2026年暑假苏科版九年级数学上预习手册10《第3章圆第3节圆的对称性》预习讲义

数学臻选·2026年暑假苏科版九年级数学上预习手册10 《第3章圆第3节圆的对称性》预习讲义 一．预习目标 ( 1.   掌握圆的三重对称性：轴对称、中心对称、旋转不变性，能准确说出对称轴、对称中心。 2.   熟练掌握垂径定理及其五条推论，会结合勾股定理构造直角三角形计算半径、弦长、弦心距。 3.   掌握同圆/等圆中圆心角、弧、弦 “ 知一推二 ” 等量关系，区分优弧、劣弧、等弧概念。 4.   能解决圆折叠、平行弦、拱桥实际应用、几何证明类综合题型，规范书写几何推理步骤。 5.   规避江苏考试高频易错点：忽略 “ 同圆或等圆 ” 前提、平分直径的直径不垂直、垂径定理漏分双解、旋转对称概念混淆。 ) 二．重点难点 ( （一）重点 1.   圆的轴对称性与垂径定理及推论； 2.   同圆/等圆中圆心角、弧、弦三者等量转化； 3.   垂径定理+勾股定理几何计算。 （二）难点 1.   垂径定理多解题型（平行弦分居圆心两侧/同侧）； 2.   圆形折叠类轴对称综合题； 3.   利用弧、弦、圆心角完成几何证明； 4.   拱桥类实际应用题建模。 ) 三．自主探究 （一）圆的三种对称性 1.旋转不变性： 观察下列图形并回答问题 从上面的图形可以看出:圆绕着它的圆心旋转任意角度，都能与原来的圆重合。圆的上述性质称为旋转不变性. 圆绕圆心旋转任意角度，都能与原图形完全重合，是独有的性质。 2.中心对称： 我们知道:把一个图形绕着某一个点旋转180，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形由此可见:圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。 3.轴对称： 圆是轴对称图形，任意一条直径所在直线都是对称轴，有无数条对称轴；折叠圆形纸片，折痕必过圆心。 （二）垂径定理 圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴． 如图,AB是⊙O的一条弦, 直径CD⊥AB, 垂足为E. 将图形沿着直径CD所在的直线折叠，你发现了什么？ AE=BE 1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 2.几何语言：∵ CD是直径，CD⊥AB于E，∴ AE=BE, 【想一想】：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？ （1） （2） （3） （4） 【解析】图(1)：具备垂径定理的条件，CD是过圆心O的直径，且CD⊥AB，满足定理的两个条件。图(2)：不具备垂径定理的条件，线段OC没有垂直于弦AB，不满足“垂直于弦”的条件。图(3)：具备垂径定理的条件，过圆心O的直线垂直于弦AB，满足定理的两个条件。图(4)：不具备垂径定理的条件，直线CD没有经过圆心O，不满足“过圆心”的条件。 3.垂径定理的推论： 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧. 推论3：平分弦所对一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧. 五要素知二推三：①过圆心 ②垂直弦 ③平分弦 ④平分弦劣弧 ⑤平分弦优弧；推论特殊限制：平分弦（弦不是直径）的直径，才垂直弦；若弦为直径，两条直径互相平分但不一定垂直。 4.垂径定理小结 （三）圆心角、弧、弦的关系（旋转对称性） 取一张圆形纸片，作圆心角∠AOB=∠COD=60°，用剪刀剪下圆心角∠AOB.把你所剪下的圆心角∠AOB拼凑到∠COD上，看看你有什么发现？ 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等. 【归纳】 （1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等所对的弦相等 （2）在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦相等 （3）在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧对应相等. 由此得到: 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 【补充】： （1）圆心角度数 = 它所对弧的度数； （2）等弧：能完全重合的弧，只有同圆/等圆中才存在等弧；长度相等的弧不一定是等弧。 四．经典例题 例1.（2025·盐城亭湖期末）下列关于圆的对称性说法正确的是（ ） A. 圆只有4条对称轴 B. 圆的对称中心是直径 C. 圆绕圆心旋转30°可与自身重合 D. 半圆不是轴对称图形 【答案】：C 【解析】：圆有无数条对称轴，对称中心是圆心，半圆是轴对称图形；圆具备旋转不变性，旋转任意角度都重合，故选C。易错陷阱：混淆对称中心、对称轴概念。 例2.（2024·苏州吴中期末）AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于E，下列结论不一定成立的是（ ） A.CE=DE B. C.OE=EB D. 【答案】：C 【解析】：由垂径定理直接得A、B、D成立；OE是弦心距，EB是半径一段，无等量关系，不一定相等。 例3.如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD＝8cm，OF＝cm，则OE的长度是（　　） A．2cm B．4cm C．5cm D．3cm 【答案】D． 【解析】连接OB、AB，∵BD⊥AO，BD＝8cm，∴BE＝ED＝BD＝4（cm），∵OF⊥BC，∴CF＝FB，∵CO＝OA，OF＝cm，∴AB＝2OF＝2（cm），由勾股定理得：AE＝＝2（cm），在Rt△BOE中，OB2＝OE2+BE2，即OA2＝（OA﹣2）2+42，解得：OA＝5，∴OE＝OA﹣AE＝5﹣2＝3（cm）， 例4.如图，在⊙O中，半径r＝5，弦AB＝8，P是弦AB上的动点（不含端点A，B），若线段OP长为正整数，则点P的个数有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】A． 【解析】当P为AB的中点时，AP＝BP＝4，由垂径定理得：OP⊥AB，此时OP最短，在RtAOP中，OA＝5，AP＝4，由勾股定理得：OP＝＝＝3，即OP的最小值为3， 当P与A或B重合时，OP最长，此时OP＝5，∴3≤OP＜5，若线段OP的长度为正整数，∴OP＝3或OP＝4．根据对称性可知，满足条件的点P的个数有3个， 例5.（2026·盐城大丰二模）圆的对称中心是________ 【答案】：圆心 【解析】：圆为中心对称图形，定义规定圆心是唯一对称中心。 例6.（2025·连云港海州期末）直径平分一条非直径的弦，则直径与弦的位置关系为________ 【答案】：互相垂直 【解析】：垂径定理推论：平分非直径弦的直径垂直这条弦。 例7.如图所示一个圆柱体容器内装入一些水，截面AB在圆心O下方，若⊙O的直径为60cm，水面宽AB＝48cm，则水的最大深度为 　　cm． 【答案】12． 【解析】连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，∵AB＝48cm，∴BD＝AB＝×48＝24（cm），∵⊙O的直径为60cm，∴OB＝OC＝30cm，在Rt△OBD中，OD＝＝＝18（cm），∴CD＝OC﹣OD＝30﹣18＝12（cm），即水的最大深度为12cm， 例8.如图，是一张盾构隧道断面结构图．隧道内部为以O为圆心，AB为直径的圆．隧道内部共分为三层，上层为排烟道，中间为行车隧道，下层为服务层．点A到顶棚的距离为1.6m，顶棚到路面的距离是6.4m，点B到路面的距离为4.0m．请求出路面CD的宽度．（精确到0.1m） 解：如图，连接OC，AB交CD于E，由题意知：AB＝1.6+6.4+4＝12，所以OC＝OB＝6， OE＝OB﹣BE＝6﹣4＝2，由题意可知：AB⊥CD，∵AB过O，∴CD＝2CE，在Rt△OCE中，由勾股定理得：CE4，∴CD＝2CE＝8≈11.3m，所以路面CD的宽度为11.3m． 例9.《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何？”（如图①） 阅读完这段文字后，小智画出了一个圆柱截面示意图（如图②），其中BO⊥CD于点A，求间径就是要求⊙O的直径． 再次阅读后，发现AB＝1寸，CD＝10寸（一尺等于十寸），通过运用有关知识即可解决这个问题．请帮助小智求出⊙O的直径． 解：连接OC，∵OB⊥CD垂足为A，∴CA=CD＝5，设CO＝x，则AO＝x﹣1， 在Rt△AOC中，∠CAO＝90°，∴OA2+CA2＝OC2，∴（x﹣1）2+52＝x2，解得x＝13， ∴⊙O的直径为26寸． 例10．如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD． （1）请证明：E是OB的中点； （2）若AB＝8，求CD的长． 解：（1）证明：连接AC，如图∵直径AB垂直于弦CD于点E，∴，∴AC＝AD， ∵过圆心O的线CF⊥AD，∴AF＝DF，即CF是AD的中垂线，∴AC＝CD，∴AC＝AD＝CD． 即：△ACD是等边三角形，∴∠FCD＝30°，在Rt△COE中，，∴， ∴点E为OB的中点； （2）在Rt△OCE中，AB＝8，∴，又∵BE＝OE，∴OE＝2， ∴，∴． 五．夯实基础 （一）选择题 1.（2026·南通通州一模）在同圆中，两个圆心角∠AOB=∠COD，则下列错误的是（ ） A.AB=CD B. C.弦心距相等 D.AB∥CD 【答案】：D 【解析】：同圆中等圆心角对等弦、等弧、等弦心距，但两条弦不一定平行，无平行推导依据。易错：主观脑补位置关系。 2.（2025·泰州姜堰期末）半径为5，弦长8，则圆心到弦的距离为（ ） A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】：A 【解析】：构造直角三角形，半弦长4，半径5，由勾股：d==3，直接套用垂径计算模型。 3.（2024·镇江丹徒期末）下列图形旋转任意角度都与自身重合的是（ ） A.正方形 B.等边三角形 C.圆 D.矩形 【答案】：C 【解析】：圆独有旋转不变性，其余图形仅特定角度旋转重合。 4.（2025·宿迁宿豫期末）下列说法正确的是（） A.相等的弦所对弧相等 B.等弧一定出现在等圆或同圆 C.平分弦的直径垂直弦 D.圆只有一条对称轴 【答案】：B 【解析】：A缺少同圆/等圆条件；C弦为直径时不垂直；D圆无数对称轴。 5.如图，⊙O的直径CD为26，弦AB的长为24，且AB⊥CD，垂足为M，则CM的长为（　　） A．25 B．8 C．5 D．13 【答案】B． 【解析】连接OA，∵⊙O的直径CD为26，∴OC＝OA＝13，∵CD⊥AB，CD过圆心O，∴AM＝BM，∵AB＝24，∴AM＝12，由勾股定理得：OM＝＝＝5，∴CM＝OC﹣OM＝13﹣5＝8， 6.在⊙O中，直径AB＝10，弦DE⊥AB于点C，若OC：OA＝4：5，则△ODE的周长为（　　） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】D． 【解析】∵AB＝10，∴OA＝5，∵OC：OA＝4：5，∴OC＝4，在Rt△OCD中，DC＝＝＝3，∵DE⊥AB，∴DE＝2DC＝6，∴△ODE的周长＝OD+OE+DE＝5+5+6＝16， 设OA＝OC＝r，OM＝MN＝a，则有，解得，r＝4， 7．如图，矩形ABCD是由边长为1的五个小正方形拼成，O是第2个小正方形的中心，将矩形ABCD绕O点逆时针旋转90°得矩形A′B′C′D′，现用一个最小的圆覆盖这个图形，则这个圆的半径是（　　） A． B． C． D． 【答案】：C 【解析】：如图，取A'D'的中点E，作ME⊥A'D'，取B'的中点F，作MF⊥BC'，以M为圆心，MB长为半径作⊙M，则⊙M经过点D'、B、A'、C，⊙M为整个图形最小覆盖圆，∵矩形ABCD是由边长为1的五个小正方形拼成，∴MF＝，BF＝，在Rt△BMF中， BM＝．故选：C． （二）填空题 8.（2025·连云港东海期末）垂直于弦的直径，平分弦所对的________条弧 【答案】：两 【解析】：垂径定理：平分弦对应的优弧、劣弧两条弧。 9.（2026·盐城亭湖一模）圆绕圆心旋转________°与自身中心对称重合 【答案】：180 【解析】：中心对称图形旋转180°重合。 10.一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA＝2m，水面宽AB＝2.4m，某天下雨后，水管水面上升了0.4m，则此时排水管水面宽CD等于　 　m． 【答案】3.2． 【解析】过O作OE⊥AB于E，交CD于F，连接OC，则AE＝BE＝AB＝1.2（m），OF⊥CD， ∴CF＝DF＝CD，∴OE＝＝＝1.6（m）， ∵水管水面上升了0.4m，∴OF＝OE﹣EF＝1.6﹣0.4＝1.2（m）， ∴CF＝＝＝1.6（m），∴CD＝2CF＝3.2（m） 11．如图，在半径为的⊙O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB＝75°，AB＝6，AE＝1，则CD的长是_______. 【答案】2 【解析】过点O作OF⊥CD于点F，OG⊥AB于G，连接OB、OD、OE，如图所示：则DF＝CF，AG＝BG＝AB＝3，∴EG＝AG﹣AE＝2，在Rt△BOG中，OG＝＝＝2，∴EG＝OG，∴△EOG是等腰直角三角形，∴∠OEG＝45°，OE＝OG＝2，∵∠DEB＝75°，∴∠OEF＝30°，∴OF＝OE＝，在Rt△ODF中，DF＝＝＝，∴CD＝2DF＝2； （三）解答题 12．如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB＝CD，连接AD、BC． 求证：（1）＝； （2）AE＝CE． 证明（1）∵AB＝CD，∴＝，即+＝+，∴＝； （2）由（1）知＝，∴AD＝BC，∵＝，＝， ∴∠ADE＝∠CBE，∠DAE＝∠BCE，∴△ADE≌△CBE（ASA），∴AE＝CE． 13．（兴化市月考）如图，点P是⊙O内一定点． （1）过点P作弦AB，使点P是AB的中点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）若⊙O的半径为13，OP＝5， ①求过点P的弦的长度m范围； ②过点P的弦中，长度为整数的弦有　　条． 解：（1）如图1，连接OP并延长，过点P作AB⊥OP，则弦AB即为所求； （2）①过点P的所有弦中，直径最长为26，与OP垂直的弦最短，连接OA，如图2所示： ∵OP⊥AB，∴AP＝BP12，∴AB＝2AP＝24，∴过点P的弦的长度m范围为24≤m≤26； ②∵过P点最长的弦为直径26，最短的弦24，∴长度为25的弦有两条，∴过点P的弦中，长度为整数的弦共有4条，故答案为：4． 六．巩固训练 （一）选择题 1.（2025·淮安淮阴期末）圆形纸片对折两次，两条折痕交点是（ ） A.弦中点 B.圆心 C.弧中点 D.切点 【答案】：B 【解析】：圆对称轴都过圆心，折痕交点为圆心。 2.如图，BC为⊙O的直径，弦AD⊥BC于点E，直线l切⊙O于点C，延长OD交l于点F，若AE＝2，∠ABC＝22.5°，则CF的长度为（　　） A．2 B．2 C．2 D．4 【答案】B． 【解析】∵BC为⊙O的直径，弦AD⊥BC于点E，∴＝，AE＝DE＝2，∴∠COD＝2∠ABC＝45°，∴△OED是等腰直角三角形，∴OE＝ED＝2，∴OD＝＝2，∵直线l切⊙O于点C，∴BC⊥CF，∴△OCF是等腰直角三角形，∴CF＝OC，∵OC＝OD＝2，∴CF＝2 3.如图，在⊙O中，弦AB∥CD，OP⊥CD，OM＝MN，AB＝18，CD＝12，则⊙O的半径为（　　） A．4 B．4 C．4 D．4 【答案】C． 【解析】如图，连接OA，OC．∵OP⊥CD，CD∥AB，∴OP⊥AB，∴CN＝DN＝6，AM＝MB＝9， 4.⊙O的半径为5，弦AB＝8，则圆上到弦AB所在直线距离为2的点有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C． 【解析】作圆的直径CE⊥AB于点D，连接OA， ∵AB＝8，∴AD＝4．∵OA＝5，∴OD＝＝3， ∴CD＝OC﹣3＝5﹣3＝2，即C到弦AB所在的直线距离为2， ∴在劣弧AB上，到弦AB所在的直线距离为2的点只有C点； ∵DE＝5+3＝8＞2，∴在优弧AEB上到弦AB所在的直线距离为2的点有2个， 即圆上到弦AB所在的直线距离为2的点有3个． 5．东汉初年，我国的《周髀算经》里就有“径一周三”的古率，提出了圆的直径与周长之间存在一定的比例关系．将图中的半圆弧形铁丝向右水平拉直（保持端不动）．根据该古率，与拉直后铁丝端的位置最接近的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】：A  【解析】：∵半圆的直径是1，∴由“径一周三”知圆的周长，∴半圆的周长为，∴拉直后铁丝端的位置最接近的是点A，故选：A． 6．如图，的半径为6，将劣弧沿弦翻折，恰好经过圆心，点为优弧上的一个动点，则面积的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】：A  【解析】：如图，过点C作CT⊥AB于点T，过点O作OH⊥AB于点H，交⊙O于点K，连接AO，AK．由题意AB垂直平分线段OK，∴AO＝AK，∵OA＝OK，∴OA＝OK＝AK，∴∠OAK＝∠AOK＝60°．∴AH＝6×＝3，∵OH⊥AB，∴AH＝BH，∴AB＝2AH＝6，∵OC＋OH≥CT，∴CT≤6＋3＝9，∴CT的最大值为9，∴△ABC的面积的最大值为，故选：A． 7．如图，是的直径，弧、弧与弧相等，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】： C 【解析】：∵弧、弧与弧相等，∴，∴，又∵OE=OA，∴=， 故选：C． 8．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y＝x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（　　） A．4 B． C． D． 【答案】B． 【解析】作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连接PB，如图，∵⊙P的圆心坐标是（3，a），∴OC＝3，PC＝a，把x＝3代入y＝x得y＝3，∴D点坐标为（3，3），∴CD＝3，∴△OCD为等腰直角三角形，∴△PED也为等腰直角三角形，∵PE⊥AB，∴AE＝BE＝AB＝×4＝2，在Rt△PBE中，PB＝3，∴PE＝，∴PD＝PE＝，∴a＝3+．故选：B． 9．如图，半径为的中，弦，所对的圆心角分别是，，若，，则弦的长等于（  A ） A． B． C． D． 【答案】：D  【解析】：作AH⊥BC于H，作直径CF，连接BF，如图，∵∠BAC+∠EAD=180°，而∠BAC+∠BAF=180°，∴∠DAE=∠BAF，∴弧DE＝弧BF，∴DE=BF=6，∵AH⊥BC， ∴CH=BH，∵CA=AF，∴AH为△CBF的中位线，∴AH=BF=3． ∴，∴BC＝2BH＝8．故选A． 10．如图是由三个大小相同的正方形组成的“品”字型轴对称图案，测得顶点A，B之间的距离为5．现用一个半径为r的圆形纸片将其完全覆盖，则r的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B． 【解析】如图，设BE＝x，在Rt△ACB中，AC＝2x，BC＝， ，解得，x＝2（负值舍去），∴EH＝4，DH＝1，设OE＝a，OD＝OB＝r， ，解得，r＝（负值舍去）．故选：B． （二）填空题 11.（2025·苏州姑苏期末）垂径定理核心构造________三角形计算线段 【答案】：直角 【解析】：半径、弦心距、半弦长构成直角三角形。 12.（2024·南通海门期末）圆绕圆心旋转90°，图形与原图形________ 【答案】：重合 【解析】：圆具备旋转不变性，任意角度旋转重合。 13.（2025·泰州海陵期末）直径垂直弦，弦长12，半径10，圆心到弧中点距离为________ 【答案】：18 【解析】：弦心距8，延长半径到弧远端，10+8=18。 14.如图，已知水平放置的圆柱形污水排水管道的截面半径OB＝12cm，截面圆心O到污水面的距离OC＝6cm，则截面上有污水部分的面积为　 　． 【答案】（48π﹣36）cm2． 【解析】∵OC⊥AB，∴AC＝BC，在Rt△OBC中，OB＝12cm，OC＝6cm， 根据勾股定理得：BC＝＝＝6（cm），则AB＝2BC＝12cm， ∵cos∠BOC＝＝，∴∠COB＝60°， ∴截面上有污水部分的面积为：﹣×12×6＝（48π﹣36）cm2． 15.小明很喜欢钻研问题，一次数学杨老师拿来一个残缺的圆形瓦片（如图所示）让小明求瓦片所在圆的半径，小明连接瓦片弧线两端AB，量的弧AB的中心C到AB的距离CD＝1.6cm，AB＝6.4cm，很快求得圆形瓦片所在圆的半径为 　　cm． 【答案】4cm． 【解析】∵C点是的中点，CD⊥AB，∴CD过圆心，AD＝BD＝AB＝×6.4＝3.2（cm）， 设圆心为O，连接OA，设⊙O的半径为Rcm，则OD＝（R﹣1.6）cm， 在Rt△OAD中，（R﹣1.6）2+3.22＝R2，解得R＝4（cm），所以圆形瓦片所在圆的半径为4cm． 16. 如图，半圆O的直径AB＝10cm，弦AC＝6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为_____ 【答案】 cm 【解析】连接OD，OC，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∵∠CAD=∠BAD（角平分线的性质）， ∴，∴∠DOB=∠OAC=2∠BAD，∴△AOF≌△ODE，∴OE=AF=AC=3（cm）， 在Rt△DOE中，DE==4（cm），在Rt△ADE中，AD=（cm）． 17．如图，AB是半圆O的直径，四边形CDMN和DEFG都是正方形，其中点C，D，E在AB上，点F，N在半圆上．若半圆O的半径为10，则正方形CDMN的面积与正方形DEFG的面积之和是_________. 【答案】100 【解析】连接ON，OF，设正方形CDMN的边长为a，正方形DEFG边长为b，OD＝c，则CN＝CD＝a，DE＝EF＝b，∵四边形CDMN和DEFG都是正方形，∴∠NCD＝90°，∠FED＝90°，∵半圆O的半径为10，∴ON＝OF＝10，由勾股定理得：NC2+CO2＝ON2，OE2+EF2＝OF2，∴a2+（a+c）2＝102①，b2+（b﹣c）2＝102②，①﹣②，得a2+（a+c）2﹣b2﹣（b﹣c）2＝0，（a2﹣b2）+[（a+c）2﹣（b﹣c）2）]＝0，（a+b）（a﹣b）+（a+c+b﹣c）（a+c﹣b+c）＝0，（a+b）（a﹣b）+（a+b）（a﹣b+2c）＝0，（a+b）（a﹣b+a﹣b+2c）＝0， 2（a+b）（a﹣b+c）＝0，∵a+b≠0，∴a﹣b+c＝0，即b＝a+c，把b＝a+c代入①，得a2+b2＝102＝100，即正方形CDMN的面积与正方形DEFG的面积之和是100， 18．把一个球放入长方体纸盒，球的一部分露出盒外，球与纸盒内壁都刚好相切，其截面如图所示，若露出部分的高度为6cm，AF＝DE＝3cm，则这个球的半径是 　 　cm． 【答案】15 【解析】过O作OG⊥AD于G，交⊙O于H，连接OE，∴FG＝EG，∵AF＝DE＝3cm，设半径为rcm，则OG＝（r﹣6）cm，OE＝rcm，EG＝（r﹣3）cm，根据勾股定理得，（r﹣3）2+（r﹣6）2＝r2，解得：r＝15或3（舍），故答案为：15． 19．如图，已知AB是⊙O的直径，且AB＝10cm，弦CD⊥AB于点P，CD＝8cm，则AP＝　 　． 【答案】2cm 【解析】连接OC．∵弦CD⊥直径AB于点P，CD＝8cm，∴PC＝PD＝CD＝×8＝4cm，在Rt△POC中，OP＝＝＝3cm，∴AP＝OA﹣OP＝5﹣3＝2cm，故答案为：2cm． 20．在中，．点D为平面上一个动点，，则线段长度的最小值为_____． 【答案】 【解析】由已知，，根据定角定弦，可作出辅助圆，由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知，点在以为圆心为半径的圆上，线段长度的最小值为．如图： 以为半径作圆，过圆心作，以为圆心为半径作圆，则点在圆上， , 线段长度的最小值为: ．故答案为：． （三）解答题 21．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，书中记载：“今有中，不知大小．以锯锯之，深1寸，锯道长1尺，问经几何？”其意思为：“如图，今有一圆形木材在墙中，不知其大小用锯子去锯这个木材，锯口深DE＝1寸，锯道长AB＝10寸，问这块圆形木材的直径是多少？” 解：如图，连接OA，由题意可知，DE＝1寸，AB＝10寸，∵AB⊥CD，CD是直径，AB＝10寸，∴（寸），设圆O的半径OA的长为x寸，则OC＝OD＝x寸，∵DE＝1寸，∴OE＝（x﹣1）寸，在Rt△AOE中，根据勾股定理得，OA2﹣OE2＝AE2，即x2﹣（x﹣1）2＝52，解得：x＝13（寸）所以CD＝26（寸）．答：这块圆形木材的直径为26寸． 22.如图，点O在∠APB的平分线PN上，以点O为圆心的⊙O分别交直线PN于点M、N，那么与相等吗？并说明理由． 解：与相等，理由如下：连接OA，OB，过点O作OE⊥PA于E，OF⊥PB于F． ∴点O在∠APB的平分线PN上，∴OE＝OF，∵∠OEA＝∠OFB＝90°， 在Rt△OEA和Rt△OFB中，，∴Rt△OEA≌Rt△OFB（HL），∴∠A＝∠B， ∵∠AON＝∠APO+∠A，∠BON＝∠BPN+∠B∴∠AON＝∠BON，∴∠AOM＝∠BOM， ∴＝． 23．诗句“君到姑苏见，人家尽枕河”所描绘的就是有东方威尼斯之称的水城苏州．小勇要帮忙船夫计算一艘货船是否能够安全通过一座圆弧形的拱桥，现测得桥下水面AB宽度16m时，拱顶高出水平面4m，货船宽12m，船舱顶部为矩形并高出水面3m． （1）请你帮助小勇求此圆弧形拱桥的半径； （2）小勇在解决这个问题时遇到困难，请你判断一下，此货船能顺利通过这座拱桥吗？说说你的理由． 解：（1）如图，连接OB．∵OC⊥AB，∴D为AB中点，∵AB＝16m，∴BD＝AB＝8（m）， 又∵CD＝4m，设OB＝OC＝r，则OD＝（r﹣4）m．在Rt△BOD中，根据勾股定理得：r2＝（r﹣4）2+82，解得r＝10．答：此圆弧形拱桥的半径为10m． （2）此货船不能顺利通过这座拱桥，理由如下：连接ON，∵CD＝4m，船舱顶部为长方形并高出水面3m，∴CE＝4﹣3＝1（m），∴OE＝r﹣CE＝10﹣1＝9（m）， 在Rt△OEN中，由勾股定理得：EN＝＝＝，∴MN＝2EN＝2m＜12m．∴此货船B不能顺利通过这座拱桥． 24．如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度AB为30m，拱高PM为9m，当洪水泛滥到跨度只有15m时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有2m，即PN＝2m时，试求： （1）拱桥所在的圆的半径； （2）通过计算说明是否需要采取紧急措施． 解：（1）设圆弧所在圆的圆心为O，连接OA、OA′，设半径为xm，则OA＝OA′＝OP， 由垂径定理可知AM＝BM，A′N＝B′N，∵AB＝30m，∴AM＝AB＝15（m），在Rt△AOM中，OM＝OP﹣PM＝（x﹣9）m，由勾股定理可得：AO2＝OM2+AM2， 即x2＝（x﹣9）2+152，解得：x＝17，即拱桥所在的圆的半径为17m； （2）∵OP＝17m，∴ON＝OP﹣PN＝17﹣2＝15（m），在Rt△A′ON中，由勾股定理可得A′N＝＝＝8（m），∴A′B′＝2A'N＝16米＞15m， ∴不需要采取紧急措施． 25．如图是某蔬菜基地搭建一座圆弧型蔬菜棚，跨度AB＝3.2米，拱高CD＝0.8米（C为AB的中点，D为弧AB的中点）． （1）求该圆弧所在圆的半径； （2）在距蔬菜棚的一端0.4米处竖立支撑杆EF，求支撑杆EF的高度． 解：（1）设弧AB所在的圆心为O，D为弧AB的中点，CD⊥AB于C，延长DC经过O点， 则BC＝AB＝1.6（米），设⊙O的半径为R，在Rt△OBC中，OB2＝OC2+CB2，∴R2＝（R﹣0.8）2+1.62，解得R＝2，即该圆弧所在圆的半径为2米； （2）过O作OH⊥FE于H，则OH＝CE＝1.6﹣0.4＝1.2＝（米），OF＝2米，在Rt△OHF中，HF＝＝＝1.6（米），∵HE＝OC＝OD﹣CD＝2﹣0.8＝1.2（米）， ∴EF＝HF﹣HE＝1.6﹣1.2＝0.4（米），即支撑杆EF的高度为0.4米． 26．几何模型： 条件：如图1，A、B是直线l同侧的两个定点． 问题：在直线l上确定一点P，使的值最小， 方法：作点B关于直线l的对称点，连接交l于点P，则的值最小． 直接应用： (1)如图2，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且，N是AC上一动点，则的最小值为______． 变式练习： (2)如图3，点A是半圆上（半径为1）的三等分点，B是的中点，P是直径MN上一动点，求的最小值． 深化拓展： (3)如图4，在锐角中，，，的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，求的最小值． (4)如图5，在四边形ABCD的对角线AC上找一点P，使．（要求：保留作图痕迹，并简述作法．） 解：（1）连接BN，∵四边形ABCD为正方形，AC是对角线为对称轴，∴BN=DN，∴DN+NM=BN+NM≥BM∴当B、N、M三点共线时DN+NM最短=BM，∵DM=2，DC=BC=8，∴CM=DC-DM=8-2=6，在Rt△BCM中，BM=，∴DN+NM最小=10；故答案为10； （2）作点B关于NM的对称点B′，连接PB′，OB′，则PB=PB′，∴PA+PB=PA+PB′≥AB′，∴当A、P、B′，三点共线时PA+PB最小=AB′∵点A是半圆上（半径为1）的三等分点，∴的度数为60°，∵B是的中点，∴的度数为30°，∴的度数为60°+30°=90°，∴∠AOB′=90°，∵OA=OB′=1，∴AB′=，∴PA+PB最小=； （3）作BE⊥AC于E，作点N关于AD的对称点N′，连接MN′∵AD平分∠CAB，点N在AB上，∴点N′在AC上，MN=MN′，，∴当点M，N′在BE上时最小=BE，∵∠CAB=45°，BE⊥AC∴∠EBA=180°-90°-45°=45°=∠CAB，∴AE=BE，∴△AEB为等腰直角三角形，∴，∴，∴最小=4； （4）作点B关于AC对称点B′，作射线DB′交AC与P，连接BP，∵点B与点B′关于AC对称，∴PB=PB′，∵PE⊥BB′∴PE平分∠BPB′，∴∠APB=∠APD． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学臻选·2026年暑假苏科版九年级数学上预习手册10 《第3章圆第3节圆的对称性》预习讲义 一．预习目标 ( 1.   掌握圆的三重对称性：轴对称、中心对称、旋转不变性，能准确说出对称轴、对称中心。 2.   熟练掌握垂径定理及其五条推论，会结合勾股定理构造直角三角形计算半径、弦长、弦心距。 3.   掌握同圆/等圆中圆心角、弧、弦 “ 知一推二 ” 等量关系，区分优弧、劣弧、等弧概念。 4.   能解决圆折叠、平行弦、拱桥实际应用、几何证明类综合题型，规范书写几何推理步骤。 5.   规避江苏考试高频易错点：忽略 “ 同圆或等圆 ” 前提、平分直径的直径不垂直、垂径定理漏分双解、旋转对称概念混淆。 ) 二．重点难点 ( （一）重点 1.   圆的轴对称性与垂径定理及推论； 2.   同圆/等圆中圆心角、弧、弦三者等量转化； 3.   垂径定理+勾股定理几何计算。 （二）难点 1.   垂径定理多解题型（平行弦分居圆心两侧/同侧）； 2.   圆形折叠类轴对称综合题； 3.   利用弧、弦、圆心角完成几何证明； 4.   拱桥类实际应用题建模。 ) 三．自主探究 （一）圆的三种对称性 1.旋转不变性： 观察下列图形并回答问题 从上面的图形可以看出:圆绕着它的圆心旋转任意角度，都能与原来的圆重合。圆的上述性质称为旋转不变性. 圆绕圆心旋转任意角度，都能与原图形完全重合，是独有的性质。 2.中心对称： 我们知道:把一个图形绕着某一个点旋转180，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形由此可见:圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。 3.轴对称： 圆是轴对称图形，任意一条直径所在直线都是对称轴，有无数条对称轴；折叠圆形纸片，折痕必过圆心。 （二）垂径定理 圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴． 如图,AB是⊙O的一条弦, 直径CD⊥AB, 垂足为E. 将图形沿着直径CD所在的直线折叠，你发现了什么？ 1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 2.几何语言：∵ CD是直径，CD⊥AB于E，∴ AE=BE, 【想一想】：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？ （1） （2） （3） （4） 3.垂径定理的推论： 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧. 推论3：平分弦所对一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧. 五要素知二推三：①过圆心 ②垂直弦 ③平分弦 ④平分弦劣弧 ⑤平分弦优弧；推论特殊限制：平分弦（弦不是直径）的直径，才垂直弦；若弦为直径，两条直径互相平分但不一定垂直。 4.垂径定理小结 （三）圆心角、弧、弦的关系（旋转对称性） 取一张圆形纸片，作圆心角∠AOB=∠COD=60°，用剪刀剪下圆心角∠AOB.把你所剪下的圆心角∠AOB拼凑到∠COD上，看看你有什么发现？ 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等. 【归纳】 （1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等所对的弦相等 （2）在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦相等 （3）在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧对应相等. 由此得到: 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 【补充】： （1）圆心角度数 = 它所对弧的度数； （2）等弧：能完全重合的弧，只有同圆/等圆中才存在等弧；长度相等的弧不一定是等弧。 四．经典例题 例1.（2025·盐城亭湖期末）下列关于圆的对称性说法正确的是（ ） A. 圆只有4条对称轴 B. 圆的对称中心是直径 C. 圆绕圆心旋转30°可与自身重合 D. 半圆不是轴对称图形 例2.（2024·苏州吴中期末）AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于E，下列结论不一定成立的是（ ） A.CE=DE B. C.OE=EB D. 例3.如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD＝8cm，OF＝cm，则OE的长度是（　　） A．2cm B．4cm C．5cm D．3cm 例4.如图，在⊙O中，半径r＝5，弦AB＝8，P是弦AB上的动点（不含端点A，B），若线段OP长为正整数，则点P的个数有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 例5.（2026·盐城大丰二模）圆的对称中心是________ 例6.（2025·连云港海州期末）直径平分一条非直径的弦，则直径与弦的位置关系为________ 例7.如图所示一个圆柱体容器内装入一些水，截面AB在圆心O下方，若⊙O的直径为60cm，水面宽AB＝48cm，则水的最大深度为 　　cm． 例8.如图，是一张盾构隧道断面结构图．隧道内部为以O为圆心，AB为直径的圆．隧道内部共分为三层，上层为排烟道，中间为行车隧道，下层为服务层．点A到顶棚的距离为1.6m，顶棚到路面的距离是6.4m，点B到路面的距离为4.0m．请求出路面CD的宽度．（精确到0.1m） 例9.《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何？”（如图①） 阅读完这段文字后，小智画出了一个圆柱截面示意图（如图②），其中BO⊥CD于点A，求间径就是要求⊙O的直径． 再次阅读后，发现AB＝1寸，CD＝10寸（一尺等于十寸），通过运用有关知识即可解决这个问题．请帮助小智求出⊙O的直径． 例10．如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD． （1）请证明：E是OB的中点； （2）若AB＝8，求CD的长． 五．夯实基础 （一）选择题 1.（2026·南通通州一模）在同圆中，两个圆心角∠AOB=∠COD，则下列错误的是（ ） A.AB=CD B. C.弦心距相等 D.AB∥CD 2.（2025·泰州姜堰期末）半径为5，弦长8，则圆心到弦的距离为（ ） A.3 B.4 C.5 D.6 3.（2024·镇江丹徒期末）下列图形旋转任意角度都与自身重合的是（ ） A.正方形 B.等边三角形 C.圆 D.矩形 4.（2025·宿迁宿豫期末）下列说法正确的是（ ） A.相等的弦所对弧相等 B.等弧一定出现在等圆或同圆 C.平分弦的直径垂直弦 D.圆只有一条对称轴 5.如图，⊙O的直径CD为26，弦AB的长为24，且AB⊥CD，垂足为M，则CM的长为（　　） A．25 B．8 C．5 D．13 6.在⊙O中，直径AB＝10，弦DE⊥AB于点C，若OC：OA＝4：5，则△ODE的周长为（　　） A．13 B．14 C．15 D．16 7．如图，矩形ABCD是由边长为1的五个小正方形拼成，O是第2个小正方形的中心，将矩形ABCD绕O点逆时针旋转90°得矩形A′B′C′D′，现用一个最小的圆覆盖这个图形，则这个圆的半径是（　　） A． B． C． D． （二）填空题 8.（2025·连云港东海期末）垂直于弦的直径，平分弦所对的________条弧 9.（2026·盐城亭湖一模）圆绕圆心旋转________°与自身中心对称重合 10.一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA＝2m，水面宽AB＝2.4m，某天下雨后，水管水面上升了0.4m，则此时排水管水面宽CD等于　 　m． 11．如图，在半径为的⊙O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB＝75°，AB＝6，AE＝1，则CD的长是_______. （三）解答题 12．如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB＝CD，连接AD、BC． 求证：（1）＝； （2）AE＝CE． 13．（兴化市月考）如图，点P是⊙O内一定点． （1）过点P作弦AB，使点P是AB的中点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）若⊙O的半径为13，OP＝5， ①求过点P的弦的长度m范围； ②过点P的弦中，长度为整数的弦有　　条． 六．巩固训练 （一）选择题 1.（2025·淮安淮阴期末）圆形纸片对折两次，两条折痕交点是（ ） A.弦中点 B.圆心 C.弧中点 D.切点 2.如图，BC为⊙O的直径，弦AD⊥BC于点E，直线l切⊙O于点C，延长OD交l于点F，若AE＝2，∠ABC＝22.5°，则CF的长度为（　　） A．2 B．2 C．2 D．4 3.如图，在⊙O中，弦AB∥CD，OP⊥CD，OM＝MN，AB＝18，CD＝12，则⊙O的半径为（　　） A．4 B．4 C．4 D．4 4.⊙O的半径为5，弦AB＝8，则圆上到弦AB所在直线距离为2的点有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．东汉初年，我国的《周髀算经》里就有“径一周三”的古率，提出了圆的直径与周长之间存在一定的比例关系．将图中的半圆弧形铁丝向右水平拉直（保持端不动）．根据该古率，与拉直后铁丝端的位置最接近的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 6．如图，的半径为6，将劣弧沿弦翻折，恰好经过圆心，点为优弧上的一个动点，则面积的最大值是（    ） A． B． C． D． 7．如图，是的直径，弧、弧与弧相等，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 8．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y＝x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（　　） A．4 B． C． D． 9．如图，半径为的中，弦，所对的圆心角分别是，，若，，则弦的长等于（    ） A． B． C． D． 10．如图是由三个大小相同的正方形组成的“品”字型轴对称图案，测得顶点A，B之间的距离为5．现用一个半径为r的圆形纸片将其完全覆盖，则r的最小值是（　　） A． B． C． D． （二）填空题 11.（2025·苏州姑苏期末）垂径定理核心构造________三角形计算线段 12.（2024·南通海门期末）圆绕圆心旋转90°，图形与原图形________ 13.（2025·泰州海陵期末）直径垂直弦，弦长12，半径10，圆心到弧中点距离为________ 14.如图，已知水平放置的圆柱形污水排水管道的截面半径OB＝12cm，截面圆心O到污水面的距离OC＝6cm，则截面上有污水部分的面积为　 　． 15.小明很喜欢钻研问题，一次数学杨老师拿来一个残缺的圆形瓦片（如图所示）让小明求瓦片所在圆的半径，小明连接瓦片弧线两端AB，量的弧AB的中心C到AB的距离CD＝1.6cm，AB＝6.4cm，很快求得圆形瓦片所在圆的半径为 　　cm． 16. 如图，半圆O的直径AB＝10cm，弦AC＝6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为_____ 17．如图，AB是半圆O的直径，四边形CDMN和DEFG都是正方形，其中点C，D，E在AB上，点F，N在半圆上．若半圆O的半径为10，则正方形CDMN的面积与正方形DEFG的面积之和是_________. 18．把一个球放入长方体纸盒，球的一部分露出盒外，球与纸盒内壁都刚好相切，其截面如图所示，若露出部分的高度为6cm，AF＝DE＝3cm，则这个球的半径是 　 　cm． 19．如图，已知AB是⊙O的直径，且AB＝10cm，弦CD⊥AB于点P，CD＝8cm，则AP＝　 　． 20．在中，．点D为平面上一个动点，，则线段长度的最小值为_____． （三）解答题 21．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，书中记载：“今有中，不知大小．以锯锯之，深1寸，锯道长1尺，问经几何？”其意思为：“如图，今有一圆形木材在墙中，不知其大小用锯子去锯这个木材，锯口深DE＝1寸，锯道长AB＝10寸，问这块圆形木材的直径是多少？” 22.如图，点O在∠APB的平分线PN上，以点O为圆心的⊙O分别交直线PN于点M、N，那么与相等吗？并说明理由． 23．诗句“君到姑苏见，人家尽枕河”所描绘的就是有东方威尼斯之称的水城苏州．小勇要帮忙船夫计算一艘货船是否能够安全通过一座圆弧形的拱桥，现测得桥下水面AB宽度16m时，拱顶高出水平面4m，货船宽12m，船舱顶部为矩形并高出水面3m． （1）请你帮助小勇求此圆弧形拱桥的半径； （2）小勇在解决这个问题时遇到困难，请你判断一下，此货船能顺利通过这座拱桥吗？说说你的理由． 24．如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度AB为30m，拱高PM为9m，当洪水泛滥到跨度只有15m时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有2m，即PN＝2m时，试求： （1）拱桥所在的圆的半径； （2）通过计算说明是否需要采取紧急措施． 25．如图是某蔬菜基地搭建一座圆弧型蔬菜棚，跨度AB＝3.2米，拱高CD＝0.8米（C为AB的中点，D为弧AB的中点）． （1）求该圆弧所在圆的半径； （2）在距蔬菜棚的一端0.4米处竖立支撑杆EF，求支撑杆EF的高度． 26．几何模型： 条件：如图1，A、B是直线l同侧的两个定点． 问题：在直线l上确定一点P，使的值最小， 方法：作点B关于直线l的对称点，连接交l于点P，则的值最小． 直接应用： (1)如图2，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且，N是AC上一动点，则的最小值为______． 变式练习： (2)如图3，点A是半圆上（半径为1）的三等分点，B是的中点，P是直径MN上一动点，求的最小值． 深化拓展： (3)如图4，在锐角中，，，的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，求的最小值． (4)如图5，在四边形ABCD的对角线AC上找一点P，使．（要求：保留作图痕迹，并简述作法．） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $