2026年山西省长治市襄垣县中考前模拟数学试题

数学 参考答案及评分细则 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要 求，请选出并在答题卡上将该项涂黑) 题号 2 5 4 5 6 7 6 9 10 答案 B A D D C C A B B 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11.2(a+2)(a-2)12.y1>y213.0.76514.8-3 1s8 三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.圈(1D原式=3X兮+8-(-一3)…3分 ,四边形ABCD是平行四边形， ∴.AB/CD, =1十8十3…4分 ∴.∠EAG=∠D,∠EGA=∠EHD,∠GAO= =12.…5分 ∠HCO, (2)原式=x-(x-1) x(x-1) .(x-1) …8分 ∴.△EAGp△EDH, x(z-）(x-1)…9分 1 器器 由(1)可知，△AEO≌△CFO, …10分 ∴.OA=OC x 17.(1)逦明，四边形ABCD是平行四边形， 在△AGO和△CHO中， ∴AD/∥BC,AD=BC,…2分 (∠GAO=∠HCO, OA=OC, ∠E=∠℉.…3分 ∠AOG=∠COH, 又，ED=BF, ∴.△AGO≌△CHO(ASA), ∴.ED-AD=BF-BC,即AE=CF.·4分 ..AG=CH. 在△AEO和△CFO中， ,AB=7,BC=8,AE=3, (∠E=∠F, 3 3+8 ∠AOE=∠COF, AG7-AG' AE=CF, ∴.△AEO≌△CFO(AAS). …5分 解传AG=是 18.耀(1)设王阿姨每月制作x件刺绣，则李阿姨每 …7分 月制作(x十8)件刺绣 如图，设EF交CD于点H. 由题意，得26一织， 解得x=24.…2分 经检验，x=24是原方程的解，且符合题意.… …3分 .24+8=32(件). 20.絕(1)如图，连接EF并延长交AB于点M, 答：王阿姨每月制作24件刺绣，李阿姨每月制作 32件刺绣.… …4分 首义门 (2)设李阿姨在第y个月开始合作。 C D 地面 B 王阿姨全程参与6个月，共制作24×6=144（件） 由题意，得∠EMA=90°，四边形ECDF和四： 李阿姨参与的时间为6一(y一1)=7一y(个) 形FDBM是矩形， 月，共制作32(7一y)件.…6分 ∴.EF=CD=20m,BM=FD=1m.…1 由题意，得144+32(7-y)≥210， 在Rt△AEM中，∠AME=90°， AM 解得y≤68=4.9375，…8分 ,∴.tana= EM' y为整数，y的最大值为4. ∴.EM= AM AM tan a 答：李阿姨最晚第4个月开始合作能按时完成这 tan 35. …2 在Rt△AFM中，∠AMF=90°， 批订单 …9分 AM 19.椭翻(1)补全频数直方图，如图. ∴.tanβ= FM' A AM AM 走廊监测点 24个样木 ∴.FM= tan B tan 50. …3 频数 .EF=EM-FM, 12 10 .20= AM AM … tan35°tan50, 6 6 ..AM= 20tan35tan50° an50°-tan35≈33.92(m),…5分 ∴.AB=AM+BM=33.92+1=34.92(m).… 2 0:01 …6分 +PM2浓度 2530354045505560(μg/m) 答：首义门AB的高度约为34.92m.…7分 …1分 (2)测量结果与实际高度不一致.可能的误差 因：测量标杆高度时存在误差；测角仪的角度读刻 (2)2548 3分 存在偏差；标杆与首义门的水平距离测量不准确 操场的空气质量好 4分 测量时标杆未完全竖直等.（答案不唯一，合理 理由如下：从平均数的角度看，操场监测点的 可)… …8分 PM2.5浓度的平均数为30.04g/m3,远低于走 21.蹯(1)∠AOE=45°（答案不唯一，合理即可） 廊的48.54g/m3;从方差的角度看，操场监测点 …1分 的PM2.5浓度的方差11.71ug/m3小于走廊的 ,AC⊥EF,且点I,K由旋转对称性作图得到， 34.58g/m3.说明操场空气质量更好.…5分 '.对角线AC经过正方形内嵌正八边形的顶点 和K, (3),操场监测点24小时PM2.5浓度的极差： 36一25=11，走廊监测点24小时PM2s浓度的极 六∠A0E=g×360°=459. 差：58-38=20，且日平均浓度48.54g/m3> (2)AK=AO. 2分 35μg/m3,30.04g/m3<35g/m3, 理由如下： ,走廊监测点的空气质量日变化幅度更大，且达 正八边形的内角和是(8一2)×180°=1080°， 标情况更差， ∠FEL=∠JKL=1080°=136， 8 原因：走廊人流密集，活动频繁，通风较差.（原因 ∴.∠AEL=180°-∠FEL=45°，∠DKJ=180° 合理即可)… …8分 ∠JKL=45°， ∠AEL=∠DKJ 22.器(1)一次y=-10x+600 …2分 四边形ABCD是正方形， 由表可知，销售单价x每增加2元，日均销量y .∠BAD=∠ADC=90°. 减少20盒，即x每增加1元，y减少10盒，则y ,八边形EFGHIJKL是正八边形， 是x的一次函数。 ..KJ=KL=EL 日均销量y(盒)是销售单价x(元/盒)的一次 在△AEL与△DJK中， 函数. |∠AEL=∠DJK, 设函数关系式为y=x十b,代入两组数据 ∠LAE=∠KDJ, (40,200),(42,180), EL=JK, |200=40k十b, k=-10, ∴.△AEL≌△DJK(AAS), …3分 解得 180=42k+b, 6=600, .KD=AL.… 4分 设KD=AL=x. .y与x之间的函数关系式为y=一10x十600. 在Rt△AEL中，∠EAL=90°， (2)由题意，得w=(x-30)(-10x+600)= sin∠AEL=A， -10x2+900x-18000, EL 0是x的二次函数.…4分 .'EL=- AL sinLAEL sin 45 -10<0, 抛物线开口方向向下，有最大值， KL=EL=√2x, .AK=AL+KL=x+√2x,AD=AL+KL十 .当x=一 2X(-10)=45时，0mx=-10× 900 KD=2x十√2x.…5分 452+900×45-18000=2250.…6分 在Rt△AOD中，∠AOD=90°， 答：若不考虑额外费用，日均销售利润的最大 ∴as∠0AD-8 值是2250元，其对应的销售单价是45元.… …7分 .AO=ADcos.∠OAD=(2x+√2x)cos45°= (3)45… 11分 x十√2x,…6分 当d=3时，每盒的成本为30十3=33（元）， AK=AO.…7分 ∴.w=(x-33)(-10x十600)， (3)如图，八边形EFGHIJKL即为所作.（答案不 令w=1800, 唯一，合理即可)…9分 则(x-33)(-10x+600)=1800,化简得x2一 93x+2160=0,即(x-45)(x-48)=0,解得 x1=45,x2=48, .更惠民的销售单价为45元/盒， 23.解0(1)AE=CFAE/CF…2分 ,菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°， AD=CD=2,∠ADC=60°， 方法 ∴.△ADC为等边三角形， ∴.∠DAC=∠ACD=60° ,线段AD绕点C逆时针旋转60°得到线段EF, ∴.CD=CF=2,∠DCF=60°， ∴.AE=CF=2,∠ACF=∠ACD+∠DCF=120°， ∴∠EAC+∠ACF=60°+120°=180°， 方法三 ∴.AECF (2)AE=CF,AE//CF. ∠ADC=60°， 证明如下：如图1，连接PD,PF, '△ADC是等边三角形， ∴.AD=AC=2,∠DAC=60°. ①如图2，当点P在线段AC上时，连接PD. 图1 ,四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°， ∴∠ADC=60°，CD=AD, 图2 △ADC是等边三角形， ,∠EPA=60°，∠EPD=30°， ∴.∠APD=90°，即PD⊥AC. ∠CAD=60°，AC=AD.…4分 ,等边三角形ADC的边长为2， ,线段AD绕点P逆时针旋转60°得到线 段EF, ..DP=3. ..AP=PE,DP=FP,AD=EF, ②如图3，当点P在线段AC的延长线上时，主 在△APD和△EPF中， 接PD. (AP=EP, AD=EF, DP=FP, ∴.△APD≌△EPF(SSS), ∠PEF=∠PAD=60°.…6分 ,AP=PE,∠CAD=60°， ∴.△APE是等边三角形， ∠AEP=60°，…7分 图3 ∴.∠AEF=∠AEP+∠PEF=120°， ,∠EPD=30°， ∴.∠AEF+∠CAD=120°+60°=180°， ∴.∠APD=∠APE-∠EPD==30°. AC/EF.…8分 ,△ACD为等边三角形， 又.AC=AD=EF, ∠CAD=60°， ∴.四边形AEFC是平行四边形， ∴.∠ADP=180°-∠CAD-∠APD=90. ∴AE=CF,AE/CF,…9分 ,△APE为等边三角形， (3)存在满足∠EPD=30°的时刻，线段DP的长 D为AE的中点. 为3或23. …13分 ∴PE=4,ED=2, 由旋转的性质得PA=PE,∠APE=60°， .DP=√PE2-ED2=√16-4=2√5. ∴△APE是等边三角形， 综上，存在满足∠EPD=30°的时刻，线段DP的 ∴AE=AP,∠EAP=60°. 长为5或23， ,菱形ABCD的边长为2，∠ABC数学 注意事项： 1.本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自已的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置上 3.答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效， 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回， 第I卷选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题 目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑) 1.2026年意大利冬奥会期间，位于阿尔卑斯山区的科尔蒂纳丹佩佐雪上赛场夜间温度较低，平均约在 零下2℃，而白天受阳光照射，温度可升至零上4℃.若零上4℃记作+4℃，则零下2℃记作 A.+2℃ B.-2℃ C.-4℃ D.+6℃ x>-2, 2.下列实数是不等式组 的解的是 x≤0 A.3 B.1 C.-1 D.2 3.窗花是中国民间传统剪纸艺术，以对称构图、吉祥寓意为核心，融生活情趣与美好祈愿于一纸一 刀，是春节里最具烟火气的文化符号.下列四种窗花图案，属于中心对称图形的是 A C D 4.下列运算正确的是 A.3a·4a=12a B.a6÷a2=a3 C.(a3)2=a5 D.(3a)2=9a2 5.如图，直线a%,且直线a,b被直线l所截，∠ABD的角平分线交直线a于点C.若∠1=31°，则∠2 的度数为 B D A.28 B.31° C.59° D.62° 数学第1页（共8页） 6.阳马（即角梁）是中国古建筑构件，也是中国古代算术中的一种几何形体.它是底面为长方形，侧面两 个直角三角形与底面垂直的四棱锥.如图是“阳马”的示意图，则该几何体的左视图是 阳马 正面 A B D 7.为了研究“电热水壶功率与烧开一壶水所需时间”的关系，物理小组在电压恒定的条件下，记录了5个 不同功率的电热水壶烧开同样一壶水的实验数据，如下表： 功率x(千瓦) 0.8 1.0 1.6 2.0 2.5 时间y(分钟) 25 20 12.5 10 8 经分析，y与x满足某种函数关系，则y与x的函数关系式为 A.y=20x-1 B.y=16x-1 C.y=20 D.y=16 x 8.2026年总台春晚以“骐骥驰骋，势不可挡”为主题，借千里马意象传递开 拓进取、一往无前的时代精神.现推出骐骐、骥骥、驰驰、骋骋四款吉祥物 盲盒，小明从这四款外观完全相同的盲盒中一次性随机抽取两个，抽到的 】 盲盒中含有“驰驰”的概率是 a司 BR青 c号 D 9.如图，射线AB与⊙O相切于点B,经过圆心O的射线AC与⊙O相交于点D,C.若∠A=40°，则 ∠ACB的度数为 B A.20° B.259 C.30° D.35° 10.在一次奇妙的数学拼贴艺术中，艺术家发现半径为a的正十二边形和边长为a的小正方形的面积 之间存在着一定的数量关系.那么，这个正十二边形的面积与小正方形的面积的关系为 A.S正+二边形=2S正方形 B.S正二边形=3S正方形 C.S正+二边形=4S正方形 D.无法确定 数学第2页（共8页） 第Ⅱ卷非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11.分解因式：2a2-8=▲ 12.已知点A(x1y),B(x2y2)都在反比例函数y=3的图象上.若x1<,<0,则y,与y2的大小关 系是▲ 13.在中等配速（约6~7分钟/公里）的长跑中，当步幅s(单位：m)与身高h(单 位：m)满足公式s=0.45h时，通常能获得较省力、高效舒适的跑步节奏.若小 明同学身高1.7m,他长跑时应将步幅调整至▲m左右更省力， 14.用相同长度的小木棒和绳子搭建“圆内十字形”图案：每个图案以中心点为起点，向“上、下、左、右”四 个方向延伸；每个方向上（不包含中心点）的点数随图案序号依次增加 前3个图形的构造规律如下： 图形1：中心点到每个方向有1个点，总点数为5. 图形2：中心点到每个方向有2个点，总点数为13. 图形3：中心点到每个方向有3个点，总点数为21. 按照图形的构造规律，图形n的总点数为▲ 图形1 图形2 图形3 15.如图，在四边形ABCD中，BC∥AD且BC=AB=2AD,AB⊥BC,E是边CD上靠A」 近点D的三等分点，AE,BD相交于点F.若BD=4,则EF的长为▲ 三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.（本题共2个小题，每小题5分，共10分)》 1计算w5×+份》 -(-5+2): 17.(本题7分)如图，在口ABCD中，分别延长DA,BC至点E,F,使得DE=BF,连接EF交AC于点 O,交AB于点G (1)求证：△AEO≌△CFO; (2)若AB=7,BC=8,AE=3,则AG= E A G 数学第3页（共8页） 18.（本题9分)山西非遗刺绣技艺历史悠久、工艺精湛.现有两位山西绣娘制作同一 种传统刺绣挂件，已知李阿姨每月比王阿姨多制作8件，且李阿姨制作60件刺绣 所用的时间与王阿姨制作45件刺绣所用的时间相同. (1)王阿姨、李阿姨每月各制作多少件刺绣？ (2)现接到一批新订单210件，若李阿姨因事暂不能参与工作，由王阿姨先单独制 作，李阿姨后加入合作，要求总工期不超过6个月，李阿姨最晚第几个月开始合作 能按时完成这批订单？（要求结果为整数） 19.(本题8分)为了解“人流量对环境PM2s浓度的影响”，某学校数学与环境科学实践小组对校园内操 场（开阔通风）和教学楼走廊（人流密集）两个地点的PM2.5浓度（单位：g/3)进行24小时内每小 时一次的实时监测.本次调查完整经历了数据收集→数据整理→数据分析三个过程，最终结合统计 数据分析校园空气质量差异， 【数据收集】 原始监测数据(24小时PM2.s浓度数据)： 操场监测，点：35343332313029282726252525262728293031 3233343536 走廊监测点：42434548525558555248454038404245525255 5855524845 监测说明： (1)监测时间：2026年3月3日（晴天，无风，无极端天气），每小时整点监测1次，共24组数据， (2)监测仪器：学校环境实验室专用PM25手持检测仪（精度士5g/m3),数据真实有效 (3)监测地点： ①学校操场中央（开阔无遮挡，人流分散）； ②教学楼3楼走廊中段（人流密集，课间/放学时段人员频繁经过，空间半封闭）. 【整理数据】 (1)频数分布表 根据PM2s浓度实际范围，按5ug/m3为组距进行分组，统计两个监测点的频数（单位：g/m3): 浓度分组 25≤x<30 30≤x<35 35≤x<40 40≤x<45 45≤x<50 50≤x<55 55≤x<60 操场监测点 11 10 0 0 0 0 走廊监测点 0 0 5 5 6 (2)频数分布直方图 常操场监测点 24个样本 R走廊监测点24个杆 频数 频数 121 10 --. 8 6 6 6 3………… 2 .--- 2 0000i,PM2s浓度 入…00f PM2浓度 2530354045505560 (μgm) 0 2530354045505560(ug/m) 数学第4页 (共8页) 【数据分析】 根据原始数据，计算得出操场、走廊两个监测点PM2s浓度的核心统计量（结果保留两位小数）： 统计量 平均数(g/m3) 众数（μg/m3) 中位数(g/m3) 方差（μg/m) 操场监测点 30.04 b 30 11.71 走廊监测点 48.54 52 c 34.58 根据以上信息解决下列问题： (1)请补全“走廊监测点”的频数分布直方图； (2)操场监测点的众数为b=▲，走廊监测点的中位数为c=】 .结合平均数和方 差，分析操场、走廊两个监测点的空气质量哪个好，并说明理由、 (3)根据我国《环境空气质量标准》，PM2.5日平均浓度限值为35μg/m3(超过则为超标).分别计算操 场、走廊两个监测点24小时PM2.5浓度的极差（最大值一最小值）；结合极差和浓度限值，判断哪个 监测点的空气质量日变化幅度更大，且达标情况更差，并简要说明原因. 20.(本题8分)研学与实践 【实践任务】数学实践小组来到太原五一广场，运用标杆测量法测量首义门的高度. 活动主题 测量太原五一广场首义门的高度 首义门 实物图和测量示意图 地面 B 图1 图2 如图2，首义门AB竖直矗立在水平地面上.数学实践小组在首义门正前方地面的中轴线上选 测量说明 取了C,D两点放置标杆CE,DF,并分别在点E,F处测得首义门顶端A的仰角为α，3 ·在点E测得仰角a=35° ·在点F测得仰角β=50° 测量数据 ·两点间距离：CD=20m ·标杆的高度：CE=DF=1m 备注 点C,D,B在同一水平直线上 根据以上信息，解决下列问题： (1)求首义门AB的高度（结果精确到0.01m.参考数据：sin35°≈0.574，cos35°≈0.819，tan35°≈ 0.700;sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192)； (2)已知首义门的实际高度为39.25m,请判断本题结果与实际高度是否一致，并说出一条可能的误 差原因 21.(本题9分)阅读与思考 尺规作图 一把直尺，一副圆规，就能开启奇妙的几何之旅，五种基本尺规作图，是构建万千图形的“钥匙”.不仅能完 成严谨的几何证明与图形绘制，还能设计出对称精美的几何图案. 正方形内嵌正八边形，就是其中极具代表性的经典图案.如果一个正方形里面嵌套了一个正八边形，且正 八边形至少有四个顶点分别在正方形的四条边上，那么我们称这个正八边形内嵌于这个正方形.你能用尺规作 出图1或图2中正方形的内嵌正八边形吗？ 图1 图2 初步分析：从整体特征与元素特征两个角度回顾正八边形的性质 (1)整体特征：具有轴对称性和旋转对称性 E (2)元素特征：各边相等，各角相等且都等于135° 深入分析：以图2正方形内嵌正八边形为例，如图3，连接AC,EG,EF,FG,发现的结 论如下： (1)E,F,G,H分别是正方形ABCD各边的中点； (2)△IEF是顶角为135°，底角为22.5°的等腰三角形； (3)△OEI中，OE=OI; (4) 图3 动手作图：利用作垂直平分线和角平分线的方法作图 可 (1)如图4，作边AD,DC的垂直平分线，分别交AD,BC,AB,CD于点E,G, F,H; (2)分别作∠AFE和∠AEF的角平分线，交于点I;利用旋转对称性作出点 J,K,L; (3)顺次连接这八个点. ∴八边形EIFJGKHL为正方形ABCD的内接正八边形 G 图4 任务： (1)请根据“深入分析”中的条件，写出一条你发现的结论 (2)类比研究图2正方形内嵌正八边形的方法，如图5，连接AC,BD,交于点O.线段AK是否与线 段AO相等，请说明理由. 图6 (3)请根据你发现的几何结论，换一种尺规作图方式，在正方形ABCD中作出其内嵌正八边形（不写 作图步骤，保留作图痕迹). 22.(本题12分)综合与实践 问题情境 喷泉集环境保护、娱乐休闲、小区美化与装饰艺术于一身，通常是城市的重要景观.为了解喷泉设计 的奥秘，综合实践小组的同学对抛物线形喷泉展开探究 资料收集 实践小组收集到某公园内一种喷泉的基本资料（由甲、乙两组喷泉组成），并进行组内交流： 小明：如图1，甲组喷泉喷水孔点O在水平地面上，喷出的水柱形状为抛物线形，其跨度OM(水流喷 水孔点O与落地点M之间的水平距离)为4m,最高点距地面3m. 小亮：图2是乙组喷泉水柱形状的示意图，OA为喷水管，点A为喷水孔，此时B为水的落地点，记 OB的长度为此时喷泉的跨度，两组喷泉的抛物线形状相同，乙组喷泉最高点距地面也为 3m. 小颖：图3是甲、乙两组喷泉同时喷水时的示意图，公园要在两组喷泉之间设立安全通道，安全通道 CD在线段OB上，要求在两组喷泉同时喷水时，水柱都不会进人CD上方的安全区域矩形 CDEF内. 数学建模 如图3，以甲组喷泉喷水孔点O为坐标原点，OM所在直线为x轴，过点O竖直向上为y轴的正方 向，建立平面直角坐标系， y忆喷泉甲喷泉 D B M 图2 图3 问题解决 (1)求图3中甲组喷泉抛物线的函数表达式； (2)若乙组喷泉跨度OB恰好为3m,求喷水管OA的高度； 在（②）的条件下，若能够进人该安全通道的儿童的最大身高为m,求此时安全通道CD的宽 数学第7页（共8页） 23.(本题14分)综合与探究 问题情境 数学课上，老师让同学们以特殊平行四边形为背景探究动点在运动过程中产生的数学问题！ 特例探究：(1)如图1，E是正方形ABCD的对角线AC上一动点，连接DE,过点E作EF⊥DE,交 BC于点F,连接DF,过点E作CD的平行线交AD于点M,交BC于点N,请在图1中补全图 形，并证明DE=EF】 (2)如图2，点E在运动过程中，若AE>EC,将DE绕点E顺时针旋转90°至EF,连接CF,DF,证 明：∠ECF+∠ACB=180°. 拓展延伸：(3)如图3，在矩形ABCD中，AD=2,∠ACD=30°.E是对角线AC上一动点，连接 DE,过点E作EF⊥DE,并以DE为直角边，在其右侧作Rt△DEF,使∠DFE=30°，点E在运动 过程中，是否存在某一时刻使△BEF为等腰三角形，若存在，求AE的长度；若不存在，说明理由. D 图1 图2 图3 备用图 数学第8页（共8页）