期末复习讲义04：立体几何的表面积与体积【10个题型归纳】-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

2026年高一数学下学期常考题型归纳 【期末复习讲义04：立体几何的表面积与体积】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：立体几何直观图】 【练方法】 方法技巧 1斜二测画法核心规则：平行于轴线段长度不变；平行于轴线段长度减半，夹角或 2原图面积与直观图面积可互相换算，直接套用比例公式快速求值 3还原原图：直观图中平行轴线段长度翻倍，角度还原为直角 4计算体积类题型，优先还原原图获取真实底面尺寸与几何体高度 公式结论 1斜二测长度变换 平行轴： 平行轴：， 2面积换算 （山东青岛市2025-2026学年高一下学期6月部分学生调研检测（强基班调考）数学试题）一水平放置的平面四边形的直观图如图所示，其中，轴，轴，轴，则四边形的周长为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高一下·福建漳州·期中）用斜二测画法画出的水平放置的正六边形的直观图如图所示，是的中点，且，则（     ）经典例题2例题 A．2 B． C．4 D． （25-26高一下·重庆九龙坡·阶段检测）一个水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，如图所示，，，则原平面图形的面积为（     ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高一下·湖南衡阳·阶段检测）（多选）如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的有（ ）小试牛刀2 A． B． C．四边形的面积为 D．四边形的周长为 （25-26高一下·湖北荆州·阶段检测）如图，是的直观图，其中，则是（   ）小试牛刀3 A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．锐角三角形 【题型2：棱锥的体积与表面积】 【练方法】 方法技巧 1表面积=底面积+所有侧面三角形面积之和 2体积计算关键：找到顶点到底面的垂直高，不可误用侧棱作为高 3正棱锥侧面为全等等腰三角形，可先算单个侧面面积再乘以侧面个数 4等底等高的棱锥体积相等；不规则多棱锥可分割为多个小三棱锥求和 公式结论 ：底面面积，：几何体垂直高，：底面周长，：斜高 1体积 2表面积 3正棱锥侧面积 （25-26高一下·湖南衡阳·期中）已知正四棱锥底面边长为6，侧棱长为5，则此棱锥的侧面积为（   ）经典例题1例题 A．12 B．15 C．48 D．60 （25-26高三上·天津河北·期末）埃及著名的吉萨（Giza）大金字塔，它的形状是正四棱锥.已知它的高度的2倍的平方等于它的侧面积，则高的平方与底面棱长的平方的比值为（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． （25-26高一下·浙江金华·阶段检测）棱长为2的正方体，点在棱上，满足最小，则三棱锥的体积为（   ）小试牛刀1 A． B． C． D．1 （2026·辽宁大连·三模）我国古代数学名著《九章算术》对立体几何有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如将有三条棱互相平行且有一个面为平行四边形的五面体称为刍甍，今有一刍甍，底面ABCD为矩形，面ABCD，记该刍甍的体积为，三棱锥的体积为，，，若，则（   ）小试牛刀2 A．1 B． C． D． （25-26高一下·浙江·阶段检测）在四棱锥中，四边形为正方形，平面，，，过，，的平面将四棱锥分成两部分，较小部分与较大部分的几何体体积分别为，，则________．小试牛刀3 【题型3：棱柱的体积与表面积】 【练方法】 方法技巧 1表面积=2个底面面积+所有侧面平行四边形面积之和 2直棱柱侧面均为矩形，侧面积可直接用底面周长乘侧棱长；斜棱柱需逐个计算侧面 3体积统一为底面积乘垂直高，直棱柱侧棱等于垂直高，斜棱柱需单独作垂线求高 公式结论 ：底面面积，：垂直高，：底面周长，：侧棱长（直棱柱） 1体积 2表面积 3直棱柱侧面积 （23-24高一下·辽宁·期末）已知正四棱柱中，截面是边长为的正方形，则正四棱柱的表面积为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期中）正三棱柱的底面边长为，高为，为上的点，，平面将该棱柱截成两个几何体，那么小的几何体与大的几何体的体积比值为（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． （25-26高一下·湖南长沙·期中）如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，侧棱.若侧面水平放置时，水面恰好过的中点.那么当底面水平放置时，水面高为（    ）小试牛刀1 A．6 B．7 C．7.5 D．8 （25-26高一下·山西晋中·期中）如图所示，三棱柱中，若、分别为，靠近点的三等分点，平面将三棱柱分成左右两部分，若三棱柱的体积为108，则右半部分的体积为（   ）小试牛刀2 A．48 B．52 C．56 D．60 （25-26高三上·贵州安顺·期末）一个直三棱柱容器中盛有水，侧棱，若侧面水平放置，如图（1），水面恰好过棱 的中点．若将容器的底面水平放置，如图（2），则容器中水面的高为（   ）小试牛刀3 A．6 B．7 C．8 D．9 【题型4：棱台的体积与表面积】 【练方法】 方法技巧 1棱台由棱锥平行底面截取得到，上下底面为相似多边形，边长比为相似比 2表面积=上底面面积+下底面面积+所有侧面梯形面积之和 3正棱台侧面为全等等腰梯形，侧面积可套用统一梯形求和公式 4相似多边形面积比等于相似比的平方，可快速推导上下底面积关系 公式结论 ：上底面积，：下底面积，：台体垂直高，C'、C：上下底周长，：斜高 1体积 2表面积 3正棱台侧面积 （2026·河南信阳·模拟预测）正三棱台中，，与底面所成角的正切值为2，则正三棱台的表面积为（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． （24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）（多选）正三棱台的上、下底面边长分别是2和6，侧棱长是5，则下列说法正确的是（   ）经典例题2例题 A．该正三棱台的上底面积是 B．该正三棱台的侧面面积是 C．该正三棱台的表面积是 D．该正三棱台的高是 （25-26高一下·河南郑州·期中）如图，将正四棱台切割成九个部分，其中一个部分为长方体，四个部分为直三棱柱，四个部分为四棱锥.已知每个直三棱柱的体积为3，每个四棱锥的体积为2，则该正四棱台的体积为（    ）小试牛刀1 A．16 B．22 C．26 D．28 （2026·安徽合肥·模拟预测）如图，正三棱台的上、下底面边长分别为1和3，平面将棱台分成两部分，则三棱锥和四棱锥的体积比是（     ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高一下·广东惠州·期中）（多选）如图，正三棱台的上、下底面边长分别为1和3，侧棱长为2，则下列说法正确的是（   ）.小试牛刀3 A．该三棱台的侧面积为 B．该三棱台的高为 C．该三棱台的体积为 D．若点在棱上，则的最小值为 【题型5:圆锥的体积与表面积】 【练方法】 方法技巧 1侧面展开图为扇形，扇形半径等于母线，扇形弧长等于底面圆周长 2看清题干要求：侧面积不含底面圆，全面积需要加上底面圆形面积 3r、h、l构成直角三角形，已知任意两条边长可勾股求第三条 公式结论 ：底面半径，：圆锥高，：母线长 1母线勾股关系 2体积 3侧面积 4全面积 5展开扇形圆心角 （25-26高一下·天津滨海新区·期中）已知圆锥的底面半径为3，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则圆锥表面积为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （24-25高三上·河北衡水·期末）已知圆锥，的底面半径之比为2，母线长之比为，则圆锥，的侧面积之比为（   ）经典例题2例题 A． B． C． D．3 （25-26高二下·云南昭通·期中）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为为底面直径，，则该圆锥的侧面积为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （24-25高一下·四川攀枝花·期末）（多选）已知圆锥的底面半径为1，母线长为4，底面圆周上有一动点，则（    ）小试牛刀2 A．圆锥的体积为 B．圆锥的侧面展开图的圆心角大小为 C．圆锥截面的面积的最大值为 D．若，且，则从点出发绕圆锥侧面一周到达点的最短长度为 （24-25高一下·广东深圳·阶段检测）（多选）已知圆锥的顶点为P，底面半径为，高为1，A，B是底面圆周上两个动点，下列说法正确的是（    ）小试牛刀3 A．圆锥的侧面积是 B．圆锥侧面展开图的圆心角是 C．△PAB面积的最大值是 D．该圆锥内接圆柱侧面积的最大值是 【题型6：圆柱的体积与表面积】 【练方法】 方法技巧 1侧面展开为矩形，矩形一组边长为底面周长，另一组边长为圆柱高 2区分侧面积、全面积：全面积包含上下两个圆形底面 3同底等高圆柱体积是圆锥体积的倍，比值小题可快速判断 公式结论 ：底面半径，：圆柱高 1体积 2侧面积 3全面积 （25-26高三上·河南商丘·期末）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，圆柱的下底面在圆锥的底面上，上底面圆的圆周在圆锥的侧面上，则圆柱的侧面积的最大值为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高三上·上海青浦·期末）已知圆柱和圆锥的底面半径相同，侧面积也相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为__________.经典例题2例题 （25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）已知圆锥和圆柱的底面半径均为，高均为，若圆锥与圆柱的表面积之比为，则（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （24-25高一下·河南商丘·期末）已知一个圆锥和圆柱的底面半径和侧面积分别相等，且圆锥的轴截面是等边三角形，则这个圆锥和圆柱的体积之比为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （24-25高一下·湖南衡阳·期末）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的表面积为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型7：圆台的体积与表面积】 【练方法】 方法技巧 1圆台由圆锥平行底面截取得到，上下底为同心圆，半径分别为$r、R$ 2构成直角三角形，可由任意两个量求母线长 3侧面展开为扇环，侧面积直接使用扇环统一公式，无需拆分扇形计算 公式结论 ：上底半径，：下底半径，：圆台高，：母线长 1母线勾股关系 2体积 3侧面积 4全面积 （2026·陕西榆林·模拟预测）已知圆台的上、下底面半径分别为，半径为3的球与圆台的上、下底面及母线均相切，圆台的侧面积为，则（   ）经典例题1例题 A．9 B．10 C．11 D．12 （24-25高一下·浙江·期中）（多选）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”，它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征(如图①)，图②是一个圆台的侧面展开图(扇形的一部分)，若两个圆弧、所在圆的半径分别是3和6，且，则下列关于该圆台的说法正确的是（    ）经典例题2例题 A．高为 B．母线长为3 C．表面积为14π D．体积为 （2026·山东·模拟预测）已知圆台上、下底面半径分别为1和3，其母线与底面所成角的正弦值为 ，则该圆台的体积为（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （2026·福建福州·三模）已知圆台的上､下底面面积分别为，且，圆台的高为3，轴截面面积为9，则该圆台的体积为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高一下·广东茂名·期中）已知圆台的母线所在的直线和底面所成的角为，且该圆台的上、下底面的面积分别为和，则圆台的体积为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型8：内切球的体积与表面积】 【练方法】 方法技巧 1内切球核心特征：球心到几何体所有面距离相等，距离等于内切球半径 2多面体万能求半径方法：等体积法，，变形解出 3旋转体（圆锥、圆台）内切球，画出轴截面转化为平面内切圆求解 公式结论 ：内切球半径 1球通用基础公式 2等体积求内切球半径 3棱长为正方体的内切球半径 （25-26高一下·河北石家庄·阶段检测）正三棱锥侧棱长为，底面棱长为，该三棱锥内切球表面积是（     ）经典例题1例题 A． B． C． D． （2026·四川自贡·模拟预测）已知圆锥的轴截面是边长为4的正三角形，则该圆锥内切球的表面积为（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． （25-26高一下·河北邯郸·期中）已知正四棱锥的侧棱和底边长相等，且，球与四棱锥的所有棱均相切，则球的表面积为______．小试牛刀1 （25-26高一下·河南·期末）已知球与正四棱锥的四条侧棱和底面均相切，若，则球的表面积为（     ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高一下·吉林长春·期中）如图，在正四面体ABCD中，放置1大、4小共5个球，其中，大球为正四面体ABCD的内切球，小球与大球及正四面体三个面均相切，若正四面体ABCD的体积为，则5个球的表面积之和为（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型9：外接球的体积与表面积】 【练方法】 方法技巧 1外接球核心特征：几何体所有顶点均在球面上，球心到各顶点距离均为外接球半径 2长方体、直棱柱速解模型：外接球直径等于几何体体对角线长度 3棱锥存在垂直侧棱/底面为直角三角形：先找底面三角形外心，球心在过外心且垂直底面的直线上 公式结论 ：外接球半径 1球通用基础公式 2长宽高长方体外接球直径 3棱长为正四面体外接球半径 （25-26高一下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知四面体的4个顶点都在球的表面上，若平面，，，，则球的表面积为（     ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高二下·浙江金华·阶段检测）已知圆锥的轴截面是面积为的正三角形，则该圆锥的外接球的体积为（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． （2026·全国二卷·高考真题）已知球的体积为，A，B，C，D四点均在球O的球面上，为等边三角形，，则的面积为__________．小试牛刀1 （25-26高一下·全国·期末）在高为的正四棱台中，，，则此四棱台的外接球的表面积为______.小试牛刀2 （25-26高一下·浙江温州·期中）已知正四棱柱，，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_______.小试牛刀3 【题型10：球的截面问题】 【练方法】 方法技巧 1截面核心直角三角形：球半径、截面小圆半径、球心到截面距离满足勾股定理 2过球心的截面为大圆，截面面积最大；截面离球心越远，截面圆面积越小 3已知截面面积先求，再结合距离计算球半径；已知球半径可反推截面尺寸 公式结论 ：球半径，：截面小圆半径，：球心到截面平面距离 1截面核心勾股等式 2大圆（过球心截面）：，大圆面积 3任意截面圆面积 4截面内弦长公式（为截面圆心到弦的距离） （2026·辽宁·模拟预测）（多选）如图，已知正三棱锥的棱长均为6，点为点在底面上的射影，，分别为线段，的中点，过点作平面与平面平行，点为侧面上一动点（含边界），且，则（    ）经典例题1例题 A．平面截三棱锥所得截面的面积为 B．三棱锥的内切球的表面积为 C．点的轨迹长度为 D．过点的平面截三棱锥的外接球所得截面面积的最小值为 （25-26高二上·福建泉州·期末）（多选）正方形的边长为2，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕将折起，则在翻折过程中，下列说法正确的是（    ）经典例题2例题 A．当时，平面平面 B．当时， C．直线CE与DF始终不垂直 D．以为球心，为半径的球被平面截得的截面面积的最小值为 （2025·湖南长沙·二模）已知过球面上三点A，B，C的截面到球心的距离等于球半径的，且，，，则球的表面积是_______.小试牛刀1 （2025·河南·模拟预测）已知球是正三棱锥的外接球，，过点作球的截面，若截面面积为，则直线与该截面所成的角为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （24-25高一下·河北雄安·期末）已知球O是四棱锥的外接球，平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，，，，，且．过点M作球O的截面，所得截面圆面积的最小值为______．小试牛刀3 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高一数学下学期常考题型归纳 【期末复习讲义04：立体几何的表面积与体积】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：立体几何直观图】 【练方法】 方法技巧 1斜二测画法核心规则：平行于轴线段长度不变；平行于轴线段长度减半，夹角或 2原图面积与直观图面积可互相换算，直接套用比例公式快速求值 3还原原图：直观图中平行轴线段长度翻倍，角度还原为直角 4计算体积类题型，优先还原原图获取真实底面尺寸与几何体高度 公式结论 1斜二测长度变换 平行轴： 平行轴：， 2面积换算 （山东青岛市2025-2026学年高一下学期6月部分学生调研检测（强基班调考）数学试题）一水平放置的平面四边形的直观图如图所示，其中，轴，轴，轴，则四边形的周长为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据斜二测法求得且，进而求出，即可得结果. 【详解】设轴与交点为，因为轴，轴，所以∥， 因为轴，所以四边形为平行四边形， 故， 又， 轴，得， 则原四边形中，， ∴， ，. 所以四边形的周长为． （25-26高一下·福建漳州·期中）用斜二测画法画出的水平放置的正六边形的直观图如图所示，是的中点，且，则（     ）经典例题2例题 A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【详解】如图，为正六边形的中心，为边的中点， 由斜二测画法规则知，，所以. （25-26高一下·重庆九龙坡·阶段检测）一个水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，如图所示，，，则原平面图形的面积为（     ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据斜二测画法画出三角形的原图并确定对应边长，结合三角形面积公式计算即可. 【详解】将直观图还原为，如下图所示， 其中，，，则 . （25-26高一下·湖南衡阳·阶段检测）（多选）如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的有（ ）小试牛刀2 A． B． C．四边形的面积为 D．四边形的周长为 【答案】ABC 【分析】根据斜二测画法求解. 【详解】如图1，过点，分别作，垂直于轴于点，， 因为等腰梯形中，，， 所以，， 又，所以，故A正确； 由斜二测画法知，故B正确； 作出其原图如图2，，，，， 则四边形的面积为，故C正确； 过点作于点，则，， 则， 于是四边形的周长为，故D错误． （25-26高一下·湖北荆州·阶段检测）如图，是的直观图，其中，则是（   ）小试牛刀3 A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．锐角三角形 【答案】B 【分析】根据斜二测画法的规则,由直观图中线段与坐标轴的平行关系及长度关系,还原出原三角形的形状. 【详解】由直观图可知，轴， 轴. 根据斜二测画法的规则， 原图形中轴， 轴. 因为在平面直角坐标系中轴轴，所以，即，所以是直角三角形. 又根据斜二测画法的长度规则，平行于轴的线段长度不变，平行于轴的线段长度变为原来的一半， 所以，. 因为已知， 所以，所以不是等腰三角形. 【题型2：棱锥的体积与表面积】 【练方法】 方法技巧 1表面积=底面积+所有侧面三角形面积之和 2体积计算关键：找到顶点到底面的垂直高，不可误用侧棱作为高 3正棱锥侧面为全等等腰三角形，可先算单个侧面面积再乘以侧面个数 4等底等高的棱锥体积相等；不规则多棱锥可分割为多个小三棱锥求和 公式结论 ：底面面积，：几何体垂直高，：底面周长，：斜高 1体积 2表面积 3正棱锥侧面积 （25-26高一下·湖南衡阳·期中）已知正四棱锥底面边长为6，侧棱长为5，则此棱锥的侧面积为（   ）经典例题1例题 A．12 B．15 C．48 D．60 【答案】C 【分析】先根据正四棱锥的几何特征求出斜高，再代入侧面积公式计算即可。 【详解】正四棱锥的侧面为4个全等的等腰三角形，等腰三角形的腰长为侧棱长5，底边长为底面边长6。 设斜高，斜高、侧棱长、底面边长的一半构成直角三角形， 由勾股定理得： 单个侧面的面积为 则正四棱锥的侧面积 （25-26高三上·天津河北·期末）埃及著名的吉萨（Giza）大金字塔，它的形状是正四棱锥.已知它的高度的2倍的平方等于它的侧面积，则高的平方与底面棱长的平方的比值为（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正四棱锥的几何性质，以及题目所给条件，列出方程，求出结果即可. 【详解】如图所示，设四棱锥，底面中心为，棱中点为，连接， 设高为，底面棱长为，则，则， 由高度的2倍的平方等于它的侧面积，可得， 化简得，即， 可知关于一元二次方程的， 因为，解得. 故选：B. （25-26高一下·浙江金华·阶段检测）棱长为2的正方体，点在棱上，满足最小，则三棱锥的体积为（   ）小试牛刀1 A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据题意，点为的中点，最小，再利用转化法求体积. 【详解】根据题意，将平面展开与平面共面， 连接，交于点，则点为的中点，此时最小， 则. （2026·辽宁大连·三模）我国古代数学名著《九章算术》对立体几何有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如将有三条棱互相平行且有一个面为平行四边形的五面体称为刍甍，今有一刍甍，底面ABCD为矩形，面ABCD，记该刍甍的体积为，三棱锥的体积为，，，若，则（   ）小试牛刀2 A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用刍甍的体积分割成三棱柱与四棱锥体积之和，然后再用面积比来表示体积比，从而可求解. 【详解】 如图，在上分别取，连接， 因为面ABCD，可得，所以可得到三棱柱， 由图可得：，则， 因为三棱锥的体积为，所以， 则三棱柱的体积为， 再由，则， 因为三棱锥的体积为，所以， 则四棱锥的体积为， 所以该刍甍的体积为， 又因为，所以. （25-26高一下·浙江·阶段检测）在四棱锥中，四边形为正方形，平面，，，过，，的平面将四棱锥分成两部分，较小部分与较大部分的几何体体积分别为，，则________．小试牛刀3 【答案】 【分析】作交于点，可得在平面上，即可得该平面将四棱锥分成四棱锥与多面体，结合锥体体积公式与割补法可求出四棱锥与四棱锥的体积比值，即可得. 【详解】作交于点，由，则， 又，故，则在平面上， 该平面将四棱锥分成四棱锥与多面体， 连接，则 ， 则， 故，，则. 【题型3：棱柱的体积与表面积】 【练方法】 方法技巧 1表面积=2个底面面积+所有侧面平行四边形面积之和 2直棱柱侧面均为矩形，侧面积可直接用底面周长乘侧棱长；斜棱柱需逐个计算侧面 3体积统一为底面积乘垂直高，直棱柱侧棱等于垂直高，斜棱柱需单独作垂线求高 公式结论 ：底面面积，：垂直高，：底面周长，：侧棱长（直棱柱） 1体积 2表面积 3直棱柱侧面积 （23-24高一下·辽宁·期末）已知正四棱柱中，截面是边长为的正方形，则正四棱柱的表面积为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正四棱柱的性质及截面的特征求出底面边长与高，再由表面积公式计算可得. 【详解】正四棱柱是底面为正方形的直棱柱， 设底面边长为， 因为截面是边长为的正方形，所以，， 则，解得（负值已舍去）， 所以正四棱柱的表面积. 故选：D （25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期中）正三棱柱的底面边长为，高为，为上的点，，平面将该棱柱截成两个几何体，那么小的几何体与大的几何体的体积比值为（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定平面截棱柱的截面位置及截成的几何体的形状，一个三棱台和一个五面体，再分别计算三棱台的体积和三棱柱的体积，进而可得体积比值. 【详解】如图：设平面与棱交于点， 由棱柱的性质知，平面，平面， 所以平面，且平面，平面平面， 所以，因此，所以几何体是三棱台， ， ， ，， 所以，小的几何体与大的几何体的体积比值为. （25-26高一下·湖南长沙·期中）如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，侧棱.若侧面水平放置时，水面恰好过的中点.那么当底面水平放置时，水面高为（    ）小试牛刀1 A．6 B．7 C．7.5 D．8 【答案】C 【分析】先根据水平放置时，水的形状为直四棱柱，求出水的体积，再求出当底面水平放置时，水面高即可. 【详解】设三棱柱的底面的面积为，高为，则. 当侧面水平放置时，水的形状呈直四棱柱形， 由于液面恰好经过的中点，则直四棱柱的底面积是直三棱柱底面积的，即直四棱柱的底面积是， 所以水的体积， 当底面水平放置时，设水面高为，则，从而有， 所以，即当底面水平放置时，水面高为7.5. （25-26高一下·山西晋中·期中）如图所示，三棱柱中，若、分别为，靠近点的三等分点，平面将三棱柱分成左右两部分，若三棱柱的体积为108，则右半部分的体积为（   ）小试牛刀2 A．48 B．52 C．56 D．60 【答案】C 【分析】根据题意结合棱台体积公式求解体积即可得到体积比，即可得结果. 【详解】设平面将三棱柱分成左右两部分体积为和，三棱柱的高为，底面的面积为，体积为， 则， 因为、分别为，靠近点的三等分点，则， 可得， 所以右半部分的体积. （25-26高三上·贵州安顺·期末）一个直三棱柱容器中盛有水，侧棱，若侧面水平放置，如图（1），水面恰好过棱 的中点．若将容器的底面水平放置，如图（2），则容器中水面的高为（   ）小试牛刀3 A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】根据棱柱体积计算公式即可求解. 【详解】当侧面水平放置时，水的形状为四棱柱，底面是梯形， 设的面积为，则，水的体积， 当底面水平放置时，水的形状为直三棱柱，设水面高为， 则有，即， 所以当底面水平放置时，容器中水面的高为9. 故选：D 【题型4：棱台的体积与表面积】 【练方法】 方法技巧 1棱台由棱锥平行底面截取得到，上下底面为相似多边形，边长比为相似比 2表面积=上底面面积+下底面面积+所有侧面梯形面积之和 3正棱台侧面为全等等腰梯形，侧面积可套用统一梯形求和公式 4相似多边形面积比等于相似比的平方，可快速推导上下底面积关系 公式结论 ：上底面积，：下底面积，：台体垂直高，C'、C：上下底周长，：斜高 1体积 2表面积 3正棱台侧面积 （2026·河南信阳·模拟预测）正三棱台中，，与底面所成角的正切值为2，则正三棱台的表面积为（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设正三棱台的上下底面中心分别为，连接，过作于， 则，，如图所示：   三棱台为正三棱台，上下底面为等边三角形，三个侧面为全等的等腰梯形； ，，， ，； 与底面所成角的正切值为2， ，得； . 过作于，则为侧面梯形的高； ，； ，， ； . （24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）（多选）正三棱台的上、下底面边长分别是2和6，侧棱长是5，则下列说法正确的是（   ）经典例题2例题 A．该正三棱台的上底面积是 B．该正三棱台的侧面面积是 C．该正三棱台的表面积是 D．该正三棱台的高是 【答案】AC 【分析】根据正三棱台的结构特征和表面积公式进行计算求解即可. 【详解】对于选项A： 因为正三棱台的上底面为正三角形，其边长为2， 所以上底面面积为，所以A正确； 对于选项B： 正三棱台的侧面为等腰梯形，所以侧面积为： ，所以B错误； 对于选项C： 该正三棱台的下底面面积为. 所以该三四棱台的表面积为，所以C正确； 对于选项D： 设为正三棱台的高，根据勾股定理可得， 解得，所以D错误. 故选：AC. （25-26高一下·河南郑州·期中）如图，将正四棱台切割成九个部分，其中一个部分为长方体，四个部分为直三棱柱，四个部分为四棱锥.已知每个直三棱柱的体积为3，每个四棱锥的体积为2，则该正四棱台的体积为（    ）小试牛刀1 A．16 B．22 C．26 D．28 【答案】C 【分析】设三棱柱的高为，四棱锥的底面边长为，棱台的高为，依题意列方程组可解得，然后可得棱台体积. 【详解】由正四棱台性质可知，四棱锥的底面为正方形， 设三棱柱的高为，四棱锥的底面边长为，棱台的高为， 由题知，可得，， 所以棱台的体积. （2026·安徽合肥·模拟预测）如图，正三棱台的上、下底面边长分别为1和3，平面将棱台分成两部分，则三棱锥和四棱锥的体积比是（     ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据正三角形面积比等于边长比的平方求出上下底面积比，再利用棱台体积公式求出棱台体积，最后通过三棱锥体积公式求出两部分体积并计算体积比. 【详解】已知正三角形面积比为边长比的平方， 又因为正三棱台上、下底面边长为和， 因此上下底面积比， 设上底面积，则下底面积， 设棱台的高，即上下底面的距离为， 根据棱台体积公式可得： ， 又因为在上底面，到下底面的距离就是棱台的高， 因此：， ， 因此体积比：. （25-26高一下·广东惠州·期中）（多选）如图，正三棱台的上、下底面边长分别为1和3，侧棱长为2，则下列说法正确的是（   ）.小试牛刀3 A．该三棱台的侧面积为 B．该三棱台的高为 C．该三棱台的体积为 D．若点在棱上，则的最小值为 【答案】ACD 【分析】根据正棱台的性质求侧面积、高、体积判断ABC，把等腰梯形与展开置于同一平面，用平面的性质求解判断D． 【详解】对于A，在等腰梯形中，过向作垂线，垂足为E， 在中， ， 所以等腰梯形的面积为， 所以，所以A正确； 对于B，正三棱台中，取上、下底面的中心，， 连接，，， 则，，高， 所以B错误； 对于C，因为，， 所以三棱台的体积，所以C正确； 对于D，把等腰梯形与展开置于同一平面，连结， 易知，，， 而边的中点到点的距离， 因此当点为线段与的交点时， 的最小值为，所以D正确. 【题型5:圆锥的体积与表面积】 【练方法】 方法技巧 1侧面展开图为扇形，扇形半径等于母线，扇形弧长等于底面圆周长 2看清题干要求：侧面积不含底面圆，全面积需要加上底面圆形面积 3r、h、l构成直角三角形，已知任意两条边长可勾股求第三条 公式结论 ：底面半径，：圆锥高，：母线长 1母线勾股关系 2体积 3侧面积 4全面积 5展开扇形圆心角 （25-26高一下·天津滨海新区·期中）已知圆锥的底面半径为3，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则圆锥表面积为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】计算出圆锥的母线长，从而计算出圆锥的表面积. 【详解】圆心角是，对应为，设扇形的半径为，也即扇形围成的圆锥母线长为， 由解得：， 所以圆锥的表面积为. （24-25高三上·河北衡水·期末）已知圆锥，的底面半径之比为2，母线长之比为，则圆锥，的侧面积之比为（   ）经典例题2例题 A． B． C． D．3 【答案】C 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的底面半径、母线长分别为，， 设它们的侧面积分别为，. （25-26高二下·云南昭通·期中）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为为底面直径，，则该圆锥的侧面积为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意求出底面半径，再根据圆锥侧面积公式求解． 【详解】解：依题意，，所以，， 圆锥的侧面积为． （24-25高一下·四川攀枝花·期末）（多选）已知圆锥的底面半径为1，母线长为4，底面圆周上有一动点，则（    ）小试牛刀2 A．圆锥的体积为 B．圆锥的侧面展开图的圆心角大小为 C．圆锥截面的面积的最大值为 D．若，且，则从点出发绕圆锥侧面一周到达点的最短长度为 【答案】ABC 【分析】对于A：求出圆锥的体积即可判断；对于B：直接求出圆锥的侧面展开图的圆心角即可判断；对于C：最大时，截面面积最大，计算可判断；对于D：利用圆锥的侧面展开图可求最短距离可判断. 【详解】对于A选项，圆锥高，体积； 对于B选项，侧面展开图弧长，圆心角； 对于C选项，截面面积， 当直径两端点为，，因为底面半径为1，故直径为2，小于母线长，故此时为锐角， 底面直径两端点，对应最大，又， 所以，故面积最大值为； 对于D选项，侧面展开图扇形圆心角， 在上且，则， 展开后扇形中，与 (对应底面同一点)的圆心角为，最短路径为线段， 由余弦定理：，故D错误． 故选：ABC. （24-25高一下·广东深圳·阶段检测）（多选）已知圆锥的顶点为P，底面半径为，高为1，A，B是底面圆周上两个动点，下列说法正确的是（    ）小试牛刀3 A．圆锥的侧面积是 B．圆锥侧面展开图的圆心角是 C．△PAB面积的最大值是 D．该圆锥内接圆柱侧面积的最大值是 【答案】AD 【分析】对于A，由圆锥侧面积公式可判断选项正误；对于B，由母线长及底面圆周长可判断选项正误；对于C，计算圆锥轴截面顶角，当时，的面积最大，据此可判断选项正误；对于D，设圆锥内接圆柱的底面半径为，高为，由题可得圆柱侧面积表达式，然后利用函数知识可判断选项正误. 【详解】根据题意，作出该圆锥的轴截面，圆锥的底面圆心为，依次分析选项：    对于A，轴截面中，，底面半径，所以母线长， 故圆锥的侧面积是，A正确； 对于B，圆锥母线长为2，展开图的弧长为，则圆心角弧度为，B错误； 对于C，由题意可知, 故圆锥轴截面的顶角为，则当时，的面积最大，其最大值为， C错误； 对于D，设圆锥内接圆柱的底面半径为，高为，则有， 化简可得，则圆柱的侧面积， 由二次函数的性质可知，当时，有最大值，D正确. 故选：AD 【题型6：圆柱的体积与表面积】 【练方法】 方法技巧 1侧面展开为矩形，矩形一组边长为底面周长，另一组边长为圆柱高 2区分侧面积、全面积：全面积包含上下两个圆形底面 3同底等高圆柱体积是圆锥体积的倍，比值小题可快速判断 公式结论 ：底面半径，：圆柱高 1体积 2侧面积 3全面积 （25-26高三上·河南商丘·期末）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，圆柱的下底面在圆锥的底面上，上底面圆的圆周在圆锥的侧面上，则圆柱的侧面积的最大值为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将圆柱侧面积的最大值问题，转化为关于圆柱底面半径的二次函数的最值问题. 【详解】由的底面半径，母线长， 所以圆锥的高. 由题可设圆柱的底面半径为()，高为. 由得，即，截得. 所以圆柱的侧面积 所以当时，侧面积取得最大值为. （25-26高三上·上海青浦·期末）已知圆柱和圆锥的底面半径相同，侧面积也相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为__________.经典例题2例题 【答案】 【分析】设圆柱的底面半径为，根据圆锥和圆柱的侧面积相等可得半径的方程，求出解后可求圆锥的体积. 【详解】设圆柱的底面半径为，则圆锥的母线长为， 圆柱和圆锥的侧面积相等，所以，即，故，故圆锥的体积为. 故答案为： （25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）已知圆锥和圆柱的底面半径均为，高均为，若圆锥与圆柱的表面积之比为，则（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题中的圆锥和圆柱的表面积的比值可得答案. 【详解】设圆锥的表面积为，圆柱的表面积为，由圆锥和圆柱的底面半径均为，高均为， 则圆锥的母线，圆柱的母线为， 则，. 由，得， 化简得，即， 所以或（舍去），所以，即. 故选：C. （24-25高一下·河南商丘·期末）已知一个圆锥和圆柱的底面半径和侧面积分别相等，且圆锥的轴截面是等边三角形，则这个圆锥和圆柱的体积之比为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设圆锥的底面半径为r，分别求出圆锥和圆柱的高（用表示），代入体积公式计算可得. 【详解】设圆锥的底面半径为r，因为圆锥的轴截面是等边三角形，所以圆锥的母线长为， 则圆锥的高为，设圆柱的高为，又圆锥和圆柱的侧面积相等， 所以，解得，所以这个圆锥和圆柱的体积之比为. 故选：C． （24-25高一下·湖南衡阳·期末）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的表面积为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据侧面积相等列方程求得底面半径，进而求得圆锥的表面积. 【详解】设两者的底面半径为r，则由侧面积相等可得，解得， 故圆锥的表面积. 故选：C 【题型7：圆台的体积与表面积】 【练方法】 方法技巧 1圆台由圆锥平行底面截取得到，上下底为同心圆，半径分别为$r、R$ 2构成直角三角形，可由任意两个量求母线长 3侧面展开为扇环，侧面积直接使用扇环统一公式，无需拆分扇形计算 公式结论 ：上底半径，：下底半径，：圆台高，：母线长 1母线勾股关系 2体积 3侧面积 4全面积 （2026·陕西榆林·模拟预测）已知圆台的上、下底面半径分别为，半径为3的球与圆台的上、下底面及母线均相切，圆台的侧面积为，则（   ）经典例题1例题 A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【详解】如图，设内切球的半径为，圆台上、下底面的圆心分别为，，则圆台内切球的球心一定在的中点处. 设球与母线切于点，则，所以，，同理，圆台的母线长为. 又，所以，解得. 由，得，所以，，.    （24-25高一下·浙江·期中）（多选）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”，它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征(如图①)，图②是一个圆台的侧面展开图(扇形的一部分)，若两个圆弧、所在圆的半径分别是3和6，且，则下列关于该圆台的说法正确的是（    ）经典例题2例题 A．高为 B．母线长为3 C．表面积为14π D．体积为 【答案】ABC 【分析】根据题意，求出圆台的上下底面圆半径、母线长和高，运用侧面积公式和体积公式，即可一一判断正误即得. 【详解】设圆台的上、下底面半径分别为， 依题意，解得，，解得， 又圆台的母线长为， 故圆台的高故A、B均正确； 圆台的侧面积为， 所以圆台的表面积为，故C正确； 圆台的体积为，故D错误. 故选：ABC. （2026·山东·模拟预测）已知圆台上、下底面半径分别为1和3，其母线与底面所成角的正弦值为 ，则该圆台的体积为（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用圆台的体积计算公式求解. 【详解】 如图所示，如图作出轴截面，为上下底面圆心，为截面的斜边，即圆台的母线. 由题意得：，，则高， 因为母线与底面所成角的正弦值为，所以，则， 则圆台体积. （2026·福建福州·三模）已知圆台的上､下底面面积分别为，且，圆台的高为3，轴截面面积为9，则该圆台的体积为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设圆台的上下底面半径为， 因为，所以，则， 则轴截面面积为，得， 则该圆台的体积为 （25-26高一下·广东茂名·期中）已知圆台的母线所在的直线和底面所成的角为，且该圆台的上、下底面的面积分别为和，则圆台的体积为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知上底面积，下底面积， 对上底：； 对下底：. 圆台轴截面中，母线与底面所成角为，高与半径差构成直角三角形的两条直角边，满足. 由于，，因此 . 则圆台体积为. 【题型8：内切球的体积与表面积】 【练方法】 方法技巧 1内切球核心特征：球心到几何体所有面距离相等，距离等于内切球半径 2多面体万能求半径方法：等体积法，，变形解出 3旋转体（圆锥、圆台）内切球，画出轴截面转化为平面内切圆求解 公式结论 ：内切球半径 1球通用基础公式 2等体积求内切球半径 3棱长为正方体的内切球半径 （25-26高一下·河北石家庄·阶段检测）正三棱锥侧棱长为，底面棱长为，该三棱锥内切球表面积是（     ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设正三棱锥的表面积、体积分别为、 ，设正三棱锥的内切球半径为，由三棱锥体积公式 可求内切球半径，从而求解出内切球的表面积. 【详解】正三棱锥的顶点 在底面的投影为底面中心 ，侧棱长 ， , 则， 侧面为全等的等腰三角形，斜高， 正三棱锥的表面积 ， 正三棱锥的体积， 设正三棱锥的内切球半径为， 由三棱锥体积公式，得 ，解得， 所以.    （2026·四川自贡·模拟预测）已知圆锥的轴截面是边长为4的正三角形，则该圆锥内切球的表面积为（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得：正三角形内切圆半径，就是圆锥内切球的半径， 且边长为4的正三角形内切圆半径为：， 所以圆锥内切球的表面积为：. （25-26高一下·河北邯郸·期中）已知正四棱锥的侧棱和底边长相等，且，球与四棱锥的所有棱均相切，则球的表面积为______．小试牛刀1 【答案】 【分析】先确定底面正方形的中心就是所求球的球心，再确定球的半径，即可确定所求球的表面积. 【详解】如图： 设正四棱锥底面中心为， 因为正四棱锥的侧棱和底边长相等，且， 则点到棱的距离为. 又，所以为等腰直角三角形，所以也是等腰直角三角形， 所以点到侧棱的距离. 所以点就是与四棱锥的所有棱均相切的球的球心，且半径为， 所以球的表面积为：. （25-26高一下·河南·期末）已知球与正四棱锥的四条侧棱和底面均相切，若，则球的表面积为（     ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先确定球的球心在上，再根据三角形相似确定球的半径，即可确定所求球的表面积. 【详解】   如图所示，为底面的中心，由图形的对称性可知球的球心在线段上， 因，则，， 在中，如图作于点，      设球的半径为，则，， 易得与相似，则，即，解得， 因此，球的表面积为. （25-26高一下·吉林长春·期中）如图，在正四面体ABCD中，放置1大、4小共5个球，其中，大球为正四面体ABCD的内切球，小球与大球及正四面体三个面均相切，若正四面体ABCD的体积为，则5个球的表面积之和为（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图所示，在正四面体中，设棱长为，高为， 为正四面体内切球的球心， 延长交底面于，是等边三角形 的中心，延长线交于， 连接，则点是的中点，为正四面体内切球的半径， ，，，， 由正四面体的体积为，得 ，解得 ， 正四面体的高，内切球半径满足，代入： ，则. 正四面体顶点到大球球心的距离为， 顶点到小球球心（小球和三个面切，满足顶点到小球球心距离为），两球外切，球心距为， 因此：，整理得，得. 由总表面积为大球表面积加4个小球表面积可得： . 【题型9：外接球的体积与表面积】 【练方法】 方法技巧 1外接球核心特征：几何体所有顶点均在球面上，球心到各顶点距离均为外接球半径 2长方体、直棱柱速解模型：外接球直径等于几何体体对角线长度 3棱锥存在垂直侧棱/底面为直角三角形：先找底面三角形外心，球心在过外心且垂直底面的直线上 公式结论 ：外接球半径 1球通用基础公式 2长宽高长方体外接球直径 3棱长为正四面体外接球半径 （25-26高一下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知四面体的4个顶点都在球的表面上，若平面，，，，则球的表面积为（     ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】采取补形法求解，将满足两两垂直棱条件的四面体补成长方体，四面体的外接球与长方体的外接球完全重合，以此快速得到外接球的直径长度，进而求得球的表面积； 【详解】已知平面，平面， 因此, 又因为，可得两两互相垂直， 将四面体补成一个三条棱长度分别为、、的长方体， 四面体的外接球与长方体的外接球完全重合，外接球的直径等于长方体的体对角线长度， 设外接球的半径为，所以， 进而求得球的表面积. （25-26高二下·浙江金华·阶段检测）已知圆锥的轴截面是面积为的正三角形，则该圆锥的外接球的体积为（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】确定球心，利用勾股定理求出球的半径，进而求解外接球的体积. 【详解】因为圆锥的轴截面是面积为的正三角形，所以圆锥底面圆的半径，圆锥的高， 因为，所以圆锥外接球的球心在线段上，如图， 设圆锥外接球的半径为，在中，， 所以，解得， 所以该圆锥的外接球的体积为. （2026·全国二卷·高考真题）已知球的体积为，A，B，C，D四点均在球O的球面上，为等边三角形，，则的面积为__________．小试牛刀1 【答案】 【分析】根据球的体积得出球的半径，由正三棱锥的对称性得出球心的位置，然后由勾股定理，列方程组求解. 【详解】由球的体积公式，，解得， 设的外心为，连接， 由题意知为该三棱锥的高，所以该三棱锥的外接球的球心在上， 不妨设在线段上，连接， 设的边长为，由正弦定理可得，， 再设，由题知，， 解得（负值表示球心在线段的延长线上，实际情况如右图）， 所以， 由三角形面积公式，. （25-26高一下·全国·期末）在高为的正四棱台中，，，则此四棱台的外接球的表面积为______.小试牛刀2 【答案】 【分析】确定上底面和下底面的中心，连接两个中心，分球心在线段上和延长线上两种情况，利用勾股定理列出方程即可求解． 【详解】如图，正四棱台中，、分别是上、下底面对角线交点， 即上、下底面中心，是正四棱台的高，． ，， 由对称性外接球球心在直线上，设球半径为，连接， 则，， 若在线段上（如图），由得， 因为，，所以方程无实数解； 因此在的延长线上（如图），即在平面下方， 因此有，解得， 所以球表面积为． （25-26高一下·浙江温州·期中）已知正四棱柱，，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_______.小试牛刀3 【答案】 【详解】由为正四棱柱，且， 所以为正方形，则正四棱柱的外接球半径， 所以球的表面积为. 【题型10：球的截面问题】 【练方法】 方法技巧 1截面核心直角三角形：球半径、截面小圆半径、球心到截面距离满足勾股定理 2过球心的截面为大圆，截面面积最大；截面离球心越远，截面圆面积越小 3已知截面面积先求，再结合距离计算球半径；已知球半径可反推截面尺寸 公式结论 ：球半径，：截面小圆半径，：球心到截面平面距离 1截面核心勾股等式 2大圆（过球心截面）：，大圆面积 3任意截面圆面积 4截面内弦长公式（为截面圆心到弦的距离） （2026·辽宁·模拟预测）（多选）如图，已知正三棱锥的棱长均为6，点为点在底面上的射影，，分别为线段，的中点，过点作平面与平面平行，点为侧面上一动点（含边界），且，则（    ）经典例题1例题 A．平面截三棱锥所得截面的面积为 B．三棱锥的内切球的表面积为 C．点的轨迹长度为 D．过点的平面截三棱锥的外接球所得截面面积的最小值为 【答案】ACD 【分析】作出平面截三棱锥所得截面，求其面积，判断A的真假；利用体积法求三棱锥的内切球半径，再求其表面积，判断B的真假；求点的轨迹，求其轨迹的长度，判断C的真假；确定点的平面截三棱锥的外接球所得截面圆半径的最小值，可得截面面积的最小值，判断 D的真假. 【详解】因为平面平面PBC，且平面平面， 过作 交于，则平面， 同理过作，分别交，于点，，过作交于，连接，则为平面截三棱锥所得的截面． 由题意，得 ，且，所以， 所以，故A正确； 因为，，所以. 设三棱锥的内切球的半径为， 由等积法得，解得， 故其表面积为，故B错误； 过作平面的垂线，垂足为，连接，则为的重心， 且，所以 ， 所以点Q的轨迹是以K为圆心，以2为半径的圆在△PBC内的部分（三段弧）， 因为每段弧的圆心角均为，故点Q的轨迹长为，故C正确； 设三棱锥的外接球的半径为，球心为， 所以， 当截面与垂直时，所得的截面圆的面积最小， 因为， 此时截面圆的半径为 ， 故截面面积为，故D正确． （25-26高二上·福建泉州·期末）（多选）正方形的边长为2，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕将折起，则在翻折过程中，下列说法正确的是（    ）经典例题2例题 A．当时，平面平面 B．当时， C．直线CE与DF始终不垂直 D．以为球心，为半径的球被平面截得的截面面积的最小值为 【答案】ACD 【分析】A求证平面，再根据面面垂直的判定定理求证；B求证，再求三角形三边长度即可；C过点作，求证不垂直，利用反证法求证；当平面时，截面圆半径最小，求出半径即可. 【详解】在正方形中，因为E，F分别为AD，BC的中点，所以是矩形， 因为，，平面， 所以平面， 因为平面，所以平面平面，故A正确； 因为平面，，所以平面， 因为平面，所以， 因为，所以， 因为，所以，则，故B错误； 过点作，垂足为，连接， 因为，所以， 在中利用余弦定理可得，， 则，即不垂直， 假设存在点使得， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以，与不垂直矛盾， 故直线CE与DF始终不垂直，故C正确； 当平面时，点到平面的距离最大，此时以为球心，为半径的球被平面截得的截面圆半径最小， 则最小半径为，则截面面积的最小值为，故D正确.    故选：ACD （2025·湖南长沙·二模）已知过球面上三点A，B，C的截面到球心的距离等于球半径的，且，，，则球的表面积是_______.小试牛刀1 【答案】 【分析】根据球的半径、球心到截面的距离及截面圆半径之间的关系求解即可. 【详解】因为， 所以是直角三角形，且直角顶点为，斜边为， 所以外接圆的半径为. 又球心到截面的距离， 根据球的截面性质得，，整理得. 所以球的表面积为. 故答案为：. （2025·河南·模拟预测）已知球是正三棱锥的外接球，，过点作球的截面，若截面面积为，则直线与该截面所成的角为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作平面，垂足为，由正三棱锥性质求出及外接球的半径，进而求得，利用球的截面性质求解. 【详解】如图，作平面，垂足为，则是正三角形的中心， 因为 ，， 所以，则， 因为，取的中点，所以， ， 设正三棱锥外接球的半径为，则，得， 所以，故， 设过点的球的截面圆的半径为，圆心为，为截面圆上一点， ，则， 所以，则， 所以与该截面所成角为，故， ，即与该截面所成角为. 故选：C. （24-25高一下·河北雄安·期末）已知球O是四棱锥的外接球，平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，，，，，且．过点M作球O的截面，所得截面圆面积的最小值为______．小试牛刀3 【答案】 【分析】取BC的中点，由给定条件可得是梯形ABCD外接圆圆心，再由球的截面性质求出球半径，进而求出长即可得解. 【详解】在等腰梯形ABCD中，连接AC，取BC的中点，连接，，如图， 由，，得四边形都为菱形， 则，即是梯形ABCD外接圆圆心， 而O为四棱锥的外接球球心，因此平面ABCD，又平面ABCD， 则，而PA为球O的弦，则过点O垂直于PA的平面必过PA的中点E，连接OE，OA， 于是，而，即有，四边形为矩形，， 因此球O的半径，在中，， ，， ，过点M的球O的最小截面圆所在平面必垂直于OM， 设此时截面圆半径为r，则，所以截面圆面积的最小值为． 故答案为： 1 学科网（北京）股份有限公司 $