精品解析：宁夏回族自治区吴忠市第四中学2025-2026学年第二学期九年级数学阶段性学情调研（三）

吴忠市第四中学2025—2026学年第二学期九年级数学阶段性 学情调研（三） 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．） 1. 大模型的引入，显著提升了工业产品的精密度．下面是某厂四台接入大模型的机床生产的轴承的误差数据，其中精确程度最高的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别求出各项的绝对值，再比较大小，根据绝对值的意义可得绝对值越小的，精确度越高得出答案即可． 【详解】解：∵，，，， 又∵， ∴， ∴精确度最高的是． 2. 如图几何体是由一个正方体内部挖去一个圆柱体后得到的，则它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据主视图是从正面看得到的图形，看得见的棱画实线，看不见的棱画虚线进行判断． 【详解】解：从正面看，该几何体的外轮廓是一个正方形， ∵圆柱体在正方体内部， ∴圆柱体的左右两条轮廓线看不见，应画成虚线 ∴主视图为正方形内部有两条竖直的虚线， 即主视图为A选项 ． 3. 如图，已知，要使，则需具备下列哪个条件（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】欲使AB∥CD，在图中发现AB、CD被一直线所截，且已知∠1=68°，故可按同旁内角互补，两直线平行补充条件． 【详解】解：∵要使AB∥CD， ∴只要∠1+∠2=180°． ∵∠1=68°， ∴∠2=180°-68°=112°， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握同旁内角互补，两直线平行是解题的关键． 4. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并， A错误； B、，运算结果正确， B正确； C、， C错误； D、， D错误． 5. 某文艺节目在舞蹈编排创意、舞者表现力、舞台视觉效果三项的得分分别为95，90，85（每项满分均为100分）．若依次按照，，的百分比确定最终得分，则该文艺节目最终得分为（ ） A. 88分 B. 89分 C. 90分 D. 91分 【答案】D 【解析】 【分析】利用各项的得分乘以其所占的百分比，然后相加即可得． 【详解】解：由题意得，最终得分为（分）． 6. 组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请个队参赛，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，掌握该知识点并找出等量关系是解题的关键．设比赛组织者应邀请个队参赛，那么每个队都要参加场比赛，那么总共有场比赛，然后根据“赛程计划安排7天，每天安排4场比赛”，列出方程即可． 【详解】解：设比赛组织者应邀请个队参赛，那么有 故选：B． 7. 图1为实时通讯的视频机器人，图2为其侧面示意图．机器人上半身与底座 垂直，为屏幕支撑架，且．已知，当时，则支撑架到 的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】延长交于点H，，利用锐角三角函数求出的长，再根据可知D到 的距离为，从而得出答案． 【详解】解：如图，延长交于点H， 由已知， ， 在中，、， ， 、， 支撑架到 的距离为． 8. 如图1，在物理力学探究实验中，某同学将一个实心长方体金属块通过细线与力传感器相连，保持竖直方向将其缓慢浸入水中．传感器示数（单位：）反映金属块对细线的拉力，与金属块浸入水中的深度（单位：）的变化关系如图2所示，当金属块完全浸没后，传感器示数不再随浸入深度的变化而变化（提示：当长方体金属块浸入水中时，）．当时，下列结论正确的是（ ） A. 该长方体金属块的重力是 B. 该长方体金属块的高度是 C. 传感器示数随着长方体金属块浸入水中的深度的增大而减小 D. 当长方体金属块浸入水中的深度时，传感器示数为 【答案】D 【解析】 【分析】当时，F的值即为金属块的重力的值，据此可判断A；F的值开始不随深度的变化而变化时的值即为金属块的高度的值，据此可判断B；根据函数图象可判断C；利用待定系数法求出当时，F关于h的关系式，再求出时，F的值即可判断D． 【详解】解：A、由函数图象可知，当时，，则金属块浸入水中的深度为时，，故该长方体金属块的重力是，原说法错误，不符合题意； B、由函数图象可知，从开始，F不再随浸入深度的增大而变化，则从开始金属块完全浸没，故该长方体金属块的高度是，原说法错误，不符合题意； C、由函数图象可知，当时，传感器示数随着长方体金属块浸入水中的深度的增大而减小，当，传感器示数不再随浸入深度的变化而变化，原说法错误，不符合题意； D、当时，设， 把代入得， 解得， ∴， 在中，当时，， ∴当长方体金属块浸入水中的深度时，传感器示数为，原说法正确，符合题意． 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 的立方根是___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解答问题的关键．根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴的立方根为， 故答案为：． 10. 不等式组的解集为_______． 【答案】 【解析】 【详解】解：解得， 解得， ∴． 11. 已知关于的一元二次方程的一个根为，则的值为____． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的含义，将已知根代入原方程即可求解的值． 【详解】把代入原方程得：， 整理得， 即， 解得． 12. 质检部门对一台发球机在某一参数下的发球合格性进行测试，这台发球机连续发射个球，如图显示了发球合格的结果． 根据图象信息，估计这台发球机发球合格的概率为________（结果精确到）． 【答案】 【解析】 【分析】由统计图可知，随着发球次数的增加，发球合格的频率越来越接近，利用频率估计概率，估计这台发球机发球合格的概率为. 【详解】解：由统计图可知，随着发球次数的增加，发球合格的频率越来越接近， 估计这台发球机发球合格的概率为. 13. 如图，有一个亭子，它的地基是半径为的正六边形，则地基的面积为________ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据正六边形的性质，把面积转化为6个等边三角形的面积和计算即可． 【详解】解：正六边形的每个中心角为， 则正六边形分成6个全等的正三角形，则每个正三角形的边长为， 如图，是其中一个正三角形，其中， 过点A作于点D，则， 由勾股定理得， ∴正六边形的面积为． 14. 如图，射线AB与⊙O相切于点B，经过圆心O的射线AC与⊙O相交于点D、C，连接BC，若∠A=40°，则∠ACB=___________． 【答案】25 【解析】 【分析】连接OB，如图，利用切线的性质得∠ABO=90°，再利用互余得到∠AOB=50°，然后根据三角形外角性质和等腰三角形的性质计算∠C的度数． 【详解】解：连接OB，如图， ∵边AB与⊙O相切，切点为B， ∴OB⊥AB， ∴∠ABO=90°， ∴∠AOB=90°-∠A=90°-40°=50°， ∵OB=OC， ∴∠OBC=∠C， ∴∠AOB=∠OBC+∠C=2∠C， ∴∠C=∠AOB=25°． 故答案为：25． 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系． 15. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的点A的坐标为，E是线段上一点，且，沿折叠后B点落在点F处，那么点F的坐标为____________________． 【答案】（，2） 【解析】 【分析】作于点D，于点G，根据折叠的性质得到，则，则，得到，即可得到点F的坐标． 【详解】解：作于点D，于点G， ∵，沿折叠后B点落在点F， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点F的坐标为． 答案为：． 【点睛】此题考查了勾股定理、坐标与图形、折叠的性质、等腰三角形的判定和性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 16. 小明与小亮计划周末一同到辽沈战役纪念馆参观．小明家、小亮家和纪念馆的方位如图所示．若小亮家在小明家的正东方向，小亮家到纪念馆的距离为，则小明家与小亮家的距离约为_________．（参考数据：，，） 【答案】7 【解析】 【分析】过点C作于点D，则，进而求出，，在中，，，在中，，再由即可求解． 【详解】解：如图，过点C作于点D，则， 根据题意得，，，，， ∴，， 在中，， ， 在中，，， ∴， ∴， 即小明家与小亮家的距离约为． 三、解答题（72分） 17. 课堂上老师出了一道题：解方程组 （1）小组学习时，老师发现有同学这么做： 由②得， ③ ， 将③代入①得： ， 解得， 把代入③得， ∴ 方程组的解为， 该同学使用了______消元法解这个方程组， 目的是把方程组从“二元 ”变为“一元”，体现了___________的数学思想； （2）请用另一种消元方法解这个方程组． 【答案】（1）代入，消元 （2） 【解析】 【分析】本题考查了用代入消元法和加减消元法解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法和步骤． （1）根据代入消元法的定义，即可解答； （2）得，再求出y的值，最后将y的值代入①，求出x的值即可． 【小问1详解】 解：根据题意可得：同学使用了代入消元法解这个方程组， 目的是把方程组从“二元 ”变为“一元”，体现了消元的数学思想， 故答案为：代入，消元； 【小问2详解】 解：， 得：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴方程组的解为． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 19. 如图，网格中每个小正方形的边长都为 ，的顶点均在格点上，只用无刻度直尺，根据网格特征作图： （1）在图 中的上取点，使与面积相等； （2）在图 中取格点，使得（不与 重合）； （3）在图中作的高． 【答案】（1） 如图 所示，点即为所求； （2） 如图 所示，点即为所求； （3） 如图所示，线段即为所求． 【解析】 【分析】（ ）取格点，连接，由三角形中线的性质可得与面积相等，故点即为所求； （ ）取格点，连接，由勾股定理可得，，进而由可证，故点即为所求； （）取格点，连接并延长与 相交，交点即为点，可根据证明，再根据全等三角形的对应角相等结合 网格特征即可得到； 本题考查了三角形中线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 20. 如图，在四边形中，，， 平分，连接交 于点，过点作交 的延长线于点． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：，， ，四边形是平行四边形， 平分， ， ， ， 是菱形； （2）的长为 【解析】 【分析】此题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． （1）先证四边形是平行四边形，再证，即可得出结论； （2）由菱形的性质得，，，再由勾股定理得，然后由菱形面积公式得，即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是菱形，，， ，，， ， ， ， ， 即， 解得：， 即的长为． 21. 随着快递行业在农村的深入发展，全国各地的特色农产品有了更广阔的销售空间．不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势，某农产品种植户经过前期调研，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作．为此，该种植户收集了10家农产品种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如下： 配送速度和服务质量得分统计表： 项目 统计 快递公司 配送速度得分 服务质量得分 平均数（单位：分） 中位数（单位：分） 平均数（单位：分） 方差 甲 7.8 7.5 7 乙 m 8 7 （1）补全频数直方图．并求扇形统计图中圆心角a的度数为________； （2）表格中的______，______（填“>”“=”或“<”）； （3）综合上表中的统计量，你认为该农产品种植户应选择________公司？ （4）从甲公司抽取获得7分的3位快递员（2名男生，1名女生），当中抽取2人再次进行配送速度调查，请用列表或者画树状图的方法计算恰好抽到的都是男生概率． 【答案】（1） 补全频数分布直方图如图所示． （2）8；< （3）甲 （4） 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法，方差，平均数、中位数．关键是能根据平均数、中位数、方差的意义对本题进行分析． （1）计算甲快递公司在配送速度得9分的人数可补全频数直方图；用乘7分的占比，即可求解； （2）根据平均数与方差的定义即可求解； （3）根据平均数、中位数和方差的意义进行选择即可； （4）列表展示所有6种等可能的结果数，找出选中的两人均是男的结果数，然后利用概率公式求解． 【小问1详解】 解：甲快递公司在配送速度得9分的人数为（人）， 扇形统计图中圆心角的度数为； 【小问2详解】 解：乙公司7分的占比为， 所以平均数为， ， ， ， 故答案为：8，； 【小问3详解】 解：该农产品种植户应选择甲公司（答案不唯一），理由如下： 配送速度得分甲和乙的得分相差不大，服务质量得分甲和乙的平均数相同，但是甲的方差明显小于乙的方差， 甲更稳定， 应选择甲公司； 故答案为：甲； 【小问4详解】 解：列表如下： 男1 男2 女 男1 男1男2 男1女 男2 男2男1 男2女 女 女男1 女男2 ∵一共有6种等可能的结果，其中选中的两人均是男的情况共有2种等可能的结果， ∴Р（选中的两人都是男生）． 22. 截至2026年3月，我国新能源汽车的发展已进入电动化、智能化、低碳化深度融合的新阶段，技术创新与全球化布局成为发展核心．某款新能源汽车，为了确保行车安全，当电池的剩余电量降至时，车辆需要充电才能行驶．李叔叔购买了这款汽车，某次他充满电后立即不间断（安全）的行驶，如图是该车在充电及行驶过程中，电池的电量（单位：）与时间（单位：）之间的关系图象． （1）求该车在行驶时，关于的函数表达式；（写出自变量的取值范围） （2）若该车电池的电量剩余时，该车最多还可以行驶多长时间？ 【答案】（1） （2）电池的电量剩余时电车最多还可行驶． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求出函数解析式； （2）先求出电量的，再将其代入求出的值，再求解即可． 【小问1详解】 解：设汽车行驶时关于的函数解析式为，图象经过点和，将其代入得： ， 解得：， ， 汽车行驶时关于的函数解析式为：； 【小问2详解】 解：当蓄电池的电量剩余时，， 将代入中，得， 解得：， ， 答：电池的电量剩余时汽车最多还可行驶． 23. 如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点和点 ． （1）求的值和反比例函数的解析式； （2）已知点，观察图象，不等式的解集为___________； （3）点在一次函数的图象上，且横坐标为4，过点作轴的平行线，交反比例函数的图象于点，连接．求的面积． 【答案】（1）， （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）先将点代入求出m值，再将求出的点A坐标代入求解k即可； （2）不等式的解集即为一次函数图象在反比例函数图象上方时交点的横坐标的取值范围； （3）先求出点D，E坐标，即可求解，再由求解即可． 【小问1详解】 解：由条件可得：， 解得， ∴， 将点代入得，， ∴反比例函数解析式为； 【小问2详解】 解：由题意得，一次函数图象与反比例函数图象交于点，， ∴由函数图象可得，不等式的解集为或； 【小问3详解】 解：将点D的横坐标4代入，则， ∴， ∵过点D作y轴的平行线，交反比例函数的图象于点E， ∴点E横坐标为4， ∴将点E横坐标4代入得，， ∴， ∴， ∴． 24. 如图， 为的直径，切于点E，于点D，交于点C，连接． （1）求证：平分； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查切线的性质、圆周角定理、垂径定理及矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握切线的性质、圆周角定理、垂径定理等知识点是解题的关键． （1）由切于点E知, 结合于点D知, 从而得, 即可得证； （2）连接 交于点F，证四边形是矩形，根据相似三角形的判定和性质，求出，即可得出答案． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵与相切于点E， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴平分． 【小问2详解】 解：连接 交于点F， ∵ 是的直径， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，点O是 的中点， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 25. 综合与实践·校本研学探究——低空无人机物资空投的数学建模 【研学背景】 某校开展数学跨学科科创研学活动，探究低空无人机物资投放的运动规律．若忽略空气阻力、风力的影响，物资飞行轨迹为抛物线；无人机悬停投放口为抛物线轨迹的顶点． 【坐标系建构】 以投放口地面竖直投影为原点，水平投放方向为轴正方向，竖直向上为轴正方向，单位：． 无人机物资空投数学建模示意图 （1）【初战实测·个案建模】 如图，首次试飞无人机悬停投放高度为，物资水平飞行后在处落地，求本次物资飞行抛物线的函数解析式； （2）【校准实验·定点标定】如图，无人机仅竖直升降，抛物线形状、开口不变（与①相同），轨迹经过标定靶点，求此时无人机悬停投放口离地高度； （3）【全域探究·通用建模】 为探究不同投放参数影响，无人机调整水平初速度与机翼角度，建立全新通用投放轨迹：，场地中段设有高实训障碍墙；地面物资接收区为线段，端点，；要求物资全程飞越障碍墙且不触碰，落地点落在接收区内（含端点，），求投放口高度的取值范围． 【答案】（1） （2）此时悬停高度为米 （3）投放高度的取值范围是米 【解析】 【分析】（1）由题意设抛物线顶点式，将落地点代入顶点式，即可求解； （2）由题意设抛物线顶点式，将代入顶点式，即可求解； （3）根据落地区间，得出，根据越障要求：当时，，进而求得，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意设抛物线顶点式， 将落地点代入顶点式， 得， 解得． ∴所求解析式为 答：本次物资飞行抛物线的函数解析式为． 【小问2详解】 由题意设抛物线顶点式，将代入顶点式， 得， 解得 答：此时悬停高度为4米． 【小问3详解】 ①令，则， ∵落地区间， ∴ ②越障要求：当时， ，， ∵． ∴当时，随着x的增大而增大， 当时， ∴， 由①②得 答：投放高度h的取值范围是米． 26. 综合与实践：数学实践课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展活动探究． （1）【特例感知】如图1，将矩形沿折叠，使点C与点A重合，点D落在点G处，折痕分别与，交于点E，F，连接，．猜想：四边形的形状是______；和的位置关系是_____． （2）【数学思考】如图2，将矩形纸片沿折叠，使点B落在点E处，连接并延长，交的延长线于点F，猜想四边形的形状，并说明理由． （3）【拓展探究】在矩形纸片中，，沿着翻折，使点B落在点E处，连接，当是等腰三角形时，直接写出的长． 【答案】（1）菱形； （2）四边形是平行四边形，理由如下： 如下图，设 交于点， 由折叠的性质，可知 ， 四边形是矩形， ∴ ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形； （3）的长为或 【解析】 【分析】（1）由折叠性质和全等的性质，可得，得四边形是菱形；由折叠，对顶角，三角形内角和可得，可得； （2）先证，由矩形的性质，即可得答案； （3）由折叠和（2）结论可得是等腰直角三角形，分两种情况讨论，和，证明即可． 【小问1详解】 解：如下图， 由折叠可知：， 四边形是矩形， ， ， ， 四边形是菱形； 由折叠可知：， ， 又 ， ； 【小问2详解】 四边形是平行四边形．理由略； 【小问3详解】 由折叠的性质可知：，，， 由（2）可知，， ， ， 是直角三角形，， 若是等腰三角形，则，是等腰直角三角形， 分两种情况讨论，①如下图，当时，过点作的平行线交 的延长线于点， 可得：四边形是矩形，， 又，， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， 设，则 ， ， 由折叠的性质，可知， ， 解得， ； ②如下图，当时，过点作 的平行线交的延长线于点， 同（1）可得， 设 ，则 ， 同（1）可得是等腰直角三角形， ， 由折叠的性质，可知， ， 解得， ∴， 综上所述，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吴忠市第四中学2025—2026学年第二学期九年级数学阶段性 学情调研（三） 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．） 1. 大模型的引入，显著提升了工业产品的精密度．下面是某厂四台接入大模型的机床生产的轴承的误差数据，其中精确程度最高的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图几何体是由一个正方体内部挖去一个圆柱体后得到的，则它的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知，要使，则需具备下列哪个条件（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 某文艺节目在舞蹈编排创意、舞者表现力、舞台视觉效果三项的得分分别为95，90，85（每项满分均为100分）．若依次按照，，的百分比确定最终得分，则该文艺节目最终得分为（ ） A. 88分 B. 89分 C. 90分 D. 91分 6. 组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请个队参赛，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 图1为实时通讯的视频机器人，图2为其侧面示意图．机器人上半身与底座垂直，为屏幕支撑架，且．已知，当时，则支撑架到的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 如图1，在物理力学探究实验中，某同学将一个实心长方体金属块通过细线与力传感器相连，保持竖直方向将其缓慢浸入水中．传感器示数（单位：）反映金属块对细线的拉力，与金属块浸入水中的深度（单位：）的变化关系如图2所示，当金属块完全浸没后，传感器示数不再随浸入深度的变化而变化（提示：当长方体金属块浸入水中时，）．当时，下列结论正确的是（ ） A. 该长方体金属块的重力是 B. 该长方体金属块的高度是 C. 传感器示数随着长方体金属块浸入水中的深度的增大而减小 D. 当长方体金属块浸入水中的深度时，传感器示数为 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 的立方根是___________． 10. 不等式组的解集为_______． 11. 已知关于的一元二次方程的一个根为，则的值为____． 12. 质检部门对一台发球机在某一参数下的发球合格性进行测试，这台发球机连续发射个球，如图显示了发球合格的结果． 根据图象信息，估计这台发球机发球合格的概率为________（结果精确到）． 13. 如图，有一个亭子，它的地基是半径为的正六边形，则地基的面积为________ ． 14. 如图，射线AB与⊙O相切于点B，经过圆心O的射线AC与⊙O相交于点D、C，连接BC，若∠A=40°，则∠ACB=___________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的点A的坐标为，E是线段上一点，且，沿折叠后B点落在点F处，那么点F的坐标为____________________． 16. 小明与小亮计划周末一同到辽沈战役纪念馆参观．小明家、小亮家和纪念馆的方位如图所示．若小亮家在小明家的正东方向，小亮家到纪念馆的距离为，则小明家与小亮家的距离约为_________．（参考数据：，，） 三、解答题（72分） 17. 课堂上老师出了一道题：解方程组 （1）小组学习时，老师发现有同学这么做： 由②得， ③ ， 将③代入①得： ， 解得， 把代入③得， ∴ 方程组的解为， 该同学使用了______消元法解这个方程组， 目的是把方程组从“二元 ”变为“一元”，体现了___________的数学思想； （2）请用另一种消元方法解这个方程组． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，网格中每个小正方形的边长都为，的顶点均在格点上，只用无刻度直尺，根据网格特征作图： （1）在图中的上取点，使与面积相等； （2）在图中取格点，使得（不与重合）； （3）在图中作的高． 20. 如图，在四边形中，，，平分，连接交于点，过点作交的延长线于点． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，，求的长． 21. 随着快递行业在农村的深入发展，全国各地的特色农产品有了更广阔的销售空间．不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势，某农产品种植户经过前期调研，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作．为此，该种植户收集了10家农产品种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如下： 配送速度和服务质量得分统计表： 项目 统计 快递公司 配送速度得分 服务质量得分 平均数（单位：分） 中位数（单位：分） 平均数（单位：分） 方差 甲 7.8 7.5 7 乙 m 8 7 （1）补全频数直方图．并求扇形统计图中圆心角a的度数为________； （2）表格中的______，______（填“>”“=”或“<”）； （3）综合上表中的统计量，你认为该农产品种植户应选择________公司？ （4）从甲公司抽取获得7分的3位快递员（2名男生，1名女生），当中抽取2人再次进行配送速度调查，请用列表或者画树状图的方法计算恰好抽到的都是男生概率． 22. 截至2026年3月，我国新能源汽车的发展已进入电动化、智能化、低碳化深度融合的新阶段，技术创新与全球化布局成为发展核心．某款新能源汽车，为了确保行车安全，当电池的剩余电量降至时，车辆需要充电才能行驶．李叔叔购买了这款汽车，某次他充满电后立即不间断（安全）的行驶，如图是该车在充电及行驶过程中，电池的电量（单位：）与时间（单位：）之间的关系图象． （1）求该车在行驶时，关于的函数表达式；（写出自变量的取值范围） （2）若该车电池的电量剩余时，该车最多还可以行驶多长时间？ 23. 如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点和点． （1）求的值和反比例函数的解析式； （2）已知点，观察图象，不等式的解集为___________； （3）点在一次函数的图象上，且横坐标为4，过点作轴的平行线，交反比例函数的图象于点，连接．求的面积． 24. 如图，为的直径，切于点E，于点D，交于点C，连接． （1）求证：平分； （2）若，，求的长． 25. 综合与实践·校本研学探究——低空无人机物资空投的数学建模 【研学背景】 某校开展数学跨学科科创研学活动，探究低空无人机物资投放的运动规律．若忽略空气阻力、风力的影响，物资飞行轨迹为抛物线；无人机悬停投放口为抛物线轨迹的顶点． 【坐标系建构】 以投放口地面竖直投影为原点，水平投放方向为轴正方向，竖直向上为轴正方向，单位：． 无人机物资空投数学建模示意图 （1）【初战实测·个案建模】 如图，首次试飞无人机悬停投放高度为，物资水平飞行后在处落地，求本次物资飞行抛物线的函数解析式； （2）【校准实验·定点标定】如图，无人机仅竖直升降，抛物线形状、开口不变（与①相同），轨迹经过标定靶点，求此时无人机悬停投放口离地高度； （3）【全域探究·通用建模】 为探究不同投放参数影响，无人机调整水平初速度与机翼角度，建立全新通用投放轨迹：，场地中段设有高实训障碍墙；地面物资接收区为线段，端点，；要求物资全程飞越障碍墙且不触碰，落地点落在接收区内（含端点，），求投放口高度的取值范围． 26. 综合与实践：数学实践课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展活动探究． （1）【特例感知】如图1，将矩形沿折叠，使点C与点A重合，点D落在点G处，折痕分别与，交于点E，F，连接，．猜想：四边形的形状是______；和的位置关系是_____． （2）【数学思考】如图2，将矩形纸片沿折叠，使点B落在点E处，连接并延长，交的延长线于点F，猜想四边形的形状，并说明理由． （3）【拓展探究】在矩形纸片中，，沿着翻折，使点B落在点E处，连接，当是等腰三角形时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $