3.5 利用导数研究不等式恒成立、有解问题（精讲）-备战2027年高考数学一轮复习（全国通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦导数应用核心考点，围绕不等式恒成立与有解问题，构建“知识复习-方法提炼-典例精析”的系统框架，涵盖分离参数法、分类讨论法及双参最值法等解题策略，通过考点梳理、方法步骤详解与阶段检测、高考真题训练，帮助学生建立问题分析路径，突破导数综合应用难点。 资料以“数学思维”与“数学语言”为导向，创新采用“方法分类+问题分层”教学策略，如典例一通过分离变量法步骤拆解与阶段检测题实战，培养学生逻辑推理能力，典例二结合高考真题深化分类讨论，强化模型观念。设置从基础应用到综合创新的梯度训练，确保学生高效掌握解题技巧，为教师提供精准复习节奏把控依据，助力提升学生应考能力。

3.5 利用导数研究不等式恒成立、有解问题（精讲） 第一部分：知识复习 1、分离参数法 用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式； 步骤： ①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向） ②转化：若)对恒成立，则只需；若对恒成立，则只需． ③求最值. 2、分类讨论法 如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(，或，)求解． 3、最值法解决双参不等式问题 （1）,,使得成立 （2）,,使得成立 （3）,,使得成立 （4）,,使得成立 第二部分：典型例题 典例一：分离变量法解决恒成立问题 1．（25-26高二下·辽宁辽阳·阶段检测）已知函数. (1)证明：在上单调递增； (2)设，曲线在点处的切线方程为，证明：当时，； (3)若时，，求的取值范围. 2．（25-26高二下·辽宁沈阳·阶段检测）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)判断函数的零点个数，并说明理由； (3)若对任意的，都有成立，求整数k的最大值． 3．（25-26高三下·云南·阶段检测）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)判断函数的零点个数； (3)若对任意的，都有成立，求整数的最大值． 4．（25-26高二下·福建厦门·期中）已知函数．若在处有极值，则的值为__________；若当时， ，则实数的取值范围是__________． 5．（25-26高二下·天津·阶段检测）已知函数 ， (1)求曲线在点处的切线方程 (2)当 时，列出极值表，求的极值； (3)当时， ，求整数 的最大值． 6．（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)若对任意的，恒成立，求m的取值范围． 典例二：分类讨论法解决恒成立问题 7．（2026·湖南·模拟预测）已知函数，． (1)证明：． (2)讨论的单调性． (3)若，求的取值集合． 8．（2026·湖北·三模）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，，求实数的取值范围． 9．（25-26高二下·上海闵行·期末）已知 ， ． (1)当 时，求函数的单调区间和极值； (2)若 恒成立，求的取值范围． 10．（2026·全国二卷·高考真题）已知函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求，； (2)当时，，求的取值范围； (3)当时，，求的最小值． 11．（25-26高二下·河南·阶段检测）已知函数，其中， 为自然对数的底数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，证明：； (3)若对任意 ，不等式恒成立，求实数的取值范围． 12．（25-26高二下·河南·阶段检测）已知函数 恒成立，则实数 的取值范围为_______________． 典例三：分离变量法解决能成立问题 13．（25-26高二下·河北保定·阶段检测）若关于的不等式在上有解，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 14．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是_________． 15．（2026高三·全国·专题练习）若关于的不等式有解，其中，则实数的最小值为（   ） A． B． C． D． 16．（25-26高二下·黑龙江佳木斯·期中）已知函数 (1)若对任意的，且，总存在，使得成立，求实数的取值范围 (2)若为整数，当时，恒成立，求的最大值； 17．（2026·湖南株洲·三模）若存在，使得对恒成立，则实数b的范围为（    ） A． B． C． D． 18．（2026·四川遂宁·模拟预测）函数． (1)当时，求函数在的单调区间； (2)若存在，使得成立，求的取值范围． 典例四：分类讨论法解决能成立问题 19．（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）已知函数．若存在，使得成立，则的取值范围为___________． 20．（2026·辽宁大连·三模）函数，，为自然对数的底数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若存在实数x，满足，求实数a的取值范围； 21．（2026·山东滨州·二模）已知函数，. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若存在，使，求的取值范围. 22．（25-26高二下·北京·期中）已知函数，． (1)若存在x使得成立，求a的取值范围； (2)当时，在定义域内恒成立，求b的取值范围． 23．（25-26高二下·重庆綦江·阶段检测）已知，，存在使，则a的范围是________. 24．（25-26高二下·山东青岛·阶段检测）已知函数. (1)当时，求的极值； (2)若，且存在，使得成立，求a的取值范围. 典例五：最值法解决双参不等式问题 25．（25-26高二下·重庆·期中）已知函数，若使得，则实数a的取值范围为________． 26．（25-26高二下·重庆·阶段检测）已知函数，，若，，使得，则实数a的取值范围是________. 27．（25-26高二下·天津滨海新区·阶段检测）已知两个函数和.（其中为实数），若对，，使成立，则的取值范围为________. 28．（25-26高二下·河南信阳·阶段检测）已知函数，，若，使得成立，则实数a的取值范围是______． 29．（25-26高二下·江苏无锡·期中）已知函数，，若对任意，存在，使，则实数的取值范围是______. 30．（2026·江苏·二模）已知函数（为自然对数的底数），若对任意，总存在，使得，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.5 利用导数研究不等式恒成立、有解问题（精讲） 第一部分：知识复习 1、分离参数法 用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式； 步骤： ①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向） ②转化：若)对恒成立，则只需；若对恒成立，则只需． ③求最值. 2、分类讨论法 如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(，或，)求解． 3、最值法解决双参不等式问题 （1）,,使得成立 （2）,,使得成立 （3）,,使得成立 （4）,,使得成立 第二部分：典型例题 典例一：分离变量法解决恒成立问题 1．（25-26高二下·辽宁辽阳·阶段检测）已知函数. (1)证明：在上单调递增； (2)设，曲线在点处的切线方程为，证明：当时，； (3)若时，，求的取值范围. 【答案】(1)因为，所以， 当时，； 当时， 所以在上单调递增. (2)由题可得， 则， 设， 则， 设，则， 设，则， 所以即在上单调递增，又， 所以当时，，即单调递减； 当时，，即单调递增， 因为， 所以当时，，单调递减；当时，，单调递增， 则，故有，即当时，. (3) 【分析】（1）由题设说明在R上成立可完成证明； （2）设，，，通过研究单调性可得在上单调递减，在上单调递增，最后由可完成证明； （3）将问题转化为，设，通过研究单调性，可得时不满足题意，然后通过研究单调性，可得，据此可得答案. 【详解】（1）略 （2）略 （3）当时，，即， 设，，则， 设 ，，则， 由（2）可得时，，所以在上单调递增，则， 所以，则在上单调递增， 当时，取，则 ，不合题意； 当时，设，则， 令，则，由（2）可知时， 所以在上单调递增，则， 所以在上单调递增，则，即， 所以，所以符合题意. 综上，的取值范围是. 2．（25-26高二下·辽宁沈阳·阶段检测）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)判断函数的零点个数，并说明理由； (3)若对任意的，都有成立，求整数k的最大值． 【答案】(1) (2)函数的零点个数为2．，理由如下： 因为，定义域是， 所以．当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值，．     因为，， 所以由函数零点存在定理，得在内和内各存在一个零点， 所以函数的零点个数为2． (3)3 【分析】（1）利用导数的几何意义求解切线方程； （2）利用零点存在定理求解函数的零点个数； （3）将原不等式问题等价转化为，从而得到整数k的最大值. 【详解】（1）因为，，所以， 所以曲线在点处的切线的斜率为， 又因为， 所以曲线在点处的切线方程为，即． （2）略； （3）因为对任意的，都有，所以． 设，， 则． 由（2）知，在上单调递增． 因为，， 所以在内存在唯一的零点，即． 所以当时，，所以，在上单调递减； 当时，，所以，在上单调递增． 所以在处取得极小值，也是最小值， ． 因为，所以． 所以，所以整数k的最大值为3． 3．（25-26高三下·云南·阶段检测）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)判断函数的零点个数； (3)若对任意的，都有成立，求整数的最大值． 【答案】(1) (2)两个零点 (3)3 【分析】（1）根据导数的几何意义求解； （2）利用导数确定函数的单调性，然后结合零点存在定理判断； （3）不等式分离参数化为，引入函数，，利用导数求得其最小值并判断最小值所在范围后可得结论． 【详解】（1）因为，，所以， 所以曲线在点处的切线的斜率为， 又因为， 所以曲线在点处的切线方程为． （2）因为，，所以． 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值，． 因为当时，，， 所以由函数零点存在定理，得在内和内各存在一个零点， 所以函数有两个零点． （3）因为对任意的，都有，所以． 设，， 则． 由（2）知，在上单调递增． 因为，， 所以在内存在唯一的零点，即． 所以当时，，所以，在上单调递减； 当时，，所以，在上单调递增． 所以在处取得极小值，也是最小值， ． 因为，所以． 所以，所以整数的最大值为． 4．（25-26高二下·福建厦门·期中）已知函数．若在处有极值，则的值为__________；若当时， ，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】空1，求出导数，利用函数在在处有极值，求得的值；空2，法一：问题等价于当时，恒成立，构造函数，求导，对进行分类讨论进而求得的取值范围.法二：由题意得恒成立，构造函数，进而利用洛必达法则可求得实数的取值范围. 【详解】． 依题意知，所以． 方法一：当时，， 即，即． 令，则，． ①当 时，， 所以在上单调递增， 所以，所以 满足条件． ②当时，若，则， 若，则． 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以． 令， 所以， 所以在上单调递减． 所以与矛盾，故不满足条件． 综上，实数的取值范围是． 方法二：当时，，即， 即，即恒成立． 令，所以， 令，所以， 所以在上单调递增，所以． 所以，所以在上单调递增． 由洛必达法则知，． 所以 ，故实数的取值范围是． 5．（25-26高二下·天津·阶段检测）已知函数 ， (1)求曲线在点处的切线方程 (2)当 时，列出极值表，求的极值； (3)当时， ，求整数 的最大值． 【答案】(1) (2)极小值为，无极大值 0 + 单调递减 极小值 单调递增 (3)4 【分析】（1）对求导得切线斜率，计算切点坐标后由点斜式写出切线方程； （2）代入后求导，令导数为零得极值点，列表分析导函数符号确定单调区间，进而判断极小值且无极大值； （3）分离参数，构造函数并求导，利用导数分析其单调性，结合零点存在定理确定最小值所在区间，从而得到整数的最大值． 【详解】（1）已知，， 求导得， 则．由点斜式得切线方程 ，整理得 ． （2）当 时， ，定义域为． ， 令 ，解得． 0 + 单调递减 极小值 单调递增 当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 因此，在处取得极小值， 极小值为，无极大值． （3）当时， 即 ， 整理得， 因 ， ，故，设， ， ， 设 ， ，则 ， 故在单调递增． 又 ， ， 故存在唯一使得 ，即 ． 此时在上单调递减，在上单调递增， 所以最小值为， 因，故，因此整数的最大值为4． 6．（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)若对任意的，恒成立，求m的取值范围． 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增 (2) 【分析】（1）对函数求导，分析导函数的符号，从而可判断函数的单调性； （2）先对不等式进行变形分离参数，再构造函数借助导数找到函数的最小值，从而得到m的取值范围. 【详解】（1）当时，，则． 由，得， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以在上单调递减，在上单调递增． （2）由，得．因，则得， 依题意，只需即可. 设函数，则，由，得， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，即， 所以，即的取值范围为． 典例二：分类讨论法解决恒成立问题 7．（2026·湖南·模拟预测）已知函数，． (1)证明：． (2)讨论的单调性． (3)若，求的取值集合． 【答案】(1)的定义域为，．令，得， 则在上单调递增，令，得，则在上单调递减， 所以．故． (2)当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增． (3) 【分析】（1）对求导，由导数符号得的单调性，从而得最大值，故； （2）对分情况讨论，再根据导数符号得到的单调性； （3）已知恒成立，对分情况讨论的最小值，再结合（1）中的结论求出的取值集合. 【详解】（1）略. （2）由，得 ． 当时，，在上单调递减． 当时，令，得，则在上单调递减， 令，得，则在上单调递增． （3）当时，在上单调递减，当时，，不符合题意． 当时， ． 由（1）可知 ，当且仅当时，等号成立． 因为， ，所以 ， 所以，得．故的取值集合为． 8．（2026·湖北·三模）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，，求实数的取值范围． 【答案】(1)当时，函数在单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增； (2) 【分析】（1）求导，分，两种情况讨论求解即可； （2）令，求导，分，两种情况，根据函数单调性与求解即可. 【详解】（1）．   当时，恒成立，故函数在单调递增；   当时，令得． 故当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 综上，当时，函数在单调递增； 当时，函数在上单调递减， 在上单调递增； （2）令，，， ，，． 令，， 而在恒成立，即在单调递增， 故当，即时，，在单调递增， 在恒成立； 当，即时，当时，， 所以，存在，使得时，，时，， 所以在单调递减，在上单调递增， 故由可知，时，与在恒成立矛盾；   综上，实数的取值范围是． 9．（25-26高二下·上海闵行·期末）已知 ， ． (1)当 时，求函数的单调区间和极值； (2)若 恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为；极小值为，无极大值； (2) 【分析】（1）代入 后对函数求导，根据导数正负判断单调区间，进而求解极值； （2）先对函数求导，再结合导数对的取值分类讨论，求函数最小值，令最小值非负即可求得的取值范围. 【详解】（1）当 时， ，得 . 令 ，解得. 当 时， ，单调递减；当 时， ，单调递增. 故函数在处取极小值， ，无极大值. 因此，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；极小值为，无极大值； （2）对，函数定义域为 ，得，分情况讨论： ① 若 ，因为 ，所以 恒成立，函数在R上单调递增， 且当 时 ，不满足 ，舍去； ② 若 ， 恒成立，符合要求； ③ 若 ，令 得 ，且 在 R上单调递增. 当 时， ，函数单调递减， 时， ，函数单调递增， 所以函数在 处取得极小值也是最小值，最小值为. 令 ，结合 ，解得 ，即 综上所述，的取值范围是. 10．（2026·全国二卷·高考真题）已知函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求，； (2)当时，，求的取值范围； (3)当时，，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）结合导数几何意义建立方程求解； （2）法一：构造差函数，结合导函数符号的变化分类讨论函数的单调性，进而由恒成立求解参数范围即可；法二：先由必要性探路分析界点，当，确定界点；再结合界点分类讨论即可； （3）法一：构造差函数，结合端点效应分析界点，再分类讨论可得；法二：分离参数，结合洛必达法则求解. 【详解】（1）， 由切点在直线上，也在函数图象上， 可知且，可得； 由，则切线的斜率为， 解得； 故. （2）由（1）知，， 则 ， 故题意可转化为对任意恒成立， 法一：令，， 则， 当时，由且， 则，即， 则在上单调递增，又， 要使对任意恒成立， 则，解得； 当时，不成立； 当时，，，且， 则， 即，则在上单调递减， 又当时，，不满足题意； 综上所述，的取值范围为. 法二： 不等式可转化为， 即对任意恒成立， 当时，不成立； 当时，设，， 当时，由，可知， ， 这与对任意恒成立矛盾； 当时，， ， 由，故在上单调递增， 故在上存在唯一零点，设为， 且当时，，即， 此时不等式不成立； 当时，， 则在上单调递增， 由，故， 故不等式，即恒成立， 综上所述，的取值范围为； （3）法一：设， 则 ， 令， 则， 其中，，. 当时，， 则在上单调递增，故， 故在上单调递增，故， 即当时，恒成立，满足题意； 当时，设 ， 由，可知且， 则，可知在上单调递增， 故，即， 故在上单调递增，故， 故在上单调递增，故， 即当时，恒成立，满足题意； 当时，此时，又， 则存在正实数，使得，， 则在上单调递减，则， 即当，，不满足题意； 综上所述，，即的最小值为. 法二：由可得 ， 则，即， 则， 由，可知，则， 故原不等式可转化为， 由， 设，， 则， 设，，令， 则，， 由， 再令， ，故在上单调递增， 故，则，故在上单调递增， 所以，即， 故在上单调递减， 又由洛必达法则可知， 故要使当时，恒成立，则， 即的最小值为. 11．（25-26高二下·河南·阶段检测）已知函数，其中， 为自然对数的底数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，证明：； (3)若对任意 ，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)由于，故， 令，由于在上单调递增，则， 则可化为函数， 则，由于，令，则， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 故的极小值也即最小值为， 故，即. (3) 【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义即可求得答案； （2）令，将可化为函数，利用导数求出该函数的最小值，即可证明； （3）将对任意 ，不等式恒成立，化为对任意恒成立，分情况讨论a的取值情况，即可求解. 【详解】（1）当时，， 则， 则，， 故曲线在处的切线方程为， 即． （2）略 （3）由（2）知，对任意 ，不等式恒成立， 等价于对任意恒成立，分情况讨论： 当时，恒成立，在R上单调递增， 当时，存在t使，不满足条件； 当时，对恒成立，满足条件； 当时，由（2）知的最小值为，令，得， 即， 综上，a的取值范围为. 12．（25-26高二下·河南·阶段检测）已知函数 恒成立，则实数 的取值范围为_______________． 【答案】 【分析】令，利用导数求出的取值范围，原不等式恒成立可化为恒成立，分类讨论后分离参数，构造函数，利用导数求其最值即可得解. 【详解】因为 ， 所以恒成立， 设 ，则 为增函数， 由 可得， 所以时， ，时， ， 函数 在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，，且时， ， 所以，令 ，则， 即恒成立， 当时， ，对任意 成立， 当 时，令， 则，当时， ，函数在上单调递减，， 当时，由原不等式可得恒成立，所以； 当时，令 ，解得 ， 所以时，，时，，所以在单调递减，在上单调递增，故， 当 时，由原不等式可得恒成立，所以， 综上，不等式恒成立需满足，即. 典例三：分离变量法解决能成立问题 13．（25-26高二下·河北保定·阶段检测）若关于的不等式在上有解，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将原不等式在上有解问题转化为（，），结合导数与单调性及最值的关系求解即可. 【详解】不等式在上有解等价于不等式在上有解， 令，，则即可. ， 当时，，，所以，单调递减； 当时，，，所以，单调递增； 因此，当时，取得最小值， ， 所以. 故的最小值为. 14．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【分析】将问题化为能成立，应用导数研究右侧的最大值，即可得范围. 【详解】要使得存在满足， 先将不等式进行等价变形为， 两边同乘得， 整理为关于的不等式，即， 令，问题转化为存在使得，即， 对求导，​令，则，即， 由、、在上单调递增，且，， 根据函数的单调性知在上单调递增，而， 所以，当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 观察到时，代入得，恰与等价，此时， 故极值点满足，即，故， 因此，存在使成立，当且仅当，则实数的取值范围是. 15．（2026高三·全国·专题练习）若关于的不等式有解，其中，则实数的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】关于的不等式有解，等价于，令，然后对求导，利用导数求得的最小值即可. 【详解】关于的不等式有解，等价于. 令，则. 令，则，在单调递增， . 令，得. 增 极小值 减 ，，故的最小值为. 16．（25-26高二下·黑龙江佳木斯·期中）已知函数 (1)若对任意的，且，总存在，使得成立，求实数的取值范围 (2)若为整数，当时，恒成立，求的最大值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求得最小值为2，转化为 ，即，设，转化为恒成立，结合一次函数的性质，即可求解； （2）先转化为恒成立，令，利用导数得出的单调性和最小值，进而求得整数的最大值. 【详解】（1）解：设函数，可得函数在区间上单调递增， 所以， 不妨设，可得， 因为总存在，使得 成立， 即 ，可得， 设，则，即函数单调递增， 又由，可得， 则，所以在上恒成立， 即在上恒成立， 令 ，则满足 ，解得， 所以实数的取值范围为. （2）解：当时，，不等式 ，即为， 不等式即为在上恒成立， 令，则， 再令，可得，所以单调递增， 又由，，所以在上存在唯一的零点， 故在上存在唯一的零点，设此零点为，则， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在上的最小值为， 由，可得，所以 ， 因为恒成立，即为，所以 所以整数的最大值为． 17．（2026·湖南株洲·三模）若存在，使得对恒成立，则实数b的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】不等式可化为，结合时，，条件可转化为对恒成立，同构变形可得对恒成立，利用导数证明为增函数，条件可转化为对恒成立，利用导数求函数的最大值，由此可得结论. 【详解】不等式， 由已知存在，使得对恒成立， 当时，，，所以， 由已知存在，使得对恒成立， 所以对恒成立， 不等式， 所以对恒成立， 因为，故， 令，则，故在上单调递增， 因此对恒成立，即对恒成立， 令，求导得， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 因此函数的最大值为，故. 18．（2026·四川遂宁·模拟预测）函数． (1)当时，求函数在的单调区间； (2)若存在，使得成立，求的取值范围． 【答案】(1)单调递减区间是，单调递增区间是 (2) 【分析】（1）求导后，判断导数正负即可得该函数单调区间； （2）由题意可得在上有解，即可构造函数，结合导数得到该函数最小值即可得解. 【详解】（1）当时，，可得， 令，可得， 因为和在为单调递增函数，可得在单调递增， 所以，所以在单调递增， 又因为， 所以当时，，时，； 所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是； （2）由不等式，可得， 故当时，， 因为存在，使得成立， 即在上有解， 令，则有解， 构造函数，则， 当时，；当时，， 所以在递减，在递增，所以，即， 又因为函数在单调递增， 所以当时，可得，即， 所以实数的取值范围为. 典例四：分类讨论法解决能成立问题 19．（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）已知函数．若存在，使得成立，则的取值范围为___________． 【答案】 【详解】 ， 若存在，使得成立，则有解， 所以有解， 令，因为，所以，即有解． 令，则有解， ，令 ，则 ， 因为，所以， 当时， ， 所以在上单调递增，所以， 所以在上单调递增，所以恒成立，与有解矛盾，不符合题意； 当时，令 ，则 ．又在上单调递增， 所以当 时，，所以在上单调递减， 因为，所以在区间上， 因此在上单调递减，又，故存在，使得．综上，． 20．（2026·辽宁大连·三模）函数，，为自然对数的底数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若存在实数x，满足，求实数a的取值范围； 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为. (2) 【分析】（1）求导，利用导数分析函数单调性，进而求解单调区间； （2）利用极限思想和构造函数，结合导数分类讨论，进而确定的极小值点，再建立 关于极小值点的二次不等式求解即可. 【详解】（1）当时，， 则， 令，则，令得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 又，因此：时，， 时，. 所以的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）由可知， ①当时 若，由于， 当时， ，而. 故存在使得. 若，，取 ，，满足题意. ②：当时，令，则，时，， 故在递增，且最小值为， 由，方程在上有唯一实根， 使得，则为的最小值点. 根据题意需满足： ， 代入： ， 则 ，整理得 ， 解得：或. 由，得：当 时，. 当 时，. 综上所述，的取值范围是. 21．（2026·山东滨州·二模）已知函数，. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若存在，使，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求解即可； （2）求导，根据导数求得函数，结合题意可得成立，令，求导，根据导数计算即可求解. 【详解】（1）若，则，， 则，， 所以过点的切线方程为，即； （2）函数的定义域为， ， 当时，，当时，， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 当时，函数有最小值，即， 若存在，使，则成立， 即，即， 令， ， 令，则， 当时，，当时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以当时，函数有最小值，即， 所以在区间恒成立， 所以函数在区间上单调递增， 因为， 所以当 时， 成立，故的取值范围为. 22．（25-26高二下·北京·期中）已知函数，． (1)若存在x使得成立，求a的取值范围； (2)当时，在定义域内恒成立，求b的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导，利用导数对进行分类讨论，时导数恒正，单调递增，且时，必然存在x使得成立；时通过单调性分析得到极大值点，求出满足条件的的范围；时，最大值为，不满足条件，合并符合条件的a的取值范围； （2）利用（1）的结论转化不等式为在内恒成立，构造函数并求导，按分情况讨论，进而合并符合条件的b的取值范围． 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 时：若，则，故恒成立，在上单调递增； 当时，，必然存在x使得成立，符合要求； 时：令，解得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 在处取得极大值，即为最大值，， 要存在使得，需满足，解得； 当时，的最大值为，恒成立，不符合题意； 综上，a的取值范围为． （2）由（1）可知时，的最大值， 在上恒成立， 在定义域内恒成立，等价于在内恒成立， 令，则，求导得， 当时，，则，故，在上单调递增， ，满足在内恒成立，符合要求； 当时，令，解得， 时，，单调递减； 时，，单调递增； 在处取得最小值：， 令，求导得， 故在上单调递减，，即， 存在使得，不符合要求； 综上，b的取值范围为． 23．（25-26高二下·重庆綦江·阶段检测）已知，，存在使，则a的范围是________. 【答案】 【分析】求得，得到函数的单调性，分和，两种情况讨论，求得函数的最小值，列出不等式，即可求解. 【详解】由函数，其定义域为，且， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 若，则函数在上单调递减，所以， 因为存在 使，即，即，可得， 又因为，可得，所以原不等式无解； 若，则函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 因为存在 使，即，可得， 又因为，可得，解得， 综上可得，实数的取值范围为. 24．（25-26高二下·山东青岛·阶段检测）已知函数. (1)当时，求的极值； (2)若，且存在，使得成立，求a的取值范围. 【答案】(1)极小值为，无极大值 (2) 【分析】（1）当时，求得，求得函数的单调区间，进而求得的极值； （2）求得，得到的单调区间，分和，两种情况讨论，求得的极小值，列出不等式，即可求解. 【详解】（1）当时，可得 ，其定义域为， 且，令，即，解得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 所以在处取得极小值，极小值为，无极大值. （2）由函数，可得，其中， 令，即，解得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 所以在上的最小值为， 因为存在，使得成立，所以，即， 可得，因为，所以，此时不等式无解； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以在上的最小值为， 因为存在，使得成立，所以，即， 可得，即， 因为，所以，即，解得， 综上可得，实数的取值范围为. 典例五：最值法解决双参不等式问题 25．（25-26高二下·重庆·期中）已知函数，若使得，则实数a的取值范围为________． 【答案】 【分析】根据题意可得，再利用导数结合函数单调求出最值，然后解不等式即可． 【详解】若使得， 则，， 时，，则在上单调递增， ， 又在单调递增，所以， ，解得， 则实数a的取值范围为． 26．（25-26高二下·重庆·阶段检测）已知函数，，若，，使得，则实数a的取值范围是________. 【答案】 【分析】先利用导数判断函数的单调性，求出，.由已知可推得，只需满足，代入即可得出不等式，求解即可得出答案. 【详解】设在上的最小值为， 在上的最小值为. ，当时，， 所以函数在上单调递减， 所以，. ， 因为，所以， 当时，，即， 则在上单调递增，则， 当时，令得(或舍去)， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 则， 当时，，即， 则在上单调递减，则， 故当时，，得， 当时，，得，舍， 当时，，得，舍， 综上知，实数a的取值范围为： 27．（25-26高二下·天津滨海新区·阶段检测）已知两个函数和.（其中为实数），若对，，使成立，则的取值范围为________. 【答案】 【分析】由题设将问题化为在上，并利用导数求区间上最大值，即可得参数范围. 【详解】由题设，则在上，在上， 所以在上单调递减，在上单调递增， 而， 由，则在、上，在上， 所以在、上单调递增，在上单调递减， 而， 要使对，，使成立， 所以，只需在上，则，可得. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：在上为解题的关键. 28．（25-26高二下·河南信阳·阶段检测）已知函数，，若，使得成立，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【分析】借助导数计算可得，则可得在上有解，参变分离可得在上有解，构造函数，利用导数求出该函数在上的最小值即可得解. 【详解】， 则当时，，即在上单调递增， 则； 由，使得成立， 则在上有解，即在上有解， 令，， 则， 令，， 则 故在上单调递减，则， 故在上单调递减，则， 即实数a的取值范围是. 29．（25-26高二下·江苏无锡·期中）已知函数，，若对任意，存在，使，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】利用导数求解最小值，利用分离参数法可求答案. 【详解】因为，所以， 时，，为减函数，时，，为增函数， 所以时，的最小值为. 若任意，使，则， 所以在上有解，即在上有解， 令，，得， 当时，，为增函数，当时，，为减函数； 因为，，且， 所以，所以. 故答案为： 30．（2026·江苏·二模）已知函数（为自然对数的底数），若对任意，总存在，使得，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用导函数求出，将问题转化为对，恒成立，再令得出，再检验对，恒成立即可. 【详解】因为，所以， 当时，单调递增；当时，单调递减； 故， 因为对任意，总存在，使得， 所以对，恒成立， 若，则，得，又，所以， 令，则， 令，得，， 当或时，单调递增； 当时，单调递减； 因为，所以， 则 ， 同理可得，， 因为，所以， 因此，当时，对，恒成立， 故实数的最大值为. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $