精品解析：2026年宁夏回族自治区银川市中关村中学中考前 模拟数学试题

2025－2026学年度第二学期九年级6月学生学业质量评估 一、选择题（每小题3分，共24分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 农历2026年是丙午马年，是（ ） A. B. C. 2026 D. 2. 下列几何体的俯视图是三角形的是（ ） A. B. C. D. 3. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 的值小于6 B. 是4的平方根 C. 五边形的每个内角均为 D. 用两个钉子固定木条用到的数学原理是“两点之间线段最短” 5. 秤的历史可以追溯到数千年前，我们的先祖运用杠杆原理发明了木杆秤．木杆秤在称物时手提绳与秤砣绳是平行的．如图是一杆木杆秤在称物时的状态，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 现有分别写有汉字“决”“胜”“中”“考”的四张卡片，它们除汉字外完全相同，若把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，然后随机抽出一张，不放回并放在左手边，再随机抽出一张放在右手边，最后同时翻开两次抽出的卡片，从左往右读恰好能组成“决”“胜”的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是边长为的等边三角形的外接圆，点是的中点，连接 ， ．以点为圆心， 的长为半径在内画弧，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图1，在中，是边上的定点．点 从点出发，依次沿两边匀速运动，运动到点时停止．设点 运动的路程为 ，的长为，关于 的函数图象如图2所示．其中分别是两段曲线的最低点．点的纵坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 分解因式：______． 10. 若式子在实数范围内有意义，则x的值可以是______．（写出一个即可）． 11. 若关于 的方程的解为非负数，则的取值范围是__________． 12. “浔阳江头夜送客，枫叶荻花秋瑟瑟”，枫叶自古以来都是深秋时节的象征，被赋予一种优伤、愁虑的意象．如图是一片枫叶，其叶尖到叶柄末端可近似看作线段，点B是的黄金分割点（）．经测量得知的长度为14厘米，则 的长度为______厘米．（结果保留根号） 13. 【跨学科整合】如图1，一个底面积为的正方体金属块对木凳的压强p为1500Pa，如图2，根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强p（Pa）是它的受力面积的反比例函数，则当金属块底面积S为时，该金属块对该木凳的压强p为______Pa． 14. 如图，在中，按下列步骤作图：①在边上取一点 ，以 为圆心，长为半径画 ，交 于点 ；②分别以 为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点 ，连接交于点 ，交 于点 ，若 ，则 的长为____________． 15. 如图所示的正方体木块的棱长为，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图②所示的几何体，一只蚂蚁沿着图②中的几何体表面从顶点爬行到顶点的最短距离为________． 16. 如图1，在中， (其中)， 四边形， 四边形都是正方形，过C，B两点将正方形分别沿与 平行、垂直两个方向分割成四部分，把这四个部分与正方形，一起拼成图2， 点 H在上． 若则的值为________． 三、解答题（本大题共10小题，其中17－22每小题6分，23、24每小题8分，25、26每小题10分，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）． 17. 计算：． 18. 计算： （1） （2） 19. 请按下列要求作图． （1）如图1，在方格纸中，点A在圆上，仅用无刻度直尺过点A画出圆的切线； （2）如图2，已知，点Q在外，用尺规作上所有过点Q的切线．（保留作图痕迹） 20. 如图，在中， 为 的中点， 为延长线上一点，连接 ，，过点作交的延长线于点 ，连接． （1）求证：； （2）已知____（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形的形状，并证明你的结论． 条件①：； 条件②：． （注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分） 21. 为落实中共中央、国务院印发的《教育强国建设规划纲要（2024－2035年）》中“健康第一”的教育理念，某校对全校学生进行体能测试，测试分为20个具体项目，每个项目达到合格或以上得5分，达不到合格得0分．从九（1）班和九（2）班各随机抽取了20名学生的成绩进行整理，绘制了如下不完整的统计表、条形统计图及数据分析表． 九（1）班20名学生成绩 九（2）班20名学生成绩 数据收集 85，95，100，90，90，80，85，90，80，100，80，85，95，90，95，95，95，95，100，95 90，80，100，95，90，85，85，100，85，95，85，90，90，95，90，90，95，90，95，95． 数据整理 分数 80 85 90 95 100 人数 3 3 4 3 数据分析 统计量 平均数 中位数 众数 方差 班级 九（1）班 91 95 41.5 九（2）班 90 26.5 根据以上信息，回答下列问题． （1）填空：____________， ____________，____________， ____________，并补全条形统计图； （2）你认为哪个班级的成绩更好一些？请说明理由． 22. 综合与实践：根据下面素材，探索完成任务． 背景 作为深圳建设“新一代世界一流汽车城”的核心承载区，坪山区正全力聚焦智能网联新能源汽车的研发创新与智能制造，构建起“核心研发+智能制造”的双轮驱动产业生态．为抢抓新能源汽车市场机遇，某汽车销售企业计划从坪山区新能源汽车产业集群中批量采购新能源汽车，开展市场销售布局． 素材1 采购2辆H型新能源汽车、5辆Q型新能源汽车，累计需支付进货成本80万元． 素材2 采购3辆H型新能源汽车、2辆Q型新能源汽车，累计需支付进货成本65万元． 解决问题 任务1 计算H型，Q型两种新能源汽车的每辆进货价格分别为多少万元？ 任务2 若该销售企业计划正好用120万元购进以上两种型号的新能源汽车（每种型号至少1台），请帮助该公司设计出所有满足预算要求的采购方案． 任务3 结合市场销售数据，销售1辆H型新能源汽车可获利0.5万元，销售1辆Q型新能源汽车可获利0.35万元．在任务2拟定的采购方案中，若所有采购的汽车均能顺利售出，哪种采购方案获利最大？最大利润是多少万元？ 23. 综合与实践 【实践课题】通过测量相关距离与角度，计算待建环山路的长度． 【实践工具】测距仪，测角仪等测量工具． 【实践活动】如图，某山的一侧已建成了三段休闲步道，数学实践小组经过现场勘探，画出示意图，休闲步道分别是，且A，B，C，D在同一水平面上．经过多次测量，得到如下数据：，，，． 【问题解决】城建部门准备在山的另一侧修建一条以为直径的半圆状环山路（图中虚线部分）． （1）求A，C两点间的距离； （2）求该条待建环山路的长度（结果保留π）．（参考数据：，，，） 24. 如图，点 在的边上，以为半径的⊙ 与 相切于点，与 相交于点 ， 为⊙ 的直径，与相交于点 ，． （1）求证：； （2）若， ，求的长． 25. 如图，直线与抛物线交于点． （1）填空： ____________， ____________，抛物线的解析式为____________． （2）将直线 向下移个单位长度后，直线 与抛物线仍有公共点，求的取值范围． （3） 是抛物线上的一个动点，是否存在以 为直径的圆与 轴相切于点 ？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 26. 问题提出 （1）如图1，在中，于点，，则点到的距离为_____． 问题探究 （2）如图2，在半圆 中， 为直径，为上一点，连接，若，求的值． 问题解决 （3）如图3，某城市有三条主干道，其平面示意图分别为线段 ，， ．规划部门拟在道路的延长线上选取一点，并沿着点向分别修建两条大道，要求，然后经过两点再修建一条辅路 ．已知，点 ，点 分别在线段上，且不与端点重合，辅路 的距离需要最短，请你找出满足题意的点的位置，并求出 的最短距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度第二学期九年级6月学生学业质量评估 一、选择题（每小题3分，共24分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 农历2026年是丙午马年，是（ ） A. B. C. 2026 D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：是． 2. 下列几何体的俯视图是三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：由图形可知，俯视图是三角形的是D选项的三棱柱． 3. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可． 【详解】解：解， 可得， ∴不等式组的解集为， 则不等式组的解集在数轴上表示为 4. 下列说法正确的是（ ） A. 的值小于6 B. 是4的平方根 C. 五边形的每个内角均为 D. 用两个钉子固定木条用到的数学原理是“两点之间线段最短” 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平方根，无理数估算，多边形内角性质，直线的基本事实，逐一判断选项正误即可得到答案． 【详解】选项A： ， ， ，A错误； 选项B： ， 是4的平方根，B正确； 选项C：只有正五边形每个内角为 ，任意五边形内角不一定都为 ，C错误； 选项D：两个钉子固定木条用到的原理是两点确定一条直线，不是两点之间线段最短，D错误． 5. 秤的历史可以追溯到数千年前，我们的先祖运用杠杆原理发明了木杆秤．木杆秤在称物时手提绳与秤砣绳是平行的．如图是一杆木杆秤在称物时的状态，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，邻补角的含义，根据两直线平行，内错角相等得到，进而求解即可. 【详解】解：如图所示，依题意，， ∴， ∴． 6. 现有分别写有汉字“决”“胜”“中”“考”的四张卡片，它们除汉字外完全相同，若把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，然后随机抽出一张，不放回并放在左手边，再随机抽出一张放在右手边，最后同时翻开两次抽出的卡片，从左往右读恰好能组成“决”“胜”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】列表求出所有等可能的结果总数，再找出满足题意的结果数，利用概率公式即可计算． 【详解】解：设“决”“胜”“中”“考”分别为A，B，C，D， 列表可得： 左　　　　右 A B C D A B C D ∴总共有 种等可能的结果， 其中满足从左往右读恰好组成“决”“胜”的结果只有，1种， 则得所求概率为． 7. 如图，是边长为的等边三角形的外接圆，点是的中点，连接 ，．以点为圆心， 的长为半径在内画弧，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作，等边三角形的性质结合圆内接四边形的性质，求出，三线合一，解直角三角形，求出 的长，利用扇形的面积公式求出阴影部分的面积即可． 【详解】解：∵是边长为的等边三角形的外接圆，点D是的中点， ∴，， ∴， 作， 则：，， ∴， ∴阴影部分的面积为． 8. 如图1，在中，是边上的定点．点从点出发，依次沿两边匀速运动，运动到点时停止．设点运动的路程为，的长为，关于的函数图象如图2所示．其中分别是两段曲线的最低点．点的纵坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查动点问题的函数图象，根据图2得到的长度及点D到的距离，点N的纵坐标表示点D到的距离，掌握勾股定理及其逆定理、三角形面积计算公式是解题的关键．由图2可知的长度及点D到的距离，点N的纵坐标表示点D到的距离，再根据勾股定理及其逆定理、三角形面积公式求出点D到的距离即可． 【详解】解：根据图2，，点D到的距离，点N的纵坐标表示点D到的距离．如图： 在中，利用勾股定理，得， 在中利用勾股定理，得， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中利用勾股定理，得， 则， 解得， ∴点N的纵坐标是． 故选：B． 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】原式先提公因式，再运用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解： ． 10. 若式子在实数范围内有意义，则x的值可以是______．（写出一个即可）． 【答案】7（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数的非负性求解． 【详解】解：由题意可知 ， 解得 ， 则的值可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 11. 若关于的方程的解为非负数，则的取值范围是__________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了根据分式方程的情况求参数． 解分式方程得到，根据解为非负数且分母不为零的条件，列出不等式求解的取值范围即可． 【详解】解：解方程， 两边同乘，得， ∴， ∴， ∴． 由于原方程中分母， ∴， ∴， 解得． 又∵解为非负数， ∴， ∴， 解得． 因此，的取值范围是且． 故答案为：且． 12. “浔阳江头夜送客，枫叶荻花秋瑟瑟”，枫叶自古以来都是深秋时节的象征，被赋予一种优伤、愁虑的意象．如图是一片枫叶，其叶尖到叶柄末端可近似看作线段，点B是的黄金分割点（）．经测量得知的长度为14厘米，则的长度为______厘米．（结果保留根号） 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查黄金比例，熟记黄金比的值是解答的关键，根据较长线段为，由黄金比求解即可． 【详解】解：∵点B是的黄金分割点（），厘米， ∴厘米， 故答案为：． 13. 【跨学科整合】如图1，一个底面积为的正方体金属块对木凳的压强p为1500Pa，如图2，根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强p（Pa）是它的受力面积的反比例函数，则当金属块底面积S为时，该金属块对该木凳的压强p为______Pa． 【答案】2000 【解析】 【分析】本题主要考查了求反比例函数，根据题意设压强和受力面积的关系式为，求出解析式，再将代入计算求出p即可． 【详解】解：设压强和受力面积的关系式为，根据题意，得 ， ∴反比例函数的关系式为， 当时，（）. 故答案为：2000． 14. 如图，在中，按下列步骤作图：①在边上取一点 ，以 为圆心，长为半径画 ，交 于点 ；②分别以 为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，交 于点 ，若 ，则的长为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据作图步骤①可知，即为等腰三角形；根据作图步骤②可知 是线段 的垂直平分线，利用垂径定理及勾股定理求出 的长，最后根据半径计算的长即可． 【详解】解：由作图步骤①可知，点  、 在上， ， 由作图步骤②可知， 垂直平分线段 ，  ，， 在 中，由勾股定理得：， 点在上，  ， ． 15. 如图所示的正方体木块的棱长为，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图②所示的几何体，一只蚂蚁沿着图②中的几何体表面从顶点爬行到顶点的最短距离为________． 【答案】 【解析】 【分析】将图②中的几何体表面展开，连接，根据两点之间线段最短可知的长即为蚂蚁爬行的最短距离，再利用勾股定理解答即可求解． 【详解】解：如图，将截面和上底面展开在同一平面内，连接交于，根据两点之间线段最短可知的长即为蚂蚁爬行的最短距离， ∵正方体棱长为，  ∴截面的边长，  是等边三角形， ∵上底面被剪掉一半，剩余部分为等腰直角三角形 ， ，，  ，，，  ，  ，  ，  ，， ∴， ∴， ，  ， ∴蚂蚁沿着图②中的几何体表面从顶点爬行到顶点的最短距离为． 16. 如图1，在中， (其中)， 四边形， 四边形都是正方形，过C，B两点将正方形分别沿与平行、垂直两个方向分割成四部分，把这四个部分与正方形，一起拼成图2， 点 H在上． 若则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据已知结合图形得到设，，则，证明得到，再证明求得证明四边形是平行四边形得到，过C作于H，则四边形是矩形，求得，进而求解即可． 【详解】解：如图， 由题意，，， ∵ ∴ 设，，则， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得或， 当时，，不符合要求，舍去， ∴， ∵， ∴，又， ∴四边形是平行四边形， ∴， 过C作于H，则， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合填空题，考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，看到图形，找到线段之间的数量关系是解答的关键． 三、解答题（本大题共10小题，其中17－22每小题6分，23、24每小题8分，25、26每小题10分，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先计算负整数指数幂、零指数幂，化简二次根式，代入特殊三角函数值计算，然后取绝对值，最后计算加减即可． 【详解】解： ． 18. 计算： （1） （2） 【答案】（1） . （2） . 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可； 【小问1详解】 解：， ， ， 解得; 【小问2详解】 解：， ， ， 解得; 19. 请按下列要求作图． （1）如图1，在方格纸中，点A在圆上，仅用无刻度直尺过点A画出圆的切线； （2）如图2，已知，点Q在外，用尺规作上所有过点Q的切线．（保留作图痕迹） 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，过圆外一点作圆的切线（尺规作图）以及方格作图： （1）根据方格的特征，因为，，，得是直径，，即得，据此作图即可； （2）连接，再作线段的垂直平分线，交于一点，即为点，以点为圆心，为半径，相交于点A，点B，连接，，因为为直径，，即为切线，切线，即可作答． 正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图，直线即为所求： 【小问2详解】 解：所有过点Q的切线为切线，切线，如图所示： 20. 如图，在中，为的中点，为延长线上一点，连接 ，，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：； （2）已知____（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形的形状，并证明你的结论． 条件①：； 条件②：． （注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分） 【答案】（1）证明见解析 （2）条件①，四边形为矩形；条件②，四边形为菱形，证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形和矩形的判定，熟练掌握各四边形的判定与性质是解题的关键． （1）根据平行得到，，再由，即可由证明全等； （2）先证明四边形为平行四边形，再根据选择的条件结合菱形和矩形判定证明即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴ 【小问2详解】 解：选择条件①，四边形为矩形，理由如下： ∵ ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵四边形 是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形； 选择条件②，四边形为菱形，理由如下： ∵ ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵四边形 是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为菱形． 21. 为落实中共中央、国务院印发的《教育强国建设规划纲要（2024－2035年）》中“健康第一”的教育理念，某校对全校学生进行体能测试，测试分为20个具体项目，每个项目达到合格或以上得5分，达不到合格得0分．从九（1）班和九（2）班各随机抽取了20名学生的成绩进行整理，绘制了如下不完整的统计表、条形统计图及数据分析表． 九（1）班20名学生成绩 九（2）班20名学生成绩 数据收集 85，95，100，90，90，80，85，90，80，100，80，85，95，90，95，95，95，95，100，95 90，80，100，95，90，85，85，100，85，95，85，90，90，95，90，90，95，90，95，95． 数据整理 分数 80 85 90 95 100 人数 3 3 4 3 数据分析 统计量 平均数 中位数 众数 方差 班级 九（1）班 91 95 41.5 九（2）班 90 26.5 根据以上信息，回答下列问题． （1）填空：____________， ____________，____________， ____________，并补全条形统计图； （2）你认为哪个班级的成绩更好一些？请说明理由． 【答案】（1）；；；； （2）九（1）班的成绩更好，因为九（1）班和九（2）班的平均分相同，但九（1）班的中位数更大，故九（1）班的成绩更好 【解析】 【分析】（1）利用总人数减去其他分数人数即可解答；利用平均数，众数，中位数的定义即可解答；再补全条形统计图即可； （2）根据平均数，中位数作决策即可． 【小问1详解】 解：； 根据表格可得九（2）班20名学生成绩中分的有人， 分的有人， ； 九（1）班20名学生成绩从小到大排列，第位为分，第位为分，则中位数； 九（2）班20名学生成绩中出现次数最多为分，则； 补全条形统计图略； 【小问2详解】 略 22. 综合与实践：根据下面素材，探索完成任务． 背景 作为深圳建设“新一代世界一流汽车城”的核心承载区，坪山区正全力聚焦智能网联新能源汽车的研发创新与智能制造，构建起“核心研发+智能制造”的双轮驱动产业生态．为抢抓新能源汽车市场机遇，某汽车销售企业计划从坪山区新能源汽车产业集群中批量采购新能源汽车，开展市场销售布局． 素材1 采购2辆H型新能源汽车、5辆Q型新能源汽车，累计需支付进货成本80万元． 素材2 采购3辆H型新能源汽车、2辆Q型新能源汽车，累计需支付进货成本65万元． 解决问题 任务1 计算H型，Q型两种新能源汽车的每辆进货价格分别为多少万元？ 任务2 若该销售企业计划正好用120万元购进以上两种型号的新能源汽车（每种型号至少1台），请帮助该公司设计出所有满足预算要求的采购方案． 任务3 结合市场销售数据，销售1辆H型新能源汽车可获利0.5万元，销售1辆Q型新能源汽车可获利0.35万元．在任务2拟定的采购方案中，若所有采购的汽车均能顺利售出，哪种采购方案获利最大？最大利润是多少万元？ 【答案】任务1：H型新能源汽车进货价格为15万元，Q型新能源汽车进货价格为10万元；任务2：方案一：购买2辆H型新能源汽车，9辆Q型新能源汽车；方案二：购买4辆H型新能源汽车，6辆Q型新能源汽车；方案三：购买6辆H型新能源汽车，3辆Q型新能源汽车； 任务3：购买2辆H型新能源汽车，9辆Q型新能源汽车获利最大，最大利润是4.15万元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用及二元一次方程组的整数解应用． （1）设H型新能源汽车进货价格为x万元，Q型新能源汽车进货价格为y万元，根据素材1、2的采购组合总价列出二元一次方程组，求解即可； （2）设购买H型新能源汽车m辆，Q型新能源汽车n辆，根据总价120万元列出方程，用m表示n，根据n为正整数的条件，确定m的取值范围，找出所有符合条件的正整数解； （3）根据各方案的m、n值，计算利润，比较各方案利润大小，得出最大利润及对应方案． 【详解】解：（1）设H型新能源汽车进货价格为x万元，Q型新能源汽车进货价格为y万元， 由题意得：， 解得， 即H型新能源汽车进货价格为15万元，Q型新能源汽车进货价格为10万元． （2）设购买H型新能源汽车m辆，Q型新能源汽车n辆， 得：， ， ∵和24均为偶数， ∴必为偶数， ∴m为正偶数， 解得， 即方案一：购买2辆H型新能源汽车，9辆Q型新能源汽车； 方案二：购买4辆H型新能源汽车，6辆Q型新能源汽车； 方案三：购买6辆H型新能源汽车，3辆Q型新能源汽车． （3）方案一：（万元）， 方案二：（万元）， 方案三：（万元）． ， ∴购买2辆H型新能源汽车，9辆Q型新能源汽车获利最大，最大利润是4.15万元． 23. 综合与实践 【实践课题】通过测量相关距离与角度，计算待建环山路的长度． 【实践工具】测距仪，测角仪等测量工具． 【实践活动】如图，某山的一侧已建成了三段休闲步道，数学实践小组经过现场勘探，画出示意图，休闲步道分别是，且A，B，C，D在同一水平面上．经过多次测量，得到如下数据：，，，． 【问题解决】城建部门准备在山的另一侧修建一条以 为直径的半圆状环山路（图中虚线部分）． （1）求A，C两点间的距离； （2）求该条待建环山路的长度（结果保留π）．（参考数据：，，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，等腰三角形的性质，勾股定理，根据实际问题构建数学模型是解题的关键． （1）连接，过点B作，由等腰三角形三线合一可得，，再利用三角函数解求出 即可； （2）先证，再用勾股定理解求出 ，再根据圆的周长公式即可求解． 【小问1详解】 解：连接，过点B作，垂足为点E， 因为， 所以，， 在中，因为， 所以， 所以， 所以，，两点之间的距离为． 【小问2详解】 解： 因为， 所以， 所以， 在中，由勾股定理可得， 所以, 所以的长为, 答：待建环山路的长度为． 24. 如图，点在的边上，以为半径的⊙与相切于点，与相交于点，为⊙的直径，与相交于点，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：如图，连接， ∵以为半径的⊙与相切于点， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）如图，连接，证明，，即，可得，进一步证明，可得； （2）求解，设的半径为，结合，可得，可得：，，求解，证明，可得，进一步可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 设的半径为， ∴，，而，， ∴， 解得：， ∴，，， ∵，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，切线的性质，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键. 25. 如图，直线与抛物线交于点． （1）填空： ____________， ____________，抛物线的解析式为____________． （2）将直线向下移个单位长度后，直线与抛物线仍有公共点，求的取值范围． （3）是抛物线上的一个动点，是否存在以 为直径的圆与轴相切于点？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）1，3， （2） （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）将代入，可求m、n的值，再将A，B的坐标代入，可求函数解析式； （2）由题意可得，联立，得到，再由判别式即可求a是取值范围； （3）设，则，半径，再由，即可求t的值． 【小问1详解】 解：将代入， 可得， ∴， 再将代入得， ，可得， ∴， 【小问2详解】 解：由题意可得， 联立， ∴， ∵直线l与抛物线C仍有公共点 ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：存在以为直径的圆与x轴相切，理由如下： 设， ∴， ∴半径， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴或， ∴或， ∴以为直径的圆与x轴相切时，P点坐标为或． , 26. 问题提出 （1）如图1，在中，于点，，则点到的距离为_____． 问题探究 （2）如图2，在半圆中，为直径，为上一点，连接，若，求的值． 问题解决 （3）如图3，某城市有三条主干道，其平面示意图分别为线段，，．规划部门拟在道路的延长线上选取一点，并沿着点向分别修建两条大道，要求，然后经过两点再修建一条辅路．已知，点，点分别在线段上，且不与端点重合，辅路的距离需要最短，请你找出满足题意的点的位置，并求出的最短距离． 【答案】（1）；（2）；（3）辅路的最短距离为 【解析】 【分析】（1）设到的距离为，根据等面积法，即可求解； （2）连接 ，根据已知可得是等腰直角三角形，设半径为，进而求得，即可求解； （3）连接 ，取 的中点，连接，证明四点共圆，进而证明是等边三角形，得出，过点作于点，则当重合时， 最短，即最短，进而解求得，即可求解． 【详解】解：（1）设到的距离为， ∵，， ∴， 故答案为：． （2）如图，连接 ， ∵ 在半圆中，为直径， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， 设半径为，则，，， ∴； （3）如图，连接 ，取 的中点，连接， ∵，， ∴在与中，， 即， ∴四点共圆， 又∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 过点作于点， ∵， ∴当重合时， 最短，即最短， 在中，， ， ， 答：辅路的最短距离为． 【点睛】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，等边三角形的性质与判定，垂线段最短，含30度角的直角三角形的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $