2025-2026学年高一下学期数学期末复习课程任务三十二 ·球的切、接问题 课件

这是一份高一数学期末复习课件，聚焦球的切接问题，包含定义法、补形法（侧棱垂直底面、对棱相等）、截面法、内切球及最值问题等模块，通过例题、变式探究、规律要语和及时练构建学习支架，助力学生系统复习。 资料特色突出，以数学思维为核心，通过补形法将三棱锥还原为长方体（如对棱相等四面体）培养空间观念，截面法结合球的截面性质提升几何直观，例题与及时练呼应强化推理能力。能帮助学生掌握解题策略，也为教师提供结构化教学资源，提升期末复习效率。

任务三十二·球的切、接问题 高一数学期末复习课程 例1：已知正三棱台的高为1,上、下底面的边长分别为3和4,其顶点都在同一球面上,则该球的表面积为(　　) A.100π B.128π C.144π D.192π A ①.定义法 解析:设外接球的半径为R,由题意得,上底面所在平面截球所得圆的半径是3,下底面所在平面截球所得圆的半径是4,在轴截面中,设球心到上、下底面的距离分别为d1,d2,则d1=,d2=,故|d1-d2|=1或|d1+d2|=1,则=1或=1,解得R2=25符合题意.因此球的表面积是S=4πR2=4π·25=100π.故选A. 变式探究：本例中的“正三棱台”改为“高为1,底面边长为4的正三棱锥”,求该球的表面积. 解 设该正三棱锥为V-ABC,点M为△ABC的中心,连接VM,CM.易知正三棱锥外接球的球心位于VM的延长线上,设为O,连接OC.设外接球的半径为R,则OV=OC=R,VM=1, 所以OM=R-1,CM=AB=4=4. 在Rt△OMC中,有R2=(R-1)2+42,解得R=, 所以外接球的表面积为4πR2=289π. 及时练1：已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为2,侧棱PA与底面ABCD所成的角为45°,顶点P,A,B,C,D在球O的球面上,则球O的体积是(　　) A.16π B. C.8π D. B 解析:在正四棱锥P-ABCD中,连接AC,BD,设AC∩BD=O',连接PO',如图,则有PO'⊥平面ABCD,∠PAO'为侧棱PA与底面ABCD所成的角,即∠PAO'=45°,于是得O'P=O'A=O'B=O'C=O'D=AB=2,因此,顶点P,A,B,C,D在以O'为球心,2为半径的球面上,即点O与O'重合, 所以球O的体积是V=23= 例2 已知点S,A,B,C均在半径为2的球面上,△ABC是边长为3的等边三角形,SA⊥平面ABC,则SA=　　　　　. 2 ②.补形法——存在侧棱与底面垂直 解析:如图,设△ABC的外接圆圆心为O1,连接O1A,因为△ABC是边长为3的等边三角形,所以其外接圆半径r=O1A=3=将三棱锥S-ABC补形为正三棱柱SB1C1-ABC,由题意知SA为侧棱,设球心为O,连接OO1,OA,则OO1⊥平面ABC,且OO1=SA.又球的半径R=OA=2,OA2=O+O1A2,所以4=SA2+3,得SA=2. 2.如图,平面四边形ADBC中,AB⊥BC,AB=, BC=2,△ABD为等边三角形,现将△ABD沿AB翻折,使点D移动至点P,且PB⊥BC,则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为　　　. 16π 解析 因为AB⊥BC,PB⊥BC,AB∩PB=B,AB,PB⊂平面PAB,所以BC⊥平面PAB. 将三棱锥P-ABC补为如图所示的直三棱柱,则它们的外接球相同, 外接球的球心O为棱柱上、下底面三角形的外心连线的中点,设△PAB的外心为点E,由△ABD为等边三角形,AB=,得BE==1, 因为OE=BC=,所以在Rt△OBE中,OB==2, 即外接球的半径为2,所以外接球的表面积为4π×22=16π. 及时练2：已知三棱锥P-ABC中,PB⊥平面ABC, PB=2,AC=6,∠ABC=120°,则三棱锥P-ABC外接球的表面积为　　　　. 60π 解析:由题意,将三棱锥P-ABC补成直三棱柱TPS-ABC,则该直三棱柱的外接球即为三棱锥P-ABC的外接球,且直三棱柱的外接球球心落在上、下底面外接圆圆心连线的中点上. 设△ABC外接圆的半径为r,三棱锥P-ABC外接球的半径为R, 因为PB⊥平面ABC,PB=2,AC=6,∠ABC=120°, 由正弦定理得,2r==4, 所以r=2,R2=r2+()2=12+3=15. 所以三棱锥P-ABC外接球的表面积为S=4πR2=60π. 例3 已知四面体ABCD中,AB=CD=2,AC=BD=, AD=BC=,则四面体ABCD外接球的体积为(　　) A.45π B. C. D.24 C ③.补形法——对棱相等 解析:设四面体ABCD的外接球的半径为R,因为四面体的对棱相等,所以可以把四面体的棱看成长方体的面对角线,设四面体ABCD在一个长、宽、高为a,b,c的长方体中,如图,则 故R=, 故四面体ABCD外接球的体积为V=R3= (2)在三棱锥P-ABC中,已知PA=BC=2, AC=BP=,CP=AB=,则三棱锥P-ABC外接球的表面积为(　　) A.77π B.64π C.108π D.72π A 解析 因为三棱锥的对棱相等,所以可以把它看成某个长方体的面对角线构成的几何体.设长方体过同一顶点的三条棱长分别为a,b,c,且长方体的面对角线长为2,不妨令=2 ,则a2+b2=52,c2+b2=41,a2+c2=61, 则a2+b2+c2=(52+41+61)=77. 因为长方体体对角线的长为长方体外接球的直径, 即为三棱锥外接球的直径, 所以三棱锥外接球的半径为, 所以外接球的表面积为4π()2=77π.故选A. 及时练3： 在三棱锥P-ABC中,PA=BC=2,PB=AC=,AB=PC=5,则三棱锥P-ABC的外接球的表面积是　　　　　. 29π 解析:如图,将三棱锥P-ABC放到长方体中,可得长方体的三条面对角线长分别为2,5.设长方体的长、宽、高分别为a,b,c, 即=2=5, 解得a=4,b=2,c=3. 长方体的体对角线即为三棱锥和 长方体公共外接球的直径2R, 所以(2R)2=a2+b2+c2=29,故S球=4πR2=29π. 例4 已知A,B,C为球O的球面上的三个点,☉O1为△ABC的外接圆.若☉O1的面积为4π,AB=BC=AC=OO1,则球O的表面积为(　　) A.64π B.48π C.36π D.32π A 解析:由题意知☉O1的半径r=2.由正弦定理知=2r, ∴OO1=AB=2rsin 60°=2,∴球O的半径R==4. ∴球O的表面积为4πR2=64π. ④.截面法 (2)已知A,B,C为球O的球面上的三个点,☉O1为△ABC的外接圆.若☉O1的面积为4π,AB=BC=AC=OO1,则球O的表面积为(　　) A.64π B.48π C.36π D.32π A 解析 设圆O1的半径为r,球的半径为R. 依题意,得πr2=4π, ∴r=2. ∵△ABC为等边三角形, 由正弦定理可得AB=2rsin 60°=2, ∴OO1=AB=2 根据球的截面性质得OO1⊥平面ABC, ∴OO1⊥O1A,R=OA==4, ∴球O的表面积S=4πR2=64π. 及时练4：已知三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的球面上,PB=PC=2,AB=AC=4,PA=BC=2,则球O的表面积为(　　) A. B. C. D. A 解析:在三棱锥P-ABC中,如图,AB2+PA2=20=PB2,则PA⊥AB,同理PA⊥AC, 而AB∩AC=A,AB,AC⊂平面ABC,因此PA⊥平面ABC, 在等腰三角形ABC中,AB=AC=4,BC=2,则cos∠ABC=, sin∠ABC=令△ABC的外接圆圆心为O1,则OO1⊥平面ABC,O1A=,有OO1∥PA,取PA中点D,连接OD,则有OD⊥PA,又O1A⊂平面ABC,即O1A⊥PA,从而O1A∥OD,四边形ODAO1为平行四边形,OO1=AD=1,又OO1⊥O1A,因此球O的半径R2=OA2=O1A2+O1O2=()2+12=,所以球O的表面积S=4πR2= 例5 (1)在《九章算术》中,将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑A-BCD中,AB⊥平面BCD,BC⊥CD,且AB=BC=CD=1,则其内切球表面积为 (　　) A.3π B. C.(3-2)π D.(-1)π C ⑤.内切球 解析:因为四面体ABCD四个面都为直角三角形,AB⊥平面BCD,BC⊥CD, 所以AB⊥BD,AB⊥BC,BC⊥CD,AC⊥CD, 设四面体ABCD内切球的球心为O,半径为r, 则VABCD=VO-ABC+VO-ABD+VO-ACD+VO-BCD =r(S△ABC+S△ABD+S△ACD+S△BCD),所以r= 因为四面体ABCD的表面积为SABCD=S△ABC+S△ABD+S△ACD+S△BCD=1+,又因为四面体ABCD的体积VABCD=1×1×1=, 所以r=,所以该四面体的内切球表面积S=4πr2=(3-2)π. (2)已知三棱锥P-ABC的棱长均为4,先在三棱锥P-ABC内放入一个内切球O1,然后再放入一个球O2,使得球O2与球O1及三棱锥P-ABC的三个侧面都相切,则球O2的表面积为　　　　　. 解析:如图所示,依题意得S△ABC=4×4×sin 60°=4,底面ABC的外接圆半径为2r1=,即r1=,点P到平面ABC的距离为d=,所以VP-ABC=4 又因为S△PBC=S△PAB=S△PAC=4×4×sin 60°=4, 设球O1的半径为R,所以VP-ABC=+VO-ABC, 则(44)·R,得R=, 设球O2的半径为r,则, 又R=,得r=,所以球O2的表面积为S=4π()2= 及时练5 在三棱锥A-BCD中,对棱AB=CD=2,AD=BC=,AC=BD=, 则该三棱锥的内切球表面积为　　　　　. 解析:因为三棱锥A-BCD每组对棱棱长相等, 所以可以把三棱锥ABCD放入长方体中, 设长方体的长、宽、高分别为x,y,z,如右图所示, 则=2, 解得x=y=2,z=1, 三棱锥A-BCD的体积V=xyz-xyz×4=xyz= 在△ABC中,AC=BC=,AB=2,取AB的中点E,连接CE,如右图所示,则CE⊥AB,且CE=,所以S△ABC=AB·CE=,因为三棱锥A-BCD的每个面的三边分别为,2,所以三棱锥A-BCD的表面积为S=4S△ABC=4,设三棱锥A-BCD的内切球半径为r,则V=Sr,可得r=,所以该三棱锥的内切球表面积为4πr2= 例6 (1)已知在三棱锥A-BCD中,AB⊥BD,AC⊥CD, AB=8,BD=6,点P为三棱锥A-BCD外接球上一点,则三棱锥P-ABD的体积最大为　　　　　. 40 ⑥.与球切、接有关的最值问题 解析:在三棱锥A-BCD中,由AB⊥BD且AB=8,BD=6,可得AD=10,取AD的中点O,连接OB,OC,因为AB⊥BD,AC⊥CD,可得OB=OC=AD,所以点O为三棱锥A-BCD的外接球的球心,其中AD为外接球的直径,设外接球的半径为R,可得R=AD=5,当点P到平面ABD的距离为R时,此时三棱锥P-ABD的体积最大,体积的最大值为V=AB·BD×R=8×6×5=40. 及时练6 ：如图,已知球的表面积为16π,若将该球放入一个圆锥内部,使球与圆锥底面和侧面都相切,则圆锥的体积的最小值为　　　　　. 解析:依题意,得球的半径R=2,设圆锥的底面半径为r(r>2),圆锥的高为h, 则母线长为,如图是圆锥的轴截面, 则轴截面的面积S=2r×h=(2r+2)R,即rh-2r=2,平方整理得h=,则圆锥的体积V=r2h= (方法一)V=, 令t=r2-4,则V=(t++8)(8+2)=, 当且仅当t=4时取得最小值,此时r=2 (方法二)V=,所以V'=,当r2-8>0,即r>2时,V'>0,V(r)单调递增,当r2-8<0,即0<r<2时,V'<0,V(r)单调递减,所以当r=2时,V最小,且最小值为 (2)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AA1=4,AC=BC=2,∠ACB=90°,D在上底面A1B1C1(包括边界)上运动,则三棱锥D-ABC的外接球体积的最大值为(　　) A.4π B.8π C.8π D.12π C 解析 因为AC=BC=2,∠ACB=90°,所以△ABC的外接圆的圆心为AB的中点,记为O1,则AO1=BO1=,取A1B1的中点E, 连接O1E,则O1E∥AA1,所以O1E⊥平面ABC. 设三棱锥D-ABC的外接球的球心为O,则点O在O1E上, 连接OA,OD,OE. 设OO1=x,DE=t(0≤t),球半径为R, 因为OA=OD=R,所以,即t2=8x-14,因为0≤t,所以x≤2,因为R2=2+x2,所以R2≤6,即外接球半径的最大值为, 所以三棱锥D-ABC的外接球的体积的最大值为V==8 任 务 完 成 $