精品解析：2026年广东省东莞市大朗中学中考前 模拟数学试题

2025-2026学年第二学期第三次模拟教学质量自查试卷 （九年级数学） （全卷满分120分，考试用时为120分钟） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各数中，属于无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 2025年10月23日22时30分，我国在文昌航天发射场使用长征五号运载火箭成功将通信技术试验卫星二十号发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功．下列航天领域的图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列调查中，适合采用全面调查的是（ ） A. 为保证“神舟二十号”成功发射，对其零部件进行检查 B. 调查某批次灯泡的使用寿命 C. 调查某市居民垃圾分类意识的情况 D. 调查某市市区空气质量情况 4. 某种芯片每个探针单元的面积为，0.00000164用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 5. 如图在的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图1，从边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成如图2所示的长方形．根据图形的变化过程可以验证等式（　　） A. B. C. D. 7. 我国古代把一昼夜划分成十二个时段，每一个时段（包含左边界值，不包含右边界值）叫一个时辰．某天文网站报道在某日到次日会出现流星雨，则流星雨出现在丑时的概率为（ ） 古时 戌时 亥时 子时 丑时 寅时 今时 A. B. C. D. 8. 某项工程，乙队单独完成的天数是甲队单独完成的天数的2倍．现由甲、乙两队合作10天后，余下的工程由乙队单独来做，还需6天完工．求甲队单独完成此项工程需要多少天？设甲队单独完成此项工程需要天．根据题意列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 根据下列表格的对应值，判断方程（为常数）一个解的范围是（ ） 3.23 3.24 3.25 3.26 -0.06 -0.02 0.03 0.09 A. 3 B. 3 C. 3 D. 3 10. 一个仓库里堆积着若干正方体货箱，仓库管理员要落实一下箱子的数量，可是要搬运这些箱子很困难，于是他想出一个办法：将这堆货物的三种视图画了出来，如图所示，现要取走一些货箱，但要求剩余货箱的主视图不变，最多可以取走货箱的个数为（ ）． A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 计算_______ ． 12. 已知一个多边形的每一个内角都是，则这个多边形的边数是______． 13. 一个扇形的弧长是，半径为，则该扇形的面积是______． 14. 如图，在矩形中，若，，，则的长为______． 15. 如图，点A在反比例函数的图象上，轴于点B，轴于点C，，，连接．若四边形的面积为3，则k的值为_________． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 化简，下面是甲、乙两同学的部分运算过程： （1）甲同学解法的依据是　　，乙同学解法的依据是　　；(填序号) ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律． （2）请从甲、乙同学的解法中选择一种，写出完整的化简过程，然后从，0，1，2中挑选一个合适的数代入求值． 17. 如图，在中， （1）实践与操作：点在线段上，以为圆心作，恰好过，两点，并与线段交于另一点；小东在作图时，不小心擦掉了圆心以及部分圆弧，如图所示．请你用尺规作图：作出点与点，并补全． （2）在（1）的条件下，若．求证：直线是的切线． 18. 机器人竞走比赛是对机器人运动控制、环境适应等技术的极限测试，能推动技术迭代，还能普及科技知识，点燃大众对前沿科技的热情．如图，在某次机器人竞走比赛中，机器人从点A沿北偏东方向直行到点B，然后从点B沿南偏西方向直行到点C． 若点C在点A的正东方向，求A，C两点间的距离．（结果精确到；参考数据： ， ， ，） 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 某校生物老师组织学生开展“土壤的酸碱度对植物生长的影响”实验探究．学生分别向六个培养盆装入不同酸碱度（值）的土壤，在其他条件均相同的情况下，在每个培养盆中种植8株蒜苗．一段时间后测量蒜苗的高度（单位：），并对所得的相关数据进行整理、描述、分析．下面给出了部分信息： a．不同酸碱度（值）的土壤中蒜苗高度的平均数和中位数的条形统计图（不完整）如下： b．酸碱度（值）为6和6.3的土壤中蒜苗高度的数据如表： 土壤的酸碱度（值） 蒜苗高度 平均数 中位数 6 13.6 12.8 14 12.8 12.9 12.7 13.3 13.5 13.2 n 6.3 12.8 11.9 11.7 12.5 11.3 13.3 12.3 12.6 m 12.4 c．不同酸碱度（值）的土壤中蒜苗高度的方差如表： 值 5 6 6.3 6.8 8 10 方差 0.381 0.195 0.3625 0.364 0.425 0.4332 根据以上信息，回答下列问题： （1）请直接写出m，n的值，并补全条形统计图． （2）根据以上实验数据，该校计划在酸碱度（值）为6的试验田中种植120株蒜苗（其他条件与培养盆的条件相同），经过相同时间后测量蒜苗的高度，请估计这块试验田中高度不低于的蒜苗有多少株． （3）请你从以上实验数据的平均数、中位数、方差这三个统计量中选择两个分析土壤的酸碱度（值）对蒜苗生长高度的影响． 20. 【问题背景】 新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达到保护环境的目的． 【实验操作】 为了解充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，以及汽车电池需要多久能充满，某综合实践小组设计了两组实验． 实验一：探究充满电量状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示电量与行驶里程s（千米）的关系，数据记录如下表： 汽车行驶过程 已行驶里程s（千米） 0 160 200 280 显示电量 100 60 50 30 实验二：探究电池充电状态下电动汽车仪表盘增加的电量与时间t（分钟）的关系，发现y与t之间满足关系式． 【建立模型】 （1）观察发现实验一是一次函数模型，请结合表中的数据，求出e与s之间的函数表达式； 【解决问题】 （2）某电动汽车在充满电量的状态下出发，前往距离出发点460千米处的目的地，若电动汽车行驶一段距离后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后继续行驶，且到达目的地后电动汽车仪表盘显示电量为，则电动汽车在服务区充电多长时间？ 21. 若正整数对满足：，（ ， 为正整数），则称为平方匹配数对．例：，，则为平方匹配数对． （1）判断是否为平方匹配数对； （2）若是平方匹配数对，求证：也是平方匹配数对． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 已知抛物线（，为常数，）的对称轴为直线． （1）若抛物线经过，求函数的解析式及抛物线的顶点坐标． （2）若该抛物线开口向下，当时，抛物线的最高点为，纵坐标为5，最低点为，求点和点的坐标． （3）已知直线上有两点，，其中点的横坐标为1，点的纵坐标为．若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围． 23. 定义：平行四边形一组邻边的两个中点与不在这组邻边上的顶点顺次连接所得的三角形如果是直角三角形，则称这个三角形为这个平行四边形的“半隅三角形”． （1）如图1， 是矩形的半隅三角形．．若 ，求 的长． （2）如图2，是平行四边形的半隅三角形，．请你猜想与的数量关系，并说明理由． （3）如图3，在中，，，以 为半隅三角形的平行四边形的一组邻边的长记为a，b（），求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期第三次模拟教学质量自查试卷 （九年级数学） （全卷满分120分，考试用时为120分钟） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各数中，属于无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简后，根据无理数的定义解答即可； 【详解】解： A． ，为整数，属于有理数． B． ，为整数，属于有理数． C． 为有限小数，属于有理数． D． 是无限不循环小数，属于无理数． 2. 2025年10月23日22时30分，我国在文昌航天发射场使用长征五号运载火箭成功将通信技术试验卫星二十号发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功．下列航天领域的图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意， 3. 下列调查中，适合采用全面调查的是（ ） A. 为保证“神舟二十号”成功发射，对其零部件进行检查 B. 调查某批次灯泡的使用寿命 C. 调查某市居民垃圾分类意识的情况 D. 调查某市市区空气质量情况 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查全面调查的定义，掌握全面调查与抽样调查的区别是解题的关键． 根据全面调查与抽样调查的适用范围，逐一进行判断即可． 【详解】解：全面调查是对调查对象的所有单位进行调查的方式，适用于事关重大、不允许有误差、调查对象数量相对有限且无破坏性的情况， A、“神舟二十号”零部件检查事关发射成败，必须确保每个零部件合格，适合全面调查，故选项A符合题意； B、调查灯泡使用寿命具有破坏性，适合抽样调查，故选项B不符合题意； C、某市居民数量庞大，全面调查工作量大，适合抽样调查，故选项C不符合题意； D、某市市区范围大，全面调查难度高，适合抽样调查，故选项D不符合题意； 综上，选项A符合题意． 故选：A． 4. 某种芯片每个探针单元的面积为，0.00000164用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】绝对值小于1的数利用科学记数法表示的一般形式为a×10-n，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：0.00000164=1.64×10-6， 故选：B． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小数的方法，写成a×10-n的形式是关键． 5. 如图在的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：由网格可知： ， ∴，即， ∴． 6. 如图1，从边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成如图2所示的长方形．根据图形的变化过程可以验证等式（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平方差公式与几何图形的面积，由图1中大正方形的面积小正方形的面积图2长方形的面积，即可得出结果． 【详解】解：由题意，； 故选D． 7. 我国古代把一昼夜划分成十二个时段，每一个时段（包含左边界值，不包含右边界值）叫一个时辰．某天文网站报道在某日到次日会出现流星雨，则流星雨出现在丑时的概率为（ ） 古时 戌时 亥时 子时 丑时 寅时 今时 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用丑时在流星雨时段内的时长除以流星雨的总时长，得到所求概率． 【详解】解：首先计算流星雨的总时长： ∵流星雨的时段为当日到次日， ∴总时长为小时； 由表格可知，丑时对应的时段为次日，全部属于流星雨的观测时段， ∴丑时的时长为小时； 因此流星雨出现在丑时的概率． 8. 某项工程，乙队单独完成的天数是甲队单独完成的天数的2倍．现由甲、乙两队合作10天后，余下的工程由乙队单独来做，还需6天完工．求甲队单独完成此项工程需要多少天？设甲队单独完成此项工程需要天．根据题意列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意并正确列方程是解题关键．设甲队单独完成此项工程需要天，则乙队单独完成需要天，从而表示出甲、乙两人的效率，再根据合作10天和乙单独6天完成总工作量1列方程即可． 【详解】解：设甲队单独完成此项工程需要天，则乙队单独完成需要天， ∴甲效率为，乙效率为， ∴合作10天完成的工作量为，乙单独6天完成的工作量为，总工作量为1， ∴列方程， 故选：A． 9. 根据下列表格的对应值，判断方程（为常数）一个解的范围是（ ） 3.23 3.24 3.25 3.26 -0.06 -0.02 0.03 0.09 A. 3 B. 3 C. 3 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，方程的解就是二次函数与x轴交点的横坐标，只需找出函数值由负变正对应的x范围即可． 【详解】令（，，，为常数）， ∵当时，， 当时，， ∴当时，必然取到0， 即方程的一个解的范围是：． 10. 一个仓库里堆积着若干正方体货箱，仓库管理员要落实一下箱子的数量，可是要搬运这些箱子很困难，于是他想出一个办法：将这堆货物的三种视图画了出来，如图所示，现要取走一些货箱，但要求剩余货箱的主视图不变，最多可以取走货箱的个数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由三视图可确定出货箱的个数，再根据要求主视图不变即可确定最多可取走的货箱数量． 【详解】解：依题意得：俯视图每个正方形位置上的正方体个数如图所示： 由俯视图知，货物底部有6个货箱，上面一层从左往右数第二列前后各有一个，货物总共有8个货箱； 要保持主视图不变，则货物最右边那列最多可以搬走其中的两个货箱，中间一列最多可以搬走两个货箱，故最多可以取走4箱货物 ． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 计算_______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂，负整数指数幂． 先计算零指数幂，负整数指数幂，再计算减法即可． 【详解】， 故答案为：． 12. 已知一个多边形的每一个内角都是，则这个多边形的边数是______． 【答案】12 【解析】 【分析】设这个多边形的边数为，根据多边形内角和公式建立一元一次方程，计算求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 根据多边形内角和公式可得： 展开得 移项合并同类项得 解得 故这个多边形的边数是． 13. 一个扇形的弧长是，半径为，则该扇形的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用扇形面积公式，其中为弧长，为半径，代入已知条件计算即可得到结果． 【详解】解：由题意得，，， 根据扇形的面积公式可得． 14. 如图，在矩形中，若，，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理以及相似三角形的判定与性质．根据勾股定理求出，再利用相似三角形的判定与性质进行解答即可． 【详解】解：在矩形中， ，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 15. 如图，点A在反比例函数的图象上，轴于点B，轴于点C，，，连接．若四边形的面积为3，则k的值为_________． 【答案】9 【解析】 【分析】根据反比例函数的定义设点坐标为，得到，，，，可求得四边形、三角形、三角形的面积，可求出四边形的面积表达式，根据四边形的面积为3，可求k的值． 【详解】解：设点坐标为， ∴，， 又∵轴于点，轴于点， ∴ 则四边形为矩形， 四边形的面积为，，， 根据题意有，， 则，， ，， 四边形的面积为， 根据题意得， 解得． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 化简，下面是甲、乙两同学的部分运算过程： （1）甲同学解法的依据是　　，乙同学解法的依据是　　；(填序号) ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律． （2）请从甲、乙同学的解法中选择一种，写出完整的化简过程，然后从，0，1，2中挑选一个合适的数代入求值． 【答案】（1）②，③； （2），时值为4（或时值为） 【解析】 【小问1详解】 甲同学将分式通分后合并，依据是分式的基本性质②；乙同学利用乘法分配律展开，依据是乘法分配律③； 【小问2详解】 选择甲同学的方法： 原式 要使得原式有意义，则， 取代入得：原式， 取代入得：原式； 选择乙同学的方法： 原式 要使得原式有意义，则， 取代入得：原式， 取代入得：原式． 17. 如图，在中， （1）实践与操作：点在线段上，以为圆心作，恰好过，两点，并与线段交于另一点；小东在作图时，不小心擦掉了圆心以及部分圆弧，如图所示．请你用尺规作图：作出点与点，并补全． （2）在（1）的条件下，若．求证：直线是的切线． 【答案】（1） （2）证明：如下图所示，连接， 则， ， ， ， ， 为的半径， 直线是的切线． 【解析】 【分析】（1）作线段的垂直平分线交于点，以点为圆心，为半径画圆，与交于点，则点，点与为所求； （2）连接，利用圆周角定理得到，则可证明，再利用圆的切线的判定定理解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 机器人竞走比赛是对机器人运动控制、环境适应等技术的极限测试，能推动技术迭代，还能普及科技知识，点燃大众对前沿科技的热情．如图，在某次机器人竞走比赛中，机器人从点A沿北偏东方向直行到点B，然后从点B沿南偏西方向直行到点C． 若点C在点A的正东方向，求A，C两点间的距离．（结果精确到；参考数据： ， ， ，） 【答案】 【解析】 【分析】过点 B 作，交的延长线于点 D，求得 作差求解即可； 【详解】解：过点 B 作，交的延长线于点 D， 根据题意，得， 在 中， ； ， 在中，， ． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 某校生物老师组织学生开展“土壤的酸碱度对植物生长的影响”实验探究．学生分别向六个培养盆装入不同酸碱度（值）的土壤，在其他条件均相同的情况下，在每个培养盆中种植8株蒜苗．一段时间后测量蒜苗的高度（单位：），并对所得的相关数据进行整理、描述、分析．下面给出了部分信息： a．不同酸碱度（值）的土壤中蒜苗高度的平均数和中位数的条形统计图（不完整）如下： b．酸碱度（值）为6和6.3的土壤中蒜苗高度的数据如表： 土壤的酸碱度（值） 蒜苗高度 平均数 中位数 6 13.6 12.8 14 12.8 12.9 12.7 13.3 13.5 13.2 n 6.3 12.8 11.9 11.7 12.5 11.3 13.3 12.3 12.6 m 12.4 c．不同酸碱度（值）的土壤中蒜苗高度的方差如表： 值 5 6 6.3 6.8 8 10 方差 0.381 0.195 0.3625 0.364 0.425 0.4332 根据以上信息，回答下列问题： （1）请直接写出m，n的值，并补全条形统计图． （2）根据以上实验数据，该校计划在酸碱度（值）为6的试验田中种植120株蒜苗（其他条件与培养盆的条件相同），经过相同时间后测量蒜苗的高度，请估计这块试验田中高度不低于的蒜苗有多少株． （3）请你从以上实验数据的平均数、中位数、方差这三个统计量中选择两个分析土壤的酸碱度（值）对蒜苗生长高度的影响． 【答案】（1）；；见解析； （2）这块试验田中高度不低于的蒜苗有60株； （3）见解析； 【解析】 【分析】（1）根据平均数、中位数的定义求解，即可补全条形统计图； （2）先求出当酸碱度（值）为6时，蒜苗高度不低于的占比为，再用120乘以占比即可； （3）根据条形统计图以及平均数、中位数和方差的意义分析即可． 【小问1详解】 解：由题意得，； 将值为6的8个数据从小到大排列为：12.7，12.8，12.8，12.9，13.3，13.5，13.6，14， ∴中位数 ， 补全条形统计图如下： 【小问2详解】 解：根据以上实验数据，该校计划在酸碱度（值）为6的试验田中种植120株蒜苗（其他条件与培养盆的条件相同），经过相同时间后测量蒜苗的高度，则： 根据实验数据可得，当酸碱度（值）为6时，蒜苗高度不低于的占比为， ∴（株） 答：这块试验田中高度不低于的蒜苗有60株； 【小问3详解】 解：①从平均数角度分析：土壤的酸碱度（值）为6时，蒜苗生长高度的平均数最高，说明该酸碱度下蒜苗的整体生长水平最优；当值偏离6（无论升高或降低），平均数均呈下降趋势； ②从中位数角度分析：土壤的酸碱度（值）为6时，蒜苗生长高度的中位数最高，与平均数趋势一致，进一步验证该酸碱度下蒜苗的中等生长高度也最优； ③从方差角度分析：土壤的酸碱度（值）为6时方差最小，说明该酸碱度下蒜苗个体间的高度差异最小，生长状态最稳定；土壤的酸碱度（值）为10时方差最大，说明该酸碱度下蒜苗个体生长差异最大，生长状态最不稳定． 20. 【问题背景】 新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达到保护环境的目的． 【实验操作】 为了解充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，以及汽车电池需要多久能充满，某综合实践小组设计了两组实验． 实验一：探究充满电量状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示电量与行驶里程s（千米）的关系，数据记录如下表： 汽车行驶过程 已行驶里程s（千米） 0 160 200 280 显示电量 100 60 50 30 实验二：探究电池充电状态下电动汽车仪表盘增加的电量与时间t（分钟）的关系，发现y与t之间满足关系式． 【建立模型】 （1）观察发现实验一是一次函数模型，请结合表中的数据，求出e与s之间的函数表达式； 【解决问题】 （2）某电动汽车在充满电量的状态下出发，前往距离出发点460千米处的目的地，若电动汽车行驶一段距离后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后继续行驶，且到达目的地后电动汽车仪表盘显示电量为，则电动汽车在服务区充电多长时间？ 【答案】（1） ；（2）35分钟 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握一次函数的性质是解答本题的关键． （1）根据表格数据，待定系数法求出函数解析式即可； （2）先计算行驶后ｅ的值，然后求出增加的电量，最后根据增加的电量y与t之间满足关系式，求出时间t即可． 【详解】解：（1）设e与s之间的函数表达式为，将，代入，得： ， 解得， ∴e与s之间的函数表达式为； （2）由题意得，若在满电的情况下行走， 当时，， ∴走完全程电量显示，即走完全程共需电量，到达目的地后显示电量， 故汽车充电增加电量为， 当时，， ∴电动汽车在服务区充电35分钟． 21. 若正整数对满足：，（ ， 为正整数），则称为平方匹配数对．例：，，则为平方匹配数对． （1）判断是否为平方匹配数对； （2）若是平方匹配数对，求证：也是平方匹配数对． 【答案】（1）是平方匹配数对 （2）证明：∵是平方匹配数对， ∴，， 设 ，， ， ， ∵ ， 为正整数，∴为正整数， 是一个正整数的平方， ∵，， ∵ ， ∴， ∴ 与 都是正整数，满足平方匹配数对的定义， ∴也是平方匹配数对． 【解析】 【分析】（1）根据平方匹配数对的定义求解即可判断； （2）设 ， ，计算得出，，再根据平方匹配数对的定义求解即可判断． 【小问1详解】 解：∵ ， ，，， ∴ ， ，都是正整数，满足平方匹配数对的定义， ∴是平方匹配数对； 【小问2详解】 略 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 已知抛物线（，为常数，）的对称轴为直线． （1）若抛物线经过，求函数的解析式及抛物线的顶点坐标． （2）若该抛物线开口向下，当时，抛物线的最高点为，纵坐标为5，最低点为，求点和点的坐标． （3）已知直线上有两点，，其中点的横坐标为1，点的纵坐标为．若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围． 【答案】（1）函数解析式为，顶点坐标为 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）由题意易得，然后把点代入抛物线解析式进行求解即可； （2）由（1）可知：抛物线的解析式为，由题意易得当时，有最大值，然后得出抛物线的解析式，进而问题可求解； （3）由题意易得，然后可得抛物线不过点，进而可分和进行分类求解即可． 【小问1详解】 解：由抛物线（，为常数，）的对称轴为直线，可得：，即， ∴抛物线的解析式为， ∵抛物线经过， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为， 配方得：， ∴顶点坐标为； 【小问2详解】 解：由（1）可知：抛物线的解析式为，由题意得：当时，有最大值， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为， ∵，且， ∴根据开口向下，离对称轴越近，其对应的函数值也就越大，可知：当时，有最小值，即为， ∴； 【小问3详解】 解：由题意得： 把代入直线得：；把代入直线得：， ∴， 把代入抛物线得：， ∴抛物线的图象始终过点，所以抛物线不过点， ①当抛物线开口向上时，即， ∴当抛物线过点时，则有，解得：， ∴抛物线不过点， 此时抛物线与直线始终有一个交点； ②当抛物线开口向下时，即， ∴当抛物线过点时，则有，解得：， 要使抛物线与线段恰有一个公共点，则需满足， ∴； 综上所述：的取值范围为或． 23. 定义：平行四边形一组邻边的两个中点与不在这组邻边上的顶点顺次连接所得的三角形如果是直角三角形，则称这个三角形为这个平行四边形的“半隅三角形”． （1）如图1， 是矩形的半隅三角形．．若 ，求 的长． （2）如图2，是平行四边形的半隅三角形，．请你猜想与的数量关系，并说明理由． （3）如图3，在中，，，以 为半隅三角形的平行四边形的一组邻边的长记为a，b（），求的值． 【答案】（1）． （2），理由如下： 如图，延长交的延长线于点， 四边形是平行四边形， ， 分别是中点， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又， 垂直平分， ， ． （3）． 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质和勾股定理表示出各边长度，由列方程求解即可； （2）延长交的延长线于点，可证明以及垂直平分，从而将转化为，再利用全等和平行四边形的性质即可得出； （3）分三种情况讨论：①作为中点；②作为中点；③作为中点，三种情况大致思路都是先作辅助线构造全等三角形，再作对应边的垂线，通过矩形的性质、全等三角形的性质、勾股定理来表示各边长度，最后求． 【小问1详解】 解：由矩形的性质得， 由半隅三角形定义知分别是中点，则， 设，则， 在中，分别由勾股定理可得， 化简可得， 解得（舍去负值）， ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：分三种情况讨论： ①作为中点，四边形是平行四边形 如图，延长交延长线于点，过作于点， 同理可得：，垂直平分， ∴，， ， 设，则， 由勾股定理得， 则，， ， ， 由勾股定理得， ， 由勾股定理得， ， ． ②作为中点，四边形是平行四边形， 如图，延长交的延长线于点，过作于点， 设， 则由勾股定理得， 同理可得：， 则， ， ， ， 由勾股定理得， ， 由勾股定理得， ． ③作为中点，四边形是平行四边形， 如图，延长交的延长线于点F，过作于点， 同理可证：， ，， 设， 则由勾股定理得， ， 则由勾股定理得， 是等腰直角三角形，，且， 也是等腰直角三角形，， ， ， ， ， 由勾股定理得， ， 综上所述，可能的值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $