期末复习讲义06：异面直线夹角，线面角，二面角与点到面的距离【10个题型归纳】-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

2026年高一数学下学期常考题型归纳 【期末复习讲义06：异面直线夹角，线面角，二面角与点到面的距离】 总览 题型梳理 【知识梳理】 1．异面直线 （1）定义：不同在_任何一个平面内____（不共面）的两条直线称为异面直线. （2）异面直线的夹角：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线，，把与所成的_不大于的角____称为异面直线a与b的夹角． （3）垂直：若两条异面直线a，b的夹角是_直角____，那么我们就说这两条异面直线互相垂直． 2．直线与平面所成的角：（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的__锐角______，叫做这条直线和这个平面所成的角，如图，________就是斜线与平面所成的角；（2）线面角的范围：. 3．二面角的有关概念 （1）半平面：一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都称为半平面. （2）二面角：从一条直线出发的__两个半平面________所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱_____，这两个半平面称为二面角的面_____. 如图，以直线为棱、半平面为面的二面角，记作二面角或. （3）二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作_垂直于____棱的两条射线，这两条射线的夹角称为二面角的平面角，二面角的平面角的取值范围： _______．平面角是直角的二面角称为__直二面角___. 4．三垂线定理及三垂线定理的逆定理 三垂线定理：如果_平面内_______的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的__射影______垂直，则它也和这条__斜线______垂直． 三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条___斜线_____在该平面内的__射影______垂直． 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：求异面直线的夹角】 【练方法】 方法技巧 1平移转化法在空间选取合适点分别平移两条异面直线至相交状态相交形成的锐角或直角即为异面直线夹角 2平移常用载体中位线平行四边形对边棱柱棱的平行关系 3角度取值约束最终结果只取钝角取其补角作为异面直线夹角 4解三角形计算平移后构造三角形借助余弦定理求出夹角余弦值 公式结论 1夹角取值范围 2余弦定理 为平移后两条线段长度为平移后两线段端点连线长度 （25-26高一下·浙江宁波·期末）已知在直三棱柱中，，，，点为棱靠近点的三等分点，点为的中点，则直线与所成角的余弦值为_________．经典例题1例题 【答案】/ 【分析】根据异面直线所成角的概念构造异面直线所成的角，再利用余弦定理求角的余弦. 【详解】如图： 取中点，连接，则，所以即为异面直线与所成的角. 在中，，，. 所以 . （25-26高一下·黑龙江大庆·阶段检测）如图，是平面外的一点，，，，分别为，的中点，且．则异面直线与所成的角的大小为（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取的中点F，连接，，根据异面直线定义结合余弦定理计算即可求解. 【详解】取的中点F，连接，， 在中，是的中点，F是的中点，． 同理可得． 为异面直线与所成的角（或其补角）． 在中，，又，， ， ，即异面直线与所成的角为． （25-26高一下·河南·阶段检测）在正四棱锥中，，是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造异面直线所成的角，利用三角形的边角关系求所成角的余弦. 【详解】如图： 取中点，连接，，则，则或其补角为异面直线与所成的角. 不妨设，则中，，，， 所以 . 所以异面直线与所成角的余弦为. （25-26高一下·河北邢台·阶段检测）在正四棱柱中，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为___________.小试牛刀2 【答案】 【详解】取棱 的中点 ，连接，，. 又为棱的中点，则有， 正四棱柱中，且， 则四边形是平行四边形，有，所以， 则为异面直线与所成的角（或其补角）. 依题意可得底面为正方形，设，则，， 所以， 故异面直线与所成角的余弦值为. （25-26高一下·河北衡水·阶段检测）如图，在直二面角中，，两点都在直线上，，两点分别在两个半平面内，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】若，作且，得异面直线与所成角的平面角为，过作的垂线，连接，易知过作垂线的垂足必重合，记为，再结合已知及余弦定理求异面直线的夹角余弦值. 【详解】如下图，若取，作且， 所以异面直线与所成角的平面角为， 过作于点，连接， 因,,易得≌，则， 故的平面角为， 其中，则， 在中，由余弦定理，， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 【题型2：定义法求线面角】 【练方法】 方法技巧 1定义核心步骤过直线上一点向平面作垂线连接垂足与直线和平面的交点斜线与射影形成的锐角即为线面角 2垂线构造方式利用面面垂直性质作平面垂线等腰三角形中点垂线正方体棱垂直底面 3构造直角三角形垂线斜线射影构成直角三角形解直角三角形求角度 4角度取值约束只取 公式结论 1线面角取值范围 2直角三角形边角关系 为点到平面垂线段长度为斜线长度 （25-26高一下·北京顺义·期中）如图，正方体中，E为的中点，则与平面所成的角的余弦值为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先确定直线与平面所成的角，再求余弦值. 【详解】因为平面，所以是直线与平面所成的角， 设正方体的棱长为，则，,所以， 所以，则与平面所成的角的余弦值为. （2026·山西运城·二模）已知一个正三棱台的上、下底面的边长分别为，，高为，则该三棱台的侧棱与底面所成角的正切值为________.经典例题2例题 【答案】 【详解】设该三棱台为正三棱台，且，， 设该三棱台的上、下底面的中心分别为，，则． 在平面中，过作，垂足为，则平面， 且，且该三棱台的侧棱与底面所成的角为． 因为，， 所以， 故． （25-26高一下·全国·课后作业）如图，在空间四边形中，，，，的长和两条对角线，都相等，且E为的中点，F为的中点，则直线和平面所成的角的正弦值为______________，正切值为______________．小试牛刀1 【答案】 / / 【分析】由线面垂直的判定定理证明平面．再由线面角的定义得是与平面所成的角，解三角形即可求解. 【详解】由已知得，和是全等的等边三角形且F是的中点，所以，．又，故平面． 连接，则是在平面内的射影，所以是与平面所成的角． 设空间四边形的边长为a，则在等边三角形中； 在中，． 故． ，故． 故答案为：，. （25-26高三上·江苏淮安·阶段检测）在正三棱柱中，，点D是侧棱的中点，则直线与平面所成角的余弦值为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用几何法作出线面角，再在直角三角形中根据直角边与斜边的长度关系求解即可. 【详解】因为平面平面， 所以直线与平面所成角即直线C1D与平面所成角. 在正三棱柱中，有平面，即平面， 故即直线C1D与平面所成角. 平面，平面， . 又因为由题可知， 故，则. 故选：D. （2026·陕西西安·三模）已知线段的长为，且线段在平面上的射影长为，则直线与所成角的大小为（   ）小试牛刀3 A．30° B．45° C．60° D．75° 【答案】A 【分析】根据线面角的定义，结合特殊角的余弦值进行求解即可. 【详解】设直线与所成角为， 因为线段，且线段在平面上的射影长为， 故，所以. 故选：A 【题型3：等体积法求线面角】 【练方法】 方法技巧 1先利用等体积法求出直线上一点到平面的垂线段长度 2记录该点到斜线与平面交点的斜线总长 3代入直角三角形边角关系计算线面角的正弦值 4适用场景无现成面面垂直无法直接作垂线的几何体 公式结论 1三棱锥等体积公式 变形得垂距 2线面角正弦关系 为点到平面距离为斜线线段长 （25-26高一下·河南洛阳·阶段检测）如图，在直三棱柱中，侧面是边长为2的正方形，，点D为的中点．经典例题1例题 (1)求证：⊥平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)若点A，B，C，D都在同一个球的表面上，求该球的表面积． 【答案】(1)在直三棱柱中，平面，又平面，所以， 因为，，由勾股定理得， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以．设与交于点E， 因为点D为的中点，在矩形中，，， 所以，又，， 所以，因为， 所以，所以，， 因为，，平面， 所以平面． (2) (3)． 【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明平面，进而得到，再由，证明，结合线面垂直的判定定理即可得证. （2）由（1）可得平面平面，且平面平面， 所以点到平面的距离就是点到直线的距离d，由等面积法求得d，即可得解. （3）取CD的中点O，可证,即点A，B，C，D都在以O为球心的球O的表面上，该球的半径，即可求解. 【详解】（1）略 （2）由（1）可得，平面，且平面， 所以平面平面，且平面平面， 所以点到平面的距离就是点到直线的距离d， 由（1）可得，，，， 所以， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． （3）因为，，，， 取CD的中点O，则， 取BC中点F，连接AF，OF，因为，F为BC的中点，所以， 在直棱柱中，平面ABC，又平面ABC，所以， 因为，，平面， 所以平面，又平面，所以，且，， 所以， 所以点A，B，C，D都在以O为球心的球O的表面上，该球的半径，表面积为． （25-26高一下·天津南开·期中）如图，在正方体中，、分别为，的中点，则直线与平面所成角的正切值为______．经典例题2例题 【答案】 【分析】利用等体积法求点到平面的距离，进而可求线面夹角. 【详解】设正方体的棱长为， 所以，所以， ， 设的中点为，连接， 所以， 所以， 所以， 设点到平面的距离为， 所以， 所以，所以， 解得， 设直线与平面所成角为， 所以，又，所以， 所以. （25-26高一下·重庆沙坪坝·期中）三棱台上下底面为正三角形，，侧面是底角为的等腰梯形，棱台的高为，则与平面所成角的正弦值为______.小试牛刀1 【答案】 【分析】由线面角的定义作出平面角，根据等体积法求出到平面的距离，再由正弦的定义求出正弦值. 【详解】过点作平面的垂线，垂足为，连接， 则与平面所成角为， 因为，侧面是底角为的等腰梯形， 所以等腰梯形的高， 因为， 因为，设点B到面的距离为， 根据，即，解得， 所以与平面所成角的正弦值为. （25-26高二上·北京·期末）在正四棱锥中，为顶点在底面内的射影，为侧棱的中点，且，，则直线与平面所成角的正弦值为________．小试牛刀2 【答案】/ 【分析】由题设利用求出点D到平面的距离为d，即可由线面角定义计算得解. 【详解】由题意可得点Q到平面的距离为2，， 且，即， 所以正四棱锥的侧棱长为， 所以，由正四棱锥结构特征可得，则， 所以， 设点D到平面的距离为d， 由，得， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 故答案为：.    （2025高二下·陕西·学业考试）如图，在三棱锥中，平面，，是的中点，是的外心.小试牛刀3    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）只需证明，再结合线面平行的判定定理即可得证； （2）由等体积法即可求解. 【详解】（1），， ，是直角三角形，      又为的外心，为的中点. 连接，又为的中点，所以中， 又平面，平面， 平面. （2）由（1）知，又由已知平面，所以，， 因为，平面，平面， 平面，. 不妨设，， ，，，. 又，为的中点， ， 是边长为的等边三角形，. 设点到平面的距离为， ，，即， ，. 设直线与平面所成的角为，， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 【题型4：定义法求二面角】 【练方法】 方法技巧 1定义法步骤在二面角棱上任取一点分别在两个面内作垂直于棱的射线两条射线形成的角为二面角平面角 2取点技巧优先选取棱的中点端点方便构造等长线段简化计算 3构造封闭三角形连接两条垂线端点用余弦定理计算平面角大小 4角度区分平面角可为锐角直角钝角无需强制取补角 公式结论 1二面角平面角取值范围 2余弦定理 为两面内垂直棱的线段长为两条垂线端点连线长度 （2026·重庆九龙坡·二模）将边长为 2 的正方形 沿对角线 折起，使折起后 ，则二面角 的大小为_____.经典例题1例题 【答案】 【详解】如图，取中点，连接，则，，所以是所求二面角的平面角， 因为，， 在中，由余弦定理得， 所以，即二面角的大小为. （25-26高二上·陕西渭南·期末）如图，过边长为1的正方形的顶点作线段平面，若，则平面与平面所成角的大小为_______________.经典例题2例题 【答案】/ 【分析】由线面垂直得到面面垂直，再利用二面角的定义得到即为所求角，解三角形即可求解. 【详解】因为平面，又平面，所以平面平面， 平面平面 ，又，所以平面， 又平面，所以， 则即为平面与平面所成的角， 在中，，所以. 故答案为： （2025高三·全国·专题练习）二面角的大小为，点分别在平面内，点，在棱上的投影分别为点，已知，求的大小．小试牛刀1 【答案】60° 【分析】由二面角的定义即可求解. 【详解】如图，，平移到，使得， 则四边形为矩形， 所以为二面角的平面角， 又平面，所以平面， 又平面，所以， 又，所以， 所以， 又，所以，    所以. （2025高三·全国·专题练习）已知平面和平面交于直线是空间一点，，垂足为，垂足为，且，若，则与所成二面角为______．小试牛刀2 【答案】或 【分析】由二面角的定义即可求解. 【详解】要考虑点位置的两种可能．如图1和图2．    过作，连接，又，，所以， 又平面，所以平面， 又，同理可得，平面， 所以共面，即平面，又平面， 所以，则就是与所成二面角的平面角， 图1中，，所以， 图2中， 故答案为：或. （24-25高一下·贵州六盘水·期末）如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点.小试牛刀3 (1)证明：平面PAC； (2)若，求二面角的平面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）结合圆周角和面面垂直的判定定理证明可得； （2）由（1）知 ，又，所以 就是二面角 的平面角，由几何关系求出即可. 【详解】（1）因为平面，平面，所以. 因为点是圆周上不同于，的任意一点，是的直径，所以. 又因为，平面，平面，所以平面. （2）由（1）知 平面 ，因为 平面 ，所以 . 又因为 ，所以 就是二面角 的平面角. 设 ，因为 ，所以 . 在 中，根据勾股定理 . 根据正弦函数的定义，. 所以二面角 的平面角的正弦值为. 【题型5：三垂线法求二面角】 【练方法】 方法技巧 1三垂线操作步骤在一个面内取一点向另一平面作垂线过垂足向二面角棱作垂线连接原点与棱上垂足所得角即为二面角平面角 2核心逻辑斜线垂直棱射影垂直棱斜线与射影夹角匹配二面角 3依托面面垂直构造初始垂线再作棱的垂线形成直角三角形求解 公式结论 1直角三角形边角关系 为点到平面垂距为垂足到棱的线段长度 2平面角范围 （25-26高一下·浙江金华·阶段检测）三棱锥中，，，，面面，（坐标法不给分）经典例题1例题 (1)证明：； (2)若，求二面角的正切值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）作于点，再利用面面垂直的性质定理得到线面垂直，继而得到为中点即可证明； （2）利用体积求出，作于点，作于点，连，利用线面垂直的判定定理和性质定理得到为二面角的平面角，再求解即可. 【详解】（1）作于点， ∵平面平面，平面平面，平面， 平面，又平面，所以， ，为中点． ，． ，，． （2），，为三棱锥的高， ， 作于点，作于点，连． 平面，平面， ． ，又，平面， 平面，平面， 所以． ，平面，， 平面，又平面， 所以，故为二面角的平面角． ，， ． （25-26高二下·浙江·阶段检测）如图所示，已知三棱锥中，，，，.经典例题2例题 (1)在棱AB上取点E使，证明：. (2)求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用余弦定理求解出角的大小进而确定等腰与等边三角形，通过三线合一的性质证明线面垂直，最终可得到线线垂直的结论， （2）在棱上取点构造二面角的平面角，通过解三角形求出该角的余弦值即可. 【详解】（1）在中，由余弦定理得， 因为为三角形内角，所以， 在中，由余弦定理得， 因为为三角形内角，所以， 在中，且，所以是等边三角形， 取的中点，连接， 因为是等边三角形，所以， 在中，已知，所以是等腰三角形，故， 因为，且平面， 所以平面，又因为平面， 所以. （2）在棱上取点，连接，使得， 在中，， 由余弦定理得， 因为，所以， 在平面内，过作交于点，连接， 因为，且平面，平面， 所以为二面角的平面角， 在中，，，所以，， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 在中， ， 所以二面角的余弦值为. （25-26高一下·河北邢台·阶段检测）如图，在三棱锥中，是圆的直径，在圆上，侧面是边长为2的正三角形，，．小试牛刀1 (1)证明：平面平面． (2)求二面角的正切值． 【答案】(1)因为圆O直径，则， 又，，平面， 则平面，结合平面，则平面平面； (2) 【分析】（1）通过证明平面，结合题设可完成证明； （2）取中点为，连接DF，再作，由题可得为二面角平面角，据此可得答案. 【详解】（1）略 （2）取中点为，连接，因是正三角形，则， 又平面平面．平面平面 ，平面， 则平面，结合平面，可得. 如图，作，因，平面，则平面， 结合平面，可得，从而可得为二面角平面角. 因正三角形边长为2，则.因，则, 作，则，注意到，为AC中点，从而. 又易得，则. （25-26高一下·天津河西·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，O为中点，平面，，M为中点．小试牛刀2 (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)求三棱锥的体积． (4)求直线与平面所成角的余弦值． (5)求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)连接，因为底面为平行四边形，为中点， 故与相交于， 因为为的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面. (2)因为，，所以，即， 因为平面，平面，所以， 因为平面，且，所以平面. (3) (4) (5) 【分析】（1）作出辅助线，由中位线得到线线平行，进而证明出线面平行； （2）利用线面垂直的判定定理求证； （3）利用等体积计算即可； （4）取的中点，求证为直线与平面所成角，在三角形中计算即可； （5）过点N作于E，求证即为平面与平面所成角即可计算. 【详解】（1）略 （2）略 （3）由，，得， 因为平面，， 所以. （4）取的中点，连接，则， 因为平面，所以平面， 则为直线与平面所成角， 其中，故， 因为，， 由勾股定理得，故， 由勾股定理得，所以， 即直线与平面所成角的余弦值为． （5）过点N作于E，则E为中点，连接， 因为平面，平面，所以， 则即为平面与平面所成角， 因为，，所以， 则平面与平面所成角的余弦值为. （25-26高一下·吉林长春·期中）如图，正三角形与菱形所在的平面互相垂直，，，是的中点，是的中点．小试牛刀3 (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求二面角的余弦值． 注：本题用空间向量方法不给分 【答案】(1)连接 ，交 于点 ，连接， 因为 是菱形，菱形对角线互相平分，故是 中点， 又 是 中点，因此在中，是中位线，得， 又 平面，不在平面内 ， 所以； (2)因为 是菱形，，， 故 是正三角形，是 中点，由正三角形三线合一得 ， 又平面 平面 ，交线为 ，且 平面 ， 由面面垂直的性质定理得： ； (3) 【分析】（1）连接 ，交 于点 ，连接，由，即可证明； （2）由，结合面面垂直的性质定理即可证明； （3）过 作 于 ，连接 ， 确定 就是二面角 的平面角，进而可求解. 【详解】（1）略 （2）略 （3） 过 作 于 ，连接 ， 由（2）知 平面 ， 平面 ，故 ； 又 ，，平面 ， 因此 平面 ，平面 ， 所以 ，即 就是二面角 的平面角， 正 边长为 ，是 中点，故 ，， 在 中： ， 正 边长为 ，是 中点，故 ； 又 平面 ，平面 得， 在 中： ，​​ 故二面角的余弦值 . 【题型6：投影面积法求二面角】 【练方法】 方法技巧 1找到二面角其中一个面内的封闭多边形作出该多边形在另一平面上的投影图形 2分别计算原图形面积与投影图形面积 3代入面积比例公式直接求出二面角余弦值无需作多条辅助垂线 4适用场景三角形四边形等规则平面图形 公式结论 1投影面积核心公式 2为二面角平面角 （25-26高三·全国·一轮复习）在正方体中，，，求二面角的余弦值.经典例题1例题 【答案】 【分析】设二面角为，根据求二面角的余弦. 【详解】由题意可知平面BCE，故在平面BCE内的投影面积是. 在中，，， 所以 . 又. 设二面角为，由射影面积法可知二面角的余弦值. 所以二面角的余弦为. （24-25高三上·江西萍乡·期中）如图，在正方体中，，分别是棱，的中点．经典例题2例题 (1)证明：，，，四点共面； (2)求平面与平面夹角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据条件证明出线线平行，即可得到四点共面； （2）延长交的延长线于点，延长交的延长线于点，连接，，，根据面面角的定义找到是平面与平面的夹角，然后直接求解该夹角的正弦值即可. 【详解】（1）如图，取的中点，连接，， 则， 在正方体中，，， 所以， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为，， 所以四边形是平行四边形，所以， 所以，所以，，，四点共面． （2）如图，延长交的延长线于点， 延长交的延长线于点， 连接，，，则点在上． 不妨设正方体的棱长为， 则，，，， 所以是的中点， 所以，， 所以是平面与平面的夹角． 因为平面平面， 所以，所以． （23-24高二·全国·课堂例题）已知正方体的棱长为1，求二面角的余弦值．小试牛刀1 【答案】 【详解】为在平面内的射影，利用面积射影法可求出结果. 【分析】设二面角的平面角为， 因为平面，所以为在平面内的射影， 因为，所以， 又， 所以， 所以二面角的余弦值为. （22-23高三·全国·三轮复习）正方体中，为棱的中点，求平面和平面夹角的余弦值.小试牛刀2 【答案】 【分析】利用射影面与原平面的面积比求二面角的余弦值即可. 【详解】设正方体的边长为2，则； 在中，，，， 利用余弦定理， 则； 则. （24-25高一下·湖南长沙·期末）如图，在长方体中，，，为的中点．小试牛刀3 (1)求证：平面； (2)求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，设，连接得，由线面平行的判定定理可得答案； （2）与全等得，进而，，可得为二面角的平面角，在中计算可得答案. 【详解】（1）连接，设，连接，因为平面为正方形，所以为的中点， 在中，为的中点，所以， 又平面，平面， 所以平面. （2）因为， 所以与全等，所以，又， 取的中点为M，连接，则有，， 所以为二面角的平面角， 因为平面，平面，所以， 在中，， 所以， 所以， 所以二面角的正弦值为. 【题型7：求线面角的最值与范围】 【练方法】 方法技巧 1固定斜线端点旋转斜线时点到平面垂距为定值斜线长度随位置变化 2由分析变化规律越大越小角度越小 3结合几何体边界限制斜线长度的最大最小值对应求出角度区间 4利用几何边界锁定斜线极值位置如棱的端点中点 公式结论 1恒定 2线面角范围 3约束关系对应 （25-26高一下·山西太原·阶段检测）如图，三棱锥中，平面PAC，，，，点E满足，．经典例题1例题 (1)证明：平面ABC； (2)若在棱AB上存在一点D，使得． （ⅰ）求BD的长； （ⅱ）若F是棱BC上的动点，求直线PF与平面PDE所成角的正弦值的取值范围． 【答案】(1)由平面PAC，PE，平面PAC， 所以，． 因为，，所以． 在中，， 在中，，所以，即． 又，AC，平面ABC， 所以平面ABC． (2)（ⅰ）；（ⅱ）． 【分析】（1）根据线面垂直的性质以及判定定理求解即可. （2）（ⅰ）D为AB上靠近B的三等分点，根据线面垂直的判定定理、性质以及线线平行的性质求解即可. （ⅱ）根据线面平行得到F到平面PDE的距离即C到平面PDE的距离，再根据正弦函数的定义求解即可. 【详解】（1）略 （2）（ⅰ）D为AB上靠近B的三等分点， 即，使得． 理由如下：连接DE， 因为，所以，所以． 因为平面PAC，平面PAC， 所以，所以． 由（1）可知平面ABC，平面ABC，所以． 又因为，平面PDE，平面PDE， 所以平面PDE． 因为平面PDE，所以．所以． （ⅱ）由（ⅰ）可知，且平面PDE，平面PDE， 所以平面PDE，则F到平面PDE的距离即C到平面PDE的距离，记为h． 由（ⅰ）知：平面PDE，所以． 在中，由 得， 设直线PF与平面PDE所成角为，则， 所以， 所以直线PF与平面PDE所成角的正弦值的取值范围为． （25-26高一下·福建莆田·期中）已知菱形的边长为2，，平面ABCD外一点P在平面上的射影是与的交点O，是等边三角形．经典例题2例题 (1)求证：平面； (2)求点D到平面的距离； (3)若点E是线段上的动点，问：点E在何处时，直线与平面所成的角最大？求出最大角的正弦值，以及此时线段的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)点E在线段上靠近点D的四等份点处，此时最大角的正弦值， 【分析】（1）由题可得平面，故，根据菱形的性质可得，再根据线面垂直的判定定理即可证明； （2）由已知可得，与都是边长为2的等边三角形，可求出，做，即可求出，结合即可求解； （3）由线面平行的判定定理可得平面，可得到平面的距离即为到平面的距离，过作垂线平面交平面于点，要使角最大，则需使最小，此时， 由余弦定理可求，即可求得，从而求解． 【详解】（1）∵点P在底面上的射影是与的交点O， 所以平面， 因为平面，所以， 因为四边形为菱形，所以， 因为，⊂平面， 所以平面． （2）由题意可得，与都是边长为2的等边三角形， ， 则 ， 所以， 作，所以， 则， 设点D到平面的距离为， 由，则 即 解得 故点D到平面的距离为 ； （3）设直线与平面所成的角为， 因为平面， 所以E到平面的距离即为D到平面的距离， 过E作垂线平面交平面于点，则， 此时 ,要使最大，则需使最小，此时 由题意可知 ， ∵平面，且 ， 所以 在△PAD中，由余弦定理可得： ， 所以 ， 则 ，， ，， 即点E在线段上靠近点D的4等份点处，此时. （25-26高二上·山东潍坊·开学考试）已知直三棱柱，，D，E分别是边，的中点．小试牛刀1    (1)证明：平面； (2)若三棱锥体积为，且，设与平面所成的角为，求的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证法一：取中点F，证明四边形ADEF是平行四边形，得到，再利用线面平行的判定定理证明即可；证法二：取BC中点F，先证明，，然后利用线面平行的判定定理证明 平面，再利用面面平行的判定定理证明平面平面，即可得证； （2）根据线面角的定义，先确定即为角，再通过等体积法求出，即可利用重要不等式求出的最小值，再根据即可求出的最大值. 【详解】（1）证法一：如下图所示，取中点F，连接EF，FA， E是的中点， EF为的中位线， 且， 又 且， 且， 四边形ADEF为平行四边形， . 又 平面，平面， 平面；    证法二：如下图所示，取BC中点F，连接EF，DF， D是的中点，DF为中位线， ， 又 平面，平面， 平面. 在三棱柱中， 且， 四边形为平行四边形， ， 又 平面，平面， 平面. ，平面DEF，平面平面， 又 平面DEF， 平面；    （2）如下图所示，连接， 是直三棱柱， 平面， 平面， . ，,平面， 平面， 就是在平面内的射影， 即为与平面所成的角. ， ， （当且仅当时等号成立）. 在中， . 故的最大值为.    （25-26高二上·宁夏中卫·开学考试）已知点是边长为2的菱形所在平面外一点，且点在底面上的射影是与的交点，已知，是等边三角形．小试牛刀2 (1)求点到平面的距离； (2)若点是线段上的动点，问：点在何处时，直线与平面所成的角最大？求出最大角的正弦值，并求出取得最大值时线段的长． 【答案】(1) (2)点E在线段AD上靠近点D的四等分点处，最大角的正弦值， 【分析】（1）由求距离； （2）设直线与平面所成的角为，则，当时最大. 【详解】（1）点在底面上的射影是与的交点， 平面， 由题意可得､与都是边长为2的等边三角形，，， ，， ， 设点D到平面PBC的距离为， 由得，解得． 故点D到平面PBC的距离为． （2）设直线与平面所成的角为， ∵，平面，不在平面内，∴， ∴E到平面PBC的距离即为D到平面PBC的距离． 过作垂线平面交于点，则， 此时，要使最大，则需使PE最小，此时． 由题意可知：，，平面，且， ，， 在中，， ， 由面积相等， 即，解得：， ，点E在线段AD上靠近点D的四等分点处． 即点E在线段AD上靠近点D的四等分点处时，直线与平面所成的角最大， 最大角的正弦值是，此时. （24-25高一下·甘肃天水·期末）如图，在正三棱柱中，，分别为，的中点，，.小试牛刀3 (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)若点在的三边上运动，直线与平面所成的角为，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3) 【分析】（1）首先证明，再利用线面平行的判定即可； （2）利用勾股定理的逆定理得，，再利用线面垂直的判定定理即可证明； （3）合理作出辅助线，求出点到平面的距离为，再求出两极限位置的最值即可. 【详解】（1）分别为的中点，． 平面平面平面． （2）如图，连接．易得. ， . 平面平面， 平面. （3）将直三棱柱补成直四棱柱， ，设的中点分别为，，连接， 设与的交点为． ， 四边形是平行四边形，． ，即，，，四点共面． ， 四边形是平行四边形，． 由（2）可知平面平面， 由，得，即点到平面的距离为， 当点在的三边上运动时， ， 易得， 当与重合时，取得最大值，则取得最小值，最小值为， 此时取得最小值，最小值为．如图，过作，垂足为。 易得， 则， . 当与重合时，取得最大值，则取得最大值，最大值为． 故的取值范围为． 【题型8：求二面角的最值与范围】 【练方法】 方法技巧 1动态棱或动态平面问题固定其中一个面旋转另一面观察平面角增减变化 2投影面积法辅助分析投影面积随平面转动连续变化对应余弦值单调变化 3找到几何体边界位置计算边界处二面角确定整体取值区间 4区分锐二面角钝二面角两种极值情况 公式结论 1 2二面角范围 3单调递减投影面积越大二面角越小 （25-26高一下·山东青岛·期中）如图，在四棱锥中，，，，，，设，其中.经典例题1例题 (1)求证：平面平面； (2)若，求二面角的余弦的取值范围； (3)当时，求三棱锥的外接球体积的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用线面垂直去证明面面垂直即可； （2）找到二面角的平面角，由余弦定理可求解； （3）由于是不规则四面体的外接球，转化为过三角形外接圆圆心作该面的垂线必过球心，来研究外接球半径即可. 【详解】（1）（1）因为，所以，则 且平面平面， 所以平面， 又因为平面，所以平面平面. （2）由，知二面角的平面角即为. 在中，,，则由余弦定理得 ， 在中，由且，结合，可得， 故， 所以，所以， 所以的范围是， 即二面角的余弦的取值范围是. （3） 设和的外接圆圆心分别为和， 则球心为过点和且分别垂直于平面、平面的两直线的交点， 在中，因为，由余弦定理得， 再由正弦定理得的外接圆半径. 在中，由余弦定理得， 再由正弦定理得的外接圆半径. 过点作于，连接，设，显然四边形为矩形， 所以.所以， 即， 所以， 故当时，取得最小值，即， 此时三棱锥外接球的体积最小值为，此时 （25-26高一下·云南昆明·期中）如图，在矩形，，，是线段上的一点，将沿翻折，使点到达的位置，且点不在平面内．经典例题2例题 (1)若平面平面，证明：平面平面； (2)设为的中点，取的中点，连接并延长，交延长线于点，设． ①用表示二面角的正切值； ②当二面角最大时，求四棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；② 【分析】（1）利用面面垂直的性质得平面，再利用面面垂直的判定得结论； （2）①利用线面垂直的判定得平面，再利用面面垂直的判定得平面平面，在平面内，过作，交于，利用面面垂直的性质得平面，再利用线面垂直的判定与性质得和，再利用二面角的平面角得是二面角的平面角，再解直角三角形得结论； ②利用二倍角正弦、余弦公式得，再由基本不等式求最值得当，时，二面角最大，最后利用棱锥的体积计算得结论． 【详解】（1）因为四边形是矩形，所以． 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 而平面，因此平面平面． （2）①如图： 在矩形中，因为，，是线段的中点，是线段的中点， 所以， 因为，，是线段的中点，所以． 因为，、平面，所以平面， 而平面，因此平面平面． 在平面内，过作，交于， 而平面平面，因此平面． 在平面内，过作，交于，则． 因为平面，平面，所以， 而，、平面， 因此平面，而平面，所以． 因为，，所以是二面角的平面角． 在中，因为，， 所以，． 在矩形中，因为，， 所以， 因此在中，． ②因为，所以， 因此， 当且仅当，即，时，等号成立． 因为，所以， 而，因此，所以当，时，二面角最大， 所以当二面角最大时，四棱锥的体积为 ． （2026·陕西咸阳·二模）已知四面体中，，，为中点，．作，垂足为．小试牛刀1 (1)证明：； (2)若，，四面体的体积大于，求二面角的正切值的取值范围． 【答案】(1)见解析； (2). 【分析】(1)通过线面垂直证明线线垂直；(2) 求出二面角的正切值的表达式，再求解其取值范围. 【详解】（1）因为， 为 中点，所以， 在 和 中，，，， 故 （SAS），得 ，又 为 中点，所以 , 且 ， 平面 ，所以 平面 ，因为平面 ，所以，又，且 ， 平面 ， 所以 平面 ，因为 平面 ，所以 ； 又 ，且 ， 平面 ，故 平面 ， 又 平面 ，所以 ； （2）由 ，，，得为等边三角形，故 ，， 由（1）知 平面 ，所以，所以即为二面角的平面角. 设，在中，可得 则四面体的体积为， 根据题意有，解得，即， . （25-26高一下·浙江温州·期中）如图，三棱锥满足面，点为棱中点，点在直线上的投影分别为.小试牛刀2 (1)证明：面； (2)当二面角的余弦值为时，求三棱锥的体积； (3)是否存在点使得点到的距离均相等，若存在，求二面角余弦值的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见详解 (2) (3)存在点，余弦值的取值范围为 【分析】（1）题中垂直条件较多，利用线线垂直证明线面垂直，从而证明线线垂直，进而找到平面中的两直线与直线垂直；（2）要求三棱锥的体积，由于已知的长度，那么只要求出的面积；条件中提到二面角的余弦值，因此先找出二面角的平面角，再考虑该平面角与可通过联系；（3）先利用球的任意截面都是圆的性质找出的位置，再构造二面角的平面角，利用函数求取值范围 【详解】（1）连接，因是等腰三角形底边上的中线，所以 因为平面，所以 因为平面，平面，且与相交于点，所以平面 所以 因点在直线上的投影是点，所以 因为平面，平面，且与相交于点，所以平面 所以 因点在直线上的投影是点，所以 因为平面，平面，且与相交于点，所以平面 （2）同（1），可证得平面，则 由（1）的过程可知，平面，所以， 所以是二面角的平面角，则 在四边形中，，所以 所以，解得 因为平面，所以， 因为，所以 所以，可得，故 所以是等边三角形，其面积为 所以三棱锥的体积为 （3） 因为是直角三角形，所以其外心在其斜边的中点，设线段中点为 过作直线使得平面，则直线上的任意点到，，的距离相等； 同理，是直角三角形，设斜边的中点为 过作直线使得平面，则直线上的任一点到，，的距离相等； 因此，与的交点距离，，，，的距离相等 因为平面，所以，故在的中位线上 所以与相交于点，即与重合 即 设线段中点为，线段中点为，连接，， 中，，因此 过作，与延长线交于，因为，所以 又因为（中位线），所以 因此，是二面角的平面角 设， 则，，，，（中位线） 由射影定理得，，则 由（1）可知，，由勾股定理得，，则，由垂径定理得， 在中，由余弦定理得，，代入化简得， 设，，函数在上单调递减 ，，而 故，即二面角余弦值的取值范围为 （2025高二上·江苏南京·专题练习）如图，在梯形中，，，，四边形为矩形，平面平面，．小试牛刀3    (1)求证：平面； (2)求二面角的平面角的余弦值； (3)若点在线段都不重合）上运动，设平面与平面所成二面角的平面角为，试求的范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用余弦定理和勾股定理证明，然后由面面垂直的性质定理可证； （2）取中点，连接，，证明为二面角的平面角，然后利用余弦定理求解可得； （3）先作出平面与平面的交线，然后作出二面角的平面角，令，，用表示出，然后可得. 【详解】（1）在梯形中， ，，， ，， ，， 平面平面，平面平面， 平面，平面． （2）取中点，连接，， ，，， ，，为二面角的平面角． 由（1）知平面，平面，， ，， ，， ．    （3）当与，都不重合时，令，， 延长交的延长线于，连接， 在平面与平面的交线上， 在平面与平面的交线上， 平面平面， 过作交于，连接， 由（1）知，， 又，平面，， 平面，平面，． 又，平面，， 平面，，． 因为，所以， 因为，所以，所以， 所以，整理得， 所以 因为为直角三角形，为斜边上的高，所以， 所以， ，， ， ．    【题型9：线线角线面角二面角综合】 【练方法】 方法技巧 1解题顺序先找点面垂距再依次推导线面角异面直线夹角最后求解二面角 2统一垂线载体全程使用同一条平面垂线作为公共辅助线减少重复作图 3角度转换逻辑线面角是斜线与射影夹角异面直线夹角靠平移转化二面角依靠棱垂线构造 4综合计算统一依托余弦定理直角三角形边角关系 公式结论 1异面直线夹角 2线面角 3二面角 （25-26高一下·河南南阳·阶段检测）已知在中，斜边平面，，，分别与平面成和的角，已知，则到平面的距离为（     ）经典例题1例题 A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据线面角的定义，作出线面角，再根据几何关系，求解点到平面的距离. 【详解】作于点，于点，则由，得， 且就是BC到平面α的距离，设， 连接、，则，，∴，， 在中，，， ∴，∴，即到平面的距离为. （25-26高二上·山东潍坊·期中）已知，直线与平面所成的角为，直线与平面所成的角为，，且斜线段在平面内的射影互相垂直，则的长为（    ）经典例题2例题 A．6cm B． C． D．8cm 【答案】D 【分析】根据给定条件，作出几何图形，结合线面角的定义求出在平面内的射影长，再利用直角梯形的性质求解. 【详解】令于，于， 则，， 依题意，， 因此， 在直角梯形中，. 故选：D.    设PA垂直于△ABC所在的平面α，，PB、PC分别与α成和角，，点P到BC的距离是（　　）经典例题3例题 A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据线面垂直确定线面夹角，结合直角三角形的边角关系可得长，在中利用余弦定理求解，从而可求得点P到BC的距离. 【详解】如图，过作于    因为平面，即 ，因为分别与成和角，所以，且 又，所以，则 在中，由余弦定理得 又，所以 所以，即点P到BC的距离是. 故选：B. （24-25高三上·福建泉州·阶段检测）已知二面角为30°，动点P，Q分别在面，内，P到面的距离为2，Q到面的距离为，则P，Q两点之间距离的最小值为（    ）小试牛刀1 A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】由题意知同时垂直时距离最小. 作于，设平面，连接，利用线面垂直的判定定理与性质定理可得.在中利用余弦定理即可求得的最小值. 【详解】如图，由题可知点P，Q的轨迹分别是在内与平行的直线， 当同时垂直时距离最小.作于，设平面，连接. ，.，. 又，面，面，面， 即为二面角的平面角，. 过点作于， 又，，面，面，. ，，，，. 在中，由余弦定理可得， 所以PQ最小为2. 故选：C. （24-25高二上·上海·阶段检测）在直二面角的棱l上取一点A，过点A分别在、内A的同侧都作与l成角的射线，则这两条射线间的夹角为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在棱l上取一点，分别在、内过点作，与过点的两条射线分别相交于，由二面角的平面角证明等腰，等腰，等腰全等进而可求； 【详解】 在棱l上取一点，分别在、内过点作，与过点的两条射线分别相交于， 则 是二面角的平面角， 由得等腰，等腰，等腰全等， 所以， 所以两射线间的夹角为， 故选：B. （24-25高二上·广东佛山·阶段检测）如图，已知大小为的二面角的棱上有两点A、B，，，，，若，，，则CD的长为（   ）小试牛刀3 A．67 B．49 C．7 D． 【答案】C 【分析】过A作且，连接、，易得，通过线面垂直的判定定理可得平面，继而得到，即可求出答案． 【详解】过A作且，连接、，    则四边形是平行四边形， 因为，所以平行四边形是矩形， 因为，即，而， 则是二面角的平面角，即， 因为，即为正三角形，所以， 因为，，即，，，平面， 所以平面，因为平面，所以， 所以在中，，所以，． 故选：C． 【题型10：求点到平面的距离】 【练方法】 方法技巧 1方法1垂线定义法过点作平面垂线垂线段长度即为距离依托面面垂直作垂线 2方法2等体积万能法构造以该点为顶点平面图形为底面的三棱锥利用体积不变反求垂距 3方法3平行转化法若直线平行平面直线上所有点到平面距离相等转移至易计算的点求解 公式结论 1等体积求距离 代表点到平面垂直距离 2平行转化推论直线平面直线上任意两点到平面距离相等 （25-26高一下·河南·期末）如图，是圆O的直径，垂直于圆O所在的平面，C是圆周上一点，且，．经典例题1例题 (1)求证：； (2)求点A到平面的距离． 【答案】(1)因为点C在底面圆周上，是圆O的直径， 所以，即，     因为垂直于圆O所在的平面，平面，所以，     又，平面，平面，所以平面，     又平面，所以． (2) 【分析】（1）根据题意可得出，，利用线面垂直的判定定理得平面，再利用线面垂直的性质定理即可证明； （2）方法一：过点A作，交于点H，通过证明平面得的长度即是点A到平面的距离，进而可求解；方法二：利用等积法，根据求解. 【详解】（1）略 （2）方法一：如图，过点A作，交于点H， 由（1）知平面，又平面，所以， 又，平面，平面，所以平面， 则的长度即是点A到平面的距离．     在中，，     由，即， 解得，即点A到平面的距离为．     方法二：由题可得．     设点A到平面的距离为h， 由题意知，即，     即，解得， 即点A到平面的距离为． （25-26高一下·山东泰安·阶段检测）如图，在三棱锥中，，底面，，M是的中点，N是的中点，点Q在线段上，且．经典例题2例题 (1)求点到平面距离； (2)求证：平面． 【答案】(1) (2)过点作，交于点，连接， 因为是的中点，， 由平行线分线段成比例得，即是的中点， 又是中点，因此，即； 结合已知，得，因此， 在中可得，因为，平面，平面，故平面； 因为，平面，平面，故平面， 又，且平面， 由面面平行判定定理得：平面平面， 因为平面， 因此平面. 【分析】（1）先由线面垂直判定定理证明平面，过作，交于点，再证明平面，是的中位线可得结论； （2）过点作，交于点，证明平面平面，由面面平行性质可得结论. 【详解】（1）因为底面，平面， 所以， 又，即， 且，平面， 所以 平面， 过作，交于点，由平面可知平面， 的长度即为点到平面的距离， 因为是中点，，所以是的中位线， 因此， 即点到平面的距离为； （25-26高一下·重庆江北·期中）如图，正三棱锥中，底面边长是，棱锥的侧面积等于底面积的倍，是的中点.求：小试牛刀1 (1)的值； (2)点到面的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正三棱锥的特征和棱锥的侧面积等于底面积的倍列式即可求解； （2）根据等体积法求解即可. 【详解】（1）因为是正三棱锥，所以是等边三角形，即， 而是的中点，所以. 因为是正三棱锥，所以， 而是的中点，所以. 因为棱锥的侧面积等于底面积的倍，所以， 所以. （2）设顶点在底面的投影为，分的比为， 因此. 在中，三棱锥的高. 三棱锥的体积， 因此. 设点到平面的距离为，， 由体积公式， 解得. （25-26高一下·安徽阜阳·期中）如图，在四棱台中，平面，两底面均为正方形，，，，点E在线段上，且.小试牛刀2 (1)证明：平面. (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，与交于点F，连接BF，根据已知证明，再由线面平行的判定证明结论； （2）根据已知求出相关线段长，再由等体积法求点面距离. 【详解】（1）如图，连接，与交于点F，连接BF， 因为四边形是正方形，， 所以，， 因为四边形是正方形，，所以. 因为，所以， 所以，又， 所以四边形为平行四边形， 所以， 因为平面，平面， 所以平面. （2）因为在四棱台中，两底面均为正方形， 所以，所以， 所以， 所以， 又， 设点到平面的距离为h， 由等体积法得，即，解得， 所以点到平面的距离为. （25-26高一下·福建·期中）如图，在直三棱柱中，底面ABC是正三角形，AB=2，，BC边上的中点为D．小试牛刀3 (1)求三棱柱截去三棱锥后所得几何体的表面积； (2)求直三棱柱外接球的表面积； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】(1)根据题意分别计算即可； (2)根据对称性找到球心，求出半径即可； (3)利用等体积法即可 【详解】（1）由题意得， ，从而， 所以AD⊥，所以， ，因为，，， ，， 所以， 所以三棱柱截去三棱锥后几何体的表面积为． （2）根据对称性，球心在直三棱柱的中心，设为O， 取H为等边△ABC的外心，所以AH为等边△ABC外接圆半径，设为r， 根据正弦定理，则，因为， 所以，在Rt△AOH中，， 所以直三棱柱外接球的表面积 （3）因为三棱柱是直棱柱， 所以⊥平面，⊥平面ABC，⊥平面ABC， 三棱锥的体积 设点到平面的距离为h，则 所以 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高一数学下学期常考题型归纳 【期末复习讲义06：异面直线夹角，线面角，二面角与点到面的距离】 总览 题型梳理 【知识梳理】 1．异面直线 （1）定义：不同在_任何一个平面内____（不共面）的两条直线称为异面直线. （2）异面直线的夹角：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线，，把与所成的_不大于的角____称为异面直线a与b的夹角． （3）垂直：若两条异面直线a，b的夹角是_直角____，那么我们就说这两条异面直线互相垂直． 2．直线与平面所成的角：（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的__锐角______，叫做这条直线和这个平面所成的角，如图，________就是斜线与平面所成的角；（2）线面角的范围：. 3．二面角的有关概念 （1）半平面：一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都称为半平面. （2）二面角：从一条直线出发的__两个半平面________所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱_____，这两个半平面称为二面角的面_____. 如图，以直线为棱、半平面为面的二面角，记作二面角或. （3）二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作_垂直于____棱的两条射线，这两条射线的夹角称为二面角的平面角，二面角的平面角的取值范围： _______．平面角是直角的二面角称为__直二面角___. 4．三垂线定理及三垂线定理的逆定理 三垂线定理：如果_平面内_______的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的__射影______垂直，则它也和这条__斜线______垂直． 三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条___斜线_____在该平面内的__射影______垂直． 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：求异面直线的夹角】 【练方法】 方法技巧 1平移转化法在空间选取合适点分别平移两条异面直线至相交状态相交形成的锐角或直角即为异面直线夹角 2平移常用载体中位线平行四边形对边棱柱棱的平行关系 3角度取值约束最终结果只取钝角取其补角作为异面直线夹角 4解三角形计算平移后构造三角形借助余弦定理求出夹角余弦值 公式结论 1夹角取值范围 2余弦定理 为平移后两条线段长度为平移后两线段端点连线长度 （25-26高一下·浙江宁波·期末）已知在直三棱柱中，，，，点为棱靠近点的三等分点，点为的中点，则直线与所成角的余弦值为_________．经典例题1例题 （25-26高一下·黑龙江大庆·阶段检测）如图，是平面外的一点，，，，分别为，的中点，且．则异面直线与所成的角的大小为（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． （25-26高一下·河南·阶段检测）在正四棱锥中，，是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高一下·河北邢台·阶段检测）在正四棱柱中，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为___________.小试牛刀2 （25-26高一下·河北衡水·阶段检测）如图，在直二面角中，，两点都在直线上，，两点分别在两个半平面内，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型2：定义法求线面角】 【练方法】 方法技巧 1定义核心步骤过直线上一点向平面作垂线连接垂足与直线和平面的交点斜线与射影形成的锐角即为线面角 2垂线构造方式利用面面垂直性质作平面垂线等腰三角形中点垂线正方体棱垂直底面 3构造直角三角形垂线斜线射影构成直角三角形解直角三角形求角度 4角度取值约束只取 公式结论 1线面角取值范围 2直角三角形边角关系 为点到平面垂线段长度为斜线长度 （25-26高一下·北京顺义·期中）如图，正方体中，E为的中点，则与平面所成的角的余弦值为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （2026·山西运城·二模）已知一个正三棱台的上、下底面的边长分别为，，高为，则该三棱台的侧棱与底面所成角的正切值为________.经典例题2例题 （25-26高一下·全国·课后作业）如图，在空间四边形中，，，，的长和两条对角线，都相等，且E为的中点，F为的中点，则直线和平面所成的角的正弦值为______________，正切值为______________．小试牛刀1 （25-26高三上·江苏淮安·阶段检测）在正三棱柱中，，点D是侧棱的中点，则直线与平面所成角的余弦值为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （2026·陕西西安·三模）已知线段的长为，且线段在平面上的射影长为，则直线与所成角的大小为（   ）小试牛刀3 A．30° B．45° C．60° D．75° 【题型3：等体积法求线面角】 【练方法】 方法技巧 1先利用等体积法求出直线上一点到平面的垂线段长度 2记录该点到斜线与平面交点的斜线总长 3代入直角三角形边角关系计算线面角的正弦值 4适用场景无现成面面垂直无法直接作垂线的几何体 公式结论 1三棱锥等体积公式 变形得垂距 2线面角正弦关系 为点到平面距离为斜线线段长 （25-26高一下·河南洛阳·阶段检测）如图，在直三棱柱中，侧面是边长为2的正方形，，点D为的中点．经典例题1例题 (1)求证：⊥平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)若点A，B，C，D都在同一个球的表面上，求该球的表面积． （25-26高一下·天津南开·期中）如图，在正方体中，、分别为，的中点，则直线与平面所成角的正切值为______．经典例题2例题 （25-26高一下·重庆沙坪坝·期中）三棱台上下底面为正三角形，，侧面是底角为的等腰梯形，棱台的高为，则与平面所成角的正弦值为______.小试牛刀1 （25-26高二上·北京·期末）在正四棱锥中，为顶点在底面内的射影，为侧棱的中点，且，，则直线与平面所成角的正弦值为________．小试牛刀2 （2025高二下·陕西·学业考试）如图，在三棱锥中，平面，，是的中点，是的外心.小试牛刀3    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【题型4：定义法求二面角】 【练方法】 方法技巧 1定义法步骤在二面角棱上任取一点分别在两个面内作垂直于棱的射线两条射线形成的角为二面角平面角 2取点技巧优先选取棱的中点端点方便构造等长线段简化计算 3构造封闭三角形连接两条垂线端点用余弦定理计算平面角大小 4角度区分平面角可为锐角直角钝角无需强制取补角 公式结论 1二面角平面角取值范围 2余弦定理 为两面内垂直棱的线段长为两条垂线端点连线长度 （2026·重庆九龙坡·二模）将边长为 2 的正方形 沿对角线 折起，使折起后 ，则二面角 的大小为_____.经典例题1例题 （25-26高二上·陕西渭南·期末）如图，过边长为1的正方形的顶点作线段平面，若，则平面与平面所成角的大小为_______________.经典例题2例题 （2025高三·全国·专题练习）二面角的大小为，点分别在平面内，点，在棱上的投影分别为点，已知，求的大小．小试牛刀1 （2025高三·全国·专题练习）已知平面和平面交于直线是空间一点，，垂足为，垂足为，且，若，则与所成二面角为______．小试牛刀2 （24-25高一下·贵州六盘水·期末）如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点.小试牛刀3 (1)证明：平面PAC； (2)若，求二面角的平面角的正弦值. 【题型5：三垂线法求二面角】 【练方法】 方法技巧 1三垂线操作步骤在一个面内取一点向另一平面作垂线过垂足向二面角棱作垂线连接原点与棱上垂足所得角即为二面角平面角 2核心逻辑斜线垂直棱射影垂直棱斜线与射影夹角匹配二面角 3依托面面垂直构造初始垂线再作棱的垂线形成直角三角形求解 公式结论 1直角三角形边角关系 为点到平面垂距为垂足到棱的线段长度 2平面角范围 （25-26高一下·浙江金华·阶段检测）三棱锥中，，，，面面，（坐标法不给分）经典例题1例题 (1)证明：； (2)若，求二面角的正切值． （25-26高二下·浙江·阶段检测）如图所示，已知三棱锥中，，，，.经典例题2例题 (1)在棱AB上取点E使，证明：. (2)求二面角的余弦值. （25-26高一下·河北邢台·阶段检测）如图，在三棱锥中，是圆的直径，在圆上，侧面是边长为2的正三角形，，．小试牛刀1 (1)证明：平面平面． (2)求二面角的正切值． （25-26高一下·天津河西·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，O为中点，平面，，M为中点．小试牛刀2 (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)求三棱锥的体积． (4)求直线与平面所成角的余弦值． (5)求平面与平面所成角的余弦值． （25-26高一下·吉林长春·期中）如图，正三角形与菱形所在的平面互相垂直，，，是的中点，是的中点．小试牛刀3 (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求二面角的余弦值． 注：本题用空间向量方法不给分 【题型6：投影面积法求二面角】 【练方法】 方法技巧 1找到二面角其中一个面内的封闭多边形作出该多边形在另一平面上的投影图形 2分别计算原图形面积与投影图形面积 3代入面积比例公式直接求出二面角余弦值无需作多条辅助垂线 4适用场景三角形四边形等规则平面图形 公式结论 1投影面积核心公式 2为二面角平面角 （25-26高三·全国·一轮复习）在正方体中，，，求二面角的余弦值.经典例题1例题 （24-25高三上·江西萍乡·期中）如图，在正方体中，，分别是棱，的中点．经典例题2例题 (1)证明：，，，四点共面； (2)求平面与平面夹角的正弦值． （23-24高二·全国·课堂例题）已知正方体的棱长为1，求二面角的余弦值．小试牛刀1 （22-23高三·全国·三轮复习）正方体中，为棱的中点，求平面和平面夹角的余弦值.小试牛刀2 （24-25高一下·湖南长沙·期末）如图，在长方体中，，，为的中点．小试牛刀3 (1)求证：平面； (2)求二面角的正弦值． 【题型7：求线面角的最值与范围】 【练方法】 方法技巧 1固定斜线端点旋转斜线时点到平面垂距为定值斜线长度随位置变化 2由分析变化规律越大越小角度越小 3结合几何体边界限制斜线长度的最大最小值对应求出角度区间 4利用几何边界锁定斜线极值位置如棱的端点中点 公式结论 1恒定 2线面角范围 3约束关系对应 （25-26高一下·山西太原·阶段检测）如图，三棱锥中，平面PAC，，，，点E满足，．经典例题1例题 (1)证明：平面ABC； (2)若在棱AB上存在一点D，使得． （ⅰ）求BD的长； （ⅱ）若F是棱BC上的动点，求直线PF与平面PDE所成角的正弦值的取值范围． （25-26高一下·福建莆田·期中）已知菱形的边长为2，，平面ABCD外一点P在平面上的射影是与的交点O，是等边三角形．经典例题2例题 (1)求证：平面； (2)求点D到平面的距离； (3)若点E是线段上的动点，问：点E在何处时，直线与平面所成的角最大？求出最大角的正弦值，以及此时线段的长． （25-26高二上·山东潍坊·开学考试）已知直三棱柱，，D，E分别是边，的中点．小试牛刀1    (1)证明：平面； (2)若三棱锥体积为，且，设与平面所成的角为，求的最大值． （25-26高二上·宁夏中卫·开学考试）已知点是边长为2的菱形所在平面外一点，且点在底面上的射影是与的交点，已知，是等边三角形．小试牛刀2 (1)求点到平面的距离； (2)若点是线段上的动点，问：点在何处时，直线与平面所成的角最大？求出最大角的正弦值，并求出取得最大值时线段的长． （24-25高一下·甘肃天水·期末）如图，在正三棱柱中，，分别为，的中点，，.小试牛刀3 (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)若点在的三边上运动，直线与平面所成的角为，求的取值范围. 【题型8：求二面角的最值与范围】 【练方法】 方法技巧 1动态棱或动态平面问题固定其中一个面旋转另一面观察平面角增减变化 2投影面积法辅助分析投影面积随平面转动连续变化对应余弦值单调变化 3找到几何体边界位置计算边界处二面角确定整体取值区间 4区分锐二面角钝二面角两种极值情况 公式结论 1 2二面角范围 3单调递减投影面积越大二面角越小 （25-26高一下·山东青岛·期中）如图，在四棱锥中，，，，，，设，其中.经典例题1例题 (1)求证：平面平面； (2)若，求二面角的余弦的取值范围； (3)当时，求三棱锥的外接球体积的最小值. （25-26高一下·云南昆明·期中）如图，在矩形，，，是线段上的一点，将沿翻折，使点到达的位置，且点不在平面内．经典例题2例题 (1)若平面平面，证明：平面平面； (2)设为的中点，取的中点，连接并延长，交延长线于点，设． ①用表示二面角的正切值； ②当二面角最大时，求四棱锥的体积． （2026·陕西咸阳·二模）已知四面体中，，，为中点，．作，垂足为．小试牛刀1 (1)证明：； (2)若，，四面体的体积大于，求二面角的正切值的取值范围． （25-26高一下·浙江温州·期中）如图，三棱锥满足面，点为棱中点，点在直线上的投影分别为.小试牛刀2 (1)证明：面； (2)当二面角的余弦值为时，求三棱锥的体积； (3)是否存在点使得点到的距离均相等，若存在，求二面角余弦值的取值范围；若不存在，请说明理由. （2025高二上·江苏南京·专题练习）如图，在梯形中，，，，四边形为矩形，平面平面，．小试牛刀3    (1)求证：平面； (2)求二面角的平面角的余弦值； (3)若点在线段都不重合）上运动，设平面与平面所成二面角的平面角为，试求的范围． 【题型9：线线角线面角二面角综合】 【练方法】 方法技巧 1解题顺序先找点面垂距再依次推导线面角异面直线夹角最后求解二面角 2统一垂线载体全程使用同一条平面垂线作为公共辅助线减少重复作图 3角度转换逻辑线面角是斜线与射影夹角异面直线夹角靠平移转化二面角依靠棱垂线构造 4综合计算统一依托余弦定理直角三角形边角关系 公式结论 1异面直线夹角 2线面角 3二面角 （25-26高一下·河南南阳·阶段检测）已知在中，斜边平面，，，分别与平面成和的角，已知，则到平面的距离为（     ）经典例题1例题 A．4 B． C． D． （25-26高二上·山东潍坊·期中）已知，直线与平面所成的角为，直线与平面所成的角为，，且斜线段在平面内的射影互相垂直，则的长为（    ）经典例题2例题 A．6cm B． C． D．8cm 设PA垂直于△ABC所在的平面α，，PB、PC分别与α成和角，，点P到BC的距离是（　　）经典例题3例题 A． B． C．2 D．4 （24-25高三上·福建泉州·阶段检测）已知二面角为30°，动点P，Q分别在面，内，P到面的距离为2，Q到面的距离为，则P，Q两点之间距离的最小值为（    ）小试牛刀1 A．1 B． C．2 D． （24-25高二上·上海·阶段检测）在直二面角的棱l上取一点A，过点A分别在、内A的同侧都作与l成角的射线，则这两条射线间的夹角为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （24-25高二上·广东佛山·阶段检测）如图，已知大小为的二面角的棱上有两点A、B，，，，，若，，，则CD的长为（   ）小试牛刀3 A．67 B．49 C．7 D． 【题型10：求点到平面的距离】 【练方法】 方法技巧 1方法1垂线定义法过点作平面垂线垂线段长度即为距离依托面面垂直作垂线 2方法2等体积万能法构造以该点为顶点平面图形为底面的三棱锥利用体积不变反求垂距 3方法3平行转化法若直线平行平面直线上所有点到平面距离相等转移至易计算的点求解 公式结论 1等体积求距离 代表点到平面垂直距离 2平行转化推论直线平面直线上任意两点到平面距离相等 （25-26高一下·河南·期末）如图，是圆O的直径，垂直于圆O所在的平面，C是圆周上一点，且，．经典例题1例题 (1)求证：； (2)求点A到平面的距离． （25-26高一下·山东泰安·阶段检测）如图，在三棱锥中，，底面，，M是的中点，N是的中点，点Q在线段上，且．经典例题2例题 (1)求点到平面距离； (2)求证：平面． （25-26高一下·重庆江北·期中）如图，正三棱锥中，底面边长是，棱锥的侧面积等于底面积的倍，是的中点.求：小试牛刀1 (1)的值； (2)点到面的距离. （25-26高一下·安徽阜阳·期中）如图，在四棱台中，平面，两底面均为正方形，，，，点E在线段上，且.小试牛刀2 (1)证明：平面. (2)求点到平面的距离. （25-26高一下·福建·期中）如图，在直三棱柱中，底面ABC是正三角形，AB=2，，BC边上的中点为D．小试牛刀3 (1)求三棱柱截去三棱锥后所得几何体的表面积； (2)求直三棱柱外接球的表面积； (3)求点到平面的距离． 1 学科网（北京）股份有限公司 $