精品解析：吉林省第二实验学校2025-2026学年下学期九年级第二次模拟考试数学试题

2025—2026学年度下学期九年级第二次模拟考试 数学试题 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题（共8小题） 1. 2026的倒数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】乘积为的两个数互为倒数. 【详解】解：， 的倒数是. 2. 某景区接待游客人数约为人，这个数的原数是（ ） A. 42000 B. 420000 C. 4200000 D. 42000000 【答案】B 【解析】 【分析】将科学记数法转换为原数，需将小数点向右移动5位． 【详解】解：∵ ． 3. 一个单项式的系数是2，次数是3，则下列符合条件的单项式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查单项式的系数与次数的定义，需根据定义分析各选项，判断系数是否为2、次数是否为3即可． 【详解】解：∵单项式的系数是指单项式中的数字因数，次数是指单项式中所有字母的指数和． ∴对各选项分析如下： A选项：系数为，次数为3，不符合系数为2的要求，不符合题意． B选项：系数为2，次数为2，不符合次数为3的要求，不符合题意． C选项：系数为2，次数为3，符合题意． D选项：系数为，次数为2，均不符合要求，不符合题意． 故选：C． 4. 乐高，创立于1932年，公司位于丹麦，全球知名的玩具制造厂商之一．截至2025年，乐高已有93年的发展历史．如图是乐高的一个块状颗粒，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查简单组合体的三视图，找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中． 【详解】解：从正面看，可得图形为： ． 故选：B． 5. 为了保护环境加强环保教育，某中学组织学生参加义务收集废旧电池的活动，下面是随机抽取40名学生对收集废旧电池的数量进行的统计： 废旧电池数/节 4 5 6 7 8 人数/人 9 11 11 5 4 请根据学生收集到的废旧电池数，判断下列说法正确的是（ ） A. 样本为40名学生 B. 众数是11节 C. 中位数是6节 D. 平均数是5.6节 【答案】D 【解析】 【分析】根据样本定义可判定A，利用众数定义可判定B，利用中位数定义可判定C，利用加权平均数计算可判定D即可． 【详解】解：A. 随机抽取40名学生对收集废旧电池的数量是样本，故选项A样本为40名学生不正确； B. 根据众数定义重复出现次数最多的数据是5节或6节，故选项B众数是11节不正确， C. 根据中位数定义样本容量为40，中位数位于两个位置数据的平均数，第20位、第21位两个数据为5节与6节的平均数节，故选项C中位数是6节不正确； D. 根据样本平均数节 故选项D平均数是5.6节正确． 故选择：D． 【点睛】本题考查样本，众数，中位数，平均数，熟练掌握样本，众数，中位数，平均数是解题关键． 6. “坡比”常用来反映斜坡的倾斜程度，如图是某水库坝体的横截面及相关数据，则斜坡的坡比是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用勾股定理求出的长，即可计算答案． 【详解】解：， 斜坡的坡比是． 7. 佳佳和音音在解决如下问题：如图，将三角形的顶点平移到顶点，作出平移后的图形． 佳佳的方法：如图，过点 作且使，过点作且使，然后顺次连接、、即可． 音音的方法：如图，过点作且使，过点作且使，然后顺次连接、、即可． 关于这两种方法，下列判断正确的是（ ） A. 佳佳和音音的方法均正确 B. 佳佳的方法正确，音音的方法不正确 C. 佳佳的方法不正确，音音的方法正确 D. 佳佳和音音的方法均不正确 【答案】A 【解析】 【分析】根据平移的性质分别判断即可． 【详解】解：按照佳佳的方法，且，且，符合图形平移前后对应点连成的线段平行且相等，因此方法正确； 按照音音的方法，，，，， 符合图形平移前后的形状和大小没有变化，只是位置发生变化，因此方法正确； 综上可知，佳佳和音音的方法均正确． 故选A． 【点睛】本题考查图形的平移，解题的关键是掌握平移的性质．图形平移前后的形状和大小没有变化，只是位置发生变化；图形平移后，对应点连成的线段平行(或在同一直线上)且相等． 8. 如图，直线l与双曲线交于A、C两点，将直线l绕原点O顺时针旋转度角，与双曲线交于B、D两点，则四边形的形状一定是（） A. 任意四边形 B. 平行四边形 C. 矩形 D. 菱形 【答案】B 【解析】 【分析】由于直线l与双曲线都是关于原点的中心对称图形，根据对称性可得，，由此即可判定四边形一定是平行四边形． 【详解】解：如图 ∵直线l与双曲线是关于原点的中心对称图形， 而，是四边形的对角线， 根据对称性可得：，， ∴四边形的对角线互相平分， 故四边形的形状一定是平行四边形． 二、填空题（共6小题） 9. 东汉时期的数学家张衡将圆周率取值为，比较大小：3______．（填“>”、“<”）． 【答案】< 【解析】 【分析】通过比较平方后的结果即可得到结论． 【详解】解：，， 又， ． 10. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 11. 截至2026年1月底，我国电动汽车充电基础设施（枪）总数达到万个．某小区2026年安装了一批充电桩，其中慢充桩有个，快充桩的数量比慢充桩数量的2倍还多6个，则该小区安装了_______（用含的代数式表示）个充电桩． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，先用含的代数式表示出快充桩的数量，再将慢充桩和快充桩的数量相加即可得出该小区安装充电桩的总数． 【详解】解：由题意可知，慢充桩有个，快充桩的数量比慢充桩数量的倍还多个，即快充桩有个， 则该小区安装的充电桩总数为：个． 12. 仰卧起坐是增加躯干肌肉力量和伸展性的一种运动，能够很好地锻炼腹部的肌肉，如图是小美同学做仰卧起坐运动某一瞬间的动作及其示意图，，点在直线上，，则的度数为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用平行线的性质得到，即可得到，再利用三角形的内角和运算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 13. 如图，在的方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，分别是小正方形的顶点，点C在上，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查弧长的计算，解题的关键是记住弧长公式．利用弧长公式求解． 【详解】解：由题意， ∴的长． 故答案为：． 14. 如图，点为正方形内一点，，将绕点 按顺时针方向旋转 得到，延长交于点，连接．下列结论：①；②；③四边形 是正方形；④若，则 ，其中正确的结论是____________．（填序号） 【答案】②③④ 【解析】 【分析】由旋转的性质得到，则可导角证明，根据现有条件无法证明，则无法证明，判断①错误；设交于K，由及旋转的性质可得，即可得，从而判断②正确；由旋转的性质可得， ，，由正方形的判定可证四边形 是正方形，可判断③正确；过点D作于H，由等腰三角形的性质可得，，由“ ”可得，可得，由旋转的性质可得 ，从而可得 ，判断④正确． 【详解】解：∵将绕点B按顺时针方向旋转得到， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 根据现有条件无法证明， ∴无法证明，故①错误； 设交于K，如图： ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵将绕点B按顺时针方向旋转得到， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵将绕点B按顺时针方向旋转得到， ∴， ，， 又∵， ∴四边形 是矩形， 又∵ ， ∴四边形 是正方形，故③正确； 如图，过点D作于点H， ∵，， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴ ， ， ∴， ∴， 又∵ ，， ∴， ∴， ∵将绕点B按顺时针方向旋转得到， ∴ ， ∵四边形 是正方形， ∴， ∴， ∴ ，故④正确； ∴正确的有②③④． 三、解答题（共8小题） 15. 化简求值：，其中． 【答案】 【解析】 【分析】先根据整式乘法法则计算，再根据整式的加减法合并，然后代入求值即可． 【详解】解：原式， 把代入，原式． 16. 一个不透明的盒子中装有2个红球和若干个白球，这些小球除颜色外均相同，将盒中小球摇匀，从中随机摸出一个小球是白球的概率为 （1）白球的数量是 个； （2）从盒中任意摸出两个球（不放回），用画树状图或列表的方法，求这两个小球是一红一白的概率． 【答案】（1）2 （2）这两个小球是一红一白的概率为 【解析】 【分析】（1）设白球的数量为 个，根据题意列方程即可求解； （2）画出树状图，可得出所有等可能的情况数，找出一红一白的情况数，即可求出所求的概率． 【小问1详解】 解：设白球的数量为 个， 由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴白球的数量是2个； 【小问2详解】 解：画树状图如图： ∵所有等可能的情况数有12种，其中恰为一个红球和一个白球的情况有8种， ∴两次摸出的球颜色不相同的概率为=． 17. 某学校推行“健康第一的理念”，组织学生参加体育锻炼活动．已知男生和女生分开进行训练，男生组每小时消耗能量千卡，女生组每小时消耗能量千卡．若某次活动男生组训练时间比女生组长小时，且两组消耗的总能量为千卡．问女生组和男生组训练时间分别是多少小时？ 【答案】 女生组训练时间为小时，男生组训练时间为小时． 【解析】 【分析】设女生组的训练时间为 小时，男生组的训练时间为小时，根据题意列出二元一次方程组并求解即可． 【详解】解：设女生组的训练时间为 小时，男生组的训练时间为小时， 则根据题意得， 解得， 答：女生组的训练时间为小时，男生组的训练时间为小时． 18. 如图，是上两点，为延长线上一点，且．求证：直线与相切． 【答案】证明：， ，， ， ， 即， ， ∵点在圆上， ∴直线与圆相切. 【解析】 【分析】根据等边对等角证明，，根据切线的判定定理证明，即，即可得证结论． 【详解】略 19. 如图是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，点A，B，C，D均在格点上．请仅用无刻度的直尺，按下列要求画图．（保留画图痕迹，不写作法） （1）如图1，过点D作直线； （2）如图2，在网格中找一点E，使得． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）利用格点，进行作图即可； （2）利用格点和平行线的性质，进行作图即可． 【小问1详解】 解：如图，直线即为所求． 选取适当的格点，易得直线即为所求（把看作直角三角形的斜边）． 【小问2详解】 解：如图，过点作出直线的平行线，与直线交于点， ． 直线， ， ． 20. 神舟二十二号飞船的成功发射，激发了某校学生对航天知识的浓厚兴趣．校团委为了解该校九年级学生对航天知识的掌握情况，随机抽取一部分学生进行航天知识测试（满分100分）． （1）【收集数据】下列抽样调查方式中最合适的是_____．（只填写序号） ①随机抽取九年级部分女生； ②随机抽取九年级一个班级学生； ③从九年级的每个班中随机抽取2名学生． （2）【整理并描述数据】校团委将所抽取学生的测试成绩整理后分成四组，并绘制成下面两幅不完整的统计图： 请补全频数分布直方图（写出计算过程）； （3）【应用数据】若测试成绩80分及以上为掌握情况较好，估计该校九年级840名学生中，航天知识掌握情况较好的人数． 【答案】（1）③； （2） 解：（名）， （名）； （3）航天知识掌握情况较好的人数是名． 【解析】 【分析】（1）根据抽样调查要具有广泛性、代表性判断即可； （2）结合频数分布直方图，扇形统计图，可求出样本容量，再计算即可； （3）根据用样本估计总体，先计算出样本中所占比，再乘总人数即可求解． 【小问1详解】 解：根据抽样调查要具有广泛性、代表性，故抽样调查方式中最合适的是③； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（名）， 答：航天知识掌握情况较好的人数是名． 21. 已知一量筒装一定量水后放置在太阳下面，随着液体的蒸发，其液面高度会随着放置时间产生一定的变化．数学小组将一个带刻度的圆柱形量筒装入一定量水后放在太阳下面，通过观察放置时间的变化，记录量筒中水的液面高度，得到了如下几组数据． 放置时间 液面高度 （1）如图，在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，并依次连接起来．在量筒中的水完全蒸发之前，水的液面高度（单位：）与在太阳下放置的时间 （单位：）符合初中学习过的某种函数关系，则可能是___________函数关系；（请选填“一次”，“二次”或“反比例”） （2）根据以上判断，求关于 的函数表达式，并直接写出 的取值范围； （3）在实验条件相同且不受其他因素影响的情况下，若在中午将另一装有等量水的量筒放置在太阳下面，中间有一段时间将其移至阴凉处并加盖（假设此时液面无下降），重新移至太阳下面并去盖后，直到时液面高度下降了一半，求量筒在阴凉处放置了多长时间． 【答案】（1）图见解析；一次 （2）关于 的函数表达式为 （3）量筒在阴凉处放置了 【解析】 【分析】（1）描出表中数据对应的点，并依次连接起来即可，根据图象判断对应的函数关系； （2）利用待定系数法求出函数表达式，结合实际意义求出 的取值范围； （3）先计算出时的液面高度，结合（2）的关系式求出在太阳下面的放置的时间，结合时间间隔，求出阴凉处放置的时间． 【小问1详解】 解：图象如图所示： 由图可知，与 可能是一次函数关系； 【小问2详解】 解：设关于 的函数表达式为， 将点，代入，得， 解得， ∴关于 的函数表达式为， ∵，， ∴， 解得， ∴； 【小问3详解】 解：由题意可知，量筒的初始液面高度为， ∵液面高度下降一半， ∴时，， 令，解得， 从到经过了， ∴量筒在阴凉处放置的时间为． 答：量筒在阴凉处放置了． 22. 综合与实践课上，同学们探究矩形纸片的折叠问题． 如图①，已知矩形纸片，点 在边上（不与， 重合），点在边上（不与 ，重合）．将矩形纸片沿直线折叠，使顶点 落在点处，点在长方形内部． 【图形感知】 （1）图①中，____________（填“”“”或“”）； 【作图探究】 （2）在图①中边上确定一点（不与，重合），使得纸片沿着折叠后，点的对应点刚好落在射线上，请用无刻度直尺和圆规作出该点（不写作法，保留作图痕迹），并求出的度数． 【计算探究】 （3）如图②，矩形中，，，点 是边的中点，将矩形沿折叠，使顶点 落在点处，点是矩形边上的动点，将矩形沿折叠，使顶点落在点处，当落在的内部时，直接写出长度的取值范围． 【答案】（1） （2）如图所示，点即为所求； ； （3） 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质即可求解； （2）以点 为圆心，以适当的长为半径画弧交于点，交于点，分别以为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于点，过点作射线交于点，则点为所求； （3）根据情况一：当点在线段上时，且点和点重合时，点开始落在的内部，至情况二：点在线段上，且点在线段上时为止，为所求的点落在的内部的线段的取值范围，据此求得这两种情况下的的值，即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图①所示，由折叠性质可得：； 【小问2详解】 解：由尺规作图可知：， 纸片沿折叠，点的对应点刚好落在射线上， ，， ， ，即； 【小问3详解】 解：如图，情况一，当点在上时，且点和点重合时，此时，， ，，， ， ， ， ， 又， ， ， ， ，解得：， ， 如图，情况二，当点在上，且点在线段上时，此时，，，过点作交于点， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， 又，， ， ， 的最小值为，最大值为， 落在的内部， ． 23. 如图，中，，，于点，，点为的中点，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿的路线向终点运动．连结，将绕点逆时针旋转得到，连结，设点的运动时间为． （1）填空：____________，____________． （2）当时，求的长． （3）当点落在边上时，求的值． （4）当点在线段上，的中点落在的边上时，直接写出所有满足条件的值． 【答案】（1）； （2）或 （3）或 （4）和 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余及等角对等边得，再计算即可，最后根据勾股定理得； （2）分两种情况：①当点在上时；②当点在上时，分别画图求解即可； （3）分两种情况：①当点在上时；②当点在上时，分别画图求解即可； （4）设点为的中点，①当的中点在上时；②当的中点在上时，分别画图求解即可． 【小问1详解】 解：∵，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，； 【小问2详解】 解：∵，， 又∵动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿的路线向终点运动， ∴点从点到点所需时间：； 点从点到点所需时间：； 点从点到点所需时间：， ①当点在上时，如图， ∵，点为的中点，， ∴，，， ∴， ∴， ∴； ②当点在上时，如图， ∵，点为的中点，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长为或； 【小问3详解】 解：∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，，， ①当点在上时，且时，如图， ∴， ∴点在所在的直线上， 由（2）①知：，且， ∴， ∴点为的中点， 此时点与点重合，即点在上， ∴； ②当点在上时，过点作于点，过点 作于点，过点作于点 ，如图， ∴，，，， 在中，，，，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，点为的中点， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的值为或； 【小问4详解】 解：设点为的中点， ①当的中点在上时，过点作于点，过点作，交的延长线于点 ，如图， ∴， ∵，点为的中点，， ∴，， 由（2）①知：， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，点为的中点， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 此时； ②当的中点在上时，过点作于点，过点作于点 ，设，以点为原点，以所在的直线水平向右为 轴，以所在的直线竖直向上为轴建立如图所示的直角坐标系，设， ∴， ∵，， ∴，， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵，点为的中点，， ∴， 由（2）①知：， ∴，， ∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴，，， ∴，， ∵点是的中点， ∴点的坐标为，即， 又∵的中点在（直线的解析式为）上， ∴， 解得：， ∴， 此时； 综上所述，满足条件的值有和． 24. 在平面直角坐标系中，不重合的两点、 在二次函数 图象上，、 两点的横坐标分别是、 ，点D在直线 上，其横坐标为，连接、，以、为邻边构造． （1）求二次函数 图象与x轴的交点坐标． （2）求直线与x轴正半轴所夹角的正切值． （3）当点在点 的右侧， 时，求的取值范围． （4）当时，二次函数 图象与的边有交点时（的顶点除外），设此交点为，直线将分成的两部分图形面积的比为 时，直接写出的值． 【答案】（1）、 （2）1 （3） 且 （4）， 【解析】 【分析】（1）令 ，解方程，即可求解； （2）根据正切的定义，用 的纵坐标之差比横坐标之差，即可求解． （3）点在点 的右侧，得出，根据（2）得，过点作 轴的垂线，与交于点，则是等腰直角三角形，分情况讨论，当，以及共线时，分别求得的值，即可求解． （4）分情况讨论，根据点在的上方和下方时，分别画出图形；根据直线将分成的两部分图形面积的比为 ，得出，进而根据相似三角形的性质结合平行四边形的性质，根据平移的性质确定的坐标，代入抛物线解析式，即可求解． 【小问1详解】 解： ， 二次函数图象与 轴的交点坐标为、． 【小问2详解】 解：如图，过点作轴，过点 作轴，交于点， ∵轴， ∴ 当时，，当时，， ∴，，且、 不重合， ∴ ． 【小问3详解】 解：点在点 的右侧， ． ． ∵ ∴与 轴正方向的夹角为 当时，与 轴正方向的夹角为 如图，过点作 轴的垂线，与交于点，则是等腰直角三角形， ∴， ∴ （舍）， 当点 、、共线时，则到的距离，如图 ∴ ∴ （舍）， ∴当点在点 的右侧， 时， 且 【小问4详解】 解：∵点D在直线 上，其横坐标为，则 当点在的上方时，如图，连接，过点分别作的垂线，垂足分别为，则 ∵直线将分成的两部分图形面积的比为 ， ∴， 又∵ ∴ ∴，则 ∵ ∴ ∴ ∵， ∴， ∴， ∴，则， ∴ ∴即 ∵是与抛物线的交点， ∴ 解得：（负值舍去） 当在的下方时，如图， 如图，点为与抛物线的交点，过点分别作的垂线，垂足分别为，则 同理可得，， ∴ ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， 设的横坐标为，则 ∴ ∴， ∵到的距离为， ∴的纵坐标为 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴即 ∴即 ∵是与抛物线的交点， ∴ 解得：（负值舍去） 综上所述：， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度下学期九年级第二次模拟考试 数学试题 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题（共8小题） 1. 2026的倒数是（ ） A. B. C. D. 2. 某景区接待游客人数约为人，这个数的原数是（ ） A. 42000 B. 420000 C. 4200000 D. 42000000 3. 一个单项式的系数是2，次数是3，则下列符合条件的单项式是（ ） A. B. C. D. 4. 乐高，创立于1932年，公司位于丹麦，全球知名的玩具制造厂商之一．截至2025年，乐高已有93年的发展历史．如图是乐高的一个块状颗粒，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 5. 为了保护环境加强环保教育，某中学组织学生参加义务收集废旧电池的活动，下面是随机抽取40名学生对收集废旧电池的数量进行的统计： 废旧电池数/节 4 5 6 7 8 人数/人 9 11 11 5 4 请根据学生收集到的废旧电池数，判断下列说法正确的是（ ） A. 样本为40名学生 B. 众数是11节 C. 中位数是6节 D. 平均数是5.6节 6. “坡比”常用来反映斜坡的倾斜程度，如图是某水库坝体的横截面及相关数据，则斜坡的坡比是（ ） A. B. C. D. 7. 佳佳和音音在解决如下问题：如图，将三角形的顶点平移到顶点，作出平移后的图形． 佳佳的方法：如图，过点作且使，过点作且使，然后顺次连接、、即可． 音音的方法：如图，过点作且使，过点作且使，然后顺次连接、、即可． 关于这两种方法，下列判断正确的是（ ） A. 佳佳和音音的方法均正确 B. 佳佳的方法正确，音音的方法不正确 C. 佳佳的方法不正确，音音的方法正确 D. 佳佳和音音的方法均不正确 8. 如图，直线l与双曲线交于A、C两点，将直线l绕原点O顺时针旋转度角，与双曲线交于B、D两点，则四边形的形状一定是（） A. 任意四边形 B. 平行四边形 C. 矩形 D. 菱形 二、填空题（共6小题） 9. 东汉时期的数学家张衡将圆周率取值为，比较大小：3______．（填“>”、“<”）． 10. 分解因式：________． 11. 截至2026年1月底，我国电动汽车充电基础设施（枪）总数达到万个．某小区2026年安装了一批充电桩，其中慢充桩有个，快充桩的数量比慢充桩数量的2倍还多6个，则该小区安装了_______（用含的代数式表示）个充电桩． 12. 仰卧起坐是增加躯干肌肉力量和伸展性的一种运动，能够很好地锻炼腹部的肌肉，如图是小美同学做仰卧起坐运动某一瞬间的动作及其示意图，，点在直线上，，则的度数为___________． 13. 如图，在的方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，分别是小正方形的顶点，点C在上，则的长为_______． 14. 如图，点为正方形内一点，，将绕点 按顺时针方向旋转 得到，延长交于点，连接．下列结论：①；②；③四边形 是正方形；④若，则 ，其中正确的结论是____________．（填序号） 三、解答题（共8小题） 15. 化简求值：，其中． 16. 一个不透明的盒子中装有2个红球和若干个白球，这些小球除颜色外均相同，将盒中小球摇匀，从中随机摸出一个小球是白球的概率为 （1）白球的数量是 个； （2）从盒中任意摸出两个球（不放回），用画树状图或列表的方法，求这两个小球是一红一白的概率． 17. 某学校推行“健康第一的理念”，组织学生参加体育锻炼活动．已知男生和女生分开进行训练，男生组每小时消耗能量千卡，女生组每小时消耗能量千卡．若某次活动男生组训练时间比女生组长 小时，且两组消耗的总能量为千卡．问女生组和男生组训练时间分别是多少小时？ 18. 如图，是上两点，为延长线上一点，且．求证：直线与相切． 19. 如图是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，点A，B，C，D均在格点上．请仅用无刻度的直尺，按下列要求画图．（保留画图痕迹，不写作法） （1）如图1，过点D作直线； （2）如图2，在网格中找一点E，使得． 20. 神舟二十二号飞船的成功发射，激发了某校学生对航天知识的浓厚兴趣．校团委为了解该校九年级学生对航天知识的掌握情况，随机抽取一部分学生进行航天知识测试（满分100分）． （1）【收集数据】下列抽样调查方式中最合适的是_____．（只填写序号） ①随机抽取九年级部分女生； ②随机抽取九年级一个班级学生； ③从九年级的每个班中随机抽取2名学生． （2）【整理并描述数据】校团委将所抽取学生的测试成绩整理后分成四组，并绘制成下面两幅不完整的统计图： 请补全频数分布直方图（写出计算过程）； （3）【应用数据】若测试成绩80分及以上为掌握情况较好，估计该校九年级840名学生中，航天知识掌握情况较好的人数． 21. 已知一量筒装一定量水后放置在太阳下面，随着液体的蒸发，其液面高度会随着放置时间产生一定的变化．数学小组将一个带刻度的圆柱形量筒装入一定量水后放在太阳下面，通过观察放置时间的变化，记录量筒中水的液面高度，得到了如下几组数据． 放置时间 液面高度 （1）如图，在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，并依次连接起来．在量筒中的水完全蒸发之前，水的液面高度（单位：）与在太阳下放置的时间（单位：）符合初中学习过的某种函数关系，则可能是___________函数关系；（请选填“一次”，“二次”或“反比例”） （2）根据以上判断，求关于的函数表达式，并直接写出的取值范围； （3）在实验条件相同且不受其他因素影响的情况下，若在中午将另一装有等量水的量筒放置在太阳下面，中间有一段时间将其移至阴凉处并加盖（假设此时液面无下降），重新移至太阳下面并去盖后，直到时液面高度下降了一半，求量筒在阴凉处放置了多长时间． 22. 综合与实践课上，同学们探究矩形纸片的折叠问题． 如图①，已知矩形纸片，点在边上（不与，重合），点在边上（不与，重合）．将矩形纸片沿直线折叠，使顶点落在点处，点在长方形内部． 【图形感知】 （1）图①中，____________（填“”“”或“”）； 【作图探究】 （2）在图①中边上确定一点（不与，重合），使得纸片沿着折叠后，点的对应点刚好落在射线上，请用无刻度直尺和圆规作出该点（不写作法，保留作图痕迹），并求出的度数． 【计算探究】 （3）如图②，矩形中，，，点是边的中点，将矩形沿折叠，使顶点落在点处，点是矩形边上的动点，将矩形沿折叠，使顶点落在点处，当落在的内部时，直接写出长度的取值范围． 23. 如图，中，，，于点，，点为的中点，动点从点出发，以每秒 个单位长度的速度沿的路线向终点运动．连结，将绕点逆时针旋转得到，连结，设点的运动时间为． （1）填空：____________，____________． （2）当时，求的长． （3）当点落在边上时，求的值． （4）当点在线段上，的中点落在的边上时，直接写出所有满足条件的值． 24. 在平面直角坐标系中，不重合的两点、在二次函数 图象上，、两点的横坐标分别是、 ，点D在直线 上，其横坐标为，连接、，以、为邻边构造． （1）求二次函数 图象与x轴的交点坐标． （2）求直线与x轴正半轴所夹角的正切值． （3）当点在点的右侧， 时，求的取值范围． （4）当时，二次函数 图象与的边有交点时（的顶点除外），设此交点为，直线将分成的两部分图形面积的比为 时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $