 1.判断正误.(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)． (　 　) (2). (　 　) (3)若，则α为第一象限角． (　 　) (4)半角的正切公式成立的条件为α≠(2k＋1)π(k∈Z)．(　 　) 2. 计算：sin 15°cos 45°＋sin 105°sin 135°＝(　　) A. B. C. D.1 3．(多选题)下列各式与tan α相等的有(　　) A. B.·(α∈(0，π)) C. D. 4.已知α为锐角，且cos α＝，则sin ＝ . 四、考点扫描 考点一 三角函数式的化简与证明 例1 （1）已知0<θ<π，则 . （2）已知2tan2β＝tan2α－1，求证：sin2α－cos2α＝sin2β． 规律方法： 对点训练 (1)(2025·四川成都市联考)化简：__ ____. （2）证明：＝tanα＋. 考点二 求三角函数值或角 考向1 给角求值 例2 求值：__ __． 考向2 给值求值 例3 (2025·浙江嘉兴市期初)已知sin(α＋β)＝3cos(α－β)，tan αtanβ＝－，则tan α＋tan β＝(　 　) A．－ B．－5 C． D．12 考向3 给值求角 例4 已知α，β均为锐角，且cos α＝，sin β＝，则cos 2α＝________，2α－β＝________. 规律方法： 对点训练（1）(2025·福建南平市三检)已知tan＝，则cos＝(　 　) A．－ B． C．－ D． （2）(2025·山东青岛市统考) 已知，则（    ） A． B． C． D． （3）已知α为锐角，且1＋＝，则α＝ . 考点三 三角恒等变换的综合应用 例5 （1）已知函数，则的最大值为（    ） A． B． C． D． （2） (2025·黑龙江哈尔滨市模拟)我国古代天文学家僧一行在《太衍历》中建立了晷影长l与太阳天顶距θ(0°≤θ≤180°)的对应数表，这是世界上较早的一张正切函数表.根据三角学知识可知，晷影长l等于表高h与太阳天顶距θ正切值的乘积，即l＝htan θ.对同一“表高”两次测量，第一次和第二次的太阳天顶距分别为α，β，且tan(α－β)＝，若第二次的“晷影长”与“表高”相等，则第一次的“晷影长”是“表高”的(　　) A.1倍 B.2倍 C.3倍 D.4倍 对点训练 （1）若α∈，且＝，则cos＝(　　) A. B. C. D.0 （2）(2025·山东青岛市调研)已知sin α＋sin β＝1，cos α＋cos β＝，则cos(α－β)＝________. 课时4 三角恒等变换参考答案 【知识梳理】 1. 2.2cos2α 2sin2α 3.sin(x＋φ) 5.tan(α±β)(1∓tan αtan β) 6.sin 三、基础回顾 1.（1）× （2）× （3）× （4）√ 2.　C 【解析】　因为sin 105°＝sin(90°＋15°)＝cos 15°， sin 135°＝sin(180°－45°)＝sin 45°， 所以sin 15°cos 45°＋sin 105°sin 135°＝sin 15°cos 45°＋cos 15°sin 45°＝ sin(15°＋45°)＝sin 60°＝.故选C. 3.BC【解析】　对于选项A，＝＝＝|tan α|； 对于选项B，因为α∈(0，π)，所以原式＝·＝＝tan α； 对于选项C，＝＝tan α； 对于选项D，＝＝.故选BC. 4.　 【解析】　由题意，cos α＝＝1－2sin2，得sin2＝＝＝. 又α为锐角，所以sin>0，所以sin＝. 四、考点扫描 例1 （1）　－cos θ 【解析】原式＝＝cos ·＝.因为0<θ<π，所以0<<，所以cos >0.所以原式＝－cos θ. （2）【证明】 因为2tan2β＝tan2α－1，所以tan2α＝2tan2β＋1， 即＝2×＋1，去分母，得sin2αcos2β＝2cos2αsin2β＋cos2αcos2β． 又2cos2αsin2β＋cos2αcos2β＝2cos2α(1－cos2β)＋cos2αcos2β ＝2cos2α－cos2αcos2β＝cos2α(2－cos2β)＝cos2α(1＋sin2β)， 所以sin2αcos2β＝cos2α(1＋sin2β)，即sin2α(1－sin2β)＝cos2α＋cos2αsin2β， 所以sin2α－sin2αsin2β＝cos2α＋cos2αsin2β， 于是sin2α－cos2α＝(sin2α＋cos2α)sin2β＝sin2β， 故sin2α－cos2α＝sin2β ． 对点训练 （1）cos 2x　 【解析】原式＝＝＝ ＝＝cos 2x. （2）【证明】 左边＝＝＝＝tanα＋＝右边． 例2 －2 【解析】 原式＝＝＝＝ ＝＝－2． 例3 C【解析】 由tan αtan β＝－，得＝－，即sin αsin β＝－cos αcos β． 又sin(α＋β)＝3cos(α－β)＝3cos αcos β＋3sin αsin β＝ 3cos αcos β＋3×＝cos αcos β， 所以tan α＋tan β＝＋＝＝ ＝＝．故选C. 例4 ; 【解析】因为cos α＝，所以cos 2α＝2cos2α－1＝. 又因为α，β均为锐角，sin β＝，所以sin α＝，cos β＝， 因此sin 2α＝2sin αcos α＝， 所以sin(2α－β)＝sin 2αcos β－cos 2αsin β＝×－×＝. 因为α为锐角，所以0＜2α＜π.又cos 2α＞0，所以0＜2α＜. 又β为锐角，所以－＜2α－β＜，又sin(2α－β)＝，所以2α－β＝. 对点训练（1） A 【解析】 因为tan＝，所以解得sin2＝， 所以cos＝cos＝－cos＝ －＝－＝－． （2） B 【解析】因为，而， 因此，则， 所以.故选B. （3）50°【解析】因为1＋＝＝＝ ＝＝＝＝，所以sin α＝sin 50°.又因为α为锐角，所以α＝50°. 例5 （1） A【解析】. 令， 即.由，则.故选A. （2）　B 【解析】　依题意，tan β＝1， 则tan α＝tan[(α－β)＋β]＝＝＝2， 所以第一次的“晷影长”是“表高”的2倍.故选B. 对点训练 （1）　C 【解析】　由＝，得3(1＋tan2α)＝8×＝8×， 则3(1＋tan2α)2＝8－8tan2α，解得tan2α＝(负值舍去). 因为α∈，所以tan α＝，所以α＝，所以cos＝cos ＝.故选C. （2）　 【解析】　因为sin α＋sin β＝1，cos α＋cos β＝， 故(sin α＋sin β)2＝sin2α＋sin2β＋2sin αsin β＝1， (cos α＋cos β)2＝cos2α＋cos2β＋2cos αcos β＝2， 以上两式相加可得2＋2sin αsin β＋2cos αcos β＝3， 即2(sin αsin β＋cos αcos β)＝1，故cos(α－β)＝. . 学科网（北京）股份有限公司 $