第三章 课时1 导数的概念及运算讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义围绕导数的概念及运算核心考点，按概念内涵、运算法则、几何意义到综合应用的逻辑层次组织知识，通过知识梳理构建体系，基础回顾夯实根基，考点扫描（含导数运算、切线方程、公切线等题型）结合例题精讲与对点训练，帮助学生系统突破难点。 讲义突出数学思维与数学语言的培养，如在导数几何意义教学中，引导学生从瞬时变化率理解切线斜率，通过对比“在点处”与“过点”切线差异构建解题模型，设置基础、能力、综合分层练习并融入2025模拟题，确保高效复习，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

课时1 导数的概念及运算 一、课标要求 1. 了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想；体会极限思想；通过函数图象直观理解导数的几何意义. 2. 能根据导数定义求函数y=c，y=x，y=x2，y=x3，y=，y=的导数. 3. 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数；能求简单的复合函数（限于形如f（ax+b））的导数. 二、知识梳理 1．导数的概念 概念 含义 平均变化率 函数在区间上的平均变化率为 ，若，，则平均变化率可表示为 瞬时变化率 当无限地趋近于0时，无限地趋近于点处的切线的 导数的概念 函数在区间(a,b)上有定义，，若无限地趋近于0时，无限地趋近于一个常数A,则称在处 ，并称A为函数在处的 ，记作 几何意义 函数在点处的导数的几何意义是在曲线上点处的切线的斜率.相应地，切线方程为 2．基本初等函数的导数公式 函数 导数 （为常数） (且） （，且） 1. 导数的运算法则 （1） （2） ； （3）. 4．简单的复合函数的导数 若，，则，即. 【拓展知识】 1.表示函数的导数，表示函数在处的切线的斜率，是一个常数，． 2．曲线在点处的切线是指以为切点、斜率为的切线，是唯一的一条切线，“过点A的切线”，则点A不一定是切点；“在点A处的切线”，点A一定是切点. 三、基础回顾 1.判断正误.(正确的打“√”，错误的打“×”) (1) 函数f(x)＝sin2x的导数f′(x)＝cos2x. (　　) (2) f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率. (　　) (3) 函数图象的切线与函数图象的公共点只有一个. (　　) (4) 函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其符号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”. (　　) 2. 设为R上的可导函数，且，则＝（    ） A．2 B．－2 C．1 D．－1 3. 若函数f(x)=ln x－2x+1，则=(　　) A.0 B. C. D. 4. 已知函数f(x)=2x，则函数f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线方程为 . 四、考点扫描 考点一 导数的运算 例1 （1）已知函数f(x)满足f(x)＝2f′(1)ln x＋(f′(x)为f(x)的导数)，则f(e)=(　　) A．e－1 B.＋1 C．1 D．－＋1 （2）(多选题) 下列求导运算正确的有(　　) A. B.(x2ex)′＝2x＋ex C.(xcos x)′＝－sin x D. 对点训练 （1） (多选题)下列求导正确的有(　　) A．[(3x＋5)3]′＝9(3x＋5)2 B．(x3ln x)′＝3x2ln x＋x2 C.′＝ D．(ln 2x)′＝ （2）已知函数f(x)=2f '(2)x－x2+ln x，则f '(1)=　　　　　.  规律方法： 考点二 导数的几何意义 考向1 求切线方程 例2 （1）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． （2）已知曲线在点处的切线为，则在轴上的截距为（    ） A． B． C．1 D．2 对点训练（2025·山东实验中学期末）已知函数为偶函数，且当时，，则曲线在点处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 考向2 与切线有关的参数问题 例3 （1）(2025·四川泸州市模拟)若直线与曲线相切，则实数（    ） A． B． C． D． （2）（2025·新高考Ⅰ卷）若直线是曲线的切线，则 　． 对点训练（1）若曲线有两条过坐标原点的切线，则实数a的取值范围是______________． （2）若曲线y=ex+x在点(0，1)处的切线也是曲线y=ln(x+1)+a的切线，则a=　　　　.  考点三 两曲线的公切线 例4 （1）已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)＝－2x2＋m，g(x)＝－3ln x－x.若两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，则实数m的值为(　　) A．2 B．5 C．1 D．0 （2）（2025·广东茂名市模拟）曲线与曲线有公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 规律方法： 对点训练（1）直线l与曲线y=ex+1和y=ex+1均相切，则l的斜率为(　　) A. B.1 C.2 D.e （2）若曲线C1：f(x)＝x2＋a和曲线C2：g(x)＝4ln x－2x存在有公共切点的公切线，则a＝ . 课时1 导数的概念及运算参考答案 二、知识梳理 1. 斜率 可导 导数 2. 3. （2） （3） 4. 三、基础回顾 1. (1)×　(2)×　(3)×　(4) √ 2. B 【解析】因为， 所以.故选B． 3. A 【解析】　f '(x)=－2，所以=2－2=0.故选A. 4. x·ln 2－y+1=0 【解析】　函数f(x)=2x，求导得f '(x)=2xln 2，则f '(0)=ln 2，而f(0)=1，所以所求切线方程为y－1=ln 2·(x－0)，即x·ln 2－y+1=0. 四、考点扫描 例1（1）D 【解析】　f′(x)＝＋，当x＝1时，f′(1)＝2f′(1)＋，解得f′(1)＝－， 故f(x)＝－＋，所以f(e)＝－＋＝－＋1.故选D. （2）AD 【解析】对于选项A，＝－·(ln x)′＝－，对于选项B，(x2ex)′＝(x2＋2x)ex；对于选项C，(xcos x)′＝cos x－xsin x，对于选项D，＝1＋.故选AD. 对点训练　（1）AB 【解析】　对于选项A，[(3x＋5)3]′＝3(3x＋5)2(3x＋5)′＝9(3x＋5)2，故A正确； 对于选项B，(x3ln x)′＝(x3)′ln x＋x3(ln x)′＝3x2ln x＋x2，故B正确； 对于选项C，＝＝，故C错误； 对于选项D，(ln 2x)′＝2·＝，故D错误．故选AB. （2）　【解析】　由函数f(x)=2f'(2)x－x2+ln x，可得f '(x)=2f'(2)－x+， 令x=2，可得f '(2)=2f '(2)－3+，解得f '(2)=， 所以f(x)=5x－x2+ln x，可得f '(x)=5－x+，所以f '(1)=5－+1=. 例2 （1）B 【解析】由题意，的导数， 故曲线在点处的切线斜率为， 则切线方程，即.故选B. （2）B 【解析】由得，所以直线的斜率， 又，所以直线的方程为，令，得，即在轴上的截距为. 故选B. 对点训练　A 【解析】函数为偶函数，当时，， 则当时，，求导得，则，而， 所以曲线在点处的切线方程是，即. 故选A. 例3 （1）D 【解析】设切点为，由可得，则， 所以，解得，即.故选D. （2）　4 【解析】根据题意，，令，则， 在切线中，当时，，所以切点坐标为. 将代入曲线中，得，解得． 对点训练 （1） 【解析】因为，所以. 设切点为,则,切线斜率, 切线方程为. 因为切线过原点，所以, 整理得. 因为切线有两条，所以,解得或. （2）　ln 2 【解析】　由y=ex+x得y'=ex+1，当x=0时，y'=e0+1=2， 故曲线y=ex+x在点(0，1)处的切线方程为y=2x+1.由y=ln(x+1)+a得y'=， 设切线与曲线y=ln(x+1)+a相切的切点为(x0，y0). 由两曲线有公切线得y'==2，解得x0=，代入切线方程y=2x+1得y0=2×+1=0， 则y=ln(x0+1)+a=0，即ln+a=0，解得a=ln 2. 例4 （1）　C 【解析】　根据题意，设两曲线y＝f(x)与y＝g(x)的公共点为(a，b)，其中a＞0. 由f(x)＝－2x2＋m，可得f′(x)＝－4x，则切线的斜率k＝f′(a)＝－4a. 由g(x)＝－3ln x－x，可得g′(x)＝－－1，则切线的斜率k＝g′(a)＝－－1. 因为两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，所以－4a＝－－1， 解得a＝1或a＝－(舍去). 又由g(1)＝－1，即公共点的坐标为(1，－1)，将点(1，－1)代入f(x)＝－2x2＋m， 可得m＝1.故选C. （2）B 【解析】两个函数求导分别为， 设图象上的切点分别为， 则过这两点处的切线方程分别为， 则. 设， 令 所以g(x)在R上单调递增，且f′(1)=0， 则f(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增， 所以2a≥f(1)=－1,.故选B. 对点训练（1）　B 【解析】　由y=ex+1，可得y'=ex；由y=ex+1，可得y'=ex+1， 设两个切点的坐标分别为(x1，+1)和(x2，)，直线l的斜率k==， 故x1=x2+1，即x1≠x2，所以k=，即直线l的斜率为1.故选B. （2）　－3 【解析】　f(x)＝x2＋a，g(x)＝4ln x－2x，则有f′(x)＝2x，g′(x)＝－2. 设公共切点的坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝2x0，g′(x0)＝－2， f(x0)＝x＋a，g(x0)＝4ln x0－2x0. 根据题意，有 解得 . 学科网（北京）股份有限公司 $