精品解析：贵州遵义市第五中学2026届高三6月信息质量监测数学试题

遵义五中2026届高三信息质量监测 数学 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、姓名、班级和准考证号填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不能使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则 （ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，则 （ ） A. B. 0 C. 1 D. 5 4. 对于一个声强为I（单位：）的声波，其声强级L（单位：）可由如下公式计算：（其中是能引起听觉的最弱声强）.设声强为时的声强级为70，声强为时的声强级为60，则等于（ ） A. 10 B. 100 C. D. 10000 5. 用这个数字可以组成没有重复数字三位数的个数是（ ） A. B. C. D. 6. 已知 是圆上的一动点，点 在轴上的投影为点 ，若，则点 的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 7. 若函数在定义域上恰有三个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列满足，数列满足．下列关于方程（，）的说法，正确的是（ ） A. 该方程无解 B. 该方程有唯一解 C. 该方程有有限个解且多于1个 D. 该方程有无穷多解 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的图像可由 的图像向左平移个单位长度得到 C. 函数的一条对称轴为直线 D. 函数在上单调递减 10. 设，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，在上单调递增 B. 当时，曲线在处的切线方程为 C. 当时，有唯一极小值点 D. 若有两个零点，则 11. 已知正方体的棱长为6， ， ， 分别为 ， ，的中点， 为正方形内一点（包含边界）．下列说法正确的是（ ） A. 经过 ， ， 三点的截面形状为四边形 B. 点到经过 ， ， 三点的截面的距离为 C. 存在点 ，使得点和点 到平面的距离相等 D. 三棱柱 外接球的表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在的展开式中，的系数是______．（用数字作答） 13. 已知等比数列的各项均为正数，若，则数列的前100项和为________． 14. 已知双曲线 ：（， ）的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，为双曲线 上一点，若，的斜率之积为，，的斜率之积为，且的面积为，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记 的内角，， 的对边分别为 ，， ，已知 ． （1）求角 ； （2）若，，求 的面积． 16. 已知函数在处取得极小值． （1）求实数，的值； （2）若的切线过点，求的最大值． 17. 某人工智能公司为提升新用户留存率，对智能内容推荐系统的推送策略进行优化，相关优化数据如下： 推送策略 原策略选择概率 优化后策略选择概率 互动成功率 单次算力成本（元） 策略1（精准匹配） 0.2 0.4 0.9 10 策略2（模糊匹配） 0.5 0.4 0.6 5 策略3（宽泛匹配） 0.3 0.2 0.3 2 注：①互动成功指用户完成点赞、评论、转发任一行为；②单次推送结果相互独立，策略选择概率为公司实际投放策略的权重． （1）求优化后单次推送互动成功的概率； （2）公司按优化后的推送策略对某新用户进行5次独立推送，设随机变量表示5次推送的互动成功总次数，求的数学期望和方差； （3）公司设定核心需求：①5次推送的期望互动成功次数不低于3.2；②单次推送的期望算力成本不超过7元．请判断优化后的策略选择概率是否同时满足两项要求，并说明理由． 18. 如图，四棱锥的底面为平行四边形，为正三角形，平面，，，点 满足（ ）． （1）若时，求三棱锥的体积； （2）若平面过直线，且平面，平面与侧棱，分别交于点 ，．是否存在点 ，使得平面与平面的夹角为？若存在，请说明点 的位置，并求此时的面积；若不存在，请说明理由． 19. 已知抛物线 ： （ ）的焦点为，点 在抛物线 上，，且的最小值为3． （1）求抛物线 的方程． （2）依次构造点列，，， （）．设 ，，．如图，过点作斜率为的直线与曲线 分别交于点，，直线与曲线 交于另一点，直线与曲线 交于另一点，直线与轴交于点． ①求数列和的通项公式； ②记的面积为，当 时，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 遵义五中2026届高三信息质量监测 数学 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、姓名、班级和准考证号填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不能使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】已知，则. 2. 已知集合，，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，， 所以． 3. 已知向量，，则 （ ） A. B. 0 C. 1 D. 5 【答案】A 【解析】 【详解】． 4. 对于一个声强为I（单位：）的声波，其声强级L（单位：）可由如下公式计算：（其中是能引起听觉的最弱声强）.设声强为时的声强级为70，声强为时的声强级为60，则等于（ ） A. 10 B. 100 C. D. 10000 【答案】A 【解析】 【分析】代入求值，得到，，得到答案. 【详解】令，则，解得：， 令，则，解得：， 故. 故选：A 5. 用这个数字可以组成没有重复数字三位数的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用分步乘法计数原理，依次确定无重复数字的三位数的百位、十位、个位的可选数字数量，相乘即可得到总个数. 【详解】 由于三位数的百位不能为，且各数位数字不重复，结合分步乘法计数原理计算： 确定百位数字：可从共个非零数字中任选个，共有种选择； 确定十位数字：百位已选个数字，剩余个数字（包含）可选，共有种选择； 确定个位数字：百位和十位共选走个不同数字，剩余个数字可选，共有种选择。 因此满足条件的三位数总个数为. 6. 已知是圆上的一动点，点在轴上的投影为点 ，若，则点 的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】采用相关点法，通过向量坐标关系建立动点 与圆上点的坐标联系，代入圆的方程化简得轨迹方程. 【详解】设动点，圆上点， 因为是在轴上的投影，则易得， ，， 因为 ，所以，解得， （*）， 因为是圆上，所以， 将（*）代入得，即， 则点 的轨迹方程为. 7. 若函数在定义域上恰有三个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对分段函数分段考虑各段上的零点情况，将问题转化为在上必须有2个零点的情况，结合数形结合思想列出不等式求解即得. 【详解】①当时，，则，所以在上单调递增， 因为，而， 由零点存在定理得，函数在上有且只有一个零点； ②时，，该二次函数的图象开口向上，对称轴为， 要使原分段函数在定义域上恰有三个零点，则需使在上要有2个零点， 即需使在上有两个不相等的实数根， 即，解得， 综上可得. 8. 已知数列满足，数列满足．下列关于方程（，）的说法，正确的是（ ） A. 该方程无解 B. 该方程有唯一解 C. 该方程有有限个解且多于1个 D. 该方程有无穷多解 【答案】D 【解析】 【分析】将方程变形为，通过二项式定理分奇偶讨论能否为的倍数即可得解. 【详解】，即，则， 由，故且是的倍数， 当时， ，不是的倍数，不符； 当时， ，是的倍数，符合题意； 令，解得， 故为大于等于的偶数时，存在，使得原方程成立， 故该方程有无穷多解. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的图像可由 的图像向左平移个单位长度得到 C. 函数的一条对称轴为直线 D. 函数在上单调递减 【答案】AC 【解析】 【详解】已知函数，最小正周期为，故A正确； 的图像向左平移个单位得： ，故B错误； 正弦函数对称轴满足， 代入得，满足对称轴条件，故C正确； 令，即， 区间包含递减区间和递增区间，故D错误． 10. 设，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，在上单调递增 B. 当时，曲线在处的切线方程为 C. 当时，有唯一极小值点 D. 若有两个零点，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】求导，可得，即可判断A；利用导数的几何意义可求切线方程判断B；令，可得，构造函数，求导，可得在上有唯一解，设为，进而可得的单调性可判断C；利用极小值小于0，进而计算可求得判断D. 【详解】由，得， 对于A，当时，又，所以， 所以在上单调递增，故A正确； 对于B，当时，，可得， 所以，， 所以曲线在处的切线方程为，即，故B错误； 对于C，令，得， 又，所以，所以，所以， 令，求导得， 因为，所以，所以， 当时，方程在上有唯一解，设为， 当时，，即， 所以，所以在上单调递减， 当时，，即， 所以，所以在上单调递增， 所以在处取得极小值，且是唯一极小值，故C正确； 对于D，当时，在是单调递增，至多一个零点，故不符合题意； 当时，由C选项分析可得在上单调递减，在上单调递增， 当时，；当时，； 所以要使在上有两个零点，则需极小值， 即，所以，所以， 所以，所以 令，函数在上单调递增，又， 所以，所以，故D正确. 11. 已知正方体的棱长为6， ， ， 分别为 ， ，的中点， 为正方形内一点（包含边界）．下列说法正确的是（ ） A. 经过 ， ， 三点的截面形状为四边形 B. 点到经过 ， ， 三点的截面的距离为 C. 存在点 ，使得点和点 到平面的距离相等 D. 三棱柱 外接球的表面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A，在正方体的后面做一个等大的正方体，连接得到 ，取的中点，连接，得到 ，连接 ， ，连接 ，得到四边形 为经过 ， ， 三点的截面；选项B，求出平面 的法向量为，利用公式求解；选项C，利用线段 的中点四点共面求解；选项D，利用直三棱柱的性质确定球心，进而求出球半径，利用球的表面积公式求解. 【详解】选项A，在正方体的后面做一个等大的正方体， 因为 为 的中点，所以 ， 连接， ，取的中点，连接，则 ， 连接 ， ，连接 ， 则四边形 为经过，， 三点的截面，其形状为四边形，故选项A正确； 选项B，建立如图所示的空间直角坐标系， ， ， 设平面 的法向量为， 则，即，取 ，则 ， 则平面 的法向量为， ，，， 设点到平面 的距离为 ， 则，故选项B错误； 选项C，若点和点到平面的距离相等， 满足两种情况，平面 直线 ，或平面过 的中点， 记线段 的中点为，设，， 则四点共面的条件为， 即， 即，解得 ， 因为 为正方形内一点（包含边界）， 所以 ， 所以 的点全部落在正方形内， 例如取，即可满足条件， 因此存在点 ，使得点和点到平面的距离相等，故选项C正确； 选项D，因为三棱柱 是直三棱柱，底面 是直角三角形， 所以三棱柱 外接球的球心为上下底面直角三角形斜边中点连线的中点， 因为下底面斜边 的中点为， 上底面斜边 的中点为， 所以球心为，球半径为， 所以三棱柱 外接球的表面积为 ，故选项D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在的展开式中，的系数是______．（用数字作答） 【答案】40 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项公式，即可求解. 【详解】展开式的通项公式为，令，则项的系数为. 故答案为：40 13. 已知等比数列的各项均为正数，若，则数列的前100项和为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求出数列通项公式为，从而，再根据等差数列求和公式求和. 【详解】由等比数列各项均为正数，， 设其首项为，公比， 可得，解得或（舍）， 所以等比数列通项公式为， 则， 所以数列为首项为，公差为的等差数列， 数列前100项和为. 14. 已知双曲线：（， ）的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，， 为双曲线上一点，若，的斜率之积为，，的斜率之积为，且的面积为，则________． 【答案】 【解析】 【分析】设,利用斜率公式由，推得，由得到，由，求得，由三角形的面积公式列出方程，求解即得的值. 【详解】，可得，， 设,则，解得， 因，则， 由，可得， 又因， 可得， 即， 即，即， 依题意，， 代入，得到， 解得，又，故. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记的内角，，的对边分别为 ，， ，已知 ． （1）求角 ； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理与正弦定理，将边的关系转化为角的关系，结合三角形内角和化简求解； （2）利用余弦定理与面积公式，通过“和平方”将转化为，即可计算面积. 【小问1详解】 已知， 由余弦定理，则， 代入可得：. 由正弦定理（为外接圆半径）， 可得，，， 代入上式得：， 整理得：， 根据两角和的正弦公式，即， 因为，所以得，解得， 又因为，所以. 【小问2详解】 已知，，， 由余弦定理，代入得， 所以， 则面积为：. 16. 已知函数在处取得极小值． （1）求实数，的值； （2）若的切线过点，求的最大值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）通过极值点的函数值和导数值列方程组求解参数，并借助导数及极值点定义进行检验； （2）借助导数的几何意义设切点构造函数求最值. 【小问1详解】 ，由题意可得，解得； 检验：此时，， 则当时，，当时，， 故在、上单调递增，在上单调递减， 故函数在处取得极小值，符合题意， 故，； 【小问2详解】 由（1）得，则， 设过点的切线的切点坐标为， 则， 有， 整理得，令， 则， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 则的最大值为. 17. 某人工智能公司为提升新用户留存率，对智能内容推荐系统的推送策略进行优化，相关优化数据如下： 推送策略 原策略选择概率 优化后策略选择概率 互动成功率 单次算力成本（元） 策略1（精准匹配） 0.2 0.4 0.9 10 策略2（模糊匹配） 0.5 0.4 0.6 5 策略3（宽泛匹配） 0.3 0.2 0.3 2 注：①互动成功指用户完成点赞、评论、转发任一行为；②单次推送结果相互独立，策略选择概率为公司实际投放策略的权重． （1）求优化后单次推送互动成功的概率； （2）公司按优化后的推送策略对某新用户进行5次独立推送，设随机变量表示5次推送的互动成功总次数，求的数学期望和方差； （3）公司设定核心需求：①5次推送的期望互动成功次数不低于3.2；②单次推送的期望算力成本不超过7元．请判断优化后的策略选择概率是否同时满足两项要求，并说明理由． 【答案】（1） （2）数学期望为，方差为 （3）优化后的策略选择概率同时满足两项要求，理由如下： 由（2）知， 单次推送的期望算力成本为， 故优化后的策略选择概率同时满足两项要求． 【解析】 【分析】（1）设事件，根据全概率公式计算期望； （2）由题可知，再结合二项分布的期望及方差公式计算即可； （3）根据题意得到期望及单次推送的期望算力成本，再判断即可． 【小问1详解】 设优化后的策略对应事件为，互动成功为事件 ， 优化后单次推送互动成功为事件， 则， ， ； 【小问2详解】 由题可知， ，； 【小问3详解】 略 18. 如图，四棱锥的底面 为平行四边形，为正三角形，平面，，，点 满足（ ）． （1）若时，求三棱锥的体积； （2）若平面过直线，且平面，平面与侧棱，分别交于点，．是否存在点 ，使得平面 与平面的夹角为？若存在，请说明点 的位置，并求此时的面积；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）连接，， 由平面过直线，且，平面，则平面是平面， 因为平面，平面平面，所以， 结合（1）的空间直角坐标系， 不妨设，则，， 又，，，， 则，所以， ，所以， 所以，， 设平面的法向量为，则， 令，则，，所以， 显然是平面 的一条法向量， 又平面 与平面的夹角为， 则， 整理得，解得，或（舍去）， 即点，分别为侧棱，的中点，且平面的法向量为， 又点 满足（ ）， 结合（1）有， 则， 又平面，则， 所以，解得， 所以存在点（为的三等分点，且靠近处），使得平面 与平面的夹角为． 结合（1），在中有，则， 在正三角形中，有，则， 又平面，，则平面， 又平面，则， 所以此时的面积为． 【解析】 【分析】（1）先根据线面垂直的性质，及三角形的性质证明线线垂直，从而建立空间直角坐标系，再根据空间向量的线性关系确定点的坐标，进而利用等体积法即可求出三棱锥的体积； （2）先根据线面平行的性质证明，再结合（1）的空间直角坐标系，利用空间向量夹角的余弦值求出点，的位置，再根据平面的法向量与平面内直线的关系求出的值即可判断是否存在点，并求处此时的面积即可． 【小问1详解】 取 的中点，取的中点 ，连接，，则， 又平面，则平面， 又平面，则，， 所以以为原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系， 在，由，， 则，，，， 在正三角形中，，则， 所以，，， 又点 满足（ ）， 则，则， 若，则，即点到平面的距离为， 所以三棱锥的体积为． 【小问2详解】 略 19. 已知抛物线 ： （ ）的焦点为，点 在抛物线 上，，且的最小值为3． （1）求抛物线 的方程． （2）依次构造点列，，， （）．设 ，，．如图，过点作斜率为的直线与曲线分别交于点，，直线与曲线交于另一点，直线与曲线交于另一点，直线与轴交于点． ①求数列和的通项公式； ②记的面积为，当 时，求证：． 【答案】（1） （2）①，； ②由①可得，， 代入得，化简得， 所以是首项为1，公比为2的等比数列，． 因为，其中， 则， 故， ，得证. 【解析】 【分析】（1）求出准线方程，根据抛物线的性质可知，由，那么的最小值为 ，从而得到 ，得到抛物线方程； （2）①设出直线方程，联立 ，求出两根之和，两根之积，联立化简得，，所以是以1为首项，4为公比的等比数列，是以2为首项，4为公比的等比数列，故，； ②在①基础上，得到，所以是首项为1，公比为2的等比数列，，求出，从而放缩得到，利用等比数列的求和公式即可证明. 【小问1详解】 抛物线的准线为，， 根据抛物线的定义，可得的最小值为点到准线的距离 ， 解得 ，故抛物线 的方程为 ． 【小问2详解】 ①过且斜率为的直线方程为， 代入 得 ， 由韦达定理： 设直线的方程为，代入 得 ， 则，可得， 同理，由，可得， 则直线的斜率， 直线的方程为：， 将代入化简得（*）， 将代入，结合可得 ， 再代入（*）式，化简得， 由于 ， ，满足， 则，， 所以是以1为首项，4为公比的等比数列，是以2为首项，4为公比的等比数列， 则，． ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $