2025-2026学年北师大版七年级数学下册综合练习卷（2）

**基本信息** 以核心素养为导向，整合代数、几何、统计知识，通过基础到综合的题型设计，构建从概念辨析到实际应用的逻辑链条。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|单选1-2题|图形辨析、公式应用|轴对称（几何直观）→整式运算（运算能力）| |几何推理|单选3/7/10题、解答22题|三角形性质、角平分线应用|等腰三角形（推理意识）→综合几何证明（空间观念）| |统计概率|单选4/6题、填空12题|数据关系、频率估算|变量关系（数据意识）→概率计算（模型意识）| |综合应用|解答24-25题|数形结合、探究拓展|代数变形（抽象能力）→实际问题解决（创新意识）|

七年级数学下学期 综合练习卷（1） 考试总分：150 分 考试时间： 120 分钟 卷Ⅰ（选择题） 一、单选题（本题共计 10 小题 ，每题4分 ，共计40分 ）   1.以下四款人工智能大模型图标，其中是轴对称图形的是（       ） A. B. C. D. 2.下列各式计算正确的是（        ） A. B. C. D. 3.已知等腰三角形的两边长是5和12，则它的周长是（        ） A.22 B.29 C.22或29 D.以上答案均不对 4.高原反应是人到达一定海拔高度后，由于机体对低压低氧环境的适应能力不足而引起的．下面是反映海拔高度与空气含氧量之间关系的一组数据： 海拔高度 0 1000 2000 3000 4000 空气含氧量 下列说法不正确的是（       ） A.海拔高度是自变量，空气含氧量是因变量； B.在海拔高度为的地方空气含氧量是； C.海拔高度每上升，空气含氧量减少； D.当海拔高度从上升到时，空气含氧量减少了．  5.如图，直线，相交于点O，，则图中的余角有（     ） A.4个 B.3个 C.2个 D.1个  6.现代电子技术飞速发展，许多家庭都用起了密码锁，只要正确输入密码即可打开门．小明家的密码锁密码由六个数字组成，每个数字都是从中任选的，小明记得前五个数字，第六个数字只记得是偶数，他一次随机试验就能打开门的概率为( ) A. B. C. D.  7.如图，在中，，，分别平分和，且相交于点F，，交于点E，于点G．则下列结论不正确的是（       ） A. B. C. D. 8.如图，的内部有一点，且，，是分别以，，为对称轴的对称点．若的内角，，，则 A. B. C. D.  9.已知是任何实数，若＝，＝），则、的大小关系是（       ） A. B. C. D.，的大小由的取值范围 10.如图，在中，，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点．与相交于点，若点是的中点，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的有(        ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 卷Ⅱ（非选择题） 二、填空题（本题共计5小题 ，每题4分 ，共计20分 ）   11.世界上最小的结果植物是澳大利亚的出水浮萍，其果实质量只有克，将用科学记数法表示为________．  12.在一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共50个，这些球除颜色外都相同，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的统计数据： 摸球的次数n 1000 2000 3000 5000 8000 10000 摸到黑球的次数m 510 1180 1890 3400 4896 6010 摸到黑球的频率 0.51 0.59 0.63 0.68 0.612 0.601 根据实验提供的数据，学习小组可以估计出袋子中黑球的个数是________． 13.已知：直线，点P在的上方，且，，则的度数是________     14.如图，在四边形中，，．点E在的延长线上，点F在的延长线上，连接、、，满足．若，则________． 15.如图，，点分别在射线上，的面积为，点是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称的点为．当点在直线上运动时，的面积最小值为________． 三、 解答题（本题共计 10小题 ，共计90分 ）  16.计算： （1）； （2）． （3）  17.先化简再求值：．其中，． 18.某中学为了了解七年级学生体能状况，从七年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为、、、四个等级，并依据测试成绩绘制了如下两幅尚不完整的统计图： （1）这次抽样调查的样本容量是________，请补全条形图； （2）等级学生人数占被调查人数的百分比为________，在扇形统计图中等级所对应的圆心角为________. （3）估计该校七年级学生等级的概率． 19.如图，由边长均为1的小正方形构成的正方形网格中，点A，B，C，M，N均在格点上（小正方形的顶点为格点），利用网格解决下列问题： （1）求的面积； （2）画出关于直线对称的； （3）在直线上找一点P，使（保留画图痕迹，并标出点P位置）． 20.如图，直线，相交于点，，分别在，内部，且平分． （1）若，，求的度数； （2）若，求的度数． 21.甲、乙两地之间首次开行直达动车组列车（动车），比之前开行的普速列车（普列）缩短了不少时间，某天一辆普列从乙地出发匀速驶向甲地，同时另一辆动车从甲地出发匀速驶向乙地，两车与甲地的距离（千米）与行驶时间t（时）之间的关系如表格和图像所示． t 0 2 4 5 … 1080 930 780 705 … （1）甲与乙的距离为_____________千米，普列到达甲地所用时间为____________小时． （2）求动车从甲地到乙地的距离与t之间的关系式． （3）在甲、乙两地之间有一条隧道，当动车经过这条隧道时，两车相距135千米，求乙地与这条隧道之间的距离．（隧道长度不计算在内） 22.如图，在中，，分别为的边上的中线和高，为的角平分线． （1）若，，求的大小； （2）若的面积为，，求的长． 23.如图，在中，平分，是AC上一点，过点作交于点，点在上且满足． （1）在图中还存在一组平行线，请找出来，并说明理由； （2）若于点，，求的度数． 24.在学习《整式乘法》时，我们借助图形的面积可以直观说明整式的乘法公式，了解公式的几何背景，经历了“以数解形”“以形助数”的思想方法——数形结合．某数学学习小组在研究完全平方公式时，把公式变形成，然后通过计算如图1阴影部分的面积说明了变形后的公式：． （1）现有四个长与宽分别为、的相同的小长方形拼成图2的图形，根据图中条件，然后通过计算图2中阴影部分的面积，可以验证关于、的关系式：___________（用含、的代数式表示出来）； （2）根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： ①若，，则的值为________； ②若满足，求的值为________． （3）如图3，长方形面积为60，将正方形叠放在长方形上，在线段上，在线段上，直线与直线交于点，若四边形和四边形都是正方形，，，求正方形的边长； （4）如图4，四边形是正方形，，分别是、上的点，且，，分别以、为边长作正方形和正方形．若长方形的面积为21，则阴影部分的面积为________．  25.探究以下问题： 【问题提出】 （1）如图①，在和中，点在边上，是边的中点，．探究与之间的数量关系． 小明在组内经过合作交流，得到解题方法；如图②，过点作，交的延长线于点，构造即可判断，则与之间的数量关系是________； （2）如图③，在中，，，是的中线，过点作，且，，求的长； （3）【问题解决】为贯彻五育并举方针，将劳动教育纳入必修课程，某校在校园内建造了一处劳动实践基地（如图④），米，为的中点，于点，将区域作为工具房，点在上，米，，，将和区域作为展示区．求展示区的边的长． 学科网（北京）股份有限公司 $七年级数学下学期 综合练习卷（1) 考试总分：150分考试时间：120分钟 卷I(选择题) 一、单选题（本题共计10小题，每题4分，共计40分） 题号 1 2 3 4 6 1 8 9 10 答案 A D B C C D C A A 卷Ⅱ（非选择题） 二、填空题（本题共计5小题，每题4分，共计20分） 11.7.6×108 12.30个 13. 70 14.127.5 15.8. 三、解答题（本题共计10小题，共计90分) 1 16.(1)解： +-2-π-39 =2+2-1 =3 (2)解：X2x+x2-x2÷x =x8+x3-x8 =x8 (3)解：原式=-24x2y÷-2xy+8x2y2=-2xy-4xy÷-2y =12x-4Xy+2xy2 17.解：[x+2y2+x+y3x-y-3y]=2x刘 =x2+4xy+4y2+3x2+3xy-yy2-3y2÷2x =4x2+6xy÷2x =2x+3y, 当x=-2,y=1时，原式=2×-2+3×1=-1. 18.(1)解：116÷32%=50（人） 故答案为：50： B等级的学生数为：50-16-10-4=20八). 补全条形图如下： 2 人数 20 4040.4440044404004400 年年参年年年年年年年年号号年年年参海中年年年年华专 6420 D测试成铁 (2)D等级学生人数占被调查人数的百分比为：4÷50×100%=8% 在扇形统计图中B等级所对应的圆心角为360°×20 144° 50 故答案为：8%；144° (3)13/101 505 答：该校七年级学生C等级的概率为} 91)解：Sg=3×2-×2x2- 1×1×1-1x3×1=2; 2 (2)解：如图，△ABC为所求； (3)解：如图，连接CA交MN于点P,点P为所求： 理由如下： 连接CA交MN于点P,交BB于点E,过点P作线段HF⊥MN 由图可知，点A和点E关于HF轴对称， .∴.∠APH=∠EPH. .∴.∠APM=∠CPN 20.(1)解：.∠BOF=40°，OD平分∠BOF, .∠BOD=∠DOF=∠BOF=20', 2 由对顶角相等得：∠AOC=∠BOD=20°， .:∠C0E=100° .∴.∠BOE=180°-∠AOC-∠COE=60 (2)解：.OD平分∠BOF, .∴.∠BOD=∠DOF' 由对顶角相等得：∠AOC=∠BOD, .∴.∠AOC=∠BOD=∠DOF' 设∠AOC=∠BOD=∠DOF=X, .∠AOC:∠AOF=1:3' .∴.∠AOF=3x' .·∠AOF+∠BOD+∠DOF=180° .∴.3x+x+X=180 解得X=36°， ∴.∠BOD=36 21.(1)解：根据题意和表格数据可知，乙地与甲地的距离为1080千米， 普快的速度为1080-930÷2=75（千米/时）， 普快到达甲地所用时间为1080÷75=14.4（小时）， 故答案为：1080,14.4； (2)解：由图像知，动车的速度为360÷2.4=150（千米/时）， .S,与t之间的关系式为S,=150t (3)解：当普快在乙地和隧道之间时， 根据题意，得150t+75t=1080-135, 解得t=4.2, 则乙地与这条隧道之间的距离为75×4.2+135=450（千米）； 当普快在隧道和甲地之间时， 根据题意，得150t+75t=1080+135, 解得t=5.4, 乙地与这条隧道之间的距离为75×5.4-135=270（千米）， 综上，乙地与这条隧道之间的距离为450千米或270千米. 22.(1)解：.BE为△ABD的角平分线， .∠ABE=∠DBE=号∠ABD, .·∠BED=50°”∠BAD=30' ∴.∠ABE+30°=50 ∴.∠ABE=20 ∴.∠ABD=2∠ABE=40° .AF⊥BC ∴.∠BA=90 .∴.∠ABD+∠BAF=∠ABD+∠BAD+∠DAF=90 .∴.40°+30°+∠DAF=90 ∴.∠DAF=20 (2)解：.'AD为△ABC的BC边上的中线， .'BD=DC=IBC. 2 .BD=6 .∴.BC=2BD=12' ,△ABC的面积为48， 5aexC×AF=40 :.1×12×AF=48: …2 .AF=8° 6 23.(1)解：AC‖GD, 理由如下： EF‖AD ∴.∠1+∠CAD=180 .·∠1+∠2=180°” .∴.∠CAD=∠2' ∴.AC‖GD (2)解：.FE⊥BC, ∴.∠FEB=90 EF‖AD ,.∠ADB=∠FEB=90 AC‖GD .∴.∠CAB=∠3=78 :AD平分∠CAB ∠DAB=号∠CAB=39, ∴.∠B=90°-∠DAB=90°-39°=51 在△DGB中，∠DGB+∠B+∠BDG=180°， .∴.∠BDG=180°-∠B-∠DGB=180°-51°-78°=51°· 24.(1)解：根据题意得：阴影部分的边长为a-b,大正方形的边长为a+b,则阴影部分的面积为： (a-bP=a+b2-4abi (2)解：①a2+b^2=(a+b)2-2ab=10^2-2 times19=62$: ②(5-x)2+(x-2)^2=[(5-x)+(x-2)]2-2(5-x)(x-2)=32-2\times:2=5$: (3)解：设正方形ADGH的边长为x,正方形CEFD的边长为y,则正方形HBEI的边长为X+y, 四边形MNPD是正方形， .∴.MD=DP .∴.MA+AD=DC+CP' .∴.2+x=y+6 .x-y=4 长方形ABCD面积为60， ∴.y=60 .x-y2=x2-2xy+y2 ∴.x2+y2=x-yP+2xy=42+2×60=1361 ∴.x+y=x2+y2+2Xy=136+2×60=256 .x+y=16 :.正方形HBE的边长为16： (4)解：设正方形ABCD的边长为a、正方形MFRN的边长为m、正方形DFGH的边长为n, .∴.m=a-2n=a-6 .长方形EMFD面积为21， ∴.mn=21' .m-n=a-2-a-6=4' .m+n2=m-n2+4mn=42+4×21=100 ∴.m+n=10 :.阴影部分面积为sE方i方标-=m+mm-n=10×4=40 25.(1)解：如图②，过点C作CF/AB,交DE的延长线于点F, D B E F 图② 则∠B=∠ECF, :E是边BC的中点， .∴.BE=CE, 在△ABE和△FCE中， ∠B=∠ECF ∠AEB=∠FEC, BE=CE .AABE≥4FCE(AAS) .∴.AB=CF,∠BAE=∠F, AB=CD, .∴.CD=CF, ∴.∠D=∠F, .∴.∠D=∠BAE; (2)解：如图③，过点C作C 2)解：如图③，过点C作CF/IAB,交AD的延长线于点F E A B D 图③ ∴.∠BAD=∠F∠DCF=∠B=90 :AD是AABC的中线， .BD=CD 在△ABD和△FCD中， 10 ∠BAD=∠F B=∠DCF, BD=CD ∴.△ABD≈AFCD (AAS) ·AB=CF=2'AD-DR .CE⊥BC, .∴.∠DCE=90°. ∠DCF+∠DCE=180即B,C,P三点 ·∠ADE=90即DB⊥AD, AD=DF, DE是线段F的垂直平分线 .∴.AE=EF=CE+CF=6. (3)解：如图④过点B作BH‖AF F E H 图④ ∴.∠H=∠EFA. ··B为AB的中点， .'BE=AE. 11 在△BEH和△AEF中， ∠H=∠EFA BEH=∠AEF BE=AE .∴.△BEH=△AEF AAS. .'BH=AF,EH=EF. .EF⊥AC, ∴.∠EFA=∠CFG=∠H=90°. ∴.∠FGC+∠FCG=90°. .∠BGC=90°， .∴.∠HGB+∠FGC=90°. .∴.∠HGB=∠FCG. 在△BGH和△GCF中， ∠H=∠CFG HGB=ㄥFCG, GB=CG ∴.△BGH≈△GCFAAS. .∴.BH=GF,GH=CF. ∴.GF=AF, :AC=100米， .HF=HG+GF=CF+AF=100*. ∴.EH=EF=1HF=50米 .CF=GH=EH+EG=50+30=80(米). 展示区的边C℉的长为80米. 12 七年级数学下学期 综合练习卷（1） 考试总分：150 分 考试时间： 120 分钟 卷Ⅰ（选择题） 一、单选题（本题共计 10 小题 ，每题4分 ，共计40分 ）   1.以下四款人工智能大模型图标，其中是轴对称图形的是（       ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可. 【解答】 解：A、C、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形. 故选：A. 2.下列各式计算正确的是（        ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 根据合并同类项法则、完全平方公式、同底数幂的乘除法则逐一判断选项正误. 【解答】 解：选项A： 2a与8a^{2}不是同类项，不能合并， A错误； 选项B： B错误； 选项C： C错误； 选项D： D正确. 故选：D. 3.已知等腰三角形的两边长是5和12，则它的周长是（        ） A.22 B.29 C.22或29 D.以上答案均不对 【答案】 B 【解析】 分两种情况求出第三边，根据三角形三边关系判断是否能构成三角形，进而计算周长. 【解答】 解：分两种情况进行讨论： ①当腰长为5，底边长为12时，三角形三边长为5, 5, 12， ，不满足三角形两边之和大于第三边， 此情况不成立，舍去； ②当腰长为12，底边长为5时，三角形三边长为12, 12, 5， ，满足三角形三边关系， 此情况成立，周长为. 因此该等腰三角形的周长为29. 故选：B. 4.高原反应是人到达一定海拔高度后，由于机体对低压低氧环境的适应能力不足而引起的．下面是反映海拔高度与空气含氧量之间关系的一组数据： 海拔高度 0 1000 2000 3000 4000 空气含氧量 下列说法不正确的是（       ） A.海拔高度是自变量，空气含氧量是因变量； B.在海拔高度为的地方空气含氧量是； C.海拔高度每上升，空气含氧量减少； D.当海拔高度从上升到时，空气含氧量减少了． 【答案】 C 【解析】 本题主要考查了用表格表示变量，解题的关键是，熟练掌握自变量和因变量，表中数据及变化. 根据题目中表格给出的数据逐一判断，即可. 【解答】 A. 海拔高度是自变量，空气含氧量是因变量; ∵ 海拔高度是自变量，空气含氧量是因变量， ∴ A正确，不符合题意; B. 海拔高度每上升1000m，空气含氧量减少33.8g/m³; ∵ 299.3-265.5=33.8(g/m³)，265.5-234.8=30.7(g/m³)，234.8-209.6=25.2(g/m³)，209.6-182.1=27.5(g/m³), ∴ 海拔高度每上升1000m，空气含氧量减少值不都是33.8g/m³， ∴ B错误，符合题意. C. 在海拔高度为2000m的地方空气含氧量是234.8g/m³; ∵ 在海拔高度为2000m的地方空气含氧量是234.8g/m³, ∴ C正确，不符合题意; D. 当海拔高度从3000m上升到4000m时，空气含氧量减少了27.5g/m³; 由B知，当海拔高度从3000m上升到4000m时，空气含氧量减少了27.5g/m³， ∴ D正确，不符合题意. 故选：C.  5.如图，直线，相交于点O，，则图中的余角有（     ） A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 【答案】 B 【解析】 本题考查了余角的定义，理解题意是解决本题的关键. 根据余角的定义进行判定即可. 【解答】 解： ，故 是 的余角； ，故 是 的余角； 直线AB、CD相交于O， ， 也是 的余角. 综上所述， 的余角有3个， 故选B.  6.现代电子技术飞速发展，许多家庭都用起了密码锁，只要正确输入密码即可打开门．小明家的密码锁密码由六个数字组成，每个数字都是从中任选的，小明记得前五个数字，第六个数字只记得是偶数，他一次随机试验就能打开门的概率为( ) A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 记小明一次随机试验能打开门为事件A，根据列举法得出第六个数字必须为偶数，可以为0，2，4，6，8共5种，根据概率公式即可求解。 【解答】 记小明一次随机试验能打开门为事件A． 根据题意，每个数字为0~9中任意一个， 小明记得前五个数字，第六个数字必须为偶数，可以为0，2，4，6，8共5种， 而正确的只有其中一个，所以 . 故选：C. 7.如图，在中，，，分别平分和，且相交于点F，，交于点E，于点G．则下列结论不正确的是（       ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 本题考查了三角形角平分线的定义、平行线的性质、垂直的性质以及三角形内角和与外角的性质，解题的关键是利用相关性质推导各角之间的数量关系，进而判断选项的正确性. 根据角平分线定义得到角的倍数关系，结合平行线性质（同位角、同旁内角）、垂直性质（直角）及三角形内角和与外角定理，逐一分析各选项中角的关系是否成立. 【解答】 解：已知在 中， ，故 . BE平分 ，CD平分 , ， , . 选项A:, （两直线平行，同位角相等）. 平分 , , ，A正确. 选项B:，, 垂直于平行线中的一条，必垂直于另一条），即 . . 在 中， , . 平分 ， , ，B正确. 选项C： 是 的外角，则 . , ，C正确. 选项D：在 中， . 与 是对顶角， ，D错误. 故选：D. 8.如图，的内部有一点，且，，是分别以，，为对称轴的对称点．若的内角，，，则 A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 连接，，后，根据轴对称的性质，可得到角相等，结合及周角的定义可知答案． 【解答】 解：连接，，， ∵ ，，是分别以，，为对称轴的对称点 ∴ ，，， ∴ ． 故选． 9.已知是任何实数，若＝，＝），则、的大小关系是（       ） A. B. C. D.，的大小由的取值范围 【答案】 A 【解析】 将，代入到中，去括号合并得到结果为，即可解答 【解答】 ，则 故选． 10.如图，在中，，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点．与相交于点，若点是的中点，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的有(        ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 【答案】 A 【解析】 先证明 是等腰直角三角形，从而证明 ， ，根据全等三角形的性质即可证明结论，证明 是等腰直角三角形，可得 ， ，可得NE=3ME，即可证明结论. 【解答】 解： 是等腰直角三角形， (ASA) 是等腰直角三角形， ，故 正确， 如图，过点D作 于点F，则 MD，DN=DM， , 点E是CD的中点， ，故 ④正确. 综上所述，正确的结论有4个. 故选：A. 卷Ⅱ（非选择题） 二、填空题（本题共计5小题 ，每题4分 ，共计20分 ）   11.世界上最小的结果植物是澳大利亚的出水浮萍，其果实质量只有克，将用科学记数法表示为____7.6×10-8____． 【答案】 【解析】 利用科学计数法的法则颗解 【解答】 将0.000000076的小数点向右移动八位即可，则=7.6×10-8.  故答案为： . 12.在一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共50个，这些球除颜色外都相同，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的统计数据： 摸球的次数n 1000 2000 3000 5000 8000 10000 摸到黑球的次数m 510 1180 1890 3400 4896 6010 摸到黑球的频率 0.51 0.59 0.63 0.68 0.612 0.601 根据实验提供的数据，学习小组可以估计出袋子中黑球的个数是__30个______． 【答案】 30个 【解析】 根据表格数据估计摸到黑球的概率，再结合球的总数求得黑球的数量即可. 【解答】 解：由表可知，随着摸球次数增加，摸到黑球的频率逐渐稳定在0.6附近，因此可估计摸到黑球的概率为0.6， 所以黑球的个数约为 个.  故答案为： . 13.已知：直线，点P在的上方，且，，则的度数是________     【答案】 70° 【解析】 此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，内错角相等解答。过点P作PM ，根据平行线的判定和性质解答即可 。 【解答】过点P作PM ， 故答案为： . 14.如图，在四边形中，，．点E在的延长线上，点F在的延长线上，连接、、，满足．若，则________． 【答案】 【解析】 先作 DG=BE，连接AG，即可证明 ，进而说明EF=GF，可得 ，再结合 ，可得答案. 【解答】 证明：如图，延长DC到点G，使 ，连接AG， 即 故答案为： .  15.如图，，点分别在射线上，的面积为，点是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称的点为．当点在直线上运动时，的面积最小值为___8_____． 【答案】 8 【解析】 根据对称的性质得出 从而得到 ，利用等腰直角三角形面积的求得当OP与 边MN上的高相等时， 面积最小. 【解答】 解：如图所示，连接OP，过点O作线段MN的垂线，交MN的延长线于点H. 点P与点 关于OA对称，点P与点 关于OB对称， 是个等腰直角三角形， 要使 面积最小，需要OP的值最小， 当OP垂直MN时，即OP与OH重合时，OP的值最小. 解得OH=4； 面积的最小值为 ． 故答案为： . 三、 解答题（本题共计 10小题 ，共计90分 ）  16.计算： （1）； （2）． （3） 【答案】 3 【解析】 （1）原式先计算负整数指数幂、绝对值和零指数幂，然后再进行加减运算即可； （2）原式先计算同底数幂的乘除法、幂的乘方，然后再合并同类项即可. （3）利用多项式除以单项式法则计算。 【解答】 （1）解： ; （2）解： . （3）解：原式 ; 17.先化简再求值：．其中，． 【答案】 ； -1 【解析】 先利用完全平方公式和整式乘法法则展开原式，合并同类项化简后，再代入x和y的值计算结果. 【解答】 解： 当，时，原式 18.某中学为了了解七年级学生体能状况，从七年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为、、、四个等级，并依据测试成绩绘制了如下两幅尚不完整的统计图： （1）这次抽样调查的样本容量是____50____，请补全条形图； （2）等级学生人数占被调查人数的百分比为________，在扇形统计图中等级所对应的圆心角为________. （3）估计该校七年级学生等级的概率． 【答案】 , . 答：该校七年级学生等级的概率为. 【解析】 （1）根据等级的人数和等级所占的百分比即可求出抽查的人数，即样本容量，然后求出等级的人数，根据人数画出条形图即可. （2）用等级的人数除以本次调查的人数即可求出等级的人数所占的百分比，用乘以等级人数所占的百分比即可求出圆心角的度数. （3）求出样本中等级的概率，根据用样本估计总体即可解答. 【解答】 （1）解：(人). 故答案为：； 等级的学生数为：(人). 补全条形图如下： （2）等级学生人数占被调查人数的百分比为：. 在扇形统计图中等级所对应的圆心角为. 故答案为：；. （3）. 答：该校七年级学生等级的概率为. 19.如图，由边长均为1的小正方形构成的正方形网格中，点A，B，C，M，N均在格点上（小正方形的顶点为格点），利用网格解决下列问题： （1）求的面积； （2）画出关于直线对称的； （3）在直线上找一点P，使（保留画图痕迹，并标出点P位置）． 【答案】 2 见解析 见解析 【解析】 （1）根据网格将三角形面积转化成一个长方形的面积减去三个三角形面积即可解题； （2）根据轴对称的定义作图即可； （3）连接 交MN于点P，点P为所求. 【解答】 （1）解： （2）解：如图， 为所求； （3）解：如图，连接CA交MN于点P，点P为所求； 理由如下： 连接CA交MN于点P，交BB于点E，过点P作线段HF MN 由图可知，点A和点E关于HF轴对称，   20.如图，直线，相交于点，，分别在，内部，且平分． （1）若，，求的度数； （2）若，求的度数． 【答案】 【解析】 （1）先求出 ，再根据平角的定义求解即可； （2）先求出 ，再设 ，则 ，然后根据平角的定义建立方程，解方程即可. 【解答】 （1）解：，平分 ， ， 由对顶角相等得：， ， . （2）解：平分 ， ， 由对顶角相等得：， ， 设 ， ， ， ， ， 解得 ， . 21.甲、乙两地之间首次开行直达动车组列车（动车），比之前开行的普速列车（普列）缩短了不少时间，某天一辆普列从乙地出发匀速驶向甲地，同时另一辆动车从甲地出发匀速驶向乙地，两车与甲地的距离（千米）与行驶时间t（时）之间的关系如表格和图像所示． t 0 2 4 5 … 1080 930 780 705 … （1）甲与乙的距离为______1080_______千米，普列到达甲地所用时间为_____14.4_______小时． （2）求动车从甲地到乙地的距离与t之间的关系式． （3）在甲、乙两地之间有一条隧道，当动车经过这条隧道时，两车相距135千米，求乙地与这条隧道之间的距离．（隧道长度不计算在内） 【答案】 1080，14.4 延安与这条隧道之间的距离为450千米或270千米 【解析】 （1）根据表格中的数据可得到乙地与甲地的距离和普快的速度，进而可求解； （2）根据图像先求得动车的速度，再根据路程=速度×时间求得与t之间的关系式即可； （3）分普快在乙地和隧道之间和普快在隧道和成都之间两种情况，根据题意列方程求解即可. 【解答】 （1）解：根据题意和表格数据可知，乙地与甲地的距离为1080千米， 普快的速度为（千米/时）， 普快到达甲地所用时间为1080÷75=14.4（小时）， 故答案为：1080，14.4； （2）解：由图像知，动车的速度为（千米/时）， 与t之间的关系式为； （3）解：当普快在乙地和隧道之间时， 根据题意，得， 解得t=4.2， 则乙地与这条隧道之间的距离为（千米）； 当普快在隧道和甲地之间时， 根据题意，得， 解得t=5.4， 乙地与这条隧道之间的距离为（千米）， 综上，乙地与这条隧道之间的距离为450千米或270千米. 22.如图，在中，，分别为的边上的中线和高，为的角平分线． （1）若，，求的大小； （2）若的面积为，，求的长． 【答案】 【解析】 （1）先利用角平分线定义得到 ，根据三角形的外角，求出 ，根据高的定义和互余两角的性质求出 ； （2）先根据三角形中线定义得到 ，然后利用三角形面积公式求出 的长。 【解答】 （1）解： 为 的角平分线， ， ，， ， ， ， ， ， ， 。 （2）解： 为 的 边上的中线， ， ， ， 的面积为 48， ， ， 。 23.如图，在中，平分，是AC上一点，过点作交于点，点在上且满足． （1）在图中还存在一组平行线，请找出来，并说明理由； （2）若于点，，求的度数． 【答案】 ，理由见解析 【解析】 （1）由 可知 ，因为 ，根据同角的补角相等可得： ，根据内错角相等，两直线平行可得 ; （2）根据垂直的定义可知 ，根据两直线平行，同位角相等，可得： ，根据两直线平行，同位角相等，可得： ，根据角平分线的定义可得 ，根据直角三角形两锐角互余，可得 ，再根据三角形内角和定理可得： 【解答】 （1）解： ， 理由如下： ， ， ， ， ； （2）解： ， ， ， ， ， ， 平分 ， ， ， 在 中， ， . 24.在学习《整式乘法》时，我们借助图形的面积可以直观说明整式的乘法公式，了解公式的几何背景，经历了“以数解形”“以形助数”的思想方法——数形结合．某数学学习小组在研究完全平方公式时，把公式变形成，然后通过计算如图1阴影部分的面积说明了变形后的公式：． （1）现有四个长与宽分别为、的相同的小长方形拼成图2的图形，根据图中条件，然后通过计算图2中阴影部分的面积，可以验证关于、的关系式：___________（用含、的代数式表示出来）； （2）根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： ①若，，则的值为__62______； ②若满足，求的值为___5_____． （3）如图3，长方形面积为60，将正方形叠放在长方形上，在线段上，在线段上，直线与直线交于点，若四边形和四边形都是正方形，，，求正方形的边长； （4）如图4，四边形是正方形，，分别是、上的点，且，，分别以、为边长作正方形和正方形．若长方形的面积为21，秋阴影部分的面积． 【答案】 ①62；②5 16 40 【解析】 （1）根据图形得到阴影部分的边长为，大正方形的边长为，利用阴影部分的面积等于大正方形面积减去四个小长方形的面积进行求解即可； （2）利用完全平方公式变形求解即可； （3）设正方形的边长为，正方形的边长为，则正方形的边长为，根据题意易得到、，利用完全平方公式变形求出正方形的边长即可； （4）设正方形的边长为、正方形的边长为、正方形的边长为，则、，，利用完全平方公式变形求解即可。 【解答】 （1）解：根据题意得：阴影部分的边长为，大正方形的边长为，则阴影部分的面积为：； （2）解：①a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=10^2-2\times19=62$； ②(5-x)^2+(x-2)^2=[(5-x)+(x-2)]^2-2(5-x)(x-2)=3^2-2\times2=5$； （3）解：设正方形的边长为，正方形的边长为，则正方形的边长为， 四边形是正方形， ， ， ， ， 长方形面积为60， ， ， ， ， ， 正方形的边长为16； （4）解：设正方形的边长为、正方形的边长为、正方形的边长为， 、， 长方形面积为21， ， ， ， ， 阴影部分面积为． 25.探究以下问题： 【问题提出】 （1）如图①，在和中，点在边上，是边的中点，．探究与之间的数量关系． 小明在组内经过合作交流，得到解题方法；如图②，过点作，交的延长线于点，构造即可判断，则与之间的数量关系是________； （2）如图③，在中，，，是的中线，过点作，且，，求的长； （3）【问题解决】为贯彻五育并举方针，将劳动教育纳入必修课程，某校在校园内建造了一处劳动实践基地（如图④），米，为的中点，于点，将区域作为工具房，点在上，米，，，将和区域作为展示区．求展示区的边的长． 【答案】 6米 80米 【解析】 （1）证明 （AAS），得出AB=CF， ，结合题意可得AB=CF，由等腰对等角得出 ，即可得解； （2）过点C作CF//AB，交AD的延长线于点F，证明 （AAS），得出AB=CF=2，AD=DF.再证明出DE是线段 AF的垂直平分线，即可得解； （3）过点B作BH AF，交FE的延长线于点H，先证明 （AAS）.得出BH=AF，EH=EF，再证明 （AAS），得出BH=GF，GH=CF，从而可得GF=AF，求出HF=100米，即可得解. 【解答】 （1）解：如图 ②，过点C作CF//AB，交DE的延长线于点F， 图 ② 则 是边BC的中点， 在 和 中， （AAS） （2）解：如图 ③，过点C作 C (2) 解：如图 ③，过点C作CF//AB，交AD的延长线于点F 图 ③ 是 的中线， 在 和 中， (AAS). ，AD=DF. 即E，C，F三点 即DE AD, 是线段AF的垂直平分线. （3）解：如图 ④过点B作 图 ④ E为AB的中点， 在 和 中， 在 和 中， 米， 米. 米. （米）. 展示区的边CF的长为80米. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级数学下学期 综合练习卷（1） 考试总分：150 分 考试时间： 120 分钟 卷Ⅰ（选择题） 一、单选题（本题共计 10 小题 ，每题4分 ，共计40分 ）   1.以下四款人工智能大模型图标，其中是轴对称图形的是（       ） A. B. C. D. 2.下列各式计算正确的是（        ） A. B. C. D. 3.已知等腰三角形的两边长是5和12，则它的周长是（        ） A.22 B.29 C.22或29 D.以上答案均不对 4.高原反应是人到达一定海拔高度后，由于机体对低压低氧环境的适应能力不足而引起的．下面是反映海拔高度与空气含氧量之间关系的一组数据： 海拔高度 0 1000 2000 3000 4000 空气含氧量 下列说法不正确的是（       ） A.海拔高度是自变量，空气含氧量是因变量； B.在海拔高度为的地方空气含氧量是； C.海拔高度每上升，空气含氧量减少； D.当海拔高度从上升到时，空气含氧量减少了． 5.如图，直线，相交于点O，，则图中的余角有（     ） A.4个 B.3个 C.2个 D.1个  6.现代电子技术飞速发展，许多家庭都用起了密码锁，只要正确输入密码即可打开门．小明家的密码锁密码由六个数字组成，每个数字都是从中任选的，小明记得前五个数字，第六个数字只记得是偶数，他一次随机试验就能打开门的概率为( ) A. B. C. D.  7.如图，在中，，，分别平分和，且相交于点F，，交于点E，于点G．则下列结论不正确的是（       ） A. B. C. D. 8.如图，的内部有一点，且，，是分别以，，为对称轴的对称点．若的内角，，，则 A. B. C. D.  9.已知是任何实数，若＝，＝），则、的大小关系是（       ） A. B. C. D.，的大小由的取值范围 10.如图，在中，，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点．与相交于点，若点是的中点，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的有(        ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 卷Ⅱ（非选择题） 二、填空题（本题共计5小题 ，每题4分 ，共计20分 ）   11.世界上最小的结果植物是澳大利亚的出水浮萍，其果实质量只有克，将用科学记数法表示为________．  12.在一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共50个，这些球除颜色外都相同，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的统计数据： 摸球的次数n 1000 2000 3000 5000 8000 10000 摸到黑球的次数m 510 1180 1890 3400 4896 6010 摸到黑球的频率 0.51 0.59 0.63 0.68 0.612 0.601 根据实验提供的数据，学习小组可以估计出袋子中黑球的个数是________． 13.已知：直线，点P在的上方，且，，则的度数是________     14.如图，在四边形中，，．点E在的延长线上，点F在的延长线上，连接、、，满足．若，则________． 15.如图，，点分别在射线上，的面积为，点是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称的点为．当点在直线上运动时，的面积最小值为________． 三、 解答题（本题共计 10小题 ，共计90分 ）  16.计算： （1）； （2）． （3）  17.先化简再求值：．其中，． 18.某中学为了了解七年级学生体能状况，从七年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为、、、四个等级，并依据测试成绩绘制了如下两幅尚不完整的统计图： （1）这次抽样调查的样本容量是________，请补全条形图； （2）等级学生人数占被调查人数的百分比为________，在扇形统计图中等级所对应的圆心角为________. （3）估计该校七年级学生等级的概率． 19.如图，由边长均为1的小正方形构成的正方形网格中，点A，B，C，M，N均在格点上（小正方形的顶点为格点），利用网格解决下列问题： （1）求的面积； （2）画出关于直线对称的； （3）在直线上找一点P，使（保留画图痕迹，并标出点P位置）． 20.如图，直线，相交于点，，分别在，内部，且平分． （1）若，，求的度数； （2）若，求的度数． 21.甲、乙两地之间首次开行直达动车组列车（动车），比之前开行的普速列车（普列）缩短了不少时间，某天一辆普列从乙地出发匀速驶向甲地，同时另一辆动车从甲地出发匀速驶向乙地，两车与甲地的距离（千米）与行驶时间t（时）之间的关系如表格和图像所示． t 0 2 4 5 … 1080 930 780 705 … （1）甲与乙的距离为_____________千米，普列到达甲地所用时间为____________小时． （2）求动车从甲地到乙地的距离与t之间的关系式． （3）在甲、乙两地之间有一条隧道，当动车经过这条隧道时，两车相距135千米，求乙地与这条隧道之间的距离．（隧道长度不计算在内） 22.如图，在中，，分别为的边上的中线和高，为的角平分线． （1）若，，求的大小； （2）若的面积为，，求的长． 23.如图，在中，平分，是AC上一点，过点作交于点，点在上且满足． （1）在图中还存在一组平行线，请找出来，并说明理由； （2）若于点，，求的度数． 24.在学习《整式乘法》时，我们借助图形的面积可以直观说明整式的乘法公式，了解公式的几何背景，经历了“以数解形”“以形助数”的思想方法——数形结合．某数学学习小组在研究完全平方公式时，把公式变形成，然后通过计算如图1阴影部分的面积说明了变形后的公式：． （1）现有四个长与宽分别为、的相同的小长方形拼成图2的图形，根据图中条件，然后通过计算图2中阴影部分的面积，可以验证关于、的关系式：___________（用含、的代数式表示出来）； （2）根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： ①若，，则的值为________； ②若满足，求的值为________． （3）如图3，长方形面积为60，将正方形叠放在长方形上，在线段上，在线段上，直线与直线交于点，若四边形和四边形都是正方形，，，求正方形的边长； （4）如图4，四边形是正方形，，分别是、上的点，且，，分别以、为边长作正方形和正方形．若长方形的面积为21，则阴影部分的面积为________．  25.探究以下问题： 【问题提出】 （1）如图①，在和中，点在边上，是边的中点，．探究与之间的数量关系． 小明在组内经过合作交流，得到解题方法；如图②，过点作，交的延长线于点，构造即可判断，则与之间的数量关系是________； （2）如图③，在中，，，是的中线，过点作，且，，求的长； （3）【问题解决】为贯彻五育并举方针，将劳动教育纳入必修课程，某校在校园内建造了一处劳动实践基地（如图④），米，为的中点，于点，将区域作为工具房，点在上，米，，，将和区域作为展示区．求展示区的边的长． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $