精品解析：2026年山西长治市壶关县部分学校中考考前模拟数学试卷

数学 注意事项： 1．本试卷分为第Ⅰ卷和第 卷Ⅱ部分，全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 下列是无理数的是（ ） A. B. C. 3.14 D. 2. 对称美在生活中应用十分广泛，下列图形中，可以看成轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 日常生活中，我们观察到的池塘水深比实际情况浅一些．如图，眼睛看到的点实际是在更深处的池底点处（点，在一条竖直直线上）．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图是小颖同学在解不等式的部分步骤，则下列说法正确的是（ ） 解：去分母，得， 第一步 去括号，得， 第二步 移项，得， 第三步 合并同类项，得， 第四步 A. 第一步的依据是不等式的基本性质一 B. 第二步的依据是不等式的基本性质二 C. 第三步的依据是不等式的基本性质一 D. 第四步的依据是不等式的基本性质三 6. 某班级评选校级“三好学生”的规则如下：最终得分按“组织能力”占、“期末成绩”占、“平时成绩”占、“卫生纪律”占进行计算（各项满分均为100分），小明这四项的得分依次为90分，95分，93分，85分，则他的最终得分是（ ） A. 91.5分 B. 91.8分 C. 92.0分 D. 92.3分 7. 在反比例函数中，当自变量时，对应的函数值不可能是（ ） A. B. C. 1 D. 3 8. 如图，内接于， 是上一点，且于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 数学兴趣小组在探究“桶装水在常温下的最佳饮用时间”时，发现桶装水中菌落总数与实验时间（天）成一次函数关系，该小组的部分实验数据如下表，则与之间的函数关系式为（ ） 实验时间/天 ．．． 2 3 4 ．．． 菌落总数 ．．． 18 21 24 ．．． A. B. C. D. 10. 如图，在扇形中，，点，分别为， 的中点，连接，交于点．若 ，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 化简的结果为__________． 12. 某商店销售一款AI萌宠玩具，进价为元/个，商店将进价提高20%作为售价，则这款玩具每个的售价为__________元（用含的代数式表示） 13. 八段锦是一种中国传统健身功法，共分八式．体育课上，焦老师制作了如图所示的圆形转盘（转盘被平均分成三份）．每位同学转一次转盘，转到哪一式就做出这一式的动作（若指针指在分界线上，则重转）．小红、小明各转了一次转盘，则他俩做不同动作的概率是__________． 14. 在平面直角坐标系中，正方形和正方形按如图所示的方式放置在 轴的上方，其中，，则点的坐标为__________． 15. 如图，点，分别是的一组对边 ，上的点，点 ，分别是另一组对边 ， 上的点，且线段 和 把的面积四等分．若 ， ，，则的长为__________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算及解方程组 （1）计算：． （2）解方程组 17. 如图，在四边形中，， ， 是的中点，连接 ． （1）尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规作图，找到线段的中点．（要求：不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接， ，求证：四边形是平行四边形． 18. 综合与实践 【项目背景】 某班级同学在老师的带领下前往某企业开展综合实践活动，准备从多方面开展调查分析，为企业的进一步发展提供参考，其中一个项目是调查该企业职工的月收入． 【数据收集与整理】 同学们随机抽取了部分职工的平均月收入（单位：万元）作为样本，将收集的数据整理后分为A，B，C，D，E五组，绘制成如下不完整的统计图表． 平均月收入统计表 组别 收入万元 A B C D E 根据以上信息，回答下列问题． （1）图1中的值为______，图2中的值为______． 【数据分析与运用】 （2）这组数据的中位数落在______组（填字母代号）． （3）该企业计划开展一次职工技能提升培训，为使培训更有针对性，需要确定优先覆盖的职工群体，有以下两个方向： 方向1：优先覆盖平均月收入万元的职工，帮助他们提升技能、增加收入； 方向2：优先覆盖平均月收入万元的职工，强化企业核心生产力量． 请你结合本次调查数据，为该企业推荐一个更合理的方向（从以上两个方向中选一个），并说明推荐理由． 19. 明明在数学课上认真听讲，并及时做笔记，下表是他整理的课堂笔记． 题目：周末，姐姐和弟弟约定一同前往离家1000米的图书馆学习．姐姐先步行离开家，10分钟后，弟弟从家出发，沿同一路线骑自行车前往图书馆．最终，两人同时到达图书馆（两人均是匀速前往）．已知弟弟骑车的速度是姐姐步行速度的3倍，求姐姐和弟弟的速度． 分析 方程 解法一 设姐姐的速度为 米/分． 等量关系： ． ■-◆ 解法二 若姐姐的速度为米/分，弟弟的速度为米/分，设姐姐到达图书馆的时间为 分钟． 根据上面的笔记，解答下列问题： （1）解法二中，与之间的关系式为__________； （2）将解法一中的方程补充完整，并解答题目中的问题． 20. 图1是某游乐场的一个游乐设施——“大摆锤”，图2是“大摆锤”未启动时的示意图，其中为水平地面，为转轴，A，B为“锤”的两个端点，为“锤”AB的中点，．“大摆锤”启动后，绕点旋转，从而带动点A，B在上运动，当点运动到点左侧且与点高度相同时（如图2，点运动到点处，），点运动到最高点处；同样，当点运动到点O右侧且与点高度相同时，点运动到最高点处．已知，转轴到水平地面的距离为． （1）“大摆锤”启动后，求点到水平地面的最小距离（结果保留根号）． （2）求左侧最高点到水平地面的距离（结果保留根号）． （3）在“大摆锤”从左侧最高处运动到右侧最高处的过程中，求点经过的路径长（参考数据：）． 21. 阅读与思考 阅读下面材料，并完成相应的任务． 算筹法 算筹法中，交点的个数通常指的是在进行乘法运算时，两个数的算筹摆放形成的交点数量．这些交点的数量可以直接用来计算乘法的结果． 如图1，在计算时，先横向摆出12，十位数和个位数分开一段距离区分十位数和个位数，再纵向摆出13，十位数和个位数分开一段距离区分十位数和个位数，被乘数和乘数的算筹摆放会形成一系列的交点，个位点有6个，个位数字为6，十位点有5个，十位数字为5，百位点有1个，写在百位上，从而得到．如图2，计算时，个位点有12个，个位留2，满10进到十位点1个，十位点有（个），满20进到百位点2个，十位留5个，百位点有（个），百位留4个，满10进到千位点1个，从而得到． 任务： （1）将用算筹法计算的图示画出来，并直接写出计算结果． （2）如图3，用算筹法计算两个两位数相乘，则结果的十位数字是__________（用含 的式子表示），如果结果的十位数字比百位数字的3倍多1，则 的值等于__________． 22. 某蔬菜大棚的横截面如图1所示，顶棚呈抛物线形，两侧保温墙面 ，与地面垂直，且 米，米，宽度 米，顶棚最高点到墙面 的水平距离为4米．左侧人行道米，蔬菜种植区米．以 为原点， 所在直线为 轴，建立平面直角坐标系． （1）求顶棚所在抛物线的解析式． （2）如图2，喷灌喷头安装在顶棚最高点下方0.5米处，当水压一定时，喷头喷出的水流呈形状相同的抛物线形，且为水流所在抛物线的顶点． ①当水压最小时，水流左、右端分别落在地面上的点 ，处．求 的长． ②当水压最大时，水流右端恰好落在地面上的点处，左端落在保温墙面 上的点 处，故需要在保温墙面上做防水处理，求需要做防水处理区域的高度（线段 的长）． 23. 综合与探究 【问题情境】 活动课上，老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展数学活动．小星拿出两张全等的矩形纸片 和，重叠放置，矩形纸片 固定不动，将矩形纸片绕点 逆时针旋转．已知 ，． （1）如图1，当点 落在边 上，点落在线段 的延长线上时，连接，，，试判断的形状，并说明理由． 【思考探究】 （2）如图2，当点落在边上时，连接交于点 ，求证：是的中点． 【拓展延伸】 （3）在矩形纸片旋转的过程中，当时，直线与直线 ，分别交于点 ， ，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 注意事项： 1．本试卷分为第Ⅰ卷和第 卷Ⅱ部分，全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 下列是无理数的是（ ） A. B. C. 3.14 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查无理数的定义，根据无理数是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称，逐一判断选项即可． 【详解】解：∵ 无理数是无限不循环小数，有理数包括整数和分数， ∴ 是整数，属于有理数，是有限小数，可化为分数，属于有理数，是分数，属于有理数， 是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数． 2. 对称美在生活中应用十分广泛，下列图形中，可以看成轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．据此进行解答即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，符合题意； B．不是轴对称图形，不符合题意； C．不是轴对称图形，不符合题意； D．不是轴对称图形，不符合题意． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类项，积的乘方，同底数幂相乘，以及二次根式的加法法则进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项符合题意； D、与不是同类二次根式，故不能合并，即，故该选项不符合题意． 4. 日常生活中，我们观察到的池塘水深比实际情况浅一些．如图，眼睛看到的点实际是在更深处的池底点处（点，在一条竖直直线上）．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用邻补角的性质求出的度数，再根据直角三角形两锐角互余求出，最后利用对顶角相等即可求解． 【详解】解：∵点在一条竖直直线上，  ，  ，  ，  ∵水面 水平，竖直直线垂直于水面， ，  ∴，  ∵人眼逆着折射光线看去，感觉光线是从发出的，  ∴点在同一直线上，  又∵点在同一直线上， ∴ 和是对顶角， ． 5. 如图是小颖同学在解不等式的部分步骤，则下列说法正确的是（ ） 解：去分母，得， 第一步 去括号，得， 第二步 移项，得， 第三步 合并同类项，得， 第四步 A. 第一步的依据是不等式的基本性质一 B. 第二步的依据是不等式的基本性质二 C. 第三步的依据是不等式的基本性质一 D. 第四步的依据是不等式的基本性质三 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式各步骤的依据，需结合不等式的基本性质逐一判断选项． 【详解】解：先明确不等式的基本性质： 性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或整式），不等号方向不变； 性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变； 性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变。 逐一判断： ∵ 第一步去分母，给不等式两边同乘6，依据是不等式的基本性质2， ∴A错误； ∵ 第二步去括号，依据是去括号法则（乘法分配律），不是不等式的基本性质， ∴B错误． ∵ 第三步移项，本质是给不等式两边同时减去相同的项，依据是不等式的基本性质1， ∴C正确； ∵ 第四步合并同类项，依据是合并同类项法则，不是不等式的基本性质3， ∴D错误． 6. 某班级评选校级“三好学生”的规则如下：最终得分按“组织能力”占、“期末成绩”占、“平时成绩”占、“卫生纪律”占进行计算（各项满分均为100分），小明这四项的得分依次为90分，95分，93分，85分，则他的最终得分是（ ） A. 91.5分 B. 91.8分 C. 92.0分 D. 92.3分 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，计算加权平均数，即可得四项综合得分． 【详解】解：（分）， 他的最终得分是91.8分． 7. 在反比例函数中，当自变量时，对应的函数值不可能是（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据自变量的条件，分和两种情况，结合反比例函数的增减性得到函数的取值范围，再判断选项即可． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴函数图象位于第一、三象限，且每个象限内随的增大而减小． 当时，，、都满足，均为可能的函数值； 当时，当时，，结合函数增减性可得时，∴3是可能的函数值； 因此是不可能的函数值． 8. 如图，内接于， 是上一点，且于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，证明是等腰三角形，得到，再根据四边形内接于即可求出的度数． 【详解】解：如图，连接， ∵于点． ∴ ∴垂直平分， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∴ ∵四边形内接于， ∴． 9. 数学兴趣小组在探究“桶装水在常温下的最佳饮用时间”时，发现桶装水中菌落总数与实验时间（天）成一次函数关系，该小组的部分实验数据如下表，则与之间的函数关系式为（ ） 实验时间/天 ．．． 2 3 4 ．．． 菌落总数 ．．． 18 21 24 ．．． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题已知与为一次函数关系，利用待定系数法，选取表格中两组对应坐标代入即可求出函数解析式． 【详解】解：设与的函数关系式为，把点和代入得到， 解得 与之间的函数关系式为． 10. 如图，在扇形中，，点，分别为， 的中点，连接，交于点．若 ，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】证明，过点作于点，于点，连接 ，则，求出 ，求出，根据即可得到答案． 【详解】解：如图1，， 分别为 ， 的中点， ， ，， ， 又，， ， 过点作于点，于点，连接 ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 又， ， ， ， ． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 化简的结果为__________． 【答案】 【解析】 【详解】解： 12. 某商店销售一款AI萌宠玩具，进价为元/个，商店将进价提高20%作为售价，则这款玩具每个的售价为__________元（用含的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列代数式，解题思路为根据售价与进价，提高百分比的关系，列出代数式，再化简即可得到结果． 【详解】解：由题意可知，售价为进价加上进价提高的部分，因此列式得 ． 13. 八段锦是一种中国传统健身功法，共分八式．体育课上，焦老师制作了如图所示的圆形转盘（转盘被平均分成三份）．每位同学转一次转盘，转到哪一式就做出这一式的动作（若指针指在分界线上，则重转）．小红、小明各转了一次转盘，则他俩做不同动作的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用列表法求出小红、小明所作动作的所有可能的结果数以及他俩做出的动作不同的结果数，根据概率公式求解即可． 【详解】解：根据题意，列表如下： 小明 小红 一 二 三 一 （一，一） （一，二） （一，三） 二 （二，一） （二，二） （二，三） 三 （三，一） （三，二） （三，三） 由表格可知，共有9种等可能的结果数，其中小红、小明做出的动作不同的结果有6种，故所求的概率为． 14. 在平面直角坐标系中，正方形和正方形按如图所示的方式放置在 轴的上方，其中，，则点的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】分别过点，，作 轴的垂线，垂足分别为，，，根据正方形的性质可证，，再根据三角形的性质可得结果． 【详解】解：如图，分别过点，，作 轴的垂线，垂足分别为，，， ， ，． 四边形是正方形， ，， ． 又 ， ． 又 ， ， ，， ． 同理可证， ，， ， ． 15. 如图，点，分别是的一组对边 ，上的点，点 ，分别是另一组对边 ， 上的点，且线段 和 把的面积四等分．若 ， ，，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】证明，连接交于点 ，证明相交于点 ，求出，连接 ，证明，设 到的距离为则，同理可得，，得到，代入数据即可求出答案． 【详解】解：∵线段和把的面积四等分． ∴线段线段 和均把的面积二等分， 即， 如图，连接交于点 ， 设的边上的高为则， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴ ∴ ∴， ∴， 即 为的中点， 同理可证， 为的中点， 即相交于点 ， ∵ ， ，， ∴， 连接 ，则， ∵， ∴， 设 到的距离为则 ， 同理可得，， ∴， ∴， 解得． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算及解方程组 （1）计算：． （2）解方程组 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值进行计算即可； （2）利用代入法解二元一次方程组即可． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解： 由②，得③． 将③代入①，得，解得． 将代入③，得． 故方程组的解为． 17. 如图，在四边形中，， ， 是的中点，连接 ． （1）尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规作图，找到线段的中点．（要求：不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接， ，求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1） （2）证明：如图，由 ， 分别是， 的中点，可知 是 的中位线， ，． 又，， ∴，， 四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】（1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可； （2）根据三角形中位线定理得到，，由已知，得到，，即可证明结论成立． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 综合与实践 【项目背景】 某班级同学在老师的带领下前往某企业开展综合实践活动，准备从多方面开展调查分析，为企业的进一步发展提供参考，其中一个项目是调查该企业职工的月收入． 【数据收集与整理】 同学们随机抽取了部分职工的平均月收入（单位：万元）作为样本，将收集的数据整理后分为A，B，C，D，E五组，绘制成如下不完整的统计图表． 平均月收入统计表 组别 收入万元 A B C D E 根据以上信息，回答下列问题． （1）图1中的值为______，图2中的值为______． 【数据分析与运用】 （2）这组数据的中位数落在______组（填字母代号）． （3）该企业计划开展一次职工技能提升培训，为使培训更有针对性，需要确定优先覆盖的职工群体，有以下两个方向： 方向1：优先覆盖平均月收入万元的职工，帮助他们提升技能、增加收入； 方向2：优先覆盖平均月收入万元的职工，强化企业核心生产力量． 请你结合本次调查数据，为该企业推荐一个更合理的方向（从以上两个方向中选一个），并说明推荐理由． 【答案】（1）12 ；120 （2）C （3）推荐方向1．理由：样本中平均月收入万元的职工（，组）占比约为，这部分职工收入偏低，通过技能培训可帮助他们提高收入，缩小收入差距，同时增强企业凝聚力．推荐方向2．理由：样本中平均月收入万元的职工（，，组）占比约为，这部分职工是企业的核心生产力量．先对其开展培训，能更快提升整体生产效率，助力企业长远发展．（答案不唯一） 【解析】 【分析】（1）先根据“样本容量某组频数该组所占百分比”求出样本容量，结合频数分布直方图可计算a的值，再根据“某组所在扇形的圆心角度数”计算得到“C”所在扇形的圆心角度数； （2）根据中位数定义进行判断即可； （3）根据题干提供的信息进行解答即可． 【小问1详解】 解：样本容量， ， “C”所在扇形圆心角的度数为：， 故． 【小问2详解】 解：由A，B两组的总人数为，A，B，C三组的总人数为37，可知这组数据按从小到大排列后第30、31个数据均在C组，故中位数在C组． 【小问3详解】 略 19. 明明在数学课上认真听讲，并及时做笔记，下表是他整理的课堂笔记． 题目：周末，姐姐和弟弟约定一同前往离家1000米的图书馆学习．姐姐先步行离开家，10分钟后，弟弟从家出发，沿同一路线骑自行车前往图书馆．最终，两人同时到达图书馆（两人均是匀速前往）．已知弟弟骑车的速度是姐姐步行速度的3倍，求姐姐和弟弟的速度． 分析 方程 解法一 设姐姐的速度为 米/分． 等量关系： ． ■-◆ 解法二 若姐姐的速度为米/分，弟弟的速度为米/分，设姐姐到达图书馆的时间为 分钟． 根据上面的笔记，解答下列问题： （1）解法二中，与之间的关系式为__________； （2）将解法一中的方程补充完整，并解答题目中的问题． 【答案】（1） （2）解法一中方程为 ．姐姐的速度为米/分，弟弟的速度为200米/分． 【解析】 【分析】（1）根据弟弟骑车的速度是姐姐步行速度的3倍即可得到答案； （2）设姐姐的速度为 米/分．根据列方程并解方程，检验即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵弟弟骑车的速度是姐姐步行速度的3倍，姐姐的速度为米/分，弟弟的速度为米/分， ∴； 【小问2详解】 解法一中方程为 ． 方程两边同乘，得 ， 解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． 则 ． 答：姐姐的速度为米/分，弟弟的速度为200米/分． 20. 图1是某游乐场的一个游乐设施——“大摆锤”，图2是“大摆锤”未启动时的示意图，其中为水平地面， 为转轴，A，B为“锤”的两个端点，为“锤”AB的中点，．“大摆锤”启动后，绕点 旋转，从而带动点A，B在上运动，当点运动到点 左侧且与点 高度相同时（如图2，点运动到点处，），点运动到最高点处；同样，当点运动到点O右侧且与点 高度相同时，点运动到最高点处．已知，转轴 到水平地面的距离为． （1）“大摆锤”启动后，求点到水平地面的最小距离（结果保留根号）． （2）求左侧最高点到水平地面的距离（结果保留根号）． （3）在“大摆锤”从左侧最高处运动到右侧最高处的过程中，求点经过的路径长（参考数据：）． 【答案】（1）点到水平地面的最小距离为 （2）左侧最高点到水平地面的距离为 （3） 【解析】 【分析】（1）先求的半径，再结合点 到水平地面的距离，即可求得点到水平地面的最小距离． （2）先求点到的距离，再结合点 到水平地面的距离，即可求得左侧最高点到水平地面的距离． （3）先求的度数，接着求得点经过的路径所对圆心角的度数，最后根据弧长公式求路径长． 【小问1详解】 解：如图，连接，延长交于点，交于点，则的长是“大摆锤”启动后点到水平地面的最小距离． 为的中点，， ． 又， ， ， ． 故“大摆锤”启动后，点到水平地面的最小距离为． 【小问2详解】 解：如图，过点作于点． ， ， ， ． 故左侧最高点到水平地面的距离为． 【小问3详解】 解：， ， ∴在“大摆锤”从左侧最高处运动到右侧最高处的过程中，点经过的路径是以点 为圆心，长为半径的圆弧，其所对圆心角的度数为， ∴点经过的路径长约为． 21. 阅读与思考 阅读下面材料，并完成相应的任务． 算筹法 算筹法中，交点的个数通常指的是在进行乘法运算时，两个数的算筹摆放形成的交点数量．这些交点的数量可以直接用来计算乘法的结果． 如图1，在计算时，先横向摆出12，十位数和个位数分开一段距离区分十位数和个位数，再纵向摆出13，十位数和个位数分开一段距离区分十位数和个位数，被乘数和乘数的算筹摆放会形成一系列的交点，个位点有6个，个位数字为6，十位点有5个，十位数字为5，百位点有1个，写在百位上，从而得到．如图2，计算时，个位点有12个，个位留2，满10进到十位点1个，十位点有（个），满20进到百位点2个，十位留5个，百位点有（个），百位留4个，满10进到千位点1个，从而得到． 任务： （1）将用算筹法计算的图示画出来，并直接写出计算结果． （2）如图3，用算筹法计算两个两位数相乘，则结果的十位数字是__________（用含 的式子表示），如果结果的十位数字比百位数字的3倍多1，则 的值等于__________． 【答案】（1）， （2），4 【解析】 【分析】（1）根据题意画图计算即可； （2）十位点有个，且满40进到百位点4个，据此得到十位数字．由十位数字比百位数字的3倍多1列方程并解方程即可得到 的值． 【小问1详解】 解：在计算时，先横向摆出，十位数和个位数分开一段距离区分十位数和个位数，再纵向摆出，十位数和个位数分开一段距离区分十位数和个位数，被乘数和乘数的算筹摆放会形成一系列的交点，个位点有个，个位留2，满10进到十位点1个，十位点有（个），十位点有18个，满10进到百位点1个，十位留8个，十位数字为8，百位点有（个），百位数字为，从而得到． 【小问2详解】 解：∵十位点有个，且满40进到百位点4个， 十位数字是． ∵百位点有个，且满30进到千位点3个， 百位数字是． 十位数字比百位数字的3倍多1， ， 解得． 22. 某蔬菜大棚的横截面如图1所示，顶棚呈抛物线形，两侧保温墙面，与地面垂直，且 米，米，宽度 米，顶棚最高点到墙面的水平距离为4米．左侧人行道米，蔬菜种植区米．以 为原点，所在直线为 轴，建立平面直角坐标系． （1）求顶棚所在抛物线的解析式． （2）如图2，喷灌喷头安装在顶棚最高点下方0.5米处，当水压一定时，喷头喷出的水流呈形状相同的抛物线形，且为水流所在抛物线的顶点． ①当水压最小时，水流左、右端分别落在地面上的点 ，处．求 的长． ②当水压最大时，水流右端恰好落在地面上的点处，左端落在保温墙面上的点 处，故需要在保温墙面上做防水处理，求需要做防水处理区域的高度（线段 的长）． 【答案】（1） （2）①米；②需要做防水处理区域的高度为2.5米 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①设水压最小时，水流所在抛物线的解析式为．利用待定系数法求出．令，则，解方程即可得到答案；②设水压最大时，水流所在抛物线的解析式为．待定系数法求出．令即可求出答案． 【小问1详解】 解：由题意，得，，顶棚所在抛物线的顶点的横坐标为4． 故可设顶棚所在抛物线的解析式为． 将，分别代入， 得 解得 顶棚所在抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：① 抛物线的顶点坐标为， ． 故可设水压最小时，水流所在抛物线的解析式为． 将代入，得， 解得， ． 令，则， 解得， ， （米）． ②设水压最大时，水流所在抛物线的解析式为． 将代入，得，解得， ． 令，则， 米，即需要做防水处理区域的高度为2.5米． 23. 综合与探究 【问题情境】 活动课上，老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展数学活动．小星拿出两张全等的矩形纸片 和，重叠放置，矩形纸片 固定不动，将矩形纸片绕点 逆时针旋转．已知 ，． （1）如图1，当点 落在边 上，点落在线段 的延长线上时，连接，，，试判断的形状，并说明理由． 【思考探究】 （2）如图2，当点落在边上时，连接交于点 ，求证： 是的中点． 【拓展延伸】 （3）在矩形纸片旋转的过程中，当时，直线与直线 ，分别交于点 ， ，请直接写出的长． 【答案】（1）等腰直角三角形 理由：由题意知，，，， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形． （2）证明：由题意可得， ， ， 如图1，过点 作于点 ，连接， ． ， ， ． 又，， ， ． 在和中， ， ， 是的中点． （3）或 【解析】 【分析】（1）证明，则，，证明，即可得到结论； （2）由题意可得， ， ，如图1，过点 作于点 ，连接，证明 ，即可得到； （3）分点在 的延长线上和点在 的延长线上两种情况进行解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①当点在 的延长线上时，如图3， ， ， ，即， 解得， ． ∵， ， ， 即， 解得， 在中，由勾股定理得 ． ②当点在 的延长线上时，如图，同①可得 ， ，即， 解得 ． ∵ ∴， ． ∵ ， ，即， 解得， ，． 在中，由勾股定理得． 综上所述，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $